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On the Direct Construction of MDS and Near-MDS Matrices

यह शोध पत्र सामान्यीकृत वेंडरमोंड मैट्रिसेस (generalized Vandermonde matrices) से व्युत्पन्न रिकर्सिव और नॉन-रिकर्सिव नियर-एमडीएस (NMDS), नॉन-रिकर्सिव एमडीएस (MDS) और इनवोल्यूटरी एमडीएस/एनएमडीएस (MDS/NMDS) मैट्रिसेस के साथ-साथ एनएमडीएस (NMDS) कोड से संबंधित मौलिक परिणामों को सिद्ध करते हुए, दोनों रिकर्सिव और नॉन-रिकर्सिव नियर-एमडीएस (NMDS) मैट्रिसेस के लिए प्रत्यक्ष निर्माण विधियों को प्रस्तुत करता है।

मूल लेखक: Kishan Chand Gupta, Sumit Kumar Pandey, Susanta Samanta

प्रकाशित 2026-04-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Kishan Chand Gupta, Sumit Kumar Pandey, Susanta Samanta

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप अपने रहस्यों को सुरक्षित रखने के लिए एक अत्यंत सुरक्षित डिजिटल तिजोरी (एक क्रिप्टोग्राफिक सिस्टम) बना रहे हैं। इस तिजोरी को वास्तव में सुरक्षित बनाने के लिए, आपको अपने डेटा को इस तरह से उलझाने (scramble) की आवश्यकता है कि यदि मूल संदेश का एक छोटा सा हिस्सा भी बदल दिया जाए, तो पूरा उलझा हुआ परिणाम पूरी तरह से अलग दिखाई दे। इसे डिफ्यूजन (diffusion) कहा जाता है।

क्रिप्टोग्राफी की दुनिया में, इस काम के लिए उपयोग किए जाने वाले "स्क्रैम्बलर्स" गणितीय ग्रिड हैं जिन्हें मैट्रिक्स (Matrices) कहा जाता है।

यह शोध पत्र इन स्क्रैम्बलर्स को बनाने के नए और बेहतर तरीके खोजने के बारे में है। यहाँ इसका सरल विवरण दिया गया है:

1. लक्ष्य: पूर्ण स्क्रैम्बलर (MDS) बनाम "पर्याप्त अच्छा" स्क्रैम्bler (NMDS)

एक मैट्रिक्स को सामग्रियों को मिलाने वाली एक रेसिपी (विधि) के रूप में समझें।

MDS मैट्रिसेस (Maximum Distance Separable): ये "गोल्ड स्टैंडर्ड" हैं। ये एक मास्टर शेफ की तरह हैं जो सामग्रियों को इतनी पूर्णता से मिलाते हैं कि आप परिणाम को किसी भी तरह से देखें, मूल रेसिपी का हर एक हिस्सा उसमें मौजूद होता है। ये उच्चतम स्तर की सुरक्षा प्रदान करते हैं। हालाँकि, इन्हें बनाना (गणना करना) बहुत महंगा है, जिसमें बहुत अधिक ऊर्जा और समय लगता है।
NMDS मैट्रिसेस (Near-MDS): ये "बजट-अनुकूल" शेफ हैं। ये सामग्रियों को मास्टर शेफ की तरह लगभग उतना ही अच्छा मिलाते हैं, लेकिन इसमें पूर्णता थोड़ी कम होती है। सुरक्षा थोड़ी कम है, लेकिन ये बहुत तेज़ हैं और कम ऊर्जा का उपयोग करते हैं। यह लाइटवेट डिवाइसेस (हल्के उपकरणों) जैसे स्मार्ट कार्ड, सेंसर या IoT गैजेट्स के लिए एकदम सही है जिनमें छोटी बैटरियां होती हैं।

समस्या: "गोल्ड स्टैंडर्ड" (MDS) के लिए, गणितज्ञों के पास लंबे समय से कई रेसिपी रही हैं। लेकिन "बजट-अनुकूल" (NMDS) के लिए, विशेष रूप से उस प्रकार के लिए जिसे रिकर्सिवली (एक सरल चरण को बार-बार दोहराकर) बनाया जा सके, कोई सीधी रेसिपी नहीं थी। लोगों को इनके लिए अनुमान लगाना और परीक्षण करना (सर्च करना) पड़ता था, जो धीमा और अक्षम था।

