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On $O(n)$ Algorithms for Projection onto the Top- $k$ -sum Sublevel Set

यह शोध पत्र टॉप- $k$ -सम सबलेवल सेट (top- $k$ -sum sublevel set) पर यूक्लिडियन प्रोजेक्शन की गणना करने के लिए $k$ से स्वतंत्र, $O(n)$ जटिलता वाले दो परिमित-समाप्ति एल्गोरिदम (finite-termination algorithms) प्रस्तुत करता है, जो बड़े पैमाने के सुपरक्वांटाइल अनुकूलन (superquantile optimization) समस्याओं के लिए मौजूदा विधियों की तुलना में सैद्धांतिक दक्षता और व्यावहारिक रनटाइम दोनों में काफी बेहतर प्रदर्शन करते हैं।

मूल लेखक: Jake Roth, Ying Cui

प्रकाशित 2026-03-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jake Roth, Ying Cui

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल रसोई चला रहे हैं जिसमें लाखों सामग्रियां (संख्याओं का एक वेक्टर) हैं। आपका बॉस आपको एक सख्त नियम देता है: "आप केवल शीर्ष $k$ सबसे महंगी सामग्रियों का उपयोग कर सकते हैं, और उनकी कुल लागत एक विशिष्ट बजट $r$ से अधिक नहीं होनी चाहिए।"

यदि आपकी वर्तमान सामग्रियों का चयन बहुत महंगा है, तो आपको उन्हें समायोजित करने की आवश्यकता है। आप कीमतों को जितना संभव हो सके उतना कम बदलना चाहते हैं (मूल स्वाद बनाए रखने के लिए) जबकि बजट के नियम का सख्ती से पालन करना चाहते हैं। गणितीय रूप से, इसे यूक्लिडियन प्रोजेक्शन ऑन द टॉप- $k$ -सम सबलेवल सेट (Euclidean projection onto the top- $k$ -sum sublevel set) कहा जाता है।

यह शोध पत्र इस समस्या को हल करने का एक नया, अत्यंत तेज़ तरीका पेश करता है, जो उन्नत एआई (AI) और जोखिम-प्रबंधन प्रणालियों के लिए महत्वपूर्ण है। यहाँ सरल उपमाओं का उपयोग करके इसका विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "टॉप $k$ " बजट

कई वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में (जैसे वित्तीय जोखिम का प्रबंधन करना या एआई को मजबूत बनाना), हम "सबसे खराब" या "शीर्ष" परिणामों की परवाह करते हैं।

नियम: अपनी संख्याओं की सूची देखें। उनमें से सबसे बड़ी $k$ संख्याएँ चुनें। उन्हें आपस में जोड़ें। यदि उनका योग बजट से अधिक है, तो आपको उन्हें कम करना होगा।
लक्ष्य: बजट को पूरा करने के लिए संख्याओं को बस इतना ही कम करें, लेकिन बदलावों को यथासंभव छोटा रखें।
चुनौती: आप केवल किसी भी संख्या को कम नहीं करते हैं; आपको सबसे बड़ी संख्याओं को कम करना होगा, और आपको क्रम को बनाए रखना होगा (सबसे बड़ी संख्या दूसरी सबसे बड़ी से बड़ी रहनी चाहिए, आदि)।

2. पुराना तरीका: धीमा खोज (Slow Search)

इस शोध पत्र से पहले, इसे हल करना एक घास के ढेर में सुई खोजने जैसा था, जहाँ आप हर एक तिनके को एक-एक करके जाँचते हैं।

