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Terminal Coalgebras and Non-wellfounded Sets in Homotopy Type Theory

यह शोध पत्र होमोटॉपी टाइप थ्योरी (Homotopy Type Theory) में गैर-वेल-फाउंडेड (non-well-founded) भौतिक समुच्चयों के ऐसे मॉडल निर्मित करता है जो M-टाइप्स (M-types) और टर्मिनल को-अलिफब्रा (terminal coalgebras) के माध्यम से स्कॉट (Scott) और एसेल (Acel) के एंटी-फाउंडेशन अभिगृहीतों (Anti-Foundation Axioms) को संतुष्ट करते हैं, यूनिलिवैलेंट मटेरियल सेट थ्योरी (Univalent Material Set Theory) के भीतर इन अभिगृहीतों को उच्च प्रकार स्तरों (higher type levels) तक विस्तारित करता है, और M-टाइप आइडेंटिटी टाइप्स (M-type identity types) का एक अभिलक्षण प्रदान करता है, जिसके सभी परिणाम अगडा (Agda) में औपचारिक रूप से प्रस्तुत किए गए हैं।

मूल लेखक: Hakon Robbestad Gylterud, Elisabeth Stenholm, Niccolò Veltri

प्रकाशित 2026-07-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Hakon Robbestad Gylterud, Elisabeth Stenholm, Niccolò Veltri

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: "घूमते हुए" (Spinning) सेट्स का एक ब्रह्मांड बनाना

कल्पना कीजिए कि आप वस्तुओं (सेट्स) का एक ब्रह्मांड बना रहे हैं। गणित के पारंपरिक तरीके में (जिसे "वेल-फाउंडेड" सेट थ्योरी कहा जाता है), हर वस्तु छोटी वस्तुओं से बनी होती है, जो और भी छोटी वस्तुओं से बनी होती हैं, और यह सिलसिला शून्य तक जाता है। यह एक पिरामिड की तरह है: आप एक ब्लॉक को हवा में नहीं लटका सकते; उसे नीचे किसी चीज़ पर टिकना चाहिए।

लेकिन क्या होगा अगर आप एक ऐसा ब्रह्मांड बनाना चाहें जहाँ चीजें खुद पर ही टिकी रह सकें? क्या होगा यदि आपके पास एक ऐसा बॉक्स हो जो अपने आप के भीतर ही हो? या बक्सों की एक ऐसी श्रृंखला हो जहाँ बॉक्स A, बॉक्स B के अंदर है, जो बॉक्स C के अंदर है, जो वापस बॉक्स A के अंदर है? पारंपरिक गणित में, यह वर्जित है क्योंकि यह एक अनंत लूप (infinite loop) बनाता है। इस शोध पत्र में, लेखक एक ऐसा गणितीय ब्रह्मांड बनाने की खोज करते हैं जो इन लूप्स की अनुमति देता है, और इसके लिए वे होमोटॉपी टाइप थ्योरी (HoTT) नामक एक आधुनिक ढांचे का उपयोग करते हैं।

यह शोध पत्र मुख्य रूप से दो काम करता है:

यह सेट्स का एक ऐसा मॉडल बनाता है जो लूप्स की अनुमति देता है, जो एक गणितज्ञ स्कॉट (Scott) द्वारा निर्धारित नियमों का पालन करता है।
यह सेट्स का एक अलग मॉडल बनाता है जो लूप्स की अनुमति देता है, जो एक गणितज्ञ एज़ेल (Aczel) द्वारा निर्धारित नियमों का पालन करता है।

उपकरण: पेड़ (Trees), कोएल्जेब्रा (Coalgebras), और "अनफोल्डिंग" (Unfolding)

इन मॉडल्स को समझने के लिए, एक पेड़ (Tree) की कल्पना करें।

वेल-फाउंडेड पेड़ (पुराना तरीका) पारिवारिक वंशावली की तरह होते हैं। उनका एक मूल (root) होता है, शाखाएं होती हैं, और अंत में पत्तियां होती हैं। वे बढ़ते हुए रुक जाते हैं।
नॉन-वेल-फाउंडेड पेड़ (नया तरीका) एक फ्रैक्टल (fractal) या दर्पणों के गलियारे (hall of mirrors) की तरह हो सकते हैं। एक शाखा वापस मुड़कर फिर से मूल बन सकती है। या एक शाखा दो ऐसी समान शाखाओं में विभाजित हो सकती है जो पूरे पेड़ जैसी ही दिखती हैं।