2. समाधान: एक विशेष टूलबॉक्स से नई रेसिपी

इस शोध पत्र के लेखक कहते हैं, "आइए अनुमान लगाना बंद करें और सीधे निर्माण करना शुरू करें।" वे एक नया टूलबॉक्स पेश करते हैं जिसे जनरलाइज्ड वेंडरमंड मैट्रिसेस (Generalized Vandermonde Matrices) कहा जाता है।

इसे समझने के लिए, एक मानक वेंडरमंड मैट्रिक्स को एक सीढ़ी के रूप में कल्पना करें। प्रत्येक पायदान एक संख्या की घात (power) है (1, x, x², x³...)। यह एक बहुत ही संरचित और पूर्वानुमानित सीढ़ी है।

ट्विस्ट: लेखक एक जनरलाइज्ड (सामान्यीकृत) सीढ़ी का उपयोग करते हैं। वे कुछ पायदानों को छोड़ देते हैं या उन्हें विशिष्ट तरीकों से पुनर्व्यवस्थित करते हैं। यह एक ऐसी संरचना बनाता है जो लचीली है और नंबरों को ट्यून करने के आधार पर "गोल्ड स्टैंडर्ड" (MDS) या "बजट-अनुकूल" (NMDS) दोनों हो सकती है।

3. दो मुख्य रणनीतियाँ

रणनीति A: "रिकर्सिव" विधि (सीढ़ियाँ)

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक छोटी, सरल सीढ़ी (एक छोटा मैट्रिक्स) है। यदि आप इस पर एक बार चढ़ते हैं, तो आप कहीं पहुँचते हैं। यदि आप इस पर दो बार चढ़ते हैं, तो आप कहीं और पहुँचते हैं। यदि आप इसे n बार चढ़ते हैं, तो आप शीर्ष पर पहुँच जाते हैं।

नवाचार: यह शोध पत्र एक सीधा सूत्र प्रदान करता है ताकि उस पहले छोटे सीढ़ी के ढांचे को इस तरह से डिजाइन किया जा सके कि जब आप n बार उस पर चढ़ें, तो आप एक पूर्ण (या लगभग पूर्ण) स्क्रैम्बलर तक पहुँचें।
महत्व: इससे पहले, कोई नहीं जानता था कि "Near-MDS" परिणाम बनाने के लिए उस पहली छोटी सीढ़ी को विशेष रूप से कैसे डिजाइन किया जाए। अब, उनके पास एक ब्लूप्रिंट है। यह लाइटवेट क्रिप्टोग्राफी के लिए बहुत बड़ा है क्योंकि कंप्यूटर के लिए एक छोटी सीढ़ी पर बार-बार चढ़ना बहुत तेज़ और सस्ता होता है।

रणनीति B: "नॉन-रिकर्सिव" विधि (बड़ा मिक्सिंग बाउल)

कभी-कभी आप चरणों को दोहराना नहीं चाहते; आप एक ही बार में एक विशाल, शक्तिशाली मिश्रण चाहते हैं।

नवाचार: लेखक दिखाते हैं कि कैसे इन दो "जनरलाइज्ड लैडर्स" (सीढ़ियों) को मिलाकर एक विशाल, पूर्ण स्क्रैम्बलर बनाया जा सकता है (गणितीय रूप से एक के व्युत्क्रम/इनवर्स से दूसरे को गुणा करके)।
जादुई ट्रिक: उन्होंने खोजा कि अपनी सीढ़ियों में किन "पायदानों" को छोड़ना है (एक सेट $I$ का उपयोग करके), इसे सावधानीपूर्वक चुनकर, वे परिणामी मिश्रण को MDS या NMDS होने के लिए मजबूर कर सकते हैं।

4. "स्वयं-उलटने वाला" फीचर (इनवोल्यूटरी मैट्रिसेस)

