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More scaling limits for 1d random Schrödinger operators with critically decaying and vanishing potentials

यह शोध पत्र क्रिटिकली डिकेइंग (critically decaying) विभव वाले एक-आयामी रैंडम श्रोडिंगर ऑपरेटर्स के स्केलिंग लिमिट सिद्धांत का विस्तार करता है, जो युग्मित स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन्स (coupled stochastic differential equations) के माध्यम से इंटरमीडिएट डिकेइंग प्रोफाइल्स के लिए ट्रांसफर मैट्रिसेस और आइजनवैल्यू पॉइंट प्रोसेसेज के स्वरूपों को अभिलक्षित करता है, जिससे $\text{Sch}_\tau$ प्रक्रिया के समान गुणों वाली नई पॉइंट प्रोसेसेज की पहचान होती है और संगत आइजनफंक्शन आकृतियों का वर्णन किया जाता है।

मूल लेखक: Yi Han

प्रकाशित 2026-03-27

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Yi Han

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप $n$ टाइलों वाले एक लंबे, संकीले गलियारे में खड़े हैं। यह गलियारा एक एक-आयामी दुनिया का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ सूक्ष्म कण (जैसे इलेक्ट्रॉन) एक छोर से दूसरे छोर तक जाने की कोशिश कर रहे हैं।

एक आदर्श, खाली गलियारे में, कण सुचारू रूप से और पूर्वानुमानित तरीके से चलेंगे। लेकिन इस शोध पत्र में, लेखक, यी हान (Yi Han), एक अराजक (chaotic) गलियारे का अध्ययन करते हैं। हर कुछ टाइलों के बाद, एक यादृच्छिक "बम्प" या "बाधा" (एक पोटेंशियल) होती है जो कण को अपने रास्ते से भटका देती है। जैसे-जैसे आप गलियारे में आगे बढ़ते हैं, इन बम्प्स की ताकत बदलती जाती है।

भौतिकी का बड़ा सवाल यह है: क्या कण एक ही स्थान पर फंस जाते हैं (localized), या वे अंततः पूरे गलियारे में स्वतंत्र रूप से घूम पाते हैं (delocalized)?

यह शोध पत्र एक विशेष, पेचीदा मध्य मार्ग की जांच करता है जहाँ बम्प्स चलते समय कमजोर होते जाते हैं, लेकिन न तो बहुत तेज़ और न ही बहुत धीरे। यहाँ इसे सरल उपमाओं का उपयोग करके समझाया गया है:

1. तीन प्रकार के गलियारे

नई खोज को समझने के लिए, हमें पहले उन दो चरम स्थितियों को जानना होगा जिन्हें यह शोध जोड़ रहा है:

"लुप्त होता" (Vanishing) गलियारा: कल्पना कीजिए कि शुरुआत में बम्प्स बहुत बड़े हैं लेकिन आपके अंत तक पहुँचने से पहले वे पूरी तरह से गायब हो जाते हैं। इस स्थिति में, कण अंततः एक आदर्श गलियारे की तरह व्यवहार करते हैं। उनकी ऊर्जा स्तरों (energy levels) का पैटर्न एक कठोर, पूर्वानुमानित बाड़ (जिसे "क्लॉक प्रोसेस" कहा जाता है) जैसा दिखता है।
"क्षय होता" (Decaying) गलियारा: कल्पना कीजिए कि बम्प्स शुरुआत में सबसे मजबूत हैं और जैसे-जैसे आप आगे बढ़ते हैं वैसे-वैसे कमजोर होते जाते हैं, लेकिन वे पूरी तरह से कभी गायब नहीं होते। यहाँ, कण विशिष्ट स्थानों पर फंस जाते हैं। ऊर्जा स्तर एक यादृच्छिक, अस्त-व्यस्त भीड़ (जिसे "पॉइसन सांख्यिकी" या "साइन प्रोसेस" कहा जाता है) की तरह दिखते हैं।