लेखक इन पेड़ों का वर्णन करने के लिए कोएल्जेब्रा (Coalgebras) नामक अवधारणा का उपयोग करते हैं। कोएल्जेब्रा को एक "मशीन" के रूप में सोचें जो आपको बताती है कि एक नोड (node) को देखने पर उसके बाद क्या आता है।

यदि मशीन कहती है "रुक जाओ," तो आपके पास एक पत्ती (leaf) है।
यदि मशीन कहती है "इन बच्चों (children) पर जाओ," तो आपके पास शाखाएं हैं।
यदि मशीन कहती है "एक ऐसे बच्चे पर जाओ जो वास्तव में आप स्वयं हैं," तो आपके पास एक लूप है।

शोध पत्र यह पूछता है: वह "अंतिम" (ultimate) मशीन कौन सी है जो सभी संभावित लूप्स का वर्णन कर सके?

दो मॉडल्स: स्कॉट बनाम एज़ेल

लेखक इन लूप्स को संभालने के लिए दो अलग-अलग "अंतिम मशीनों" (गणितीय मॉडल्स) का निर्माण करते हैं। ये इन लूपिंग दुनियाओं में समानता (equality) के साथ व्यवहार करने के दो अलग-अलग दर्शनों के अनुरूप हैं।

1. "दर्पण" मॉडल (स्कॉट का एंटी-फाउंडेशन एक्सिओम)

उपमा: दर्पणों के एक गलियारे की कल्पना करें। यदि आप एक दर्पण के सामने खड़े होते हैं, तो आप एक प्रतिबिंब देखते हैं। यदि वह प्रतिबिंब दूसरे दर्पण में है, तो आप एक प्रतिबिंब का प्रतिबिंब देखते हैं।
नियम: इस मॉडल में, दो वस्तुओं को तब "समान" माना जाता है जब उनके अनफोल्डिंग पैटर्न (unfolding patterns) एक जैसे दिखते हैं। यदि आप एक सेट की परतों को खोलते रहते हैं (जैसे प्याज छीलना या पेड़ को अनफोल्ड करना), और शाखाओं का पैटर्न दूसरे सेट के समान है, तो वे एक ही हैं।
परिणाम: लेखकों ने एक विशिष्ट प्रकार की पेड़ संरचना (जिसे $V^0_\infty$ कहा जाता है) बनाई है जो इस मॉडल के रूप में कार्य करती है। यह एक "फिक्स्ड पॉइंट" (fixed point) है, जिसका अर्थ है कि यदि आप ब्रह्मांड के नियमों को इस पर लागू करते हैं, तो आपको वही ब्रह्मांड वापस मिलता है।
मुख्य निष्कर्ष: यह मॉडल सख्त अर्थों में "अंतिम" या "टर्मिनल" मशीन नहीं है। यह एक "तीसरा विकल्प" है—यह न तो शुरुआती बिंदु (initial) है और न ही पूर्ण अंतिम बिंदु (terminal)। यह बीच में स्थित है। यह स्कॉट के नियमों को संतुष्ट करता है, जो लूप्स की पहचान करने के मामले में अधिक सख्त हैं।

2. "यूनिवर्सल" मॉडल (एज़ेल का एंटी-फाउंडेशन एक्सिओम)

