Self-consistent autocorrelation of a disordered Kuramoto model in the asynchronous state

भौतिकी और जीव विज्ञान के विशाल परिदृश्य में, व्यवस्था (order) और अराजकता (chaos) के बीच एक निरंतर संघर्ष बना रहता है। मेट्रोनोमों से भरे एक कमरे, या झींगुरों के एक जंगल, या यहाँ तक कि मानव मस्तिष्क में सक्रिय होने वाले अरबों न्यूरॉन्स की कल्पना करें। इनमें से प्रत्येक इकाई की अपनी स्वाभाविक लय होती है, जो अपनी गति से टिक-टिक करती रहती है। जब इन इकाइयों को आपस में जोड़ा जाता है, तो वे कभी-कभी एक साथ तालमेल बिठा लेती हैं, जिससे एक शक्तिशाली, एकीकृत धड़कन पैदा होती है। सिंक्रनाइज़ेशन (synchronization) के रूप में जानी जाने वाली इस घटना का दशकों से अध्ययन किया गया है क्योंकि यह समझाता है कि जुगनू एक साथ कैसे चमकते हैं या हृदय की कोशिकाएं एक साथ कैसे धड़कती हैं। हालाँकि, इसके विपरीत अवस्था भी उतनी ही सामान्य और उतनी ही महत्वपूर्ण है: एसिंक्रोनस (asynchronous) अवस्था। इस स्थिति में, इकाइयाँ एक ही ताल पर नहीं चलतीं; वे स्वतंत्र रूप से चलती हैं, जिससे एक एकल, तेज़ संकेत के बजाय एक जटिल, उतार-चढ़ाव वाला पृष्ठभूमि शोर (background noise) उत्पन्न होता है। कई जैविक प्रणालियों में, जैसे कि स्वस्थ मस्तिष्क में, पूर्ण सिंक्रनाइज़ेशन का यह अभाव वास्तव में डिफ़ॉल्ट और उचित कार्य के लिए आवश्यक अवस्था है। यह समझना कि ये स्वतंत्र इकाइयाँ वास्तव में कैसे व्यवहार करती हैं, और एक अव्यवस्थित नेटवर्क से प्रभावित होने पर उनकी व्यक्तिगत लय कैसी दिखती है, वैज्ञानिकों के लिए एक कठिन पहेली बना हुआ है।

बर्लिन और पेरिस के शोधकर्ताओं की एक टीम ने कुरामोटो मॉडल (Kuramoto model) नामक एक प्रसिद्ध गणितीय मॉडल पर ध्यान केंद्रित करके इस पहेली को सुलझाने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम उठाया है। यह मॉडल एक मानक उपकरण है जिसका उपयोग यह वर्णन करने के लिए किया जाता है कि युग्मित ऑसिलेटर्स (coupled oscillators) कैसे परस्पर क्रिया करते हैं, लेकिन पारंपरिक रूप से इसका उपयोग उन क्षणों के अध्ययन के लिए किया जाता है जब सब कुछ एक साथ जुड़ जाता है। शोधकर्ता सिक्के के दूसरे पहलू को देखना चाहते थे: एसिंक्रोनस अवस्था, जहाँ प्रणाली अव्यवस्थित होती है। वास्तविक दुनिया में, नेटवर्क शायद ही कभी पूर्ण होते हैं। इकाइयों के बीच के संबंध अलग-अलग ताकत के होते हैं, और इकाइयों की स्वाभाविक लय भी कभी भी बिल्कुल एक जैसी नहीं होती। शोधकर्ताओं ने पूछा कि ये दो प्रकार के विकार—इकाइयों के बीच जुड़ाव में भिन्नता और उनकी स्वाभाविक गति में भिन्नता—उस समय व्यक्तिगत इकाइयों के व्यवहार को कैसे प्रभावित करते हैं जब पूरी प्रणाली सिंक्रनाइज़ नहीं होती है। उन्होंने पाया कि जबकि पूरी प्रणाली अराजक लग सकती है, प्रत्येक व्यक्तिगत इकाई का व्यवहार एक अनुमानित पैटर्न का अनुसरण करता है जिसे एक नई, सरल विधि द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

इस समस्या से निपटने के लिए, शोधकर्ताओं ने एक ऐसी तकनीक विकसित की जो प्रभावी रूप से एक विशाल, जटिल नेटवर्क को एक एकल, प्रतिनिधि इकाई में सिकोड़ देती है। दस हजार व्यक्तिगत ऑसिलेटर्स की गतिविधियों को एक साथ ट्रैक करने के बजाय, जो गणनात्मक रूप से महंगा और विश्लेषण करने में कठिन है, उन्होंने एक "मीन फील्ड" (mean field) दृष्टिकोण बनाया। यह विधि पूरे नेटवर्क के किसी भी एकल ऑसिलेटर पर प्रभाव को एक प्रकार के पृष्ठभूमि शोर के रूप में मानती है। उन्होंने महसूस किया कि यह शोर साधारण तरीके से यादृच्छिक (random) नहीं है; इसकी अपनी संरचना और सांख्यिकी है जो ऑसिलेटर्स के व्यवहार पर निर्भर करती है। इसे हल करने के लिए, उन्होंने एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया (iterative process) का उपयोग किया। उन्होंने इस अनुमान के साथ शुरुआत की कि यह पृष्ठभूमि शोर कैसा दिखता होगा, उस शोर से संचालित एक एकल ऑसिलेटर की गति का अनुकरण (simulate) किया, और फिर परिणामी लय को मापा। उन्होंने उस सिमुलेशन के परिणामों का उपयोग अपने शोर के अनुमान को अपडेट करने के लिए किया, और इस चक्र को बार-बार दोहराया। अंततः, अनुमान और परिणाम पूरी तरह से मेल खा गए, जिससे इस बात का स्पष्ट चित्र मिला कि प्रणाली कैसे व्यवहार करती है। इसने उन्हें पावर स्पेक्ट्रम (power spectrum) की गणना करने की अनुमति दी, जो अनिवार्य रूप से एक मानचित्र है जो दिखाता है कि विभिन्न आवृत्तियों (frequencies) पर ऑसिलेटर्स के पास कितनी ऊर्जा होती है, चाहे वह व्यक्तिगत इकाइयों के लिए हो या संपूर्ण नेटवर्क के लिए।