लेखक की खोज:
यी हान एक ऐसे गलियारे को देखते हैं जहाँ बम्प्स एक क्रिटिकल स्पीड (महत्वपूर्ण गति) पर कम होते हैं—एक ऐसी "गोल्डिलॉक्स" गति जो न तो बहुत तेज़ है और न ही बहुत धीमी। यह "मिक्स्ड वैनिशिंग-डिकेइंग" मॉडल है। यह एक ऐसे गलियारे की तरह है जहाँ बाधाएं इतनी तेज़ी से कम हो रही हैं कि चीज़ें दिलचस्प बनी रहें, लेकिन इतनी धीमी भी हैं कि अराजकता जीवित रहे।

2. "ट्रांसफर मैट्रिसेस" का जादू (एक दिशा-सूचक यंत्र)

यह पता लगाने के लिए कि कण क्या कर रहे हैं, लेखक एक गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं जिसे ट्रांसफर मैट्रिक्स (Transfer Matrix) कहा जाता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप गलियारे में एक दिशा-सूचक यंत्र (compass) के साथ चल रहे हैं। हर बार जब आप एक बम्प वाली टाइल पर कदम रखते हैं, तो दिशा-सूचक यंत्र थोड़ा सा घूम जाता है। "ट्रांसफर मैट्रिक्स" उन सभी घुमावों का रिकॉर्ड है।
परिणाम: लेखक सिद्ध करते हैं कि यदि आप इस दिशा-सूचक यंत्र को अनंत रूप से लंबा होने तक घूमते हुए देखते हैं, तो इसकी गति एक विशिष्ट, यादृच्छिक नृत्य का अनुसरण करती है जिसे स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDE) कहा जाता है। यह ऐसा है जैसे दिशा-सूचक यंत्र को एक हल्की, यादृच्छिक हवा (ब्राउनियन मोशन) द्वारा धकेला जा रहा है, जबकि वह एक सीधी रेखा में आगे बढ़ने की भी कोशिश कर रहा है।

3. नया "ऊर्जा फिंगरप्रिंट" (पॉइंट प्रोसेसेज)

जब आप इस गलियारे में कणों की ऊर्जा को मापते हैं, तो आपको संख्याओं की एक सूची (आइगेनवैल्यूज़) प्राप्त होती है। चरम मामलों में, ये संख्याएँ या तो एक पूर्ण ग्रिड बनाती हैं या पूर्ण अराजकता।

इस नए "गोल्डिलॉक्स" गलियारे में, लेखक एक नया पैटर्न पाते हैं।

उपमा: सोचिए कि ऊर्जा स्तर टिन की छत पर गिरने वाली बारिश की बूंदों की तरह हैं।
- "क्लॉक" मामले में, वे एक सटीक लय में गिरते हैं: टिक-टॉक-टिक-टॉक।
- "पॉइसन" मामले में, वे यादृच्छिक रूप से गिरते हैं: क्लैक... क्लैक-क्लैक... क्लैक।
- इस नए मामले में, बूंदें एक ऐसे पैटर्न में गिरती हैं जो न तो पूरी तरह से लयबद्ध है और न ही पूरी तरह से यादृच्छिक। यह एक अनूठा, जटिल लय है जिसे लेखक $\eta$ Sch कहते हैं। यह एक जैज़ ड्रम सोलो की तरह है जिसमें एक संरचना है लेकिन यह तात्कालिक (improvised) महसूस होता है।

लेखक इस नए पैटर्न को "ब्राउनियन कैरोसेल" (Brownian Carousel) का उपयोग करके समझाते हैं—यह कहने का एक फैंसी तरीका कि ऊर्जा स्तर एक घूमते हुए पहिये द्वारा निर्धारित होते हैं जो यादृच्छिक शोर से टकरा रहा है।

4. कणों का आकार (आइगेनफंक्शन्स)

यह शोध पत्र यह भी पूछता है: कण वास्तव में कहाँ खड़े हैं?

