1766 पेपर
यह शोध पत्र ज्यामितीय संख्या सिद्धांत और फूरियर विश्लेषण के संयोजन का उपयोग करते हुए, उच्च-आयामी विविधताओं (varieties) पर पूर्णांक बिंदुओं के घनत्व का अनुमान लगाकर, उन सह-अभाज्य त्रिकों के अपवाद सेट के आकार पर एक पावर-सेविंग बाउंड स्थापित करता है जो को संतुष्ट करते हैं और $abc$ अनुमान का उल्लंघन करते हैं।
यह शोध पत्र के रामिफाइड जेनेरिक टेम्पर्ड रिप्रजेंटेशन (ramified generic tempered representations) के रेंकिन-सेल्बर्ग ज़ेटा-इंटिग्रल्स (Rankin-Selberg zeta-integrals) के लिए जैक्वेट-लैंगलैंड्स GCD-परिणाम (Jacquet-Langlands GCD-result) का एक इंटीग्रल रिफाइनमेंट स्थापित करता है, जो एक स्वाभाविक 'इंटीग्रल डेटा' की अवधारणा को प्रस्तुत करता है और -एडिक व्हिटेकर न्यू वेक्टर्स (p-adic Whittaker new vectors) पर हालिया कार्य का लाभ उठाता है।
यह शोध पत्र रैखिक पुनरावृत्ति अनुक्रमों (linear recurrence sequences) के सभी -adic शून्यों को निर्धारित करने और गणना करने के लिए एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है, जो बिना शर्त रूप से सही हैं और -adic शैनुएल अनुमान (Schanuel Conjecture) के अंतर्गत समाप्त होते हैं, जिससे उसी परिकल्पना के तहत सह-अभाज्य अनुक्रमों (coprime sequences) के लिए 'सिमल्टेनियस स्कोलेम समस्या' (Simultaneous Skolem Problem) की निर्णयक्षमता (decidability) सक्षम होती है।
यह शोधपत्र उन स्थितियों की जांच करता है जिनके अंतर्गत योग समुच्चय के बराबर होता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि जबकि विशिष्ट हॉर्सडॉर्फ आयामों वाले कुछ योगात्मक उपसमूह इस गुण को संतुष्ट करते हैं, कोई भी उपवलय जिसके पास यह गुण हो, वह स्वयं ही होगा, और निरंतरता परिकल्पना (Continuum Hypothesis) के अंतर्गत, शून्य आयाम वाले उपसमूह सभी अपरिमेय के लिए इस स्थिति को संतुष्ट कर सकते हैं, जिसमें पुनरावृत्ति सिद्धांत (recursion theory) और एल्गोरिद्मिक रैंडमनेस की तकनीकों का उपयोग किया गया है।
यह शोध पत्र वृत्त समूह (circle group) से अविहार्य विभाजनों (unavoidable partitions) पर राइमी के प्रमेय को वृत्त समरूपता वाले ज्यामितीय सतहों के एक व्यापक वर्ग—जिसमें गोले, घूर्णन शक्ति सतहें और बेलन शामिल हैं—तक विस्तारित करता है, जो उनके प्राकृतिक घूर्णन क्रियाओं और उत्पाद संरचनाओं के माध्यम से आधार वृत्त से इन मैनिफोल्ड्स तक मापने योग्य विभाजनों को ऊपर उठाने के लिए एक सामान्य वृत्त-बंडल प्रमेय स्थापित करता है।
यह शोध पत्र के गुणनखंडन से प्राप्त अनुपात मानों के एक आवृत्ति-क्रमित अनुक्रम की जांच करता है, इन प्लॉट्स में विशिष्ट "परिवारों" के उद्भव की व्याख्या करता है और प्रेक्षित आवृत्ति वितरण को समझाने के लिए अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य संख्याओं पर आधारित एक अनुमानी स्पर्शोन्मुख मॉडल प्रस्तावित करता है।
यह शोध पत्र शास्त्रीय और आधुनिक उपकरणों का उपयोग करते हुए सुलभ, प्रारंभिक प्रमाण प्रदान करके रामानुजन की नोटबुक के गहन परिणामों को स्पष्ट करता है, जिससे उनके कार्य के भीतर अंतर्संबंधों को उजागर किया जा सके और संख्या सिद्धांत एवं विश्लेषण में अन्वेषण के नए मार्ग प्रशस्त किए जा सकें।
यह शोध पत्र यह सिद्ध करके कि किसी विशिष्ट -वें सबसे छोटे अभाज्य विभाजक वाले पूर्णांकों का प्राकृतिक घनत्व किसी भी के लिए एकदिष्ट (unimodal) नहीं है, एर्दोश की समस्या 690 को हल करता है, जिससे इस गुण के लिए सभी हेतु इसका वर्गीकरण पूर्ण होता है।
यह शोधपत्र विषम पूर्णांकों को पुन: अनुक्रमित (reindexing) करके उन्हें प्लेनर बाइनरी ट्रीज़ पर एक गैर-स्वायत्त गतिशील प्रणाली (nonautonomous dynamical system) के रूप में मॉडल करने के माध्यम से, अंक-योग अंतरों के अनंत घनत्व द्वारा परिभाषित प्रायिकता मापों के गुणों की जांच करता है, जिससे एक रुके हुए रैंडम वॉक (stopped random walk) के माध्यम से इन मापों का एक संरचनात्मक विवरण प्रदान किया जाता है और कुसिक् अनुमान (Cusick conjecture) को असममित ट्री विकास के बारे में एक व्यापक दावे के एक विशिष्ट उदाहरण के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।
पूर्व कार्य से प्रेरित होकर, यह शोधपत्र डिरिचलेट एल-फंक्शन्स (Dirichlet -functions) के लिए नए ओमेगा (Omega) परिणाम स्थापित करने हेतु रेजोनेंस विधि (resonance method) का उपयोग करता है, जिससे इस क्षेत्र में मौजूदा ज्ञान का विस्तार होता है।