1726 पेपर
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि गुणात्मक रूप से स्वतंत्र आधारों के किसी भी जोड़े के लिए, उनके अंकों के योग फलनों (sum-of-digits functions) का अनुपात प्रत्येक परिमेय संख्या को अनंत बार प्राप्त करता है, और साथ ही गुणात्मक रूप से आश्रित मामले में इस व्यवहार का पूर्ण लक्षण वर्णन भी प्रदान करता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि में एक अपरिवर्तनीय (irreducible) बीजगणितीय सतह पर बिंदुओं के किसी भी परिमित सेट के लिए, जो अफ़ाइन रेखाओं (affine lines) पर केंद्रित नहीं है, योगात्मक ऊर्जा (additive energy) द्वारा सीमित है, जो समतल में जेनेरिक समुच्चयों के लिए ज्ञात सीमा से मेल खाती है।
यह शोध पत्र पुनरावृत्त गैलुआ समूहों (iterated Galois groups) के लिए व्युत्क्रम गैलुआ समस्या (inverse Galois problem) को हल करने के लिए वर्चुअली मिक्सिंग समूहों (virtually mixing groups) की अवधारणा प्रस्तुत करता है और यह सिद्ध करता है कि ज्यामितीय पुनरावृत्त गैलुआ समूहों का फिक्स्ड-पॉइंट अनुपात शून्य है, जब तक कि तर्कसंगत फलन (rational function) एक डायनेमिकल पुलबैक (dynamical pullback) न हो, जिससे अंकगणितीय गतिकी (arithmetic dynamics) में अभाज्य घनत्व (prime density) और आवधिक बिंदु वितरण (periodic point distributions) की समझ में प्रगति होती है।
यह शोध पत्र प्राकृतिक संख्याओं के एक परिमित मल्टीसेट (multiset) द्वारा उत्पन्न सभी उपसमुच्चय योगों (subset sums) के समुच्चय की संरचना को अभिलक्षित करता है, जहाँ प्रत्येक युग्म के तत्व परस्पर विभाज्य हैं, और यह निर्धारित करने के लिए एक मानदंड स्थापित करता है कि दो ऐसे मल्टीसेट समान योग समुच्चय कब उत्पन्न करते हैं।
यह शोध पत्र क्लिंगन-आइसनस्टीन श्रेणियों (Klingen-Eisenstein series) से जुड़ी सदिश-मानित कुरोकावा-मिजुमोटो सर्वांगतता (vector-valued Kurokawa-Mizumoto congruence) के लिए पर्याप्त स्थितियाँ स्थापित करता है और ऑटोमोर्फिक रूपों (automorphic forms) पर अवकल ऑपरेटरों (differential operators) की एक प्रतिनिधित्व-सैद्धांतिक पुनर्व्याख्या प्रदान करता है।
यह शोध पत्र सभी आयामों में शुद्ध रूप से 1-अनरेक्टिफिएबल (1-unrectifiable) परिमेय उत्पाद कैंटर सेट्स (rational product Cantor sets) के फवार्ड लंबाई (Favard length) के लिए सुधारे गए मात्रात्मक ऊपरी आबद्ध (quantitative upper bounds) स्थापित करता है, जो समन्वय-वार अनुमानों (coordinatewise estimates) को एक उन्नत प्रतीकात्मक-सिलिंडर संयोजी तर्क (symbolic-cylinder combinatorial argument) के साथ जोड़कर, शास्त्रीय फोर-कॉर्नर कैंटर सेट के लिए जैसे तीक्ष्ण क्षय दरों और समन्वय मास्क बहुपदों (coordinate mask polynomials) के गुणों पर निर्भर सामान्य घातांकों को प्राप्त करता है।
यह शोध पत्र निर्धारक पहचान (determinant identities) प्रस्तुत करके और 4 से 7 पदों के विशिष्ट मामलों सहित नवीन स्पष्ट -पदों वाले योग सूत्रों को व्युत्पन्न करके जैकोबी एलिप्टिक फलनों (Jacobi elliptic functions) के शास्त्रीय योग प्रमेयों का सामान्यीकरण करता है।
यह शोध पत्र बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों (algebraic number fields) द्वारा पैरामीटराइज्ड पूर्णांक आव्यूहों (integer matrices) के लिए कोस्पेक्ट्रैलिटी (cospectrality) की एक अवधारणा प्रस्तुत करता है, डिस्क्रिमिनेंट्स (discriminants) और क्रिलोव उप-स्थानों (Krylov subspaces) का उपयोग करके स्पेक्ट्रल निर्धारण के लिए पर्याप्त स्थितियाँ स्थापित करता है, और एक दिए गए क्षेत्र पर सभी कोस्पेक्ट्रल मेट्स (cospectral mates) को खोजने के लिए एक एल्गोरिदम प्रदान करता है।
यह शोध पत्र गैर-आर्किमिडियन क्षेत्रों पर रिजिड स्पेस के लिए टेम एटाल फंडेमेंटल ग्रुप (tame étale fundamental group) को प्रस्तुत करता है और लॉगरिदमिक ज्योमेट्री और वर्टिकल कॉम्पैक्टिफिकेशन की तकनीकों का लाभ उठाते हुए विशिष्ट ज्यामितीय और अंकगणितीय स्थितियों के तहत इसके टोपोलॉजिकल फाइनाइट जनरेशन (topological finite generation) और प्रेजेंटेशन को स्थापित करता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि यूक्लिडियन शॉर्टेस्ट वेक्टर प्रॉब्लम (Euclidean Shortest Vector Problem) को किसी भी स्थिरांक कारक (constant factor) के भीतर अनुमानित करना नियत रूप से (deterministically) NP-हार्ड है, जिससे पिछले नियत हार्डनेस परिणामों को अनिश्चित स्थिरांकों तक विस्तारित किया गया है और खोट (Khot) के यादृच्छिक प्रमेय (randomized theorem) तथा हविव और रेगेव (Haviv and Regev) के आयाम-निर्भर क्षेत्रों (dimension-dependent regimes) के नियत समकक्ष प्रदान किए गए हैं।