उपमा: हर उस कहानी के मास्टर कैटलॉग की कल्पना करें जिसे आप सुना सकते हैं, जिसमें वे कहानियाँ भी शामिल हैं जो खुद को ही सुनाती हैं।
नियम: इस मॉडल में, किसी भी ग्राफ (बिंदुओं और रेखाओं का चित्र) को एक सेट में बदला जा सकता है। यदि आपके पास एक लूप का चित्र है, तो एक अद्वितीय सेट है जो उस चित्र से पूरी तरह मेल खाता है।
परिणाम: लेखकों ने इस उद्देश्य के लिए एक "टर्मिनल कोएल्जेब्रा" (अंतिम मशीन) का निर्माण किया है। हालाँकि, इस विशिष्ट मशीन को बनाने के लिए, उन्हें प्रपोजिशनल रिसाइज़िंग (Propositional Resizing) नामक एक विशेष, कुछ हद तक विवादास्पद गणितीय उपकरण का उपयोग करना पड़ा।
- प्रपोजिशनल रिसाइज़िंग क्या है? कल्पना कीजिए कि आपके पास किताबों (प्रपोजिशन्स) का एक विशाल पुस्तकालय है। यह टूल आपको पूरे पुस्तकालय को सिकोड़ने और एक ही शेल्फ पर फिट करने की अनुमति देता है, बिना उन कहानियों को खोए। यह एक शक्तिशाली शॉर्टकट है जो इस निर्माण को संभव बनाता है।
मुख्य निष्कर्ष: यह मॉडल एज़ेल के नियमों को संतुष्ट करता है। यह "टर्मिनल" ऑब्जेक्ट है, जिसका अर्थ है कि यह इन नियमों के तहत संभव सबसे पूर्ण लूपिंग सेट ब्रह्मांड है।

"पहचान" की पहेली: क्या चीज़ों को समान बनाता है?

शोध पत्र का एक बड़ा हिस्सा इस पेचीदा सवाल को हल करता है: हम कैसे जानते हैं कि दो लूपिंग पेड़ वास्तव में एक ही हैं?

मानक गणित में, यदि दो चीजें एक जैसी दिखती हैं, तो वे समान होती हैं। लेकिन लूप वाले संसार में, चीजें अजीब हो जाती हैं।

लेखकों ने पाया कि उनके लूपिंग पेड़ों के बीच "समानता" (equality) को एक अन्य प्रकार के पेड़ ("इंडेक्स्ड M-टाइप") के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
रूपक: कल्पना कीजिए कि आप दो अनंत फ्रैक्टल्स की तुलना कर रहे हैं। यह साबित करने के लिए कि वे समान हैं, आप केवल पूरी तस्वीर को नहीं देखते; आपको हर एक शाखा, और हर एक उप-शाखा, और हर एक उप-उप-शाखा की तुलना करनी होती है। शोध पत्र इस तुलना को करने के लिए एक सटीक रेसिपी (एक "चरित्र चित्रण") प्रदान करता है। उन्होंने सिद्ध किया कि इन जटिल लूप्स की "समानता" स्वयं एक संरचित, अनंत वस्तु है।

उपलब्धियों का सारांश

स्कॉट का मॉडल: उन्होंने सेट्स का एक ब्रह्मांड बनाया जो लूप्स की अनुमति देता है, जहाँ समानता का निर्धारण "अनफोल्डिंग" पेड़ के आकार द्वारा किया जाता है। यह एक फिक्स्ड पॉइंट है लेकिन पूर्ण "टर्मिनल" नहीं है।
एज़ेल का मॉडल: उन्होंने लूप्स की अनुमति देने वाला सेट्स का "अंतिम" ब्रह्मांड बनाया, जहाँ किसी भी ग्राफ को सेट में बदला जा सकता है। इसके लिए प्रपोजिशनल रिसाइज़िंग (Propositional Resizing) की विशेष गणितीय धारणा की आवश्यकता थी।
"समानता" की रेसिपी: उन्होंने ठीक से परिभाषित किया कि इन अनंत, लूपिंग संरचनाओं के लिए "समानता" क्या है, यह दिखाते हुए कि समानता स्वयं एक प्रकार की पेड़ संरचना है।
औपचारिकता (Formalization): उन्होंने इसे केवल कागज पर नहीं लिखा; उन्होंने इसे Agda नामक एक कंप्यूटर प्रोग्राम के भीतर बनाया, जो यह सुनिश्चित करने के लिए हर तार्किक चरण की जाँच करता है कि कोई गलती न हो।

यह क्यों मायने रखता है?

