1757 पेपर
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि किसी भी गैर-शून्य पूर्णांक के लिए, द्विघात रूप द्वारा निरूपित पूर्णांकों का वह समुच्चय जिसका द्वारा विस्थापन दो वर्गों का योग है, लगभग की लंबाई वाले लघु अंतराल में तत्वों की एक महत्वपूर्ण संख्या रखता है, जिससे द्विघात रूपों के बीच के अंतराल पर शास्त्रीय परिणामों का विस्तार होता है।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि व्याख्यात्मक मशीन लर्निंग मॉडल, विशेष रूप से डेडेकिंड ज़ेटा गुणांकों (Dedekind zeta coefficients) पर प्रशिक्षित निर्णय वृक्ष (decision trees), संख्या क्षेत्रों के गैलवा समूहों (Galois groups) को प्रभावी ढंग से वर्गीकृत कर सकते हैं और अंतर्निहित गणितीय पैटर्न को प्रकट कर सकते हैं जो नए वर्गीकरण मानदंडों की ओर ले जाते हैं।
यह शोध पत्र के भीतर प्रविष्टियों वाले पूर्णांक आव्यूहों की संख्या के लिए एक परिमाणात्मक रूप से सुधारे गए त्रुटि पद के साथ एक अनंतस्पर्शी सूत्र स्थापित करता है, जो होने पर वर्ग-मूल निरसन (square-root cancellation) को प्रदर्शित करता है और बड़े के लिए त्रुटि सीमा की निकट-इष्टतमता की पुष्टि करता है।
यह शोधपत्र -श्रृंखला बीजगणित और प्रथम-कोटि -विभेदक प्रणालियों से व्युत्पन्न एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त स्थापित करके जी. ई. एंड्रयूज की 1975 की चुनौती को हल करता है, जिससे पूर्ववर्ती मॉडुलैरिटी इनपुट पर निर्भर किए बिना विलक्षण (exotic) -श्रृंखलाओं की मॉडुलैरिटी को सीधे निर्धारित किया जा सके।
यह शोधपत्र दो वर्गों के योगों के मान रखने वाले ऋणात्मक विविक्तकर (डिस्क्रिमिनेंट) वाले अपरिमेय एकिक त्रिघाती बहुपदों की आवृत्ति के लिए एक मात्रात्मक निम्नतम सीमा स्थापित करता है, जिससे दो-आयामी एकांक तर्कों और घात छह वाली संख्या क्षेत्रों के अंकगणित के अनुप्रयोग के माध्यम से ग्रेचुक द्वारा उठाए गए ऐसे मानों की अनंतता संबंधी प्रश्न का समाधान किया गया है।
यह शोध पत्र और पर विशिष्ट -फंक्शन्स के लिए नए समाकल निरूपण (integral representations) स्थापित करता है, उनका उपयोग केंद्रीय -मानों और सामान्यीकृत आवर्तों (generalized periods) के बीच संबंध सिद्ध करने के लिए करता है, जिससे वान-झांग और गन-ग्रॉस-ग्रसाड अनुमानों के लिए नया प्रमाण प्राप्त होता है।
यह शोध पत्र फ्रेम बंडलों के माध्यम से कोऑर्डिनेट लैप्लासियन्स (coordinate Laplacians) को प्रस्तुत करके और दीर्घवृत्तीय ऑपरेटरों (elliptic operators) का निर्माण करके तथा सामान्यीकृत डिरिचलेट समस्याओं (Dirichlet problems) को हल करके विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स पर -adic सीमा मान समस्याओं (boundary value problems) में नवीन विकास प्रस्तुत करता है, जबकि साथ ही संख्या सिद्धांत में भविष्य के अनुप्रयोगों और अल्ट्रामेट्रिक मैनिफोल्ड्स (ultrametric manifolds) में विस्तार की रूपरेखा भी रेखांकित करता है।
यह शोधपत्र योगात्मक बहुपदों (additive polynomials) के गुणनखंडन का उपयोग करके विशेषता 2 में वैन डेर गीर-वैन डेर व्लग्ट वक्रों (van der Geer--van der Vlugt curves) के फ्रोबेनियस आइजनवैल्यूज़ (Frobenius eigenvalues) के लिए एक सरल, विकल्प-स्वतंत्र सूत्र प्रस्तुत करता है, जो स्पष्ट निर्माण और आवर्त विश्लेषण के माध्यम से मैक्सिमल और मिनिमल वक्रों के पूर्ण लक्षण वर्णन को और अधिक सक्षम बनाता है।
यह शोध पत्र एक नवीन ग्राफ-सैद्धांतिक दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, जो विभेदक ऑपरेटर के कार्यों को निर्देशित किनारा-क्रमित ग्राफ़ (directed edge-ordered graphs) के विभाजनों से जोड़ता है, उनके लैंगलैंड मापदंडों (Langlands parameters) के संदर्भ में -मास रूपों (Maass forms) पर कार्य करने वाले कैसिमिर ऑपरेटरों के आइजनमानों (eigenvalues) के लिए स्पष्ट सूत्र प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र दीर्घवृत्तीय समूहों (elliptic groups) और वलयों (rings) के सिद्धांत को एक -ary सेटिंग में सामान्यीकृत करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य संख्याओं पर डिरिचलेट का प्रमेय (विशेष रूप से $an+1$ रूपों के लिए) इन संरचनाओं के भीतर यूक्लिड के प्रमेय में संक्षिप्त हो जाता है और डिरिचलेट के प्रमेय के एक संभावित विशुद्ध रूप से बीजगणितीय प्रमाण के लिए बीजगणितीय आधार तैयार करता है।