क्रिप्टोग्राफी में, आपको एन्क्रिप्ट (लॉक) और डिक्रिप्ट (अनलॉक) करने की आवश्यकता होती है। आमतौर पर, आपको दो अलग-अलग कुंजियों या दो अलग-अलग रेसिपी की आवश्यकता होती है।

कूल डिस्कवरी: लेखकों ने ऐसे मैट्रिसेस बनाने का तरीका खोजा जो इनवोल्यूटरी (Involutory) हैं। इसका अर्थ है कि मैट्रिक्स स्वयं का ही इनवर्स (व्युत्क्रम) है।
उपमा: एक ऐसे ताले की कल्पना करें जिसे लॉक करने के लिए चाबी घुमाने पर, यदि आप इसे फिर से घुमाते हैं तो यह अनलॉक भी हो जाता है। आपको दूसरी चाबी की आवश्यकता नहीं है; वही उपकरण दोनों काम करता है। यह हार्डवेयर में बहुत अधिक स्थान और शक्ति बचाता है।
ब्रेकथ्रू: उन्होंने "Near-MDS" मैट्रिसेस बनाने का पहला सीधा नुस्खा प्रदान किया जो स्वयं-उलटने वाले (self-undoing) भी हैं।

5. यह शोध पत्र क्यों महत्वपूर्ण है

अंतराल को भरना: यह पहेली के एक गायब हिस्से को हल करता है। हमारे पास अंततः "Near-MDS" रिकर्सिव मैट्रिसेस के लिए सीधे नुस्खे हैं, जो पहले गायब थे।
दक्षता (Efficiency): यह इंजीनियरों को चिकित्सा प्रत्यारोपण (medical implants) या स्मार्ट होम सेंसर जैसे छोटे उपकरणों के लिए सुरक्षित सिस्टम बनाने का एक तरीका देता है बिना उनकी बैटरी खत्म किए।
गणितीय प्रमाण: उन्होंने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने ठोस गणित का उपयोग करके सिद्ध किया कि उनके नुस्खे काम करते हैं, जिससे इन कोड्स के व्यवहार के बारे में क्षेत्र में चल रही कुछ भ्रम की स्थितियों को स्पष्ट किया गया।

सारांश

इस शोध पत्र को एक ऐसे कुकबुक के रूप में समझें जो अंततः हमें एक "लगभग-पूर्ण" केक (NMDS) बनाने के सटीक निर्देश देता है जो बनाने में आसान (recursive) भी है और जिसे उसी कांटे से खाया जा सकता है जिसका उपयोग बेक करने के लिए किया गया था (involutory)। पहले, हमारे पास केवल "पूर्ण" केक के निर्देश थे या हमें "लगभग-पूर्ण" एक बनाने के लिए अनुमान लगाना पड़ता था। अब, हमारे पास भविष्य के इंटरनेट ऑफ थिंग्स (IoT) के लिए सुरक्षित, कुशल डिजिटल ताले बनाने का एक स्पष्ट, सीधा मार्ग है।

यहाँ गुप्ता, पांडे और सामंता के शोध पत्र "On the Direct Construction of MDS and Near-MDS Matrices" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र Maximum Distance Separable (MDS) और Near-MDS (NMDS) मैट्रिसेस के निर्माण की चुनौती को संबोधित करता है, जो कि सिमेट्रिक-की क्रिप्टोग्राफिक प्रिमिटिव्स (ब्लॉक साइफर्स और हैश फंक्शन्स) के डिफ्यूजन लेयर्स के महत्वपूर्ण घटक हैं।

