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Exploring variational quantum eigensolver ansatzes for the long-range XY model

यह शोध पत्र लॉन्ग-रेंज XY मॉडल के लिए विभिन्न VQE एंसेट्स (ansatzes) की जांच करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि जबकि पूर्ण-एंटैंगलमेंट (full-entanglement) CRX और TQR गेट्स ग्राउंड स्टेट ऊर्जाओं को सटीक रूप से पकड़ सकते हैं, केवल पूर्ण-एंटैंगलमेंट TQR एंसेट ही उच्च-सटीकता वाला वेवफंक्शन प्रतिनिधित्व प्राप्त करता है, और यह भी कि प्रतिबंधित-एंटैंगलमेंट संरचनाएं भी स्वीकार्य समाधान प्रदान कर सकती हैं।

मूल लेखक: Jia-Bin You, Dax Enshan Koh, Jian Feng Kong, Wen-Jun Ding, Ching Eng Png, Lin Wu

प्रकाशित 2026-09-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jia-Bin You, Dax Enshan Koh, Jian Feng Kong, Wen-Jun Ding, Ching Eng Png, Lin Wu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

क्वांटम भौतिकी की सूक्ष्म दुनिया में, कण हमारे आस-पास दिखने वाली ठोस वस्तुओं की तरह व्यवहार नहीं करते हैं। इसके बजाय, वे संभावनाओं के एक धुंधलेपन में मौजूद होते हैं, और जब वे परस्पर क्रिया करते हैं, तो वे 'एंटैंगलमेंट' (entanglement) नामक घटना के माध्यम से एक-दूसरे से अटूट रूप से जुड़ सकते हैं। इस जुड़ाव का अर्थ है कि एक कण की स्थिति दूसरे को तुरंत प्रभावित करती है, चाहे वे एक-दूसरे से कितनी भी दूर क्यों न हों। इन संबंधों को समझना उन सामग्रियों के व्यवहार का वर्णन करने के लिए आवश्यक है, जैसे कि सुपरकंडक्टर्स जो बिना किसी प्रतिरोध के बिजली प्रवाहित करते हैं या चुंबक जो अपना आकार बनाए रखते हैं। हालाँकि, इन परस्पर क्रिया करने वाले कणों के एक छोटे से समूह के सटीक व्यवहार की गणना करना इतना जटिल कार्य है जो सबसे शक्तिशाली क्लासिकल सुपरकंप्यूटरों को भी पस्त कर देता है। इसे हल करने के लिए, वैज्ञानिक एक नए प्रकार की मशीन की ओर मुड़ रहे हैं: क्वांटम कंप्यूटर। ये उपकरण अन्य क्वांटम प्रणालियों का अनुकरण करने के लिए क्वांटम मैकेनिक्स के नियमों का ही उपयोग करते हैं, जो प्रकृति की सबसे जटिल पहेलियों को समझने के लिए एक संभावित शॉर्टकट प्रदान करते हैं।

हालाँकि, चुनौती यह है कि आज उपलब्ध क्वांटम कंप्यूटर अभी अपने शुरुआती दौर में हैं। वे छोटे हैं, त्रुटियों के प्रति संवेदनशील हैं, और पूर्ण सटीकता के लिए आवश्यक लंबी, जटिल गणनाओं को चलाने में सक्षम नहीं हैं। इन सीमाओं से निपटने के लिए, शोधकर्ता 'वेरिएशनल क्वांटम आइजनसॉल्वर' (variational quantum eigensolver) नामक एक हाइब्रिड विधि का उपयोग करते हैं। यह दृष्टिकोण एक निर्देशित खोज की तरह कार्य करता है। एक क्वांटम कंप्यूटर सेटिंग्स के एक समूह के आधार पर कणों की एक विशिष्ट अवस्था तैयार करता है, जबकि एक क्लासिकल कंप्यूटर एक कोच की तरह कार्य करता है, जो उस विन्यास (configuration) को खोजने के लिए उन सेटिंग्स को ट्यून करता है जिसमें ऊर्जा सबसे कम हो। यह न्यूनतम ऊर्जा अवस्था अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि यह सिस्टम की 'ग्राउंड स्टेट' (ground state) का प्रतिनिधित्व करती है, जो इसका सबसे स्थिर और प्राकृतिक रूप है। इस विधि की सफलता पूरी तरह से "एंसाट्ज़" (ansatz), या उस ब्लूप्रिंट पर निर्भर करती है जिसका उपयोग क्वांटम अवस्था बनाने के लिए किया जाता है। यदि ब्लूप्रिंट बहुत सरल है, तो यह कणों के बीच के जटिल संबंधों को पकड़ने में विफल रहता है; यदि यह बहुत जटिल है, तो शोर वाला हार्डवेयर उत्तर मिलने से पहले ही टूट जाता है।