"फंसे हुए" चरण में, एक कण एक कोने में एक छोटा सा बिंदु होता है।
"मुक्त" चरण में, एक कण समान रूप से फैला हुआ एक चिकना तरंग (wave) होता है।

इस नए मध्य मार्ग में, लेखक पाते हैं कि कण एक अजीब, लहरदार आकार बनाते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि एक डांसर पर एक स्पॉटलाइट चमक रही है। पुराने मॉडलों में, रोशनी या तो एक स्थान पर एक तंग बीम थी या पूरे मंच को कवर करने वाला एक फ्लडलाइट था। इस नए मॉडल में, स्पॉटलाइट एक धुंधला, चलता हुआ बादल है जो बीच में सबसे चमकीला होता है और किनारों पर फीका पड़ता जाता है, लेकिन बादल का सटीक आकार एक यादृच्छिक, लुढ़कती हुई पहाड़ी (ब्राउनियन मोशन) द्वारा निर्धारित होता है।

5. यह क्यों महत्वपूर्ण है?

यह शोध पत्र महत्वपूर्ण है क्योंकि प्रकृति अक्सर "बीच" में रहती है। वास्तविक सामग्रियां पूरी तरह से व्यवस्थित या पूरी तरह से अराजक नहीं होती हैं; उनमें आमतौर पर दूरी के साथ कम होने वाली खामियां होती हैं।

इस "बीच" की अवस्था के लिए गणितीय नियम खोजकर, लेखक:

कड़ियों को जोड़ते हैं: यह दिखाते हैं कि दुनिया "फंसे हुए" से "मुक्त" होने की ओर कैसे संक्रमण करती है।
नया गणित बनाते हैं: एक नए प्रकार के यादृच्छिक पैटर्न ( $\eta$ Sch प्रोसेस) को परिभाषित करते हैं जो पहले पाठ्यपुस्तकों में मौजूद नहीं था।
व्यवहार की भविष्यवाणी करते हैं: वैज्ञानिकों को यह गणना करने का एक तरीका देते हैं कि दो ऊर्जा स्तरों के बहुत करीब होने (repulsion) या बहुत दूर होने (gaps) की कितनी संभावना है।

सारांश

यी हान ने क्वांटम दुनिया में यादृच्छिकता (randomness) का एक नया "स्वाद" खोजा है। एक ऐसे गलियारे का अध्ययन करके जहाँ बाधाएं बिल्कुल सही गति से कम होती हैं, उन्होंने ब्रह्मांड के ऊर्जा स्तरों की एक नई, अद्वितीय लय की खोज की है—एक ऐसी लय जो मेट्रोनोम से अधिक जटिल है लेकिन एक सिक्के के उछाल से अधिक संरचित है। यह गणित का एक सुंदर हिस्सा है जो हमें यह समझने में मदद करता है कि अराजकता से व्यवस्था कैसे उभरती है।

यहाँ यी हान (Yi Han) के शोध पत्र "More Scaling Limits for 1D Random Schrödinger Operators with Critically Decaying and Vanishing Potential" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण और संदर्भ

यह शोध पत्र एक परिमित जालक (finite lattice) $\{0, 1, \dots, n\}$ पर परिभाषित एक-आयामी रैंडम श्रोडिंगर ऑपरेटरों ( $H_n$ ) के स्पेक्ट्रल गुणों की जांच करता है। ऑपरेटर को दिया गया है:
$(H_n\psi)_\ell = \psi_{\ell-1} + \psi_{\ell+1} + v_{\ell,n}\psi_\ell$
जहाँ डिरिचलेट बाउंड्री कंडीशन्स (Dirichlet boundary conditions) लागू हैं। पोटेंशियल $v_{\ell,n}$ स्वतंत्र, समान रूप से वितरित (i.i.d.) रैंडम वेरिएबल्स $\omega_\ell$ (जिनका माध्य 0 और विचरण 1 है) से संबंधित है, जिसे एक नियतात्मक प्रोफाइल (deterministic profile) द्वारा स्केल किया गया है।

पृष्ठभूमि:
पूर्ववर्ती कार्य [1] द्वारा क्रिटिकल डिके रेट $\alpha = 1/2$ पर दो चरम स्थितियों के लिए स्केलिंग लिमिट्स स्थापित की गई थीं:

वेनिशिंग मॉडल (Vanishing Model): $v_{\ell,n} \propto \omega_\ell / \sqrt{n}$ । यहाँ आइजनवैल्यू पॉइंट प्रोसेस Sch $_\tau$ प्रोसेस (जो एक विशिष्ट SDE के समाधानों द्वारा परिभाषित है) की ओर अभिसरित होता है।
डिकेइंग मॉडल (Decaying Model): $v_{\ell,n} \propto \omega_\ell / \sqrt{\ell}$ । यहाँ आइजनवैल्यू पॉइंट प्रोसेस Sine $_\beta$ प्रोसेस (रैंडम मैट्रिक्स थ्योरी से) की ओर अभिसरित होता है।

अंतराल (The Gap):
जबकि $\alpha > 1/2$ (Clock process) और $\alpha < 1/2$ (Poisson process) के व्यवहार को समझा जा चुका है, वह मध्यवर्ती क्षेत्र जहाँ पोटेंशियल डिके प्रोफाइल शुद्ध वेनिशिंग और शुद्ध डिकेइंग मामलों के बीच में स्थित है, उसे अभी तक कठोर रूप से (rigorously) वर्णित नहीं किया गया था। यह शोध पत्र एक मिक्स्ड वेनिशिंग-डिकेइंग मॉडल का विश्लेषण करके इस अंतराल को भरता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक स्टोकेस्टिक एनालिसिस, ट्रांसफर मैट्रिक्स विधियों और पॉइंट प्रोसेस के सिद्धांत के संयोजन का उपयोग करते हैं।

मॉडल परिभाषा: शोध पत्र एक सामान्यीकृत पोटेंशियल प्रोफाइल पेश करता है:
$v_{k,n} = \sigma \frac{\omega_k}{n^\eta (n + 1 - k)^{1/2 - \eta}}$
जहाँ $\eta \in [0, 1/2]$ ।
- $\eta = 1/2$ वेनिशिंग मॉडल को पुनः प्राप्त करता है।
- $\eta = 0$ इंडेक्स रिवर्सल के बाद डिकेइंग मॉडल को पुनः प्राप्त करता है।
- $\eta \in (0, 1/2)$ मध्यवर्ती क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है।
ट्रांसफर मैट्रिसेस और SDE लिमिट्स: मुख्य कार्यप्रणाली संबद्ध ट्रांसफर मैट्रिसेस $M_n^\lambda$ के विश्लेषण पर आधारित है। फ्री ऑपरेटर के ट्रांसफर मैट्रिक्स को विकेंद्रीकृत (diagonalize) करके और समय को स्केल करके ( $t = \ell/n$ ), लेखक सामान्यीकृत ट्रांसफर मैट्रिसेस $Q_n^\lambda$ का स्केलिंग लिमिट प्राप्त करते हैं।
- यह दिखाया गया है कि सीमा (limit) ब्राउनियन मोशन द्वारा संचालित एक स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDE) का पालन करती है।
- महत्वपूर्ण रूप से, SDE में डिफ्यूजन कोएफिशिएंट में एक सिंगुलर टर्म $(1-t)^{-(1/2-\eta)}$ शामिल है, जो $t \to 1$ होने पर अपसारी (diverge) हो जाता है लेकिन $\eta > 0$ के लिए इंटीग्रेबल रहता है।
प्रुफर कोऑर्डिनेट्स (Prüfer Coordinates): ऑपरेटर के आइजनवैल्यूज का अध्ययन करने के लिए, ट्रांसफर मैट्रिक्स इवोल्यूशन को प्रुफर कोऑर्डिनेट्स $(r_\lambda, \theta_\lambda)$ में मैप किया जाता है, जहाँ $\theta_\lambda$ फेज (phase) का प्रतिनिधित्व करता है। फेज का विकास एक SDE द्वारा नियंत्रित होता है जो "ब्राउनियन कैरोसेल" (Brownian Carousel) के समान है।
टाइटनेस और अभिसरण (Tightness and Convergence): लेखक ट्रांसफर मैट्रिसेस के लिए टाइटनेस अनुमान और छोटे अंतरालों में आइजनवैल्यूज की संख्या (Wegner-type estimates) के लिए अनुमान स्थापित करते हैं। यह पॉइंट प्रोसेस के आइजनवैल्यूज के वितरण को एक विश्लेषणात्मक फलन (analytic function) के शून्य (zeros) द्वारा परिभाषित सीमित माप (limiting measure) की ओर अभिसरित होने की अनुमति देता है।
आइजनफंक्शन शेप एनालिसिस: शोध पत्र आइजनवैल्यू-आइजनवेक्टर जोड़ों के संयुक्त स्केलिंग लिमिट का विश्लेषण करता है। एक आइजनवैल्यू को समान रूप से (uniformly) चुनकर, आइजनवेक्टर के स्थानीय घनत्व (local density) को ब्राउनियन मोशन और एक यूनिफॉर्म रैंडम वेरिएबल के फलन के रूप में अभिसरित दिखाया गया है।