MDS मैट्रिसेस: इष्टतम ब्रांच नंबर प्रदान करते हैं, जो अधिकतम डिफ्यूजन सुनिश्चित करते हैं, लेकिन बड़े ऑर्डर्स के लिए अक्सर उच्च कार्यान्वयन लागत (हार्डवेयर एरिया/लेटेंसी) की आवश्यकता होती है।
NMDS मैट्रिसेस: एक उप-इष्टतम (sub-optimal) ब्रांच नंबर प्रदान करते हैं लेकिन दक्षता और सुरक्षा के बीच एक बेहतर संतुलन प्रदान करते हैं, जिससे वे लाइटवेट क्रिप्टोग्राफी के लिए आदर्श बन जाते हैं।
अंतराल (The Gap): जबकि MDS मैट्रिसेस के लिए व्यापक शोध सर्च-आधारित विधियों (एग्जॉस्टिव सर्च) और डायरेक्ट कंस्ट्रक्शन पर मौजूद है, रिकर्सिव NMDS मैट्रिसेस के लिए डायरेक्ट कंस्ट्रक्शन विधियों की एक बड़ी कमी है। इसके अलावा, मौजूदा डायरेक्ट कंस्ट्रक्शन विधियाँ इनवोल्यूटरी (स्व-प्रतिवर्ती/self-inverse) NMDS मैट्रिसेस के लिए साहित्य में अनुपस्थित हैं। बड़े मैट्रिक्स ऑर्डर्स या बड़े फाइनाइट फील्ड्स के लिए एग्जॉस्टिव सर्च अव्यवहारिक है क्योंकि इसमें एक्सपोनेंशियल ग्रोथ होती है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक डायरेक्ट कंस्ट्रक्शन फ्रेमवर्क प्रस्तावित करते हैं जो एल्जेब्रिक स्ट्रक्चर्स, विशेष रूप से Generalized Vandermonde Matrices और Companion Matrices पर आधारित है, न कि एग्जॉस्टिव सर्च पर।

A. रिकर्सिव कंस्ट्रक्शन (Companion Matrices)

पेपर उन मैट्रिसेस $B$ के निर्माण पर केंद्रित है ताकि $B^m$ (जहाँ $m \ge n$ ) एक MDS या NMDS मैट्रिक्स हो।

सैद्धांतिक आधार: लेखक यह गुण उपयोग करते हैं कि एक पॉलिनोमियल $g(x)$ से जुड़ा कंपेनियन मैट्रिक्स $C_g$ , जिसके अलग-अलग रूट्स (roots) हों, उसे $C_g = V D V^{-1}$ के रूप में डायगोनलाइज किया जा सकता है, जहाँ $V$ एक वेंडरमंड मैट्रिक्स है और $D$ आइगेनवैल्यूज का एक डायगोनल मैट्रिक्स है।
रणनीति:
- वे रूटों ( $\lambda_i$ ) पर ऐसी शर्तें व्युत्पन्न करते हैं जो यह सुनिश्चित करती हैं कि परिणामी मैट्रिक्स $C_g^m$ आवश्यक रैंक शर्तों को पूरा करे जो MDS या NMDS कोड के लिए आवश्यक हैं।
- NMDS के लिए: वे NMDS मानदंडों (जहाँ $d_1 = n-k$ और $d_2 = n-k+2$ ) को संतुष्ट करने के लिए रूट्स के विशिष्ट सबसेट्स के बीच जानबूझकर विशिष्ट लीनियर डिपेंडेंसी (zero-sum constraints) पेश करते हैं।
- MDS के लिए: वे यह सुनिश्चित करते हैं कि आकार $n$ के किसी भी सबसेट के लिए ऐसी कोई zero-sum डिपेंडेंसी मौजूद न हो।

B. नॉन-रिकर्सिव कंस्ट्रक्शन (Generalized Vandermonde Matrices)

लेखक Generalized Vandermonde Matrices ( $V^\perp(x; I)$ ) का उपयोग करते हैं, जो विशिष्ट एक्सपोनेंट्स हटाए गए (सेट $I$ द्वारा परिभाषित) स्टैंडर्ड वेंडरमंड मैट्रिसेस हैं।

