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A metric approach to zero-free regions for $L$ -functions

यह शोध पत्र ग्रैनविले और साउंडारराजन् के "प्रिटेंशियस" (pretentious) गुणात्मक फलन सिद्धांत और लिचमैन और पास्कैडी की धनात्मक अर्ध-निश्चित परिवारों के ऑटोमोर्फिक प्रतिनिधित्व की अवधारणा को संयोजित करके, स्व-द्वैतता (self-duality) धारणाओं के तहत $L(s, \pi)$ और $L(s, \pi \times \pi')$ के शून्य-मुक्त क्षेत्रों का एक नया प्रमाण प्रस्तुत करता है।

मूल लेखक: Nawapan Wattanawanichkul

प्रकाशित 2026-06-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Nawapan Wattanawanichkul

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक व्यापक दृष्टिकोण: "भूतिया" संख्याओं की खोज

कल्पना कीजिए कि संख्याओं की दुनिया संख्याओं का एक विशाल, अनंत परिदृश्य है। इस परिदृश्य में, विशेष फलन (functions) हैं जिन्हें L-functions कहा जाता है। आप इन फलनों को जटिल मशीनों के रूप में सोच सकते हैं जो एक संख्या (मान लीजिए $s$ ) लेती हैं और एक परिणाम देती हैं।

गणितज्ञ इन मशीनों के "शून्य" (zeros) खोजने के लिए जुनूनी हैं—विशेष रूप से, वे इनपुट जहाँ मशीन का आउटपुट शून्य होता है। क्यों? क्योंकि ये शून्य बताते हैं कि अभाज्य संख्याएँ (prime numbers) कैसे वितरित होती हैं। यह एक अराजक तूफान में छिपे पैटर्न को खोजने जैसा है।

इन मशीनों में सबसे प्रसिद्ध 'रीमान ज़ेटा फंक्शन' (Riemann Zeta function) है। 1896 में, गणितज्ञों ने सिद्ध किया कि यदि आप इस मशीन को एक विशिष्ट "वास्तविक भाग" (real part) वाला संख्या फीड करते हैं, तो यह कभी शून्य आउटपुट नहीं देती। उन्होंने उस रेखा के ठीक बाईं ओर एक संकीर्ण "सुरक्षित क्षेत्र" (safe zone) भी खोजा जहाँ मशीन के गैर-शून्य होने की गारंटी है। इस सुरक्षित क्षेत्र को zero-free region कहा जाता है।

यह शोध पत्र इस बारे में है कि कैसे अधिक जटिल मशीनों (जिन्हें 'रैकिन-सेल्बर्ग L-functions' कहा जाता है) के लिए ऐसे ही सुरक्षित क्षेत्र मौजूद हैं, जो "ऑटोमोर्फिक रिप्रेजेंटेशन" (जो अभाज्य संख्या पैटर्न के उन्नत, बहु-आयामी संस्करण हैं) से बने होते हैं।

पुराना तरीका: "3-4-1" का कमाल

एक सदी से अधिक समय से, गणितज्ञ इन सुरक्षित क्षेत्रों को सिद्ध करने के लिए एक चतुर ट्रिक का उपयोग कर रहे हैं। इसे अक्सर "3-4-1 तर्क" कहा जाता है।

कल्पना कीजिए कि आप यह सिद्ध करने की कोशिश कर रहे हैं कि जंगल का एक विशिष्ट स्थान भेड़ियों से सुरक्षित है।

आप जानते हैं कि यदि एक भेड़िया स्थान A पर है, तो वह जरूर दहाड़ेगा।
आप यह भी जानते हैं कि यदि एक भेड़िया स्थान B पर है, तो वह जरूर गुर्राएगा।
यह ट्रिक इन ध्वनियों को एक विशिष्ट अनुपात (3 भाग दहाड़, 4 भाग गुर्राहट, 1 भाग शांति) में मिलाने में शामिल है ताकि एक "सुपर-साउंड" बनाया जा सके जो हमेशा सकारात्मक (positive) हो।
यदि हम मान लें कि एक भेड़िया (एक शून्य) आपके सुरक्षित क्षेत्र में छिपा हुआ है, तो यह सुपर-साउंड नकारात्मक होना चाहिए, जो असंभव है। इसलिए, वहां कोई भेड़िया नहीं हो सकता।