यह शोध पत्र यह दावा नहीं करता है कि यह वास्तविक दुनिया की इंजीनियरिंग समस्याओं या चिकित्सा संबंधी मुद्दों को हल करता है। इसके बजाय, यह गणित की एक मौलिक पहेली को हल करता है। यह दिखाता है कि हम एक सुसंगत, तार्किक ब्रह्मांड बना सकते हैं जहाँ "वृत्त" (circles) और "लूप" (loops) की अनुमति दी गई है, और इसके लिए हम होमोटॉपी टाइप थ्योरी की आधुनिक भाषा का उपयोग करते हैं। यह शास्त्रीय सेट थ्योरी (जो लूप्स को वर्जित करती है) और आधुनिक कंप्यूटर विज्ञान तर्क (जिसे स्ट्रीम और ट्रांजिशन सिस्टम जैसे जटिल, गोलाकार डेटा स्ट्रक्चर को संभालने की आवश्यकता होती है) के बीच के अंतर को पाटता है।

संक्षेप में, उन्होंने दो अलग-अलग "ब्रह्मांड" बनाए जहाँ चीजें खुद को समाहित कर सकती हैं, सिद्ध किया कि वे विशिष्ट नियमों के अनुसार काम करते हैं, और यह दिखाया कि यह पता कैसे लगाया जाए कि ऐसी स्व-निहित (self-containing) चीजें वास्तव में एक ही हैं।

तकनीकी सारांश: होमोटॉपी टाइप थ्योरी (HoTT) में टर्मिनल कोएलजेब्रा और नॉन-वेलफाउंडेड सेट्स

समस्या विवरण
यह शोध पत्र होमोटॉपी टाइप थ्योरी (HoTT) के भीतर नॉन-वेलफाउंडेड मटीरियल सेट्स (non-wellfounded material sets) को मॉडल करने की चुनौती को संबोधित करता है। जबकि वेलफाउंडेड सेट थ्योरी को हायर इंडक्टिव टाइप्स (जहाँ समानता 'identity type' है) का उपयोग करके सफलतापूर्वक HoTT में मॉडल किया गया है, नॉन-वेलफाउंडेड सेट्स—जो स्वयं को शामिल कर सकते हैं या अनंत सदस्यता श्रृंखलाएं बना सकते हैं—का मॉडलिंग ऐतिहासिक रूप से सेटॉइड्स (जहाँ समानता एक अलग बाइनरी रिलेशन है) पर निर्भर रहा है, न कि आइडेंटिटी टाइप पर। लेखक HoTT में नॉन-वेलफाउंडेड सेट्स के मॉडल बनाने का लक्ष्य रखते हैं जहाँ समानता को सख्ती से 'identity type' के रूप में व्याख्यायित किया जाता है, जिससे शास्त्रीय सार्वभौमिक कोएलजेब्रा (universal coalgebra) और नॉन-वेलफाउंडेड सेट थ्योरी के विचारों को HoTT द्वारा समर्थित उच्च-आयामी संरचनाओं में एकीकृत किया जा सके। विशेष रूप से, यह शोध पत्र एसेल के एंटी-फाउंडेशन एक्सिओम (AFA) को मॉडल करने के लिए प्रतिबंधित पॉवरसेट फंक्टर्स के लिए टर्मिनल कोएलजेब्रा का निर्माण करने और स्कॉट के एंटी-फाउंडेशन एक्सिओम (SAFA) को मॉडल करने वाले वैकल्पिक फिक्स्ड पॉइंट्स का निर्माण करने का प्रयास करता है।

कार्यप्रणाली
लेखक 'यूनिवेलेंट मटीरियल सेट थ्योरी' के ढांचे और यूनिवर्स ऑफ टाइप्स पर 'वाइल्ड एंडोफंक्टर्स' (wild endofunctors) के कोएलजेब्रा के सिद्धांत का उपयोग करते हैं। कार्यप्रणाली में तीन प्राथमिक तकनीकी दृष्टिकोण शामिल हैं:

इटरेटिव सेट्स का द्वैतकरण (Dualization of Iterative Sets): लेखक $V^n_\infty$ प्रकारों की एक श्रेणी का निर्माण करते हैं जो इटरेटिव सेट्स ( $V^n$ ) के निर्माण का द्वैतकरण है। जबकि $V^n$ , प्रतिबंधित पॉवरसेट फंक्टर $P^n$ का इनिशियल अल्जेब्रा है, $V^n_\infty$ का निर्माण अनप्रतिबंधित पॉवरसेट फंक्टर $P^\infty$ के M-टाइप (एक विशिष्ट सबटाइप) के रूप में किया जाता है। यह सबटाइप एक कोइंडक्टिव प्रेडिकेट द्वारा परिभाषित है जो यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक नोड पर ब्रांचिंग मैप्स को एक विशिष्ट स्तर तक ट्रंकेट (truncate) किया गया है।
आइडेंटिटी टाइप्स का अभिलक्षण (Characterization of Identity Types): M-टाइप्स के आइडेंटिटी टाइप्स को अभिलक्षित करना एक महत्वपूर्ण तकनीकी चरण है। लेखक सिद्ध करते हैं कि एक M-type के बीच का आइडेंटिटी टाइप एक इंडेक्स्ड M-type के समतुल्य है (विशेष रूप से, एक संबंध के "अनफोल्डिंग" से प्राप्त इंडेक्स्ड पॉलिनॉमियल फंक्टर का टर्मिनल कोएलजेब्रा)। यह अभिलक्षण निर्मित मॉडल्स की 'लोकल स्मॉलनेस' (local smallness) को सिद्ध करने के लिए आवश्यक है।
एसेल-मेंडलर निर्माण का अनुकूलन (Adaptation of Aczel–Mendler Construction): $P^0$ $P^{0}$ (जो AFA को मॉडल करता है) के लिए एक वास्तविक टर्मिनल कोएलजेब्रा के निर्माण हेतु, लेखक शास्त्रीय एसेल-मेंडलर प्रमेय को टाइप थ्योरी में अनुकूलित करते हैं। इस अनुकूलन के लिए आवश्यक है:
- "U-आधारित" फंक्टर्स को परिभाषित करना (ऐसे फंक्टर्स जहाँ बड़े टाइप्स पर मान, छोटे टाइप्स के कोलिमिट्स होते हैं)।
- रिलेशन लिफ्टिंग और "प्री-कॉन्ग्रुएंस" (precongruences) की अवधारणा का उपयोग करके वीकली टर्मिनल कोएलजेब्रा को कोटिएंट करना।
- यह सुनिश्चित करने के लिए कि परिणामी कोटिएंट टाइप्स 'लोकल स्मॉल' हों और निर्माण $P^0$ जैसे सेट-वैल्यूड फंक्टर्स के लिए प्रभावी हो, प्रोपोजिशनल रिसाइजिंग (propositional resizing) को मानना।

मुख्य योगदान और परिणाम

स्कॉट के एंटी-फाउंडेशन एक्सिओम (SAFA) का एक मॉडल: लेखक एक प्रकार $V^0_\infty$ का निर्माण करते हैं जो प्रतिबंधित पॉवरसेट फंक्टर $P^0$ का एक फिक्स्ड पॉइंट है, लेकिन यह न तो इनिशियल अल्जेब्रा है और न ही टर्मिनल कोएलजेब्रा। वे सिद्ध करते हैं कि यह प्रकार, प्रेरित एलिमेंटहुड रिलेशन के साथ, स्कॉट के एंटी-फाउंडेशन एक्सिओम का पालन करता है। इस मॉडल में, समानता 'identity type' है, और मॉडल "सिंपल" है (कोई भी दो होमॉर्मॉर्फिज्म इसमें समान हैं) लेकिन टर्मिनल नहीं है।
हायर टाइप्स का सामान्यीकरण: निर्माण को किसी भी ट्रंकेशन लेवल $n$ के लिए एक श्रेणी $V^n_\infty$ में सामान्यीकृत किया गया है। ये मॉडल्स सभी $k \le n$ के लिए सामान्यीकृत $k$ -SAFA एक्सिओम्स का पालन करते हैं। शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि ये मॉडल्स उपयुक्त ट्रंकेशन लेवल्स पर मानक सेट-थ्योरेटिक एक्सिओम्स (खाली सेट, सेपरेशन, यूनियन, आदि) को संतुष्ट करते हैं, बशर्ते कि मॉडल्स लोकल स्मॉल हों।
M-type आइडेंटिटी टाइप्स का अभिलक्षण: शोध पत्र M-types के आइडेंटिटी टाइप का पूर्ण अभिलक्षण इंडेक्स्ड M-types के रूप में प्रदान करता है (थ्योरम 2.15)। इस परिणाम का उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि निर्मित मॉडल्स लोकल स्मॉल हैं, जो उन्हें HoTT में मटीरियल सेट थ्योरी के वैध मॉडल के रूप में कार्य करने के लिए एक आवश्यक शर्त है।
एसेल के एंटी-फाउंडेशन एक्सिओम (AFA) का एक मॉडल: प्रोपोजिशनल रिसाइजिंग को मानते हुए, लेखक प्रतिबंधित पॉवरसेट फंक्टर $P^0$ (और अधिक सामान्य रूप से, $U$ -आधारित फंक्टर्स) के लिए एक टर्मिनल कोएलजेब्रा का निर्माण करते हैं। यह टर्मिनल कोएलजेब्रा AFA का एक मॉडल है, जहाँ प्रत्येक ग्राफ का एक अद्वितीय डेकोरेशन होता है।
$V^0_\infty$ की नॉन-टर्मिनैलिटी: शोध पत्र स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है कि $V^0_\infty$ , $P^0$ के लिए टर्मिनल कोएलजेब्रा नहीं है। यह एक काउंटर-एग्जांपल प्रदान करता है जो दिखाता है कि एक विशिष्ट ग्राफ से $V^0_\infty$ में अलग-अलग कोएलजेब्रा होमॉर्मॉर्फिज्म मौजूद हो सकते हैं, जो इसे एसेल-मेंडलर पद्धति द्वारा निर्मित टर्मिनल कोएलजेब्रा से अलग करता है।