शोधकर्ताओं ने अपने इस तरीके का परीक्षण पूर्ण नेटवर्क के प्रत्यक्ष कंप्यूटर सिमुलेशन के विरुद्ध किया, जिसमें एक साथ हजारों ऑसिलेटर्स के समीकरणों को हल करना शामिल था। परिणाम आश्चर्यजनक रूप से सुसंगत थे। जब उन्होंने उन नेटवर्कों को देखा जहाँ ऑसिलेटर्स के बीच के संबंध यादृच्छिक और अव्यवस्थित थे, तो उन्होंने पाया कि व्यक्तिगत लय बहुत व्यापक और कम तीक्ष्ण हो गई। एक पूर्णतः व्यवस्थित नेटवर्क में, एक ऑसिलेटर एक बहुत ही विशिष्ट आवृत्ति पर गूँज सकता है। लेकिन जब कनेक्शन अव्यवस्थित होते हैं, तो वह एकल आवृत्ति फैल जाती है, जिससे गतिविधि की एक विस्तृत श्रृंखला बन जाती है। अध्ययन ने दिखाया कि यह फैलाव सीधे तौर पर कनेक्शनों के विकार के कारण होता है। इससे भी अधिक आश्चर्यजनक रूप से, उन्होंने पाया कि बड़े नेटवर्कों के लिए, कनेक्शनों की विशिष्ट औसत शक्ति बहुत कम मायने रखती थी, जब तक कि प्रणाली एसिंक्रोनस अवस्था में बनी रहे। चाहे कनेक्शन थोड़े सकारात्मक हों या थोड़े नकारात्मक, शोर का समग्र पैटर्न और व्यक्तिगत लय एक समान रही। यह सुझाव देता है कि बड़े, अव्यवस्थित प्रणालियों में, कनेक्शन के औसत विवरण से अधिक महत्वपूर्ण कनेक्शनों की अत्यधिक परिवर्तनशीलता (variability) है।

हालाँकि, कहानी छोटे नेटवर्क के मामले में बदल जाती है। जब शोधकर्ताओं ने केवल आठ ऑसिलेटर्स के एक छोटे नेटवर्क पर अपना तरीका लागू किया, तो उन्होंने पाया कि कनेक्शनों की औसत शक्ति मायने रखती थी। इन छोटी प्रणालियों में, कनेक्शन की ताकत का विशिष्ट मान लय के आकार को महत्वपूर्ण रूप से बदल सकता है, जिससे विशिष्ट शिखर (peaks) बनते हैं जो बड़े नेटवर्कों में मौजूद नहीं थे। यह छोटे और बड़े सिस्टम के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर को उजागर करता है: एक बड़ी भीड़ में, कनेक्शनों की व्यक्तिगत विचित्रताएं मिट जाती हैं, लेकिन एक छोटे समूह में, हर कनेक्शन का महत्व होता है। शोधकर्ताओं ने यह भी पुष्टि की कि उनका तरीका उस क्लासिक मॉडल के लिए भी काम करता है जहाँ केवल स्वाभाविक गति में भिन्नता होती है, और उस अधिक जटिल संस्करण के लिए भी जहाँ कनेक्शन स्वयं यादृच्छिक होते हैं। उन्होंने प्रदर्शित किया कि उनका दृष्टिकोण हर बार पूरे विशाल नेटवर्क का सिमुलेशन किए बिना प्रणाली के व्यवहार की सटीक भविष्यवाणी कर सकता है।

इस कार्य के निहितार्थ अमूर्त गणित से परे हैं। एक अव्यवस्थित नेटवर्क की एसिंक्रोनस अवस्था का सटीक वर्णन करने की क्षमता मस्तिष्क जैसे वास्तविक दुनिया के तंत्रों को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जहाँ न्यूरॉन्स लगातार एक जटिल, गैर-समकालिक तरीके से सक्रिय होते हैं। यह पावर ग्रिड जैसे तकनीकी प्रणालियों पर भी लागू होता है, जहाँ एक स्थिर लेकिन अत्यधिक कठोर न होने वाली अवस्था बनाए रखना आवश्यक है। यह दिखाकर कि एक जटिल, उच्च-आयामी समस्या को एक सरल, स्व-सुसंगत समीकरण में बदला जा सकता है, शोधकर्ताओं ने वैज्ञानिकों को एक शक्तिशाली नया उपकरण प्रदान किया है। उन्होंने दिखाया है कि स्पष्ट विकार की स्थिति में भी, एक गहरा अंतर्निहित क्रम होता है जिसे समझा और अनुमानित किया जा सकता है। यह अध्ययन यह दावा नहीं करता कि इसने सिंक्रनाइज़ेशन के हर रहस्य को सुलझा लिया है, लेकिन इसने सफलतापूर्वक एसिंक्रोनस अवस्था के परिदृश्य का मानचित्रण किया है, यह प्रकट करते हुए कि विकार भीड़ के भीतर व्यक्तिगत की लय को कैसे आकार देता है।