यह शोध पत्र इस ट्रिक के आधुनिक संस्करण का उपयोग करता है, लेकिन केवल ध्वनियाँ सुनने के बजाय, यह ज्यामिति (geometry) का उपयोग करता है।

नया दृष्टिकोण: दूरियों को मापना

लेखक, नवापन वट्टानवारिचकुल (Nawapan Wattanawarichkul), मेट्रिक्स (दूरी मापने का एक फैंसी शब्द) का उपयोग करके समस्या को देखने का एक नया तरीका पेश करते हैं।

सोचिए कि संख्याओं के हर संभावित पैटर्न को एक विशाल मानचित्र पर एक बिंदु के रूप में देखा जा सकता है।

मेट्रिक: यह शोध पत्र दो अलग-अलग संख्या पैटर्न के बीच की "दूरी" को मापने के लिए एक विशेष रूलर (पैमाना) को परिभाषित करता है।
त्रिकोण असमानता (Triangle Inequality): ज्यामिति में, दो बिंदुओं के बीच का सबसे छोटा रास्ता एक सीधी रेखा है। यदि आप बिंदु A से B तक बिंदु C के माध्यम से जाते हैं, तो दूरी $A \to C \to B$ हमेशा प्रत्यक्ष दूरी $A \to B$ से लंबी या उसके बराबर होती है।

लेखक तीन विशिष्ट संख्या पैटर्न का एक त्रिकोण बनाते हैं:

पैटर्न A: वह पैटर्न जिसका हम अध्ययन कर रहे हैं (हमारा L-function)।
पैटर्न B: उस पैटर्न का एक "दर्पण" (mirror) संस्करण।
पैटर्न C: एक सरल, ज्ञात पैटर्न (जैसे मानक अभाज्य संख्याएँ)।

इन पैटर्न के बीच की दूरियों को मापकर, लेखक एक गणितीय असमानता (inequality) बनाते हैं। यदि हम मान लें कि एक "भूतिया शून्य" (ghost zero) खतरनाक क्षेत्र में मौजूद है, तो गणित कहता है कि पैटर्न के बीच की दूरी नकारात्मक होनी चाहिए। चूंकि दूरी नकारात्मक नहीं हो सकती, इसलिए वह भूतिया शून्य मौजूद नहीं हो सकता।

दो मुख्य नवाचार

यह शोध पत्र दो विशिष्ट समस्याओं को हल करता है जो लंबे समय से कठिन रही हैं:

1. "अप्रमाणित" धारणाओं से बचना
इन जटिल मशीनों पर पुराने तरीकों का उपयोग करने के लिए, गणितज्ञों को अक्सर यह मानना पड़ता था कि एक प्रसिद्ध अप्रमाणित सिद्धांत जिसे जेनरालाइज्ड रमनुजन कंजेक्चर (GRC) कहा जाता है, सत्य है। यह एक ऐसा पुल बनाने जैसा है जिसमें आप यह मान रहे हैं कि एक विशिष्ट प्रकार का स्टील मौजूद है, भले ही हमने अभी तक उसे पाया नहीं है।

समाधान: यह शोध पत्र माप के "सामग्री" (ingredients) को बदल देता है। कच्चे पैटर्न को मापने के बजाय, यह पैटर्न के परिवर्तन की दर (derivative) को मापता है। यह बदलाव लेखक को यह सिद्ध करने की अनुमति देता है कि सुरक्षित क्षेत्र मौजूद हैं, बिना यह आवश्यक किए कि GRC को सच माना जाए। यह उस पुल को बनाने जैसा है जिसे आप केवल उन सामग्रियों का उपयोग करके बनाते हैं जिनके अस्तित्व के बारे में आप निश्चित हैं।

2. "ऊबड़-खाबड़ इलाके" को संभालना (Ramified Primes)
आमतौर पर, ये प्रमाण तब सबसे अच्छा काम करते हैं जब संख्या पैटर्न "सुचारू" (unramified) होते हैं। लेकिन कभी-कभी, पैटर्न में "झुर्रियां" या "खुरदरे स्थान" (ramified primes) हो सकते हैं।