महत्व और दावे

यह शोध पत्र दावा करता है कि यह HoFF में नॉन-वेलफाउंडेड मटीरियल सेट्स के पहले मॉडल्स प्रदान करता है जहाँ समानता 'identity type' है, जो अतीत के सेटॉइड-आधारित मॉडल्स से आगे बढ़ता है।

AFA और SAFA के बीच अंतर: यह कार्य HoTT के संदर्भ में एसेल के और स्कॉट के एंटी-फाउंडेशन एक्सिओम्स के बीच के संबंध को स्पष्ट करता है। यह दिखाता है कि जबकि टर्मिनल कोएलजेब्रा (जिसके लिए प्रोपोजिशनल रिसाइजिंग की आवश्यकता होती है) AFA को मान्य करता है, को-इटरेटिव फिक्स्ड पॉइंट (जो बिना रिसाइजिंग के निर्मित है) SAFA को मान्य करता है। लेखक नोट करते हैं कि अनट्रंकेटेड केस ( $\infty$ ) में, AFA और SAFA समान हैं, लेकिन निचले ट्रंकेशन लेवल्स पर वे भिन्न होते हैं।
रचनात्मक प्रकृति: $V^n_\infty$ का निर्माण पूरी तरह से रचनात्मक है और इसके लिए प्रोपोजिशनल रिसाइजिंग जैसे इम्प्रेडिकेटिव एक्सिओम्स पर निर्भरता नहीं है।
औपचारिकीकरण (Formalization): सभी मुख्य परिणामों को एगडा (Agda) प्रूफ असिस्टेंट में औपचारिक रूप दिया गया है, जिसमें मानक एगडा और क्यूबिकल एगडा (अनुभाग 6 के लिए) दोनों का उपयोग किया गया है, ताकि जटिल होमोटोपिकल तर्कों की शुद्धता सुनिश्चित की जा सके।
खुले प्रश्न: लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि प्रोपोजिशनल रिसाइजिंग के बिना $P^0$ के टर्मिनल कोएलजेब्रा का अस्तित्व एक खुला प्रश्न बना हुआ है। वे यह दावा नहीं करते हैं कि उन्होंने यह हल कर लिया है कि क्या ऐसा निर्माण संभव है या क्या इसका अस्तित्व शास्त्रीय सिद्धांतों को इंगित करता है, बल्कि वे इसे भविष्य के कार्य के लिए एक प्राथमिक प्रेरणा के रूप में रेखांकित करते हैं।

संक्षेप में, यह शोध पत्र सफलतापूर्वक नॉन-वेलफाउंडेड सेट्स के सिद्धांत को HoTT के उच्च-आयामी परिवेश में विस्तारित करता है, विभिन्न एंटी-फाउंडेशन एक्सिओम्स के लिए अलग-अलग मॉडल प्रदान करता है, और M-types और कोएलजेब्रािक संरचनाओं के संबंध में आवश्यक तकनीकी आधार स्थापित करता है।