ग्रिड सर्च (Grid Search): कल्पना कीजिए कि आप "कितना कम करना है" के हर संभावित संयोजन का परीक्षण करके सही कीमत का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं। यदि आपके पास दस लाख सामग्रियां हैं, तो यह तरीका घंटों या दिनों तक लग सकता है। यह एक कॉम्बिनेशन लॉक को हर डायल को हर नंबर पर घुमाकर खोलने की कोशिश करने जैसा है।
न्यूटन विधि (Newton Method): यह एक सुपर-स्मार्ट कैलकुलेटर का उपयोग करने जैसा है जो उत्तर का अनुमान लगाता है और उसे परिष्कृत करता है। यह तेज़ है, लेकिन कभी-कभी यह फंस जाता है या, विशाल डेटासेट के साथ, इसे अभिसरण (converge) करने में लंबा समय लग सकता है।
"गुरोबी" (Gurobi) सॉल्वर: यह एक शक्तिशाली, सामान्य-उद्देश्य वाला टूल है (जैसे कि स्विस आर्मी नाइफ)। यह काम करता है, लेकिन यह इस विशिष्ट कार्य के लिए भारी और धीमा है। यह रेत के एक अकेले कण को हटाने के लिए बुलडोजर का उपयोग करने जैसा है।

3. नया समाधान: "स्मार्ट एलीवेटर" और "अर्ली स्टॉपर"

लेखकों ने दो नए एल्गोरिदम बनाए हैं जो जादुई लिफ्ट की तरह काम करते हैं, जो आपको एक सेकंड के कुछ हिस्से में सीधे उत्तर तक ले जाते हैं।

विधि A: "पैरामेट्रिक एलीवेटर" (PLCP)

कल्पना कीजिए कि आप $n$ मंजिलों वाली एक इमारत में हैं। आपको ठीक उस मंजिल को खोजना है जहाँ "बजट" पूरी तरह से मिल जाता है।

हर मंजिल की जाँच करने के बजाय, यह एल्गोरिदम इमारत की विशेष संरचना (गणितीय रूप से, यह एक "Z-मैट्रिक्स" है) का उपयोग करता है।
यह ऊपर से शुरू होता है और एक सुचारू, अनुमानित पथ पर नीचे की ओर फिसलता है। इमारत के डिज़ाइन के कारण, यह जानता है कि किन मंजिलों को छोड़ना है।
जादू: यह केवल अनुमान नहीं लगाता; यह सटीक पथ की गणना करता है। यह एक "पिवट पॉइंट" से दूसरे तक जाता है, यह गारंटी देते हुए कि यह मंजिलों की संख्या ( $n$ ) के वर्ग के बजाय, मंजिलों की संख्या के बराबर चरणों में उत्तर खोज लेगा।

विधि B: "अर्ली-स्टॉपर" (ESGS)

यह विधि एक जासूस की तरह है जो संदिग्धों को बाहर करते हुए रहस्य सुलझाता है।

पुराना जासूस: हर एक संदिग्ध (शीर्ष संख्याओं के हर संभावित संयोजन) का साक्षात्कार लेता ताकि यह देखा जा सके कि कौन विवरण में फिट बैठता है।
नया जासूस (ESGS): एक पूर्वाभास के साथ शुरू करता है। जैसे ही उसे कोई ऐसा सुराग मिलता है जो साबित करता है कि एक संदिग्ध अपराधी नहीं हो सकता, वह तुरंत उस पूरे समूह का साक्षात्कार करना बंद कर देता है।
ट्रिक: लेखकों ने महसूस किया कि यदि संख्याओं का एक निश्चित संयोजन एक विशिष्ट परीक्षण में विफल रहता है, तो नीचे के सभी समान संयोजन भी विफल हो जाएंगे। इसलिए, वे खोज के विशाल हिस्सों को "छोड़" देते हैं। वे संभावनाओं के माध्यम से एक ज़िग-ज़ैग पथ पर चलते हैं, और जैसे ही उन्हें सटीक फिट मिलता है, वे रुक जाते हैं।

4. "पार्शियल सॉर्ट" (Partial Sort) ट्रिक

आमतौर पर, इसे हल करने के लिए, आपको पहले सामग्रियों की पूरी सूची को सबसे महंगी से सबसे सस्ती के क्रम में व्यवस्थित करना पड़ता है। दस लाख वस्तुओं को सॉर्ट करने में समय लगता है।