हाल ही में एक अध्ययन में, शोधकर्ताओं ने 'लॉन्ग-रेंज XY मॉडल' (long-range XY model) नामक एक विशिष्ट सैद्धांतिक मॉडल के अनुकरण के लिए विभिन्न ब्लूप्रिंट का परीक्षण करने का लक्ष्य रखा। यह मॉडल कणों की एक ऐसी श्रृंखला का वर्णन करता है जहाँ प्रत्येक कण केवल अपने निकटतम पड़ोसियों के साथ ही नहीं, बल्कि श्रृंखला के प्रत्येक अन्य कण के साथ परस्पर क्रिया करता है। टीम ने क्वांटम सर्किट के लिए कई अलग-अलग डिजाइनों का परीक्षण किया, जिसमें कणों के हेरफेर के लिए उपयोग किए जाने वाले गेट्स के प्रकार और उनके बीच के कनेक्शन के पैटर्न, दोनों में बदलाव किया गया। उन्होंने मानक लॉजिक गेट्स, जो निश्चित और कठोर होते हैं, बनाम अधिक लचीले, समायोज्य (adjustable) गेट्स का उपयोग करने वाले सर्किटों की तुलना की। उन्होंने दो अलग-अलग कनेक्शन पैटर्न का भी परीक्षण किया: एक जहाँ प्रत्येक कण दूसरे प्रत्येक कण से जुड़ा था, और दूसरा जहाँ कण केवल अपने निकटतम पड़ोसियों से जुड़े थे।

परिणामों से पता चला कि ब्लूप्रिंट का चुनाव अत्यधिक महत्वपूर्ण है। शोधकर्ताओं ने पाया कि सरल, निश्चित लॉजिक गेट्स का उपयोग करने वाले सर्किट वास्तविक प्रणाली की प्रकृति को पकड़ने में विफल रहे, चाहे उन्हें कितनी भी बार दोहराया जाए या गेट्स को कैसे भी व्यवस्थित किया जाए। इन डिजाइनों में मॉडल के लिए आवश्यक गहरे संबंधों का वर्णन करने के लिए आवश्यक लचीलेपन की कमी थी। इसके विपरीत, एडजस्टेबल रोटेशन गेट्स के साथ निर्मित सर्किटों ने बहुत बेहतर प्रदर्शन किया। विशेष रूप से, एक डिज़ाइन जिसने इन लचीले गेट्स का उपयोग करके प्रत्येक कण को प्रत्येक अन्य कण के साथ परस्पर क्रिया करने की अनुमति दी, वह सिस्टम की ऊर्जा का सटीक अनुमान लगाने में सक्षम था। इससे भी अधिक प्रभावशाली बात यह है कि 'टू-क्विबिट रोटेशन' (two-qubit rotation) नामक एक विशिष्ट प्रकार का एडजस्टेबल गेट ही था, जो कणों की वास्तविक अवस्था को लगभग पूर्ण सटीकता के साथ पुनरुत्पादित करने में सक्षम था।

शायद सबसे आश्चर्यजनक खोज यह थी कि एक अच्छा उत्तर प्राप्त करने के लिए पूर्ण कनेक्टिविटी (total connectivity) अनिवार्य नहीं थी। टीम ने पाया कि वे सभी को सभी से जोड़ने के बजाय, केवल उन कणों के बीच कनेक्शन को सीमित करके जो एक निश्चित दूरी पर थे, स्वीकार्य परिणाम प्राप्त कर सकते थे। यह "प्रतिबंधित-एंटैंगलमेंट" (restricted-entanglement) दृष्टिकोण महत्वपूर्ण है क्योंकि यह सर्किट की जटिलता को कम करता है। वर्तमान क्वांटम हार्डवेयर के शोर वाले वातावरण में, कम कनेक्शन का अर्थ है त्रुटियों के आने के कम अवसर, जिससे सिमुलेशन अधिक तेज़ और विश्वसनीय हो जाता है। शोधकर्ताओं ने यह भी देखा कि सर्किट के प्रत्येक लेयर में अधिक एडजस्टेबल सेटिंग्स को भरकर, वे एक उथले (shallower), सरल सर्किट स्ट्रक्चर के साथ उच्च सटीकता प्राप्त कर सकते थे। यह ट्रेड-ऑफ आज की मशीनों के लिए महत्वपूर्ण है, जो सर्किट के गहरा होने पर स्थिरता बनाए रखने के लिए संघर्ष करती हैं।

