1754 पेपर
यह शोधपत्र यह प्रदर्शित करता है कि रूट सिस्टम से जुड़े द्वितीय प्रकार के सामान्यीकृत चेबीशेव बहुपद उन विशिष्ट साइक्लोटोमिक तत्वों के नॉर्म्स का विश्लेषण करके अंकगणितीय रूप से अपवाद नहीं हैं जो परिमित क्षेत्रों (फाइनाइट फील्ड्स) को पैरामीट्राइज़ करते हैं।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि एक विस्तारित हॉरोस्फीयर (expanding horosphere) के भीतर एक एफाइन उपसमष्टि (affine subspace) पर लगभग प्रत्येक बिंदु, पर एक विकर्ण प्रवाह (diagonal flow) के लिए बिर्फ़ॉक जेनेरिक (Birkhoff generic) है, सिवाय उन मामलों के जब वह उपसमष्टि विशिष्ट डायोफेंटाइन गुणों (Diophantine properties) को प्रदर्शित करती है या संख्या क्षेत्रों (number fields) पर निम्न-आयामी उपसमस्थानों द्वारा सुलभ रूप से सन्निकट (well-approximable) होती है, जिससे डिरिचलेट गैर-सुधारणीयता (Dirichlet non-improvability) और लघुगणकीय घनत्व (logarithmic density) के परिणाम प्राप्त होते हैं।
यह शोध पत्र स्लाइसिंग (slicing), पैकिंग (packing) और डिस्क्रीट स्फेरिकल मल्टीप्लायर एप्रोक्सिमेशन (discrete spherical multiplier approximation) तकनीकों के संयोजन के माध्यम से, बड़ी कोडेमेंशन (codimension) वाले स्मूथ सबमैनिफोल्ड्स पर टोरल आइजनफंक्शंस (toral eigenfunctions) के लिए नए शार्प रिस्ट्रिक्शन अनुमान स्थापित करता है, जिससे हुआंग-झांग (Huang-Zhang) के एक अनुमान को सिद्ध किया जाता है और बोरगेन-रुडनिक (Bourgain-Rudnick) के अनुमान को आगे बढ़ाया जाता है।
पॉलीनोमियल आइडेंटिटी टेस्टिंग से प्रेरित होकर, यह शोधपत्र नंबर-थ्योरेटिक ट्रांसफॉर्म (NTT) के लिए सुदृढ़ स्पैरसिटी ट्रेडऑफ़्स स्थापित करता है और अभाज्य संख्याओं (primes) पर औसत निकाला गया एक संभाव्य अनिश्चितता सिद्धांत सिद्ध करता है, जो शून्य साउंडनेस एरर वाले विरल एक्सपोनेंशियल पॉलीनोमियल्स के लिए एक ब्लैक-बॉक्स आइडेंटिटी टेस्ट की ओर ले जाता है।
यह शोधपत्र यह परिकल्पना करता है कि मॉड्यूलर समूह के एक परिमित-सूचकांक उपसमूह (finite-index subgroup) के लिए, संगत आवरण (cover) पर एक सरल बंद वक्र (simple closed curve) पर प्रक्षेपित होने वाले जियोडेसिक का अंतबिंदु (endpoint) परिमेय, द्विघाती या अपरिमेय होना चाहिए, और यह विशेष रूप से न्यूनतम जियोडेसिक लैमिनेशन (minimal geodesic laminations) की पत्तियों के लिए इसे सिद्ध करता है जबकि मॉड्यूलर टॉरस आवरण के लिए इसकी स्थापित वैधता को नोट करता है।
यह शोधपत्र डेविड गॉस के धनात्मक अभिलक्षण (positive characteristic) में ज़ेटा फलनों के सिद्धांत की समीक्षा करता है, परिमित क्षेत्रों पर वक्रों (curves over finite fields) से जुड़ी एक नई पद्धति के साथ इसकी तुलना करता है, और फेरारो के परिमेयता प्रमेय (rationality theorem) तथा श्टुका डिविसर्स (shtuka divisors) और ड्रिंकल्ड मॉड्यूल (Drinfeld modules) जैसे संबंधित उपकरणों को प्रस्तुत करता है ताकि सापेक्ष ज़ेटा फलनों की संपूर्णता (entireness) स्थापित की जा सके और उनके शून्य क्रम (vanishing orders) पर अनुमान प्रस्तावित किए जा सकें।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि नॉर्म के सापेक्ष एक-आयामी डिरिचलेट स्पेक्ट्रम अंतराल है, जो कि मिंकोव्स्की स्पेक्ट्रम के होने के समतुल्य है, और आगे यह स्थापित करता है कि मिंकोव्स्की स्थिरांक के स्तर सेट (level sets) का हॉसडॉर्फ आयाम के मानों के लिए से अधिक है जबकि सीमा पर यह के बराबर है।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि पर किस्मों (varieties) के एक अर्ध-प्रक्षेपी परिवार (quasi-projective family) के लिए Hodge generic बीजगणितीय बिंदु जटिल आधार (complex base) में विश्लेषणात्मक रूप से सघन (analytically dense) होते हैं, जो -ऑपरेटरों के समाधानों द्वारा संतुष्ट संबंधों पर एक नवीन परिणाम के माध्यम से Mumford-Tate अनुमान के नए उदाहरण और मात्रात्मक अनुमान स्थापित करता है।
यह शोध पत्र सामान्यीकृत हीजनबर्ग बीजगणित और अपभ्रंश कलन (degenerate calculus) के ढांचे के भीतर प्रथम प्रकार के अपभ्रंश सामान्यीकृत स्टर्लिंग ऑपरेटरों को प्रस्तुत और विश्लेषणाति करता है, जो कार्यात्मक क्वांटम बीजगणित के लिए एक व्यापक संयोजन ढांचा प्रदान करने हेतु उनके संरचनात्मक गुणों, पुनरावृत्ति संबंधों और द्वितीय प्रकार के समकक्षों के साथ उनकी ऑर्थोगोनैलिटी (orthogonality) को स्थापित करता है।
यह शोध पत्र मिज़ुमोतो के सूत्र का उपयोग करते हुए और के लिए सीगल-आइजनस्टीन श्रेणी के अचर पद (constant term) और असाधारण गैर-शून्य फूरियर गुणांकों (exceptional non-zero Fourier coefficients) को निर्धारित करता है, जिससे कोहेन, नागाओका और हारुकी के डिग्री-दो के परिणामों का एक उच्च-डिग्री अनुरूप स्थापित होता है।