1766 पेपर
यह शोध पत्र विशिष्ट कोहोमोलॉजिकल और डिग्री स्थितियों के तहत डायनेमिकल मॉर्डेल-लैंग समस्या में रिटर्न सेट्स (return sets) के लिए परिमितता और संरचनात्मक परिणाम स्थापित करने के लिए ऊंचाई संबंधी तर्कों (height arguments) का उपयोग करता है, जबकि साथ ही ऐसे प्रति-उदाहरण भी प्रदान करता है जो उन मामलों में अप्रत्याशित रूप से जटिल रिटर्न सेट्स को प्रकट करते हैं जहाँ ये तर्क विफल हो जाते हैं।
यह शोधपत्र पॉप के उस अनुमान (conjecture) का एक नया, प्रारंभिक और स्व-निहित प्रमाण प्रस्तुत करता है जो उनके निरपेक्ष गैलुआ समूहों (absolute Galois groups) के माध्यम से -adic रूप से बंद क्षेत्रों (fields) को अभिलक्षणित करता है, जिसमें गैलुआ कोहोमोलॉजी (Galois cohomology) से बचते हुए मानित क्षेत्रों (valued fields) में आधुनिक तकनीकों और हेन्सेलियनिटी (henselianity) के गैलुआ अभिलक्षण का उपयोग किया गया है।
यह शोधपत्र अनन्त बाइनरी अनुक्रम ब्रिक्स (Brik's) के गुणों की जांच करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि यह आवर्ती (recurrent) है लेकिन एकसमान आवर्ती (uniformly recurrent) नहीं है, इसमें घातांकीय कारक जटिलता (exponential factor complexity) है, यह मॉर्फिक (morphic) नहीं है, और इसमें 1 का अनुमेय घनत्व (transcendental density) है।
कॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी और नैरैन मॉड्युली स्पेस की समस्याओं से प्रेरित, यह शोध पत्र थीटा और एपस्टीन ज़ेटा फलनों के अनुपातों और अंतरों के न्यूनतमीकरणकर्ताओं (minimizers) और उच्चतमतमकर्ताओं (maximizers) को वर्गीकृत करता है, जो क्रिस्टलीकरण और परस्पर क्रिया करने वाले कण सिद्धांत में अनुप्रयोगों के साथ यह प्रदर्शित करता है कि इन अनुकूलन समस्याओं में षट्कोणीय जालक (hexagonal lattice) एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
यह शोधपत्र एक वैश्विक अंकगणितीय ढांचे को स्थापित करता है जो ड्युइंग के पत्राचार (Deuring's correspondence), आइसोजेनी ज्वालामुखी ज्यामिति (isogeny volcano geometry) और वर्ग क्षेत्र सिद्धांत (class field theory) को एकीकृत करता है ताकि परिमित क्षेत्रों पर साधारण दीर्घवृत्तीय आइसोजेनी वर्गों (ordinary elliptic isogeny classes) में एंडोमोर्फिज्म रिंग्स के स्पष्ट भारित वितरणों को व्युत्पन्न किया जा सके, जिससे स्थानीय कंडक्टर स्तरीकरण (local conductor stratification) को विशिष्ट कॉम्प्लेक्स मल्टीप्लिकेशन (complex multiplication) को स्वीकार करने वाले अभाज्य संख्याओं के क्षैतिज घनत्व नियमों (horizontal density laws) से जोड़ा जा सके।
यह शोध पत्र परिमित अबेलियन समूहों के उपसमुच्चयों के लिए चांग के लेम्मा का एक सुदृढ़ संस्करण स्थापित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि कम-आयामी उप-स्थान (subspace) के बाहर के अभिलक्षण (characters), न केवल वैश्विक स्तर पर बल्कि कॉसेट्स (cosets) पर औसत रूप से भी, सेट के साथ कम सहसंबंध प्रदर्शित करते हैं, जिससे एक स्थानीयकृत काउंटिंग लेम्मा प्राप्त होता है।
यह शोध पत्र दावा करता है कि किसी भी के लिए, लघु अंतराल में अभाज्य संख्याओं की संख्या आनुपातिक रूप से है, जिससे लेजेंड्रे की परिकल्पना (Legendre's conjecture) जैसी अभाज्य वितरण संबंधी दीर्घकालिक परिकल्पनाओं का समाधान होता है।
यह शोधपत्र तीन या अधिक आयाम वाले हाइपरसरफेस और अन्य विशिष्ट मैनिफोल्ड्स के लिए होमोजिनियस -एडिक कन्वर्जेंस केस की जनरलाइज्ड बेकर-श्मिट समस्या को हल करता है, साथ ही इनहोमोजिनियस सेटिंग के लिए थोड़े कमजोर परिणाम भी प्रदान करता है, और यह सब बिना एप्रोक्सिमेशन फंक्शन्स को मोनोटोनिक होने की शर्त लगाए करता है।
यह शोध पत्र लघुगणकीय प्रिजमैटिक (logarithmic prismatic) और सिनटोमिक (syntomic) कोहॉमोलॉजी की लघुगणकीय मोटिफ्स (logarithmic motives) की श्रेणी के भीतर प्रतिनिधित्व क्षमता को स्थापित करता है, जो गिसन मानचित्रों (Gysin maps), ब्लो-अप सूत्रों (blow-up formulas) और ग्रैसमैनियन (Grassmannians) के लिए स्पष्ट गणनाओं को सक्षम बनाता है, जबकि साथ ही लॉग प्रिजमैटिक कोहॉमोलॉजी के लिए डी राम (de Rham) और क्रिस्टलाइन तुलना कथनों को सिद्ध करने हेतु एक संतृप्त अवतलन तकनीक (saturated descent technique) को और विकसित करता है।
यह शोधपत्र वीकली लॉग फानो वैरायटीज़ (weakly log Fano varieties) पर एक बाउंड्री रेशनल पॉइंट के निकट इंटीग्रल पॉइंट्स के स्थानीय वितरण की जांच करता है, और एक ऐसे अनुमान (conjecture) का प्रस्ताव एवं सत्यापन करता है जिसके अनुसार ऐसे पॉइंट्स विशिष्ट रेशनल कर्व्स पर क्लस्टर करते हैं जिनमें अनंत पर अधिकतम दो पॉइंट्स होते हैं, जिससे सीगल के प्रमेय (Siegel's theorem) और मैकिनन के अनुमान (McKinnon's conjecture) को इंटीग्रल सेटिंग में विस्तारित किया जा सके।