तंत्र (Mechanism): वे $A = V_1^{-1} V_2$ के रूप में MDS/NMDS मैट्रिसेस का निर्माण करते हैं, जहाँ $V_1$ और $V_2$ एक फाइनाइट फील्ड $\mathbb{F}_q$ पर जेनेरालाइज्ड वेंडरमंड मैट्रिसेस हैं।
डिटरमिनेंट विश्लेषण: जेनेरालाइज्ड वेंडरमंड मैट्रिसेस के डिटरमिनेंट्स (एलिमेंट्री सिमेट्रिक पॉलिनोमिअल्स से संबंधित) के बारे में थ्योरम्स का उपयोग करते हुए, वे तत्वों $x_i$ पर सटीक एल्जेब्रिक स्थितियाँ व्युत्पन्न करते हैं ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि $A$ के सभी स्क्वायर सब-मैट्रिसेस नॉन-सिंगुलर (MDS के लिए) या विशिष्ट रैंक डेफिशिएंसी (NMDS के लिए) को संतुष्ट करते हैं।
इनवोल्यूटरी कंस्ट्रक्शन: इनवोल्यूटरी मैट्रिसेस (जहाँ $A = A^{-1}$ ) बनाने के लिए, वे $V_1$ और $V_2$ के तत्वों के बीच एक सिमेट्रिक एल्जेब्रिक संबंध लागू करते हैं (विशेष रूप से विशेषता 2 वाले फील्ड्स में $x_{n+i} = l + x_i$ ), जिससे यह सुनिश्चित होता है कि परिणामी उत्पाद स्वयं का इनवर्स है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

यह पेपर चार प्राथमिक योगदान देता है:

रिकर्सिव NMDS मैट्रिसेस का प्रथम डायरेक्ट कंस्ट्रक्शन:
- लेखक कंपेनियन मैट्रिसेस का उपयोग करके रिकर्सिव NMNS मैट्रिसेस के निर्माण के लिए नई विधियाँ प्रस्तावित करते हैं। यह एक महत्वपूर्ण अंतराल को भरता है, क्योंकि इस क्लास के लिए पहले कोई डायरेक्ट कंस्ट्रक्शन मौजूद नहीं था।
- वे NMNS प्रॉपर्टी प्राप्त करने के लिए पॉलिनोमियल रूट्स के विवरण देने वाले विशिष्ट थ्योरम्स (Theorem 10, Lemma 11) प्रदान करते हैं।
रिकर्सिव MDS मैट्रिसेस का डायरेक्ट कंस्ट्रक्शन:
- रिकर्सिव MDS मैट्रिसेस के लिए एक नया डायरेक्ट कंस्ट्रक्शन पेश किया गया है (Theorem 11), जो मौजूदा कोडिंग-थ्योरेटिक दृष्टिकोणों (जैसे शॉर्टनड BCH या गैबलिडिन कोड) का एक विकल्प प्रदान करता है।
नॉन-रिकर्सिव मैट्रिसेस के लिए Generalized Vandermonde Framework:
- पेपर एक विशिष्ट एक्सपोनेंट सेट $I \in \{1, n-1, 1, n\}$ के साथ जेनेरालाइज्ड वेंडरमंड मैट्रिसेस का उपयोग करके एक नया दृष्टिकोण पेश करता है।
- MDS: थ्योरम 12, 15, और 17 नॉन-रिकर्सिव MDS मैट्रिसेस के लिए डायरेक्ट कंस्ट्रक्शन प्रदान करते हैं।
- NMDS: थ्योरम 13 और 16 इस फ्रेमवर्क का उपयोग करके नॉन-रिकर्सिव NMNS मैट्रिसेस के पहले डायरेक्ट कंस्ट्रक्शन प्रदान करते हैं।
इनवोल्यूटरी MDS और NMDS कंस्ट्रक्शन:
- इनवोल्यूटरी MDS: इनवोल्यूटरी MDS मैट्रिसेस के निर्माण के लिए एक विधि विकसित की गई है (Corollary 7)।
- इनवोल्यूटरी NMDS: पेपर फाइनाइट फील्ड्स पर इनवोल्यूटरी NMNS मैट्रिसेस का प्रथम डायरेक्ट कंस्ट्रक्शन प्रस्तुत करता है (Corollary 8), जो लाइटवेट क्रिप्टोग्राफी के लिए एक महत्वपूर्ण प्रगति है जहाँ स्व-प्रतिवर्ती डिफ्यूजन लेयर्स डिक्रिप्शन लागत को कम करती हैं।
सैद्धांतिक प्रमाण (Theoretical Proofs):
- पेपर NMNS कोड्स और जेनेरालाइज्ड हैमिंग वेट्स से संबंधित कई "फोल्कलोर" परिणामों के लिए औपचारिक प्रमाण प्रदान करता है, जिनका अक्सर उद्धरण दिया जाता है लेकिन जो पहले कठोर प्रमाण के बिना थे।