कुछ डिज़ाइन क्यों काम कर गए और कुछ क्यों विफल रहे, इसे समझने के लिए टीम ने 'एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी' (entanglement entropy) नामक एक माप को देखा, जो यह निर्धारित करता है कि कण कितने गहराई से जुड़े हुए हैं। उन्होंने पाया कि सबसे सफल डिज़ाइन वे थे जो सिस्टम के लिए अधिकतम संभव एंटैंगलमेंट उत्पन्न करने में सक्षम थे। इसने इस बात की पुष्टि की कि कणों के बीच मजबूत, व्यापक संबंध बनाने की क्षमता ही समस्या को हल करने की कुंजी थी। अध्ययन निष्कर्ष निकालता है कि हालांकि सबसे शक्तिशाली डिजाइनों के लिए जटिल, पूर्णतः जुड़े हुए सर्किटों की आवश्यकता होती है, लेकिन एक व्यावहारिक मध्य मार्ग भी मौजूद है। लचीले गेट्स का उपयोग करके और कनेक्शन को एक विशिष्ट सीमा तक सीमित करके, वैज्ञानिक वर्तमान क्वांटम कंप्यूटरों के नाजुक हार्डवेयर को अभिभूत किए बिना कठिन क्वांटम समस्याओं के सटीक समाधान पा सकते हैं। यह कार्य भविष्य में बेहतर क्वांटम सिमुलेशन बनाने के लिए एक स्पष्ट रोडमैप प्रदान करता है, जो सटीकता की आवश्यकता और हार्डवेयर की सीमाओं की वास्तविकता के बीच संतुलन बनाता है।

तकनीकी सारांश: लॉन्ग-रेंज XY मॉडल के लिए वेरिएशनल क्वांटम आइजनसोल्वर एंसेट्स (Ansatzes) का अन्वेषण

समस्या विवरण
क्वांटम अनेक-निकाय प्रणालियों (many-body systems) की ग्राउंड स्टेट ऊर्जा और वेवफ़ंक्शन (wavefunction) खोजना क्वांटम भौतिकी और रसायन विज्ञान में एक मौलिक चुनौती है। जबकि फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटर कुशल समाधानों का वादा करते हैं, वर्तमान हार्डवेयर नोइज़ी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) उपकरणों तक ही सीमित है। इन उपकरणों में पूर्ण सुसंगतता (coherence) और त्रुटि सुधार का अभाव होता है, जिसके लिए ऐसे एल्गोरिदम की आवश्यकता होती है जो उथले सर्किट (shallow circuits) और सीमित क्वबिट संख्या के साथ प्रभावी ढंग से कार्य कर सकें। वेरिएशनल क्वांटम आइजनसोल्वर (VQE) इस शासन के लिए डिज़ाइन किया गया एक अग्रणी हाइब्रिड क्लासिकल-क्वांटम एल्गोरिदम है। यह शोध लॉन्ग-रेंज XY मॉडल को हल करने के लिए विभिन्न VQE एंसेट्स की प्रभावकारिता की जांच करता है, जो बार्डन-कूपर-श्रीफर (BCS) सुपरकंडक्टिविटी और कंडेंस्ड मैटर फिजिक्स के लिए प्रासंगिक है। मुख्य चुनौती यह पहचानना है कि कौन सी एंसेट्स संरचनाएं और गेट सेट, अत्यधिक सर्किट गहराई या शोर-प्रेरित त्रुटियों के बिना, ग्राउंड स्टेट की एंटैंगलमेंट (entanglement) और सहसंबंधों (correlations) को पर्याप्त रूप से कैप्चर कर सकते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक $N$ स्पिन वाले लॉन्ग-रेंज XY मॉडल पर VQE एल्गोरिदम लागू करते हैं, जिसे इस हैमिल्टोनियन (Hamiltonian) द्वारा परिभाषित किया गया है:
$H = -J \sum_{i<j} (X_i X_j + Y_i Y_j) - h \sum_{i} Z_i$
जहाँ $J$ कपलिंग स्ट्रेंथ है, $h$ ज़ीमन फील्ड (Zeeman field) है, और $X, Y, Z$ पाउली मैट्रिसेस (Pauli matrices) हैं।