समाधान: लेखक पॉजिटिव सेमी-डेफिनिट फैमिलीज (Positive Semi-Definite Families) की अवधारणा का उपयोग करते हैं। कल्पना कीजिए कि भार (weights) का एक सेट है जो गारंटी देता है कि वे हमेशा तराजू पर सकारात्मक दिशा में संतुलित रहेंगे। इन L-functions को इस विशिष्ट परिवार में व्यवस्थित करके, लेखक इन "खुरदरे स्थानों" को पूरी तरह से अनदेखा कर सकते हैं। इससे एक स्वच्छ और अधिक सटीक प्रमाण मिलता है जो तब भी काम करता है जब पैटर्न अव्यवस्थित हों।

परिणाम: "सुरक्षित क्षेत्र"

शोध पत्र तीन मुख्य प्रमेय (theorems) सिद्ध करता है, जो मूल रूप से कहते हैं:

प्रमेय 1: एक एकल जटिल मशीन $L(s, \pi)$ के लिए, एक विस्तृत सुरक्षित क्षेत्र है जहाँ यह कभी शून्य नहीं होता, जब तक कि यह एक विशेष "सेल्फ-डुअल" मशीन न हो जो किनारे पर एक एकल शून्य रख सकती है।
प्रमेय 2: यदि आप दो अलग-अलग मशीनों ( $L(s, \pi \times \pi')$ ) को मिलाते हैं, और उनमें से एक सेल्फ-डुअल है, तो एक गारंटीकृत सुरक्षित क्षेत्र होता है।
प्रमेय 3: यदि संयुक्त मशीन में एक विशेष समरूपता ( $L(s, \pi \times \pi') = L(s, \tilde{\pi} \times \tilde{\pi}')$ ) है, तो एक सुरक्षित क्षेत्र होता है, जिसमें किनारे पर अधिकतम एक संभावित शून्य हो सकता है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है (शोध पत्र के अनुसार)

यह शोध पत्र इस बात पर जोर देता है कि इन सुरक्षित क्षेत्रों की "चौड़ाई" बहुत महत्वपूर्ण है। लेखक स्पष्ट स्थिरांक (explicit constants) प्रदान करते हैं, जिसका अर्थ है कि उन्होंने केवल यह नहीं कहा कि "एक सुरक्षित क्षेत्र मौजूद है"; उन्होंने यह भी गणना की कि वह कितना चौड़ा है।

यह सटीकता अन्य गणितज्ञों के लिए महत्वपूर्ण है जो सातो-तेट अनुमान (Sato-Tate conjecture) (यह भविष्यवाणी करना कि विशिष्ट अनुक्रमों में अभाज्य संख्याएँ कैसे व्यवहार करती हैं) जैसी समस्याओं को हल करने की कोशिश कर रहे हैं। हम "सुरक्षित क्षेत्र" के आकार को जितना बेहतर जानते हैं, अभाज्य संख्याओं के बारे में हमारी भविष्यवाणियाँ उतनी ही सटीक होंगी।

यह शोध पत्र क्या नहीं करता है

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह शोध पत्र क्या नहीं है:

यह रीमान हाइपोथीसिस (सभी शून्य खोजने का अंतिम लक्ष्य) को सिद्ध नहीं करता है।
यह भौतिकी, इंजीनियरिंग या चिकित्सा में इन परिणामों को लागू नहीं करता है।
यह सभी संभावित मशीनों के संयोजन के लिए इस समस्या को हल नहीं करता है; इसके लिए विशेष रूप से यह आवश्यक है कि शामिल मशीनों में से कम से कम एक में एक विशेष "सेल्फ-डुअल" समरूपता हो। यदि आप दो पूरी तरह से यादृच्छिक, गैर-सममित मशीनों को मिलाते हैं, तो यह शोध पत्र स्वीकार करता है कि यह विशिष्ट ज्यामितीय विधि एक दीवार से टकरा जाती है और वर्तमान में एक सुरक्षित क्षेत्र सिद्ध नहीं कर सकती।

सारांश उपमा

कल्पना कीजिए कि आप एक लाइटहाउस कीपर (प्रकाश स्तंभ रक्षक) हैं जो यह सुनिश्चित करने की कोशिश कर रहे हैं कि कोई भी जहाज (शून्य) चट्टानों (क्रिटिकल लाइन) से न टकराए।