4. परिणाम और सत्यापन (Results and Validation)

सैद्धांतिक सत्यापन: लेखक सिद्ध करते हैं कि उनके कंस्ट्रक्शन आवश्यक रैंक शर्तों (जैसे MDS के लिए किसी भी $k$ कॉलम का लीनियरली इंडिपेंडेंट होना; NMNS के लिए विशिष्ट रैंक डेफिशिएंसी) को पूरा करते हैं।
ठोस उदाहरण: पेपर फाइनाइट फील्ड्स (जैसे $\mathbb{F}_{2^4}$ $F_{2^{4}}$ और $\mathbb{F}_{2^8}$ $F_{2^{8}}$ ) पर स्पष्ट संख्यात्मक उदाहरण प्रदान करता है जो प्रस्तावित विधियों की व्यवहार्यता को प्रदर्शित करते हैं।
- उदाहरण 4 और 5: विशिष्ट पॉलिनोमिअल्स से निर्मित रिकर्सिव NMNS मैट्रिसेस को दर्शाते हैं।
- उदाहरण 11 और 12: क्रमशः $6 \times 6$ इनवोल्यूटरी MDS और $4 \times 4$ इनवोल्यूटरी NMNS मैट्रिसेस के निर्माण का प्रदर्शन करते हैं।
तुलना: पेपर में दी गई टेबल 1 नवीनता को सारांशित करती है, जो यह उजागर करती है कि प्रस्तावित विधियाँ रिकर्सिव NMNS और इनवोल्यूटरी NMNS मैट्रिसेस के लिए प्रत्यक्ष निर्माण प्रदान करने वाली पहली विधियाँ हैं।

5. महत्व (Significance)

लाइटवेट क्रिप्टोग्राफी: NMNS मैट्रिसेस के लिए डायरेक्ट कंस्ट्रक्शन प्रदान करके, यह पेपर MDS मैट्रिसेस की तुलना में हार्डवेयर एरिया और पावर कंजम्पशन के मामले में अधिक कुशल डिफ्यूजन लेयर्स को डिजाइन करने में सक्षम बनाता है, बिना सुरक्षा गारंटी से समझौता किए।
स्केलेबिलिटी (Scalability): बड़े ऑर्डर्स के मैट्रिसेस उत्पन्न करने के लिए डायरेक्ट कंस्ट्रक्शन आवश्यक हैं जहाँ एग्जॉस्टिव सर्च कम्प्यूटेशनल रूप से असंभव है। यह कार्य बड़े ब्लॉक साइज के लिए सुरक्षित साइफर्स को डिजाइन करने की क्षमता को बढ़ाता है।
कार्यान्वयन दक्षता (Implementation Efficiency): इनवोल्यूटरी मैट्रिसेस का निर्माण हार्डवेयर कार्यान्वयन के लिए विशेष रूप से मूल्यवान है, क्योंकि यह एन्क्रिप्शन और डिक्रिप्शन दोनों के लिए एक ही सर्किट का उपयोग करने की अनुमति देता है, जिससे चिप एरिया काफी कम हो जाता है।
सैद्धांतिक विस्तार: यह कार्य मानक कॉची (Cauchy) और वेंडरमंड कंस्ट्रक्शन से आगे बढ़कर, सिमेट्रिक पॉलिनोमिअल्स और जेनेरालाइज्ड एक्सपोनेंट्स के एल्जेब्रिक गुणों का उपयोग करते हुए, MDS/NMNS मैट्रिसेस के सैद्धांतिक डिजाइन स्पेस को व्यापक बनाता है।

निष्कर्षतः, यह पेपर रिकर्सिव और इनवोल्यूटरी NMNS मैट्रिसेस के निर्माण के लिए पहली व्यवस्थित, प्रत्यक्ष विधियाँ प्रदान करके, सैद्धांतिक कोडिंग थ्योरी और व्यावहारिक क्रिप्टोग्राफिक कार्यान्वयन के बीच के अंतर को पाटता है, जिससे लाइटवेट क्रिप्टोग्राफी के क्षेत्र में अत्याधुनिक प्रगति होती है।