1754 पेपर
यह शोध पत्र तीन शास्त्रीय प्रतिबंधित पूर्णांक संरचनाओं (restricted integer compositions) के लिए टाइलिंग-आधारित प्रमाण प्रदान करता है जो फाइबोनैची अनुक्रम को गणन करते हैं, फाइबोनैची सर्वसमिकाओं को सिद्ध करने में उनके अनुप्रयोग की खोज करता है, और मैकमैहोन के संयुग्मन (MacMahon's conjugation) के माध्यम से यह प्रदर्शित करता है कि किसी भी के लिए संरचनाओं के उपसमुच्चय फाइबोनैची पुनरावृत्ति (Fibonacci recurrence) का पालन करते हैं।
यह शोध पत्र एक मूर्त निरपेक्ष -अंकगणितीय वक्र का निर्माण करता है जो शोल्ज़ के 'अनटिल्ट' प्रतिमान (untilt paradigm) का एक सार्वभौमिक ज्यामितीय यथार्थ और जटिल टेट वक्र (complex Tate curve) का एक एडेलिक आवधिक कक्षा (adelic periodic orbit) तथा फर्गस-फॉन्टेन वक्र के एक वास्तविक अनुरूप में एक कैनोनिकल अपघटन प्रकट करके -adic हॉज सिद्धांत, जटिल विश्लेषण और एडेलिक ज्यामिति को एकीकृत करता है।
यह शोध पत्र अभाज्य संख्याओं के लिए विशिष्ट पंच-गुणों (quintuple products) के श्रेणी विस्तार (series expansions) के गुणांकों के लुप्त होने वाले स्पष्ट अंकगणितीय प्रगति (arithmetic progressions) को व्युत्पन्न करने के लिए पूर्णांक जालमंडलों (integer lattices) पर इनवोल्यूटिव रूपांतरणों (involutive transformations) का उपयोग करता है।
यह शोध पत्र रैंकिन-सेल्बर्ग -फंक्शन्स के शिफ्टेड सेंट्रल मानों (shifted central values) के ट्विस्टेड प्रथम और द्वितीय मोमेंट्स (twisted first and second moments) की गणना करता है, जबकि प्रिमिटिव फॉर्म , से सह-अभाज्य स्तर वाले एक निश्चित प्रिमिटिव फॉर्म के सापेक्ष, प्राइम पावर स्तर () पर परिवर्तित होता है।
यह शोध पत्र के रूप वाले पूर्णांकों के लिए प्रोथ के प्रमेय और सेफ़/सोफी जर्मेन अभाज्य संख्याओं (Safe/Sophie Germain primes) का एक सामान्यीकरण प्रस्तुत करता है, जो इन सामान्यीकृत अभाज्य परिवारों के वितरण के संबंध में कुशल अभाज्य परीक्षण और अनुमान प्रदान करता है।
यह शोध पत्र ग्रैनविले और साउंडारराजन् के "प्रिटेंशियस" (pretentious) गुणात्मक फलन सिद्धांत और लिचमैन और पास्कैडी की धनात्मक अर्ध-निश्चित परिवारों के ऑटोमोर्फिक प्रतिनिधित्व की अवधारणा को संयोजित करके, स्व-द्वैतता (self-duality) धारणाओं के तहत और के शून्य-मुक्त क्षेत्रों का एक नया प्रमाण प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र पैराबोलिक मेलिन ट्रांसफॉर्म (PMT) को प्रस्तुत करता है, जो गामा और ज़ेटा फलनों के लिए एकीकृत निरूपण प्रदान करने के साथ-साथ रीमान और लिंडेलोफ परिकल्पनाओं के समतुल्य पुनर्गठन की पेशकश करने के लिए एक परवलयाकार कंटूर (parabolic contour) का उपयोग करने वाला एक नवीन समाकल रूपांतरण है।
यह शोधपत्र बिना किसी शर्त के यह सिद्ध करता है कि प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़े सम पूर्णांक को एक अभाज्य संख्या और एक अभाज्य संख्या एवं एक संख्या (जहाँ या तो 1 है या अभाज्य है और ) के गुणनफल के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिससे नए भारित छालनी (weighted sieves) और विश्लेषणात्मक उपकरणों के विकास के माध्यम से चेन के प्रमेय (Chen's theorem) और बाइनरी गोल्डबैक अनुमान (binary Goldbach Conjecture) के बीच छह दशकों के सैद्धांतिक अंतराल को पाटा गया है।
यह शोध पत्र एक अभाज्य क्रम समूह वाले स्कीम्स के एक परिमित गैलवा कवर (Galois cover) के लिए हासे-वील ज़ेटा फलन (Hasse-Weil zeta function) के मॉड- न्यूनीकरण (reduction) को आधार स्कीम्स के ज़ेटा फलन और शाखा लकीर (branch locus) के संदर्भ में निर्धारित करता है, जिसके विशिष्ट अनुप्रयोग वक्रों और हाइपरएलिप्टिक या सुपरएलिप्टिक वक्रों के लिए हैं।
यह शोधपत्र औपचारिक फ्लैग किस्मों (formal flag varieties) पर फिल्टर्ड स्ट्रॉन्गली इक्विवेरिएंट बर्टेलोलो अरिथमेटिक -मॉड्यूल के लिए काशिवारा रेगुलैरिटी (Kashiwara regularity) का एक अरिथमेटिक एनालॉग स्थापित करता है, यह सिद्ध करते हुए कि उनके कैरेक्टेरिस्टिक वेरिएटीज़ -ऑर्बिट्स के कॉनॉर्मल बंडल्स के यूनियन में समाहित हैं और इस प्रकार ऑर्बिट्स के युग्मों और इक्विवेरिएंट ओवरकन्वर्जेंट -आइसोक्रिस्टल्स के माध्यम से सिंपल फ्रोबिनियस मॉड्यूल्स को वर्गीकृत करते हैं।