नवाचार: लेखकों ने महसूस किया कि आपको सब कुछ सॉर्ट करने की आवश्यकता नहीं है। आपको केवल उस शीर्ष भाग को सॉर्ट करने की आवश्यकता है जो वास्तव में मायने रखता है।
उपमा: यदि आपको दस लाख की सूची में शीर्ष 100 आइटम चाहिए, तो आपको निचले 999,900 आइटमों को व्यवस्थित करने की आवश्यकता नहीं है। आपको बस शीर्ष 100 को खोजना है। उनका एल्गोरिदम इस समस्या को हल करते समय केवल आवश्यक चीजों को "ऑन द फ्लाई" (on the fly) सॉर्ट करता है। यह एक बहुत बड़ा समय बचाने वाला तरीका है, खासकर यदि आप इस समस्या को बार-बार हल कर रहे हैं (जैसे कि एक वीडियो गेम लूप या एआई ट्रेनिंग चक्र में)।

5. यह क्यों मायने रखता है: स्पीड डेमन (Speed Demon)

इन विधियों का परीक्षण विशाल डेटासेट (1 करोड़ आइटम) पर किया गया।

पुरानी विधियाँ: मिनटों से लेकर घंटों तक का समय लेती थीं।
नई विधियाँ: 0.05 सेकंड में पूरा हो गईं।

मुख्य बात:
कल्पना कीजिए कि आप कार चला रहे हैं। पुराने तरीके शहर में हर ब्लॉक पर ट्रैफिक लाइट के साथ एक भारी ट्रक चलाने जैसे थे। नए तरीके बिना किसी ट्रैफिक के एक सीधे ट्रैक पर फॉर्मूला 1 कार की तरह हैं।

यह गति सुपरक्वांटाइल ऑप्टिमाइजेशन (Superquantile Optimization) के लिए महत्वपूर्ण है, जिसका उपयोग किया जाता है:

ऐसे एआई सिस्टम बनाने के लिए जो डेटा बदलने पर क्रैश न हों (मजबूती/robustness)।
ऐसे सुरक्षित पुलों और वित्तीय प्रणालियों को डिजाइन करने के लिए जो "सबसे खराब स्थिति" वाले परिदृश्यों का सामना कर सकें।
मशीन लर्निंग में अनुचित या असंतुलित डेटा को संभालने के लिए।

इस गणना को तत्काल बनाकर, लेखकों ने सुपरक्वांटाइल ऑप्टिमाइजेशन की बहुत बड़ी, अधिक जटिल और सुरक्षित अनुकूलन समस्याओं को हल करने की क्षमता को अनलॉक कर दिया है जो पहले व्यावहारिक रूप से बहुत धीमी थीं।

यहाँ जेक रोथ और यिंग कुई के शोध पत्र "On O(n) Algorithms for Projection onto the Top-k-sum Sublevel Set" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या की परिभाषा

यह शोध पत्र टॉप- $k$ -सम सबलेवल सेट (top- $k$ -sum sublevel set) पर यूक्लिडियन प्रोजेक्शन को संबोधित करता है। एक स्केलर बजट $r$ , एक इंडेक्स $k \in \{1, \dots, n\}$ , और एक इनपुट वेक्टर $x_0 \in \mathbb{R}^n$ दिए जाने पर, लक्ष्य निम्नलिखित स्ट्रॉन्गली कॉनवेक्स क्वाड्रेटिक प्रोग्राम (strongly convex quadratic program) को हल करना है:

$\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & \frac{1}{2} \|x - x_0\|_2^2 \\ \text{subject to} \quad & T^{(k)}(x) := \sum_{i=1}^k \vec{x}_i \leq r \end{aligned}$

जहाँ $\vec{x}$ गैर-बढ़ते क्रम (non-increasing order) में व्यवस्थित वेक्टर $x$ को दर्शाता है ( $\vec{x}_1 \geq \vec{x}_2 \geq \dots \geq \vec{x}_n$ ), और $T^{(k)}(x)$ शीर्ष $k$ घटकों का योग है।

संदर्भ और प्रेरणा:

सुपरक्वांटाइल ऑप्टिमाइज़ेशन (Superquantile Optimization): टॉप- $k$ -सम ऑपरेटर सीधे तौर पर सुपरक्वांटाइल (जिसे कंडीशनल वैल्यू-एट-रिस्क या CVaR भी कहा जाता है) से संबंधित है। यह प्रोजेक्शन रिस्क-अवेर (risk-averse) बाधाओं वाले कंपोजिट ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याओं (जैसे कि रोबस्ट डिज़ाइन, फेयर मशीन लर्निंग, और सेफ्टी-क्रिटिकल सिस्टम) को हल करने में एक महत्वपूर्ण सबरूटीन है।
मौजूदा सीमाएँ:
- सामान्य सॉल्वर (जैसे Gurobi): हालांकि ये लागू किए जा सकते हैं, लेकिन बड़े पैमाने की समस्याओं ( $n \sim 10^7$ ) के लिए ये बहुत धीमे हैं और अक्सर अपूर्ण समाधान (inexact solutions) देते हैं, जिससे सेकंड-ऑर्डर विधियों के लिए आवश्यक जनरलाइज्ड जैकोबियन (generalized Jacobians) की गणना जटिल हो जाती है।
- ग्रिड-सर्च विधियाँ (Grid-Search Methods): मौजूदा विशिष्ट विधियों (जैसे [38] से) की जटिलता $O(k(n-k))$ है। जब $k$ , $n$ का एक लीनियर फ्रैक्शन होता है (जो व्यवहार में सामान्य है), तो यह $O(n^2)$ तक गिर जाती है, जिससे बड़े $n$ के लिए यह निषेधात्मक हो जाती है।
- सेमीस्मूथ न्यूटन विधियाँ (Semismooth Newton Methods): हालांकि इनका परिमित-समाप्ति (finite-termination) गारंटीकृत है, लेकिन इनके फ्लोटिंग-पॉइंट कॉम्प्लेक्सिटी स्पष्ट नहीं है, और इन्हें अक्सर इनपुट वेक्टर के पूर्ण सॉर्टिंग की आवश्यकता होती है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक दो फिनिट-टर्मिनेशन एल्गोरिदम (finite-termination algorithms) प्रस्तावित करते हैं जो सॉर्टेड इनपुट वेक्टर्स के लिए $O(n)$ जटिलता प्राप्त करते हैं, जिनके स्थिरांक (constants) $k$ से स्वतंत्र हैं। दोनों एल्गोरिदम इस बात का लाभ उठाते हैं कि जब इनपुट सॉर्टेड हो, तो कारश-कुन-टकर (KKT) स्थितियाँ कैसी होती हैं।

A. पैरामेट्रिक लीनियर कॉम्प्लीमेंटैरिटी प्रॉब्लम (PLCP) दृष्टिकोण

अवधारणा: यह विधि प्रोजेक्शन समस्या को एक Z-मैट्रिक्स (एक ऐसी मैट्रिक्स जिसके ऑफ-डायगोनल तत्व गैर-धनात्मक होते हैं) से जुड़ी पैरामेट्रिक LCP के रूप में मानती है।
तंत्र:
1. बजट बाधा को ऑब्जेक्टिव फंक्शन में एक पैरामीटर $\lambda \geq 0$ के साथ दंडित (penalize) किया जाता है।
2. समस्या को एक ऐसे $\lambda$ को खोजने के रूप में पुनर्गठित किया जाता है जो आइसोटोनिक (isotonic/क्रमबद्ध) बाधाओं को बनाए रखते हुए बजट बाधा को संतुष्ट करता है।
3. एल्गोरिदम एक पिवोटिंग विधि (Z-मैट्रिक्स के लिए विशेष रूप से अनुकूलित) का उपयोग करता है ताकि $\lambda$ को 0 से $+\infty$ तक बढ़ाते समय समाधान पथ का पता लगाया जा सके।
4. संबद्ध मैट्रिक्स की ट्राइडायगोनल संरचना के कारण, प्रत्येक पिवोट स्टेप $O(1)$ समय लेता है।
5. एल्गोरिदम तब समाप्त होता है जब बजट बाधा पूरी हो जाती है।
जटिलता: सॉर्टेड इनपुट्स के लिए $O(n)$ ।