3. प्रमुख योगदान और परिणाम

A. नए पॉइंट प्रोसेस लिमिट्स ( $\eta_{Sch}$ )

प्राथमिक परिणाम $\eta \in (0, 1/2)$ के लिए आइजनवैल्यू पॉइंट प्रोसेस $\Lambda_n$ के स्केलिंग लिमिट का लक्षण वर्णन है।

लिमिट प्रोसेस: पुनर्गठित आइजनवैल्यूज वितरण में $\eta_{Sch}$ नामक एक नए पॉइंट प्रोसेस की ओर अभिसरित होते हैं (जब फेज रैंडमाइज्ड हो तो $\eta_{Sch}^*$ )।
परिभाषा: $\eta_{Sch}$ उन $\lambda$ का सेट है जहाँ लिमिटिंग SDE के समाधान $\theta_\lambda(1)$ के लिए $\theta_\lambda(1) \in 2\pi\mathbb{Z}$ संतुष्ट होता है।
SDE लक्षण वर्णन: $\theta_\lambda(t)$ का समीकरण है:
$d\theta_\lambda(t) = \lambda dt + \frac{\sigma\rho}{(1-t)^{1/2-\eta}} [dB + \text{Im}(e^{-i\theta_\lambda(t)} dW)]$
जहाँ $B$ और $W$ स्वतंत्र ब्राउनियन मोशन हैं।

B. नए पॉइंट प्रोसेस के गुण

शोध पत्र $\eta_{Sch}$ के सांख्यिकीय गुणों का विवरण देता है, जो यह दर्शाता है कि यह Sch $_\tau$ और Sine $_\beta$ दोनों की विशेषताओं को साझा करता है लेकिन अद्वितीय व्यवहार प्रदर्शित करता है:

आइजनवैल्यू रिपल्शन (Eigenvalue Repulsion): एक छोटे अंतर $\epsilon$ के भीतर दो आइजनवैल्यूज मिलने की प्रायिकता सुपर-एक्सपोनेंशियल रूप से घटती है (GOE/GUE में देखी गई पॉलिनोमियल रिपल्शन से भी तेज़)।
$P(\eta_{Sch}[\mu, \mu+\epsilon] \ge 2) \le 4 \exp(-C (\log(1/\epsilon))^2)$
लार्ज गैप प्रोबेबिलिटी (Large Gap Probability): लंबाई $\lambda$ के गैप की प्रायिकता $\exp(-c \lambda^2)$ के रूप में घटती है। घातांक (exponent) में यह द्विघाती (quadratic) ह्रास पॉइसन प्रोसेस के रैखिक ह्रास और Sine $_\beta$ के विशिष्ट रूपों से भिन्न है।
सेंट्रल लिमिट थ्योरम (CLT): हालांकि शोध पत्र बिंदुओं के उतार-चढ़ाव (fluctuations) के लिए एक कच्चा ऊपरी स्तर (crude upper bound) सिद्ध करता है, यह नोट करता है कि Sch $_\tau$ ( $\eta=1/2$ ) और Sine $_\beta$ ( $\eta=0$ ) के लिए ज्ञात परिष्कृत गॉसियन फ्लक्चुएशन को मध्यवर्ती $\eta$ मामले के लिए तुरंत सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है।