पुरानी विधि: आपने एक टेलीस्कोप का उपयोग किया जो केवल तभी अच्छा काम करता था जब आप यह मान लेते थे कि कोहरा छंट जाएगा (GRC)।
यह शोध पत्र: आपने एक नया रडार सिस्टम (मेट्रिक दृष्टिकोण) बनाया है जो घने कोहरे में भी पूरी तरह से काम करता है। यह समुद्र की लहरों की स्वयं की ज्यामिति का उपयोग करके यह सिद्ध करता है कि समुद्र के एक विशिष्ट विस्तृत क्षेत्र में, कोई जहाज वहां होने की संभावना नहीं है।

तकनीकी सारांश: $L$ -फंक्शन्स के लिए एक मेट्रिक दृष्टिकोण (A Metric Approach to Zero-Free Regions for L-Functions)

समस्या विवरण (Problem Statement)
यह शोध पत्र मानक $L$ -फंक्शन्स $L(s, \pi)$ और रैनकिन-सेलबर्ग (Rankin–Selberg) $L$ -फंक्शन्स $L(s, \pi \times \pi')$ के लिए शास्त्रीय शून्य-मुक्त क्षेत्रों (zero-free regions) को स्थापित करने की समस्या को संबोधित करता है, जहाँ $\pi$ और $\pi'$ एक संख्या क्षेत्र $F$ पर $GL(m) $और$ GL(m')$ के क्यूस्पिडल ऑटोमॉर्फिक रिप्रजेंटेशन (cuspidal automorphic representations) हैं। विशेष रूप से, लक्ष्य यह सिद्ध करना है कि इन फलनों का $\sigma \geq 1 - c/\log(C(\dots))$ के रूप में एक क्षेत्र में कोई शून्य नहीं है, सिवाय संभवतः एक एकल सरल वास्तविक शून्य (सीगल शून्य/Siegel zero) के, जो विशिष्ट स्व-द्वैत (self-duality) स्थितियों के अंतर्गत आता है।

ऑटोमॉर्फिक सेटिंग में शास्त्रीय प्रमाणों (जैसे रीमान ज़ेटा फलन के लिए हैडेमार्ड और डी ला वैली पुसिन द्वारा दिए गए प्रमाण) को विस्तारित करने में एक प्राथमिक चुनौती 'सामान्यीकृत रामानुजन अनुमान' (Generalized Ramanujan Conjecture - GRC) पर निर्भरता है। पारंपरिक दृष्टिकोणों को अक्सर उन डिरिचलेट गुणांकों (Dirichlet coefficients) पर सीमाओं की आवश्यकता होती है जो सामान्य मामले में पूरी तरह से स्थापित नहीं हैं। इसके अतिरिक्त, पूर्ववर्ती रैनकिन-सेलबर्ग संवलन (Rankin–Selberg convolutions) के परिणामों में अक्सर स्पष्ट स्थिरांकों (explicit constants) का अभाव था या वे डिग्री $m$ और $m'$ के संबंध में उप-इष्टतम (suboptimal) निर्भरता प्रदर्शित करते थे।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक "मेट्रिक" दृष्टिकोण का उपयोग करता है जो ग्रैनविल और साउंडरारदन द्वारा विकसित "प्रिटेंशियस" (pretentious) गुणात्मक फलनों के सिद्धांत से प्रेरित है, जिसे कौकुलोपुलोस द्वारा औपचारिक रूप दिया गया है। मुख्य रणनीति शास्त्रीय गैर-ऋणात्मक त्रिकोणमितीय असमिकाओं (जैसे $3-4-1 $तर्क) को ऑटोमॉर्फिक$ L$-फंक्शन्स पर परिभाषित मेट्रिक्स के एक परिवार द्वारा प्रतिस्थापित करने की है।

