1726 पेपर
यह शोध पत्र लंबाई के अंतरालों के लिए वाले -मुक्त पूर्णांकों पर लघु घातांकीय योगों (short exponential sums) के क्षणों (moments) पर अनिवार्य रूप से सटीक सीमाएँ स्थापित करता है, जिससे कम से कम लंबाई के अंतरालों पर मोबियस-ट्विस्टेड योग (Möbius-twisted sum) के -माध्य (mean) के लिए एक निचली सीमा प्राप्त होती है और मोबियस फलन (Möbius function) से जुड़े उन्नत -अनुमानों के साथ आगे के सुधारों को जोड़ता है।
यह शोध पत्र एलिप्टिक हॉल अलजेब्रा और नॉट सुपरपॉलीनोमियल थ्योरी का उपयोग करते हुए में टैमली रैमिफाइड तत्वों के शालिका जर्म्स (Shalika germs) के लिए स्पष्ट कॉम्बिनेटोरियल सूत्र स्थापित करता है, जिससे ऑर्बिटल इंटीग्रल्स, एफाइन स्प्रिंगर फाइबर्स और कॉम्पैक्टिफाइड जैकोबियन्स पर पूर्व परिणामों को एकीकृत किया जाता है और ओब्लोमकोव-रास्मुसेन-शेंडे अनुमान (Oblomkov-Rasmussen-Shende conjecture) के लिए और अधिक प्रमाण प्रदान किए जाते हैं।
यह शोध पत्र रेंकिन-सेल्बर्ग इंटीग्रल्स (Rankin-Selberg integrals) के एक नए परिवार का निर्माण करता है जो -फंक्शन्स के गुणनफलों को निरूपित करने के लिए शास्त्रीय जैकेट-पियाटेत्स्की-शपिरो-शालिका (Jacquet–Piatetski-Shapiro–Shalika) इंटीग्रल्स का सामान्यीकरण करते हैं, संबद्ध स्थानीय गामा कारकों (local gamma factors) को परिभाषित करते हैं, और जैकेट के स्थानीय कन्वर्स कन्जेक्चर (Jacquet's local converse conjecture) के प्रमाण हेतु इन उपकरणों का उपयोग करता है।
यह शोध पत्र CM क्षेत्रों पर सदिश-मान वाले हर्मिटियन मॉड्यूलर रूपों के लिए एक पुलबैक सूत्र स्थापित करता है और अवकल ऑपरेटरों (differential operators) के उनके ऑटोमॉर्फिक गुणों को संरक्षित करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ प्रदान करता है।
यह मानते हुए कि डेडेकइंड ज़ेटा फलनों (Dedekind zeta functions) के लिए रीमान परिकल्पना (Riemann hypothesis) सत्य है, यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि यादृच्छिक गुणात्मक गुणांकों वाला एक डिग्री का बहुपद पूर्णांकों पर लगभग निश्चित रूप से अपरिमेय (irreducible) होता है, जिसमें अपरिमेयता की प्रायिकता द्वारा सीमित है।
यह शोधपत्र ट्रंकेटेड वेइल क्वाड्रेटिक फॉर्म्स (truncated Weil quadratic forms) के संबंध में दो सटीक परिमित प्रमेय स्थापित करता है: प्रथम, कि प्रत्येक वास्तविक सम गैलेरकिन गुणांक वेक्टर (real even Galerkin coefficient vector) एक बैंड-लिमिटेड गुइन्ड-वेइल टेस्ट फंक्शन (band-limited Guinand-Weil test function) के अनुरूप होता है जो द्विघात मान (quadratic value) के सटीक शून्य-योग प्रतिनिधित्व (zero-sum representation) को जन्म देता है, और द्वितीय, कि छोड़ा गया आर्किमिडियन टेल (omitted archimedean tail) एक पूर्णतः धनात्मक इंक्रीमेंट (totally positive increment) है जो रीमान परिकल्पना (Riemann Hypothesis) को माने बिना कटऑफ-मुक्त धनात्मकता के लिए एक द्वि-पक्षीय प्रमाण नियम (two-sided certification rule) सक्षम बनाता है।
यह शोध पत्र बिना किसी शर्त के यह सिद्ध करता है कि रीमैन ज़ेटा फलन (Riemann zeta function) के गैर-तुच्छ शून्य (nontrivial zeros) में से कम से कम दो-तिहाई सरल हैं और क्रिटिकल लाइन पर स्थित हैं, तथा कम से कम पाँच-छठा हिस्सा विशिष्ट (distinct) है, जो रीमैन परिकल्पना (Riemann Hypothesis) को वेइल के हर्मिटियन रूप (Weil's Hermitian form) के एक परिमित संपीड़न (finite compression) पर लागू एक रैंक-ट्रेस असमानता (rank-trace inequality) द्वारा प्रतिस्थापित करता है।
यह शोध पत्र बहुलता (multiplicities) के साथ बहुपद विधि (polynomial method) और एफाइन सिम्पलेक्टिक समूह क्रिया (affine symplectic group action) पर आधारित एक संभाव्य आवरण तर्क (probabilistic covering argument) को संयोजित करके विषम अभाज्य क्षेत्रों (odd prime fields) पर परिमित हीजनबर्ग समूहों (finite Heisenberg groups) के लिए तीक्ष्ण रिच-डायरेक्शन केकेया अनुमान (sharp rich-direction Kakeya estimates) स्थापित करता है और इष्टतम घातांकों (exponents) को निर्धारित करता है।
यह शोध पत्र रिचेलोट-ब्रांड्ट ग्राफ के लिए एक संरचनात्मक ट्रेस पहचान स्थापित करता है जो एटकिन-लेहनर इनवोल्यूशन के ट्रेस को स्पष्ट लिफ्ट योगदान और एक हस्ताक्षरित दोष (signed defect) में विभाजित करता है, और तत्पश्चात 149 तक के अभाज्य संख्याओं के लिए प्रमाणित आइजनमान संकेतों के साथ विशिष्ट स्पेक्ट्रल ब्लॉकों में ब्रांड्ट ऑपरेटर के अभिलक्षण बहुपद (characteristic polynomial) के गुणनखंडन पर एक परिष्कृत अनुमान को सत्यापित करता है।
यह शोध पत्र धनात्मक वितरण स्तर (positive level of distribution) वाली अनुक्रमों के लिए कुबिलियस मॉडल (Kubilius model) पर कुल विचलन दूरी (total variation distance) के लिए एक गुणात्मक रूप से इष्टतम सीमा स्थापित करता है, जिससे शिफ्टेड प्राइम्स (shifted primes) पर हाल के परिणामों को पुनः प्राप्त और सरल बनाया जाता है तथा शास्त्रीय मामले के लिए टेनेनबाउम (Tenenbaum) की इष्टतम सीमा का एक सुव्यवस्थित प्रमाण प्रदान किया जाता है।