C. आइजनफंक्शंस का आकार (Shape of Eigenfunctions)

शोध पत्र आइजनवेक्टर्स के "शेप थ्योरम" का सामान्यीकरण करता है।

एक समान रूप से चुने गए आइजनवैल्यू $\mu$ के लिए, पुनर्गठित आइजनवेक्टर घनत्व $n|\psi_\mu(\lfloor nt \rfloor)|^2$ एक रैंडम मेजर की ओर अभिसरित होता है।
सीमा एक ब्राउनियन मोशन $Z$ और एक यूनिफॉर्म रैंडम वेरिएबल $U$ के सामान्यीकृत एक्सपोनेंशियल फलन द्वारा दी गई है:
$\frac{\exp\left( \int_0^t \dots \right)}{\int_0^1 \exp\left( \int_0^s \dots \right) ds}$
यह परिणाम यूनिफॉर्म डिस्ट्रीब्यूशन (डिलोकलाइज्ड, $\eta \to 0$ लिमिट) और वेनिशिंग मॉडल में देखे गए लोकलाइज्ड एक्सपोनेंशियल डिके प्रोफाइल्स के बीच सामंजस्य स्थापित करता है।

D. सुपरक्रिटिकल डिके (Supercritical Decay)

शोध पत्र संक्षेप में उस मामले को भी संबोधित करता है जहाँ पोटेंशियल क्रिटिकल रेट से तेज़ डिके करता है ( $\tau > 1/2$ सामान्यीकृत मॉडल में)। इस शासन (regime) में, पॉइंट प्रोसेस क्लॉक प्रोसेस (नियतात्मक स्पेसिंग) की ओर अभिसरित होता है और आइजनफंक्शंस समान रूप से फैले हुए होते हैं।

4. महत्व

क्षेत्रों का एकीकरण (Unification of Regimes): यह कार्य एक निरंतर पैरामीट्रिकरण ( $\eta$ ) प्रदान करता है जो वेनिशिंग और डिकेइंग क्रिटिकल मॉडल्स के बीच के अंतराल को जोड़ता है, जिससे दोनों आइजनवैल्यूज और आइजनवेक्टर्स के स्केलिंग लिमिट्स के बीच एक सुचारू संक्रमण (smooth transition) प्रदर्शित होता है।
नई यूनिवर्सलिटी क्लास: $\eta_{Sch}$ प्रोसेस का परिचय एक नई यूनिवर्सलिटी क्लास को स्थापित करता है। यह दर्शाता है कि क्रिटिकल रिजीम केवल Sch $_\tau$ और Sine $_\beta$ प्रक्रियाओं तक सीमित नहीं है, बल्कि इसमें विशिष्ट गैप स्टैटिस्टिक्स और रिपल्शन व्यवहार वाले प्रक्रियाओं का एक परिवार शामिल है।
मेथोडोलॉजिकल प्रगति: सिंगुलर SDE कोएफिशिएंट्स (जहाँ $t=1$ पर डिफ्यूजन टर्म ब्लास्ट होता है) को संभालने और इन विशिष्ट प्रोफाइल्स के लिए टाइटनेस अनुमानों को निकालने का कठोर तरीका अन्य मध्यवर्ती डिके मॉडल्स के विश्लेषण के लिए एक मजबूत ढांचा प्रदान करता है।
भौतिक अंतर्दृष्टि (Physical Insight): ये परिणाम विस्कर्ड सिस्टम्स (disordered systems) में लोकलाइज्ड और डिलोकलाइज्ड चरणों के बीच संक्रमण के बारे में गहरी अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं, विशेष रूप से यह कि डिसऑर्डर प्रोफाइल की "मेमोरी" स्पेक्ट्रल स्टैटिक्स और वेवफंक्शन लोकलाइजेशन को कैसे प्रभावित करती है।

संक्षेप में, यी हान का शोध पत्र क्रिटिकल रैंडम श्रोडिंगर ऑपरेटर्स के सिद्धांत का विस्तार करता है, यह पहचानते हुए और लक्षण वर्णन करते हुए कि जब पोटेंशियल डिके प्रोफाइल वेनिशिंग और डिकेइंग व्यवहारों का मिश्रण होता है, तो नए प्रकार के स्केलिंग लिमिट्स उत्पन्न होते हैं, जो स्पेक्ट्रम के अज्ञात सांख्यिकीय संरचनाओं को प्रकट करते हैं।