1756 पेपर
यह शोध पत्र मानक फूरियर-विश्लेषणात्मक चरण को उप-प्रगति (sub-progressions) पर औसत शामिल एक प्रत्यक्ष संयोजी तर्क (combinatorial argument) से बदलने के लिए मूल घनत्व-वृद्धि रणनीति (density-increment strategy) को अनुकूलित करके रोथ के प्रमेय का एक प्रारंभिक, फूरियर-मुक्त प्रमाण प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र शिमुरा वक्रों (Shimura curves) के लिए -adic यूनिफॉर्माइजेशन (uniformization) के कुडला-रैपोपोर्ट-ज़िंक (Kudla-Rapoport-Zink) सिद्धांत का विस्तार दो संस्करणों के लिए परिणाम स्थापित करके करता है: एक RSZ संस्करण जो अनिसोट्रोपिक स्थानों (anisotropic places) पर अनिश्चित अधिकतम स्तरों (arbitrary maximal levels) के साथ है, और एक यूनिटरी समूह (unitary group) संस्करण जो संबद्ध इंटीग्रल स्थानीय शिमुरा विविधता (integral local Shimura variety) के स्पष्ट निर्धारण से व्युत्पन्न है।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि खिनचिन के प्रमेय (Khintchine's Theorem) का विषम (inhomogeneous) संस्करण बिना किसी एकतुल्यता (monotonicity) धारणा की आवश्यकता के द्वि-आयामी रूप में लागू होता है, जिससे विषम डायोफेंटाइन सन्निकटन (inhomogeneous Diophantine approximation) के मीट्रिक सिद्धांत का अंतिम खुला मामला हल हो जाता है और यह इसके समरूप (homogeneous) समकक्ष के अनुरूप हो जाता है।
यह शोध पत्र बिना किसी शर्त के सिद्ध करता है कि मिश्रित CM बिंदु (1/6, 1/3, 1) के लिए, क्यूब्ड हाइपरजियोमेट्रिक श्रेणी के गुणांक वाले स्प्लिट प्राइम्स के लिए modulo पर एक सुपरकंग्रुएंस (supercongruence) को संतुष्ट करते हैं, जो CM संरचना के कारण होने वाले जेनेरिक Hodge-gap अनुमान से परे एक संवर्धन है, और साथ ही पर मॉड्यूलर रियलाइजेशन और कार्टियर आइडेंटिटीज (Cartier identities) के माध्यम से संगत इनर्ट-प्राइम बाधाओं (inert-prime obstructions) को भी स्थापित करता है।
यह शोध पत्र पूर्णांक गुणनखंडन (इंटीजर फैक्टराइजेशन) और अभाज्यता परीक्षण (प्राइमलिटी टेस्टिंग) के लिए शास्त्रीय और क्वांटम एल्गोरिदम की एक व्यापक समीक्षा और व्यावहारिक प्रदर्शन तुलना प्रदान करता है, और यह निष्कर्ष निकालता है कि जहाँ शोर के एल्गोरिदम जैसे क्वांटम तरीके गुणनखंडन के लिए महत्वपूर्ण लाभ प्रदान करते हैं, वहीं वे अभाज्यता परीक्षण के लिए तुलनीय लाभ प्रदान नहीं करते हैं।
यह शोध पत्र हेन्सेल के लेम्मा (Hensel's Lemma) पर आधारित एक एकीकृत प्रमाण प्रदान करके एक खुले अनुमान (conjecture) को सुलझाता है कि किसी भी एकदिष्ट (monic) -रैखिक बहुपद के लिए, जिसकी घात है (जहाँ एक विषम अभाज्य संख्या है) और किसी भी अभाज्य घात के लिए, पर का गैलवा समूह (Galois group) होता है, जिसमें सम का पूर्व में अनसुलझा मामला भी सम्मिलित है।
यह शोध पत्र अभाज्य गुणनखंडन डेटा (prime factorization data) को जटिल मूल स्थानों (complex root locations) के साथ संयोजित करके पूर्णांक-गुणांक वाले बहुपदों के विशिष्ट वर्गों के लिए अपरिमेय कारकों (irreducible factors) की संख्या पर ऊपरी सीमाएं स्थापित करता है, और इन अपरिमेयता मानदंडों को गैर-आर्किमिडीय निरपेक्ष मानों (non-Archimedean absolute values) का उपयोग करके अनिश्चित क्षेत्रों (arbitrary fields) पर द्विचरीय बहुपदों (bivariate polynomials) तक विस्तारित करता है।
यह शोध पत्र विशिष्ट गुणांकों के अभाज्य गुणनखंडन का विश्लेषण करके मुख्य आदर्श डोमेन (प्रिंसिपल आइडियल डोमेन) पर औपचारिक घात श्रेणियों (फॉर्मल पावर सीरीज़) के लिए गुणनखंडन परिणाम और अपरिमेय कारकों की संख्या पर तीक्ष्ण सीमाएँ स्थापित करता है, और न्यूटन पॉलीगॉन का उपयोग करके ड्युमास अपरिवर्तनीयता मानदंड को विविक्त मूल्यांकन डोमेन (डिस्क्रीट वैल्युएशन डोमेन) तक विस्तारित करता है।
यह शोधपत्र आकार $8$ के उचित यूलर के जादुई आव्यूहों (Euler's magic matrices) का निर्माण करता है और यूलर के मूल निर्माण का विस्तार करते हुए आकार $3$ के लिए ऐसे आव्यूहों के अस्तित्व की अनुपस्थिति को सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र न्यूटन बहुभुजों (Newton polygons) का उपयोग करके विविक्त मूल्यांकन डोमेन (discrete valuation domains) पर बहुपदों के लिए एक प्रमुख गुणनखंड परिणाम स्थापित करता है, जो ड्यूमास मानदंड (Dumas criterion) के सामान्यीकरण सहित नए अपरिमेयता मानदंडों की ओर ले जाता है।