1754 पेपर
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि में -सेलम सेट्स (Salem sets) के लिए, चौथी योगात्मक ऊर्जा (fourth additive energy) में मात्रात्मक लाभ सभी दूरियों के एक सकारात्मक अनुपात के अस्तित्व को मजबूर करते हैं, जिससे पिछले बंधों से आगे बढ़ते हुए बेहतर आकार थ्रेशोल्ड स्थापित होते हैं और गोलाकार दूरी समस्या (spherical distance problem) के लिए एक एकीकृत अनुमान प्रस्तुत होता है।
यह शोध पत्र कई चरों वाले समरूप बहुपदों (homogeneous polynomials) द्वारा परिभाषित शंकु (conics) के उस अनुपात के लिए एक स्पर्शोन्मुखी सूत्र (asymptotic formula) स्थापित करता है जिनमें परिमेय बिंदु (rational points) विद्यमान हैं, जो सर्कल मेथड (circle method) और बहुपदों पर अंकगणितीय फलनों के अनुमान में हालिया प्रगति को संयोजित करने वाली एक रणनीति के माध्यम से लघ्रान-स्मीट्स (Loughran–Smeets) और लघ्रान-रोम-सोफोस (Loughran–Rome–Sofos) अनुमानों की पुष्टि करता है।
यह शोध पत्र शून्यों (zeros) के लिए -भार (weight) की एक नई परिभाषा और एक संगत -अंतर मूलक (difference radical) प्रस्तुत करता है ताकि स्टोथर्स-मेसन प्रमेय का एक -अंतर अनुरूप स्थापित किया जा सके जो होने पर शास्त्रीय परिणाम को पुनर्प्राप्त करता है, और इस ढांचे को -अंतर फर्माट-प्रकार के फलन समीकरणों (functional equations) के बहुपद समाधानों का विश्लेषण करने के लिए लागू करता है।
यह शोधपत्र अनुक्रम से व्युत्पन्न -सुपरिभाषित (good) पूर्णांकों के एक अंकगणितीय सिद्धांत को प्रस्तुत और विकसित करता है, जो इन पूर्णांकों के लिए अभिलक्षणन और एल्गोरिदम प्रदान करता है तथा गैलवा स्व-व्युत्क्रम (Galois self-reciprocal) गुणनखंडों को अभिलक्षित करने, गैलवा LCD चक्रीय कूटों (Galois LCD cyclic codes) की गणना करने और परिमित क्षेत्रों पर गैलवा स्व-द्वैत चक्रीय कूटों (Galois self-dual cyclic codes) का वर्णन करने में इनका अनुप्रयोग करता है।
यह शोध पत्र भौतिकी और गणित में संभावित अनुप्रयोगों के लिए कई नई सर्वसमिकाओं को व्युत्पन्न करने हेतु रीमैन ज़ेटा फलन के विश्लेषणात्मक सातत्य (एनालिटिक कंटीन्यूएशन) का विस्तृत विश्लेषण करता है।
यह शोध पत्र किसी भी द्विचर द्विघात रूपों (binary quadratic forms) के लिए संकलित लिनिक समस्या (aggregate Linnik problem) को हल करके, ऊपरी अर्ध-तल (upper half-plane) में निश्चित परिमेय भूगणितों (rational geodesics) के साथ और निश्चित CM बिंदुओं के चारों ओर RM वक्रों (RM curves) के अनुदिश CM बिंदुओं के समविभाजन (equidistribution) को स्थापित करता है।
यह शोधपत्र वास्तविक संख्याओं और संबंधित परिवेशों के लिए 'सम-प्रोडक्ट अनुमान' (sum-product conjecture) का खंडन करता है और एक साथ छोटे योग और गुणन समूहों वाले मनमाने रूप से बड़े सेटों का निर्माण करके इस अनुमान और कई 'सरणियों और गुणन अनुमानों' (sums and products conjectures) को गलत सिद्ध करता है, जिससे रैखिक और इकाई समीकरणों के समाधानों के लिए नए मानक स्थापित होते हैं।
यह शोध पत्र स्थानीय क्रोनेकर-वेबर प्रमेय का एक नवीन, प्राथमिक, स्व-निहित और स्पष्ट प्रमाण प्रस्तुत करता है जो स्थानीय क्लास फील्ड थ्योरी या गैलुआ कोहोमोलॉजी जैसे उन्नत उपकरणों के बजाय केवल विविक्त मूल्यांकन सिद्धांत (discrete valuation theory) और मानक स्नातक बीजगणित पर निर्भर करता है।
यह शोधपत्र एक स्प्लिट रिडक्टिव ग्रुप के लिए यूनिपोटेंट वेइल-डेलिग्ने (unipotent Weil-Deligne) निरूपणों के मॉडुलि स्पेस के भीतर अपरिवर्तनीय घटकों (irreducible components) की सुगमता को अभिलक्षणित करता है और इन ज्यामितीय परिणामों को यह प्रदर्शित करने के लिए लागू करता है कि ऑर्डिनरी ऑटोमॉर्फिक फॉर्म्स का एक विशिष्ट स्थान अपने संबद्ध ग्लोबल डीफॉर्मेशन रिंग पर एक स्थानीय रूप से जेनेरिकली फ्री मॉड्यूल (locally generically free module) बनाता है।
यह शोध पत्र शून्य घनत्व अनुमानों (zero density estimates) और लघु अंतरालों (short intervals) में अभाज्य संख्या प्रमेय के लिए अपवाद समुच्चय (exceptional set) की सीमाओं के बीच एक स्पष्ट संबंध स्थापित करता है, जिससे हाल के शून्य घनत्व अनुमानों और न्यूनतम कंप्यूटर सहायता के अनुप्रयोग के माध्यम से के लिए लगभग सभी हेतु बेहतर ऊपरी सीमाओं का निष्कर्षण संभव हो पाता है।