अध्ययन व्यवस्थित रूप से विभिन्न एंसेट्स आर्किटेक्चर की तुलना करता है जो एक मीन-फील्ड लेयर (सिंगल-क्विबिट रोटेशन) और एक एंटैंगलर लेयर से निर्मित होते हैं। लेखक दो प्राथमिक आयामों को बदलते हैं:

बिल्डिंग गेट्स (Building Gates): तीन प्रकार के टू-क्विबिट गेट्स का परीक्षण किया गया है:
- CNOT (कंट्रोल्ड-नॉट)
- CRX (पैरामेट्रिक कंट्रोल्ड-रोटेशन)
- TQR (पैरामेट्रिक टू-क्विबिट रोटेशन, विशेष रूप से $R_{xx}$ और $R_{yy}$ गेट्स)
एंटैंगलमेंट संरचनाएं (Entanglement Structures): प्रत्येक गेट प्रकार के लिए दो कनेक्टिविटी पैटर्न का मूल्यांकन किया गया है:
- फुल एंटैंगलमेंट (Full Entanglement): गेट्स सभी संभावित क्वबिट जोड़ों को जोड़ते हैं।
- लीनियर एंटैंगलमेंट (Linear Entanglement): गेट्स केवल निकटतम पड़ोसी क्वबिट्स को जोड़ते हैं।

इसके अतिरिक्त, लेखक "रिस्ट्रिक्टेड-एंटैंगलमेंट" (सीमित-एंटैंगलमेंट) एंसेट्स का भी अन्वेषण करते हैं जहाँ गेट्स केवल एक निश्चित दूरी $r$ पर स्थित क्वबिट्स के बीच लागू किए जाते हैं, और गेट ऑर्डरिंग तथा मल्टी-लेयर सेटअप (एंटैंगलर दोहराव, $L$ को बढ़ाकर) के प्रभाव की जांच करते हैं। सिमुलेशन Qiskit के QASM और स्टेटवेक्टर सिम्युलेटर्स का उपयोग करके किए गए हैं। प्रदर्शन का मूल्यांकन साइट प्रति ग्राउंड स्टेट ऊर्जा ( $E_{GS}/N$ ) और सटीक विश्लेषिक समाधान के विरुद्ध फिडेलिटी ( $F = |\langle \psi_{VQE} | \psi_{exact} \rangle|^2$ ) के आधार पर किया जाता है। एंसेट्स की एक्सप्रेसिव पावर (expressive power) को एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी का उपयोग करके अभिलक्षित किया गया है।