संशोधित मेट्रिक्स (Modified Metrics): मानक डिरिचलेट गुणांक $\lambda_\pi(n)$ के बजाय, लेखक लघुगणकीय अवकलज (logarithmic derivative) $-(L'/L)(s, \pi)$ के गुणांकों $a_\pi(n)$ पर आधारित एक मेट्रिक $D_\sigma$ को परिभाषित करता है। यह बदलाव महत्वपूर्ण है क्योंकि $a_\pi(p) = \lambda_\pi(p)$ अभाज्य संख्याओं (primes) के लिए होता है, लेकिन लघुगणकीय अवकलज का सूत्रकरण लेखक को प्राइम पावर्स (prime powers) के संबंध में अप्रामाणिक GRC की प्रगति की आवश्यकता को दरकिनार करने की अनुमति देता है।
त्रिकोण असमिकाएं (Triangle Inequalities): प्रमाण संरचना त्रिकोण असमिका $D_\sigma(x_1, x_2) \leq D_\sigma(x_1, x_3) + D_\sigma(x_3, x_2)$ पर निर्भर करती है। इस असमिका को वर्ग (square) करके और विशिष्ट तत्वों (रिप्रजेंटेशन $\pi, \pi'$ , शिफ्ट $\gamma$ , और चिह्न $\delta$ ) का चयन करके, लेखक $L$ -फंक्शन्स के लघुगणकीय अवकलजों के गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजनों का निर्माण करता है। यह निर्माण शून्य-मुक्त क्षेत्रों को सीमित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले शास्त्रीय त्रिकोणमितीय तर्कों का एक ऑटोमॉर्फिक अनुरूप है।
रामिफाइड अभाज्य (Handling Ramified Primes):
- प्रारंभिक दृष्टिकोण (अनुभाग 4): जब स्तर $Nq_\pi = 1$ हो, तो मेट्रिक दृष्टिकोण वांछित असमिकाएं सीधे प्रदान करता है।
- परिमार्जित दृष्टिकोण (अनुभाग 5): जब $Nq_\pi > 1$ हो, तो रामिफाइड अभाज्य त्रुटि पदों (error terms) को पेश करते हैं। इन पदों को नियंत्रित करने के लिए आवश्यक GRC पर निर्भरता को समाप्त करने के लिए, लेखक लिक्टमैन और पास्कडी द्वारा पेश किए गए "पॉजिटिव सेमी-डेफिनिट परिवारों" (positive semi-definite families) के ढांचे का उपयोग करता है। परिवार $(-(L'/L)(s, \pi \times \tilde{\pi}'))$ की पॉजिटिव सेमी-डेफिनिटनेस पर आधारित एक संशोधित मात्रा $D^*_\sigma$ को परिभाषित करके, लेखक रामिफाइड प्राइम योगदान को शामिल किए बिना आवश्यक गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजन बनाता है।

प्रमुख परिणाम (Key Results)
यह शोध पत्र निम्नलिखित प्रमेयों को स्पष्ट स्थिरांकों और डिग्री $m$ तथा $m'$ पर एकसमान निर्भरता (uniform dependence) के साथ स्थापित करता है:

प्रमेय 1.1 (मानक $L$ -फंक्शन्स): $\pi \in \mathcal{F}^*_m$ के लिए, $L(s, \pi)$ का क्षेत्र $\sigma \geq 1 - \frac{1}{33(2m+3)\log(C(\pi)(3+|t|)^{m[F:\mathbb{Q}]})}$ में कोई शून्य नहीं है, सिवाय संभवतः एक सरल वास्तविक शून्य के यदि $\pi$ स्व-द्वैत (self-dual) है। यदि $\pi$ स्व-द्वैत है, तो $(3+|t|)$ का घातांक (exponent) घटाकर $[F:\mathbb{Q}]$ किया जा सकता है।
प्रमेय 1.2 (रैनकिन–सेलबर्ग, गैर-स्व-द्वैत $\pi$ ): यदि $\pi \neq \tilde{\pi}$ और $\pi' = \tilde{\pi}'$ , तो $L(s, \pi \times \pi') \neq 0$ उस क्षेत्र में जहाँ $\sigma \geq 1 - \frac{1}{28(m+m')\log(C(\pi)C(\pi')(3+|t|)^{m[F:\mathbb{Q}]})।$
प्रमेय 1.3 (रैनकिन–सेलबर्ग, स्व-द्वैत स्थिति): यदि $L(s, \pi \times \pi') = L(s, \tilde{\pi} \times \tilde{\pi}')$ , तो $L(s, \pi \times \pi')$ का क्षेत्र $\sigma \geq 1 - \frac{1}{66(m+m')\log(C(\pi)C(\pi')(3+|t|)^{m[F:\mathbb{Q}]})}$ में अधिकतम एक सरल वास्तविक शून्य है।

