1754 पेपर
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करके फाइबोनैची संख्याओं और कोलात्ज़ प्रक्षेप पथों (Collatz trajectories) के बीच एक संबंध स्थापित करता है कि उन विषम पूर्णांकों की संख्या जिनका कक्ष (orbit) चरणों के लिए अवशेष वर्ग से बचता है, के बराबर है, जो कि मोड्यूलो 6 पर कोलात्ज़ संक्रमण ग्राफ के स्पेक्ट्रल गुणों से प्राप्त एक परिणाम है और यह निहित करता है कि कोई भी धनात्मक चक्र अवशेष वर्ग पर अवश्य जाएगा।
यह शोध पत्र हीथ-ब्राउन सर्कल विधि को अनुकूलित करके, एक पूर्णांक को सामान्यीकृत -कोणीय संख्याओं के योग के रूप में निरूपणों की संख्या और वर्गों के योग के रूप में निरूपणों की संख्या के बीच एक बंद-रूप (closed-form) स्पर्शोन्मुख संबंध स्थापित करता है, और आगे साधारण -कोणीय संख्याओं का उपयोग करते हुए वर्ग निरूपण योगों के स्पर्शोन्मुखी व्यवहार और निरूपणों के $2$-एडिक व्यवहार के लिए परिणाम व्युत्पन्न करता है।
यह शोधपत्र यह सिद्ध करके देवनानी और एयुन्नी द्वारा उठाए गए एक प्रश्न का समाधान करता है कि का ठीक एक विभाजन (partition) मानचित्र के प्रतिबिंब (image) में तभी स्थित होता है जब हो, जबकि सभी के लिए, ऐसे कम से कम दो विभाजन मौजूद होते हैं।
यह शोध पत्र स्तर एक के कस्प फॉर्म (cusp forms) और उनके द्वैत (duals) के लिए स्पष्ट स्पैनिंग सेट्स (spanning sets) प्रदान करता है, जो क्रमशः आइजनस्टीन सीरीज़ (Eisenstein series) के रैनकिन-कोहेन ब्रैकेट (Rankin-Cohen brackets) और विशिष्ट आवर्त उपसमुच्चयों (period subsets) का उपयोग करते हैं।
यह शोध पत्र डेडेकिंड एटा फलन (Dedekind eta function) के लिए एक पूर्णतः स्पष्ट लेर्क-चावला-सेलबर्ग (Lerch–Chowla–Selberg) सूत्र प्रस्तुत करता है जो निरपेक्ष मानों (absolute values) से बचता है, व्यक्तिगत सीएम (CM) मानों के तर्कों को निर्धारित करने के लिए इसे लागू करता है, और इन निष्कर्षों को सटीक अनुमानों एवं व्यापक संख्यात्मक डेटा के साथ पुष्ट करता है।
यह शोध पत्र गॉसियन पूर्णांकों (Gaussian integers) के वलय (ring) में विकर्ण स्थिति (diagonal condition) की जांच करता है और उन विशिष्ट गॉसियन पूर्णांकों का लक्षण वर्णन करता है जिनके लिए कोटिशट वलय (quotient ring) इस स्थिति को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि इसकी गुणन सारणी (multiplication table) में तत्समक अवयव (identity element) 1 विशेष रूप से मुख्य विकर्ण (main diagonal) पर स्थित है।
यह शोध पत्र चार-आयामी अभाज्य क्षेत्र (prime field) गोलाकार प्रतिबंध समस्या में क्लोस्टर्मन अवरोध (Kloosterman obstruction) को दूर करने के लिए एक नवीन क्षैतिज स्लाइसिंग और प्लेन-देन-लाइन स्टॉपिंग-टाइम अपघटन विधि प्रस्तुत करता है, जो यह सिद्ध करता है कि प्रतिबंध अनुमान के लिए मान्य है और चार आयामों में एर्डोस-फाल्कोनर दूरी समस्या के लिए लंबे समय से चले आ रहे थ्रेशोल्ड पर पहला सुधार प्रदान करता है।
यह शोधपत्र ट्विस्टर- पर एबेल-जैकोबी मानचित्र के माध्यम से पुलबैक (pullback) के द्वारा पिकाड ग्रुपॉइड्स (Picard groupoids) की एक तुल्यता स्थापित करता है, जिससे शोल्ज़ के ज्यामितीय वास्तविक स्थानीय लैंगलैंड्स पत्राचार (geometric real local Langlands correspondence) के ढांचे के भीतर आर्किमिडियन स्थानीय क्षेत्रों के लिए स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत (local class field theory) को पुन: प्राप्त किया जा सके।
यह शोध पत्र हिल्बर्ट कस्प रूपों (Hilbert cusp forms) के लिए पीटर्सन ट्रेस फॉर्मूला (Petersson trace formula) हेतु न्यूनतम भार (minimal weight) के अनंत की ओर बढ़ने पर अनंतस्पर्शी अनुमान (asymptotic estimates) स्थापित करता है, जिन्हें फिर हीके आइजनमानों (Hecke eigenvalues) के वितरण के लिए एक भारित विसंगति सीमा (weighted discrepancy bound) प्राप्त करने हेतु लागू किया जाता है, जिससे पूर्णतः वास्तविक संख्या क्षेत्रों (totally real number fields) के संदर्भ में जंग और सारदारी के एक शास्त्रीय परिणाम का सामान्यीकरण किया जाता है।
यह शोधपत्र एक पूर्व सीमा (bound) में सुधार करता है, जो प्रत्येक विशेषता के लिए, एक नियमित ज्यामितीय रूप से अभिन्न वक्र (regular geometrically integral curve) पर एक गैर-चिकने शुद्धतः अनिपार (non-smooth purely inseparable) बिंदु को एक परिमेय बिंदु में बदलने के लिए आवश्यक पुनरावृत्त फ्रोबेनियस पुलबैक (iterated Frobenius pullbacks) की संख्या पर एक नई, सटीक सीमा स्थापित करता है।