मुख्य योगदान और परिणाम

मीन-फील्ड और CNOT एंसेट्स की सीमाएं:
- मीन-फील्ड एंसेट्स (प्रोडक्ट स्टेट) विश्लेषिक मीन-फील्ड थ्योरी के अनुरूप परिणाम देते हैं, लेकिन सटीक समाधान से काफी विचलित होते हैं, विशेष रूप से चरण संक्रमण (phase transition) ( $|h/J|=1$ ) के पास, जहाँ फिडेलिटी कम ( $F < 0.5$ ) रहती है।
- CNOT एंटैंगलर्स (फुल और लीनियर दोनों) जोड़ने से फेरोमैग्नेटिक चरण में ऊर्जा में थोड़ा सुधार होता है, लेकिन यह पैरामैग्नेटिक चरण में ग्राउंड स्टेट को सटीक रूप से कैप्चर करने में विफल रहता है। फिडेलिटी कम ( $<0.9$ ) बनी रहती है, जो अपर्याप्त एक्सप्रेसिव पावर का संकेत देती है।
पैरामेट्रिक गेट्स (CRX और TQR) की श्रेष्ठता:
- फुल-एंटैंगलमेंट CRX: यह एंसेट्स ऊर्जा सटीकता में महत्वपूर्ण सुधार करता है, जो सटीक समाधान के करीब पहुँच जाता है, हालांकि क्रिटिकल पॉइंट्स के पास फिडेलिटी अपूर्ण रहती है।
- फुल-एंटैंगलमेंट TQR: यह एंसेट्स उच्चतम प्रदर्शन प्रदर्शित करता है। यह फेरोमैग्नेटिक और पैरामैग्नेटिक दोनों चरणों में ग्राउंड स्टेट ऊर्जा को सटीक रूप से पुनरुत्पादित करता है। महत्वपूर्ण रूप से, यह क्रिटिकल पॉइंट्स के पास को छोड़कर, एक के करीब फिडेलिटी प्राप्त करता है, जो सफलतापूर्वक ग्राउंड स्टेट वेवफ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है।
लीनियर बनाम रिस्ट्रिक्टेड एंटैंगलमेंट:
- लीनियर एंटैंगलमेंट (केवल निकटतम-पड़ोसी) आमतौर पर पूर्ण CRX और TQR एंसेट्स के लिए ग्राउंड स्टेट ऊर्जा और वेवफ़ंक्शन को सटीक रूप से वर्णित करने के लिए अपर्याप्त है, विशेष रूप से फेरोमैग्नेटिक चरण में।
- हालाँकि, लेखक पाते हैं कि "रिस्ट्रिक्टेड-एंटैंगलमेंट" एंसेट्स, जहाँ एंटैंगलिंग गेट्स एक निश्चित दूरी $r$ (जैसे, $r=2$ ) के भीतर क्वबिट्स के बीच लागू किए जाते हैं, स्वीकार्य समाधान प्रदान करने के लिए पर्याप्त हैं। यह दृष्टिकोण फुल एंटैंगलमेंट की तुलना में अनुकूलन के कुल रनिंग टाइम को कम करता है।
गेट ऑर्डर और मल्टी-लेयर प्रभाव:
- CNOT और CRX एंसेट्स का प्रदर्शन सर्किट में गेट्स के विशिष्ट क्रम के प्रति संवेदनशील है।
- इसके विपरीत, पूर्ण TQR एंसेट्स मजबूत (robust) है; गेट ऑर्डर का परिणामों पर नगण्य प्रभाव पड़ता है (चरण सीमाओं के पास को छोड़कर)।
- अधिक लेयर्स ( $L$ ) बढ़ाने से CRX और TQR एंसेट्स के लिए स्थिरता और सटीकता में सुधार होता है, लेकिन सिंगल-लेयर फुल TQR एंसेट्स पहले से ही अच्छा प्रदर्शन करता है।
एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी के माध्यम से एक्सप्रेसिव पावर:
- अध्ययन में एंसेट्स की "एक्सप्रेसिव पावर" को मापने के लिए वॉन न्यूमैन एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी का उपयोग किया गया है।
- फुल CRX और TQR एंसेट्स ही एकमात्र हैं जो $N$ -क्विबिट चेन के लिए अधिकतम संभव एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी ( $N/2$ ) तक पहुँचने में सक्षम हैं, जो लॉन्ग-रेंज XY मॉडल के ग्राउंड स्टेट को दर्शाने के लिए आवश्यक है।
- फुल TQR एंसेट्स, फुल CRX एंसेट्स की तुलना में (ऑप्टिमाइजेशन इटरेशन्स के संदर्भ में) तेजी से मैक्सिमली एंटेंगल्ड स्टेट की ओर अभिसरण (converge) करता है।

महत्व और दावे
यह पेपर दावा करता है कि लॉन्ग-रेंज XY मॉडल के लिए, फुल-एंटैंगलमेंट TQR एंसेट्स परीक्षण किए गए एंसेट्स में सबसे प्रभावी VQE आर्किटेक्चर है। यह वेवफ़ंक्शन के प्रतिनिधित्व में उच्च फिडेलिटी के साथ-साथ अधिक लेयर्स को स्टैक करने के बजाय प्रति लेयर वेरिएशनल पैरामीटर्स की संख्या बढ़ाकर सर्किट डेप्थ को कम करने की क्षमता को अनूठे रूप से जोड़ता है। यह विशेष रूप से NISQ उपकरणों के लिए महत्वपूर्ण है, जहाँ शोर (noise) सर्किट डेप्थ के साथ बढ़ता है।

इसके अलावा, लेखक प्रदर्शित करते हैं कि रिस्ट्रिक्टेड-एंटैंगलमेंट एंसेट्स (एक निश्चित दूरी पर गेट्स का उपयोग करके) कंप्यूटेशनल ओवरहेड को कम करते हुए स्वीकार्य समाधान प्रदान कर सकते हैं, जो सिमुलेशन समय और सटीकता के बीच एक व्यावहारिक समझौता (trade-off) पेश करते हैं। यह कार्य रेखांकित करता है कि गेट सेट का चयन (विशेष रूप से $R_{xx}$ और $R_{yy}$ जैसे पैरामेट्रिक टू-क्विबिट रोटेशन का उपयोग करना) और एंटैंगलमेंट संरचना, VQE की सफलता के महत्वपूर्ण निर्धारक हैं, जिसमें TQR एंसेट्स इस विशिष्ट अनेक-निकाय समस्या के लिए उच्चतम एक्सप्रेसिव पावर प्रदान करता है।

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