सीमाएं और संरचनात्मक बाधाएं (Limitations and Structural Barriers)
यह शोध पत्र इस मेट्रिक दृष्टिकोण की सीमाओं का स्पष्ट रूप से विश्लेषण करता है। यह प्रदर्शित करता है कि यदि $\pi, \pi',$ और $L(s, \pi \times \pi')$ तीनों गैर-स्व-द्वैत (non-self-dual) हैं, तो मेट्रिक ढांचा एक शास्त्रीय शून्य-मुक्त क्षेत्र उत्पन्न नहीं कर सकता है। इस असममित (asymmetric) सेटिंग में, त्रिकोण असमिका से प्राप्त कोई भी रैखिक संयोजन $c_P \geq c_Z$ को संतुष्ट करता है (जहाँ $c_P$ पोल योगदान है और $c_Z$ शून्य योगदान है), जो विरोधाभास (contradiction) प्राप्त करने के लिए आवश्यक मानदंड $0 \leq c_P < c_Z$ को विफल कर देता है।

महत्व और नवीनता (Significance and Novelty)
लेखक निम्नलिखित योगदानों का दावा करता है:

GRC से स्वतंत्रता: सीधे डिरिचलेट गुणांकों के बजाय लघुगणकीय अवकलज के गुणांकों का उपयोग करके, प्रमाण 'सामान्यीकृत रामानुजन अनुमान' (GRC) की प्रगति की आवश्यकता से बचते हैं।
स्पष्ट स्थिरांक और एकरूपता: परिणाम ब्रुम्ली, गोल्डफेल्ड, ली, हम्फ्रीज़ और थॉर्नरर के पिछले कार्यों की तुलना में स्पष्ट स्थिरांक (जैसे 33, 28, 66) प्रदान करते हैं और $m$ एवं $m'$ में एकरूपता में सुधार करते हैं या उसके बराबर हैं।
नए शून्य-मुक्त क्षेत्र: प्रमेय 1.3 को सामान्य मामले के लिए एक नए परिणाम के रूप में प्रस्तुत किया गया है जहाँ $L(s, \pi \times \pi')$ स्व-द्वैत है, भले ही $\pi$ और $\pi'$ व्यक्तिगत रूप से स्व-द्वैत न हों (पिछले ज्ञात विशेष मामलों को छोड़कर)।
पद्धतिगत संरेखण: यह दृष्टिकोण मानक और रैनकिन-सेलबर्ग $L$ -फंक्शन्स के अध्ययन को शास्त्रीय हैडेमार्ड-डी ला वैली पुसिन तर्क के अनुरूप लाता है, जो मर्टेंस (Mertens) के परिणाम को पुनः प्राप्त करता है और इसे ऑटोमॉर्फिक सेटिंग में विस्तारित करता है।
अवलोकन का सुधार: शोध पत्र नोट करता है कि यह पिछले साहित्य (विशेष रूप से [11, Lemma 5.9]) में एक संभावित चूक को संबोधित करता है, जो $\gamma \neq 0$ के लिए $s=1+i\gamma$ पर पोल के योगदान के संबंध में है, और अनुभाग 4.1.2 में अधिक पूर्ण विश्लेषण प्रदान करता है।

शोध पत्र यह निष्कर्ष निकालता है कि जबकि स्व-द्वैत धारणाओं के तहत मेट्रिक दृष्टिकोण शक्तिशाली है, सामान्य गैर-स्व-द्वैत रैनकिन-सेलबर्ग $L$ -फंक्शन्स तक इसका विस्तार एक खुला प्रश्न बना हुआ है, जो यह सुझाव देता है कि लिक्टमैन और पास्कडी का पॉजिटिव सेमी-डेफिनिट ढांचा एक व्यापक, हालांकि वर्तमान में अपर्याप्त, मार्ग प्रदान कर सकता है।