B. अर्ली-स्टॉपिंग ग्रिड-सर्च (ESGS) दृष्टिकोण

अवधारणा: यह [38] में पेश की गई ग्रिड-सर्च विधि का एक अनुकूलित संस्करण है। यह सभी इंडेक्स जोड़ों $(k_0, k_1)$ को थकाऊ तरीके से खोजने के बजाय, जो "ब्रेकपॉन्ट्स" को परिभाषित करते हैं, KKT रेसिडुअल्स (residuals) के मोनोटोनिसिटी गुणों का लाभ उठाता है।
तंत्र:
1. एल्गोरिदम एक विशिष्ट इंडेक्स जोड़े $(k-1, k)$ से शुरू होता है।
2. यह इस आधार पर सर्च स्पेस में घूमता है कि कौन सी KKT स्थितियाँ उल्लंघन करती हैं: या तो $k_0$ को कम करके या $k_1$ को बढ़ाकर।
3. मुख्य अंतर्दृष्टि: KKT स्थितियाँ ग्लोबल मोनोटोनिसिटी प्रदर्शित करती हैं। यदि कोई स्थिति एक निश्चित इंडेक्स पर विफल होती है, तो एल्गोरिदम यह सिद्ध कर सकता है कि सर्च दिशा में उसके पीछे के सभी इंडेक्स भी अमान्य हैं। यह एल्गोरिदम को ग्रिड सर्च के बड़े हिस्सों को छोड़ने (skip) की अनुमति देता है।
4. पथ $(k_0, k_1)$ स्पेस में सख्ती से "ऊपर" या "दाएं" चलता है, जो अधिकतम $n$ स्टेप्स में समाप्ति की गारंटी देता है।
जटिलता: सॉर्टेड इनपुट्स के लिए $O(n)$ ।

C. अनसॉर्टेड इनपुट्स को संभालना (पार्शियल सॉर्टिंग)

अनसॉर्टेड इनपुट्स के लिए, पारंपरिक रूप से पूर्ण सॉर्टिंग ( $O(n \log n)$ ) की आवश्यकता होती है। हालाँकि, लेखक देखते हैं कि समाधान केवल शीर्ष $k$ तत्वों को ही विचलित (perturb) करता है (विशेष रूप से इंडेक्स $\bar{k}_1$ तक)।
वे एक मैक्स-हीप (max-heap) का उपयोग करके एक ऑनलाइन सॉर्टिंग रणनीति प्रस्तावित करते हैं। तत्वों को एल्गोरिदम के निष्पादन के दौरान केवल आवश्यकतानुसार निकाला जाता है।
जटिलता: $O(\bar{k}_1 \log n)$ , जहाँ $\bar{k}_1 \leq n$ अंतिम संशोधित तत्व का इंडेक्स है। यह पूर्ण सॉर्टिंग की तुलना में काफी तेज़ है जब $\bar{k}_1 \ll n$ हो।
वे एक कठोर जाँच भी प्रदान करते है जो यह सत्यापित करती है कि क्या एक कैंडिडेट परम्यूटेशन (जैसे कि समस्याओं के एक अनुक्रम में पिछले इटरेशन से) पर्याप्त है, जिससे कई इटरेटिव परिदृश्यों में पूर्ण री-सॉर्टिंग से बचा जा सके।

3. मुख्य योगदान

दो नए $O(n)$ एल्गोरिदम: PLCP और ESGS की प्रस्तुति, जो इस समस्या के सॉर्टेड संस्करण के लिए $k$ से स्वतंत्र स्थिरांकों के साथ $O(n)$ जटिलता की गारंटी देने वाले पहले तरीके हैं।
सैद्धांतिक कठोरता: Z-मैट्रिक्स गुणों और KKT मोनोटोनिसिटी का लाभ उठाते हुए, परिमित समाप्ति (finite termination) और जटिलता सीमाओं के प्रमाण।
पार्शियल सॉर्टिंग ऑप्टिमाइज़ेशन: अनसॉर्टेड इनपुट्स को संभालने के लिए एक नवीन प्रक्रिया, जिसकी लागत पूर्ण आयाम के बजाय प्रभावित तत्वों की संख्या के समानुपाती है, जो इटरेटिव अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण है।
वेक्टर- $k$ -नॉर्म तक विस्तार: ये विधियाँ Ky-Fan नॉर्म बॉल (वेक्टर- $k$ -नॉर्म) पर प्रोजेक्शन के लिए अनुकूलनीय हैं, जो एक संबंधित लेकिन थोड़ी अधिक जटिल समस्या है।

4. संख्यात्मक परिणाम (Numerical Results)

लेखकों ने अपने एल्गोरिदम को Julia में लागू किया और उनकी तुलना निम्नलिखित से की:

GRID: मानक ग्रिड-सर्च विधि ( $O(k(n-k))$ )।
SSN: सेमीस्मूथ न्यूटन विधि।
Gurobi (GRBS/GRBU): कमर्शियल QP सॉल्वर (सॉर्टेड और अनसॉर्टेड फॉर्मुलेशन)।

मुख्य निष्कर्ष:

गति: प्रस्तावित विधियाँ (ESGS और PLCP) मौजूदा विधियों की तुलना में कई गुना तेज़ हैं।
- $n=10^7$ और $k=10^4$ के लिए, ESGS/PLCP समस्या को ~0.05 सेकंड में हल करते हैं।
- SSN विधि ~1 सेकंड लेती है।
- Gurobi और ग्रिड-सर्च विधि मिनटों से घंटों तक (या टाइम आउट) लेती है।
स्केलेबिलिटी: प्रस्तावित विधियाँ लीनियर स्केलिंग ( $O(n)$ ) प्रदर्शित करती हैं, जबकि ग्रिड-सर्च विधि क्वाड्रेटिक स्केलिंग ( $O(n^2)$ ) प्रदर्शित करती है।
मजबूती (Robustness): कठिन उदाहरणों (जहाँ कई पिवोट्स की आवश्यकता होती है) में ESGS लगातार PLCP से बेहतर प्रदर्शन करता है (लगभग $\approx 2$ के कारक से) और आसान उदाहरणों में प्रतिस्पर्धी बना रहता है।
सॉर्टिंग ओवरहेड: बड़े $n$ के लिए, पूर्ण सॉर्टिंग की लागत सॉर्टेड वेक्टर पर प्रोजेक्शन को हल करने के लिए प्रस्तावित एल्गोरिदम द्वारा लिए गए समय से अधिक है, जो पार्शियल सॉर्टिंग ऑप्टिमाइज़ेशन के महत्व को उजागर करती है।

5. महत्व

यह कार्य सुपरक्वांटाइल-कंस्ट्रेंड ऑप्टिमाइज़ेशन के लिए एक व्यावहारिक, उच्च-प्रदर्शन ऑरेकल (oracle) प्रदान करता है।

बड़े पैमाने के अनुप्रयोगों को सक्षम बनाना: प्रोजेक्शन लागत को मिनटों/घंटों से मिलीसेकंड में कम करके, यह लाखों वेरिएबल्स ( $n \sim 10^7$ ) वाली समस्याओं के लिए इटरेटिव विधियों (जैसे ऑगमेंटेड लैग्रेंजियन या प्रोजेक्टेड ग्रेडिएंट डिसेंट) को व्यवहार्य बनाता है।
मशीन लर्निंग और रिस्क मैनेजमेंट पर प्रभाव: यह उन रोबस्ट, फेयर और रिस्क-अवेर मॉडल्स के प्रशिक्षण को सुगम बनाता है जहाँ CVaR बाधाएं आवश्यक हैं लेकिन पहले बड़े पैमाने पर कम्प्यूटेशनल रूप से निषेधाध्य (prohibitive) थीं।
एल्गोरिद्मिक दक्षता: यह प्रदर्शित करता है कि कैसे विशिष्ट कॉम्बिनेटोरियल स्ट्रक्चर (Z-मैट्रिक्स और KKT मोनोटोनिसिटी) का उपयोग करके जेनेरिक कॉनवेक्स ऑप्टिमाइज़ेशन बॉटलनैक्स को बायपास किया जा सकता है, जो अन्य स्ट्रक्चर्ड प्रोजेक्शन समस्याओं को हल करने के लिए एक ब्लूप्रिंट प्रदान करता है।

कोड सार्वजनिक रूप से https://github.com/jacob-roth/top-k-sum पर उपलब्ध है।

1. समस्या: "टॉप kkk" बजट