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A Survey on Complexity Measures of Pseudo-Random Sequences

यह सर्वेक्षण छद्म-यादृच्छिक अनुक्रमों (pseudo-random sequences) की यादृच्छिकता का आकलन करने के लिए रैखिक, द्विघात और अधिकतम-क्रम जटिलताओं सहित विभिन्न जटिलता मापों पर चार दशकों के शोध की समीक्षा करता है, और लेम्पेल-ज़िव (Lempel-Ziv), विस्तार (expansion), 2-एडिक (2-adic), और सहसंबंध (correlation) जैसे अन्य मेट्रिक्स के साथ उनके संबंधों का अन्वेषण करता है।

मूल लेखक: Chunlei Li

प्रकाशित 2026-04-15

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Chunlei Li

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप अपने सबसे मूल्यवान रहस्यों के लिए एक सुरक्षित तिजोरी बनाने की कोशिश कर रहे हैं। इसे करने के लिए, आपको एक मास्टर की (चाबी) की आवश्यकता है जो पूरी तरह से रैंडम (यादृच्छिक) दिखे—इतनी रैंडम कि कोई भी उस क्रम के अगले नंबर का अनुमान न लगा सके। यह क्रिप्टोग्राफी की दुनिया है, और इन कुंजियों की "रैंडमनेस" ही सब कुछ है।

यह शोध पत्र चनली ली (Chunlei Li) द्वारा लिखा गया एक सर्वे रिपोर्ट है, जो यूनिवर्सिटी ऑफ बर्गन के एक शोधकर्ता हैं। यह एक व्यापक मार्गदर्शिका की तरह है जो इस बात की समीक्षा करता है कि किसी संख्याओं के अनुक्रम (बिट्स) को वास्तव में कितना "रैंडम" है, इसे मापने के पिछले 40 वर्षों के शोध की।

यहाँ सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके पेपर का विवरण दिया गया है:

1. समस्या: नकली रैंडमनेस (The Fake Randomness)

डिजिटल दुनिया में, कंप्यूटर स्वाभाविक रूप से रैंडम नहीं होते। वे बहुत तेज़, बहुत ही अनुमानित रोबोट की तरह होते हैं। यदि आप एक रोबोट को "एक नंबर चुनो" कहते हैं, तो यदि आप उसे एक ही तरीके से शुरू करते हैं, तो वह हमेशा वही चुनेगा।

उन्हें रैंडम व्यवहार करने के लिए, हम स्यूडो-रैंडम बिट जनरेटर्स (PRBGs) का उपयोग करते हैं। इन्हें "रैंडमनेस मशीनें" समझें।

लक्ष्य: मशीन को बिट्स (0 और 1) की एक ऐसी धारा (stream) बनानी चाहिए जो बिल्कुल एक सिक्के के उछाल (coin flip) जैसी दिखे।
खतरा: यदि मशीन बहुत अधिक अनुमानित (predictable) है, तो एक हैकर पैटर्न को समझ सकता है, अगले बिट का अनुमान लगा सकता है, और आपके एन्क्रिप्शन को तोड़ सकता है।

2. समाधान: "जटिलता" को मापना (Measuring "Complexity")

हम कैसे जानते हैं कि एक अनुक्रम वास्तव में रैंडम है या केवल एक चालाकी भरा भ्रम? हमें एक कॉम्प्लेक्सिटी मीटर (जटिलता मापने वाला यंत्र) की आवश्यकता है। यह पेपर इन अनुक्रमों का परीक्षण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के मीटरों की समीक्षा करता है।

एक संख्या के अनुक्रम को एक रेसिपी (विधि) के रूप में सोचें।

कम जटिलता (Low Complexity): रेसिपी सरल है। "1 जोड़ें, फिर 1 जोड़ें, फिर 1 जोड़ें।" (जैसे, 1, 2, 3, 4...)। कोई भी अगला नंबर आसानी से अनुमान लगा सकता है। सुरक्षा के लिए यह बुरा है।
उच्च जटिलता (High Complexity): रेसिपी बिना किसी पैटर्न वाली एक 50 पन्नों की उपन्यास है। इसे समझने के लिए आपको पूरा पढ़ना होगा, और पिछले शब्दों को जाने बिना आप अगले शब्द का अनुमान नहीं लगा सकते। सुरक्षा के लिए यह अच्छा है।

पेपर तीन मुख्य प्रकार के "कॉम्प्लेक्सिटी मीटरों" पर ध्यान केंद्रित करता है:

A. लीनियर कॉम्प्लेक्सिटी (सबसे सरल परीक्षण)

कल्पना कीजिए कि आप लोगों की एक कतार में अगले व्यक्ति की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं।

परीक्षण: क्या आप केवल तत्काल पिछले लोगों को देखकर अगले व्यक्ति की भविष्यवाणी कर सकते हैं?
उपकरण: यह एक लीनियर फीडबैक शिफ्ट रजिस्टर (LFSR) का उपयोग करता है। इसे कुछ गियरों वाली एक साधारण मशीन समझें। यदि गियर छोटे हैं, तो मशीन को रिवर्स-इंजीनियर करना आसान है।
निर्णय: यदि अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए आवश्यक मशीन छोटी है, तो अनुक्रम कमजोर है। यदि इसके लिए एक विशाल मशीन की आवश्यकता है, तो यह मजबूत है। यह सबसे प्रसिद्ध परीक्षण है और मानक सुरक्षा जांचों में उपयोग किया जाता है।

B. क्वाड्रेटिक कॉम्प्लेक्सिटी ("थोड़ा जटिल" परीक्षण)

कभी-कभी, एक अनुक्रम साधारण मशीन के लिए रैंडम दिखता है, लेकिन इसमें एक छिपा हुआ पैटर्न होता है जिसे तोड़ने के लिए थोड़े अधिक जटिल मशीन की आवश्यकता होती है।

परीक्षण: केवल नंबर जोड़ने के बजाय, मशीन को उन्हें गुणा करने की अनुमति भी दी जाती है। यह एक बेसिक कैलकुलेटर से वैज्ञानिक कैलकुलेटर में अपग्रेड करने जैसा है।
निर्णय: यदि एक अनुक्रम को ऐसी मशीन द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है जो सरल गणित (गुणा सहित) करती है, तो यह उच्च-सुरक्षा आवश्यकताओं के लिए पर्याप्त रैंडम नहीं है।

C. मैक्सिमम-ऑर्डर कॉम्प्लेक्सिटी ("अंतिम" परीक्षण)

यह सबसे कठिन परीक्षण है। यह पूछता है: "किसी भी प्रकार की (चाहे गणित कितना भी अजीब क्यों न हो), सबसे छोटी मशीन कौन सी है जो इस अनुक्रम को उत्पन्न कर सकती है?"

परीक्षण: कल्पना कीजिए कि एक जासूस अपराध स्थल को फिर से बनाने के लिए निर्देशों के सबसे छोटे सेट को खोजने की कोशिश कर रहा है।
ट्विस्ट: पेपर एक मजेदार विरोधाभास (paradox) नोट करता है: एक अनुक्रम गणितीय रूप से जटिल (बनाने में कठिन) हो सकता है लेकिन सांख्यिकीय रूप से बहुत खराब (बिल्कुल रैंडम नहीं) हो सकता है।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि एक अनुक्रम है 0, 0, 0, 0, 0, 1। इसे उत्पन्न करना बहुत कठिन है क्योंकि मशीन को पांच शून्य आउटपुट करने के बाद एक को याद रखने की आवश्यकता होती है। लेकिन यह स्पष्ट रूप से रैंडम नहीं है क्योंकि यह केवल ज़ीरो है!
- सबक: उच्च जटिलता का मतलब हमेशा अच्छी रैंडमनेस नहीं होता। आपको उच्च जटिलता और अच्छे सांख्यिकीय व्यवहार (जैसे 0 और 1 की समान संख्या होना) के मिश्रण की आवश्यकता होती है।

3. "अन्य" मीटर

पेपर अन्य तरीकों का भी उल्लेख करता है जिनसे रैंडमनेस को मापा जाता है, उनकी मुख्य तीन से तुलना करते हुए:

लेम्पेल-ज़िव कॉम्प्लेक्सिटी (Lempel-Ziv Complexity): यह एक कंप्रेशन टेस्ट की तरह है। यदि आप एक फ़ाइल को ज़िप करके बहुत छोटा बना सकते हैं, तो फ़ाइल में बहुत सारे पैटर्न थे (कम रैंडमनेस)। यदि ज़िप करने के बाद भी फ़ाइल बहुत बड़ी रहती है, तो वह बहुत रैंडम है।
2-एडिक कॉम्प्लेक्सिटी (2-adic Complexity): यह उन मशीनों के लिए एक विशेष परीक्षण है जो "कैरी" (जैसे जब आप 9 में 1 जोड़ते हैं और 10 प्राप्त करते हैं) को संभालती हैं। यह गणित का एक अलग स्वाद है लेकिन एक ही चीज़ की जाँच करता है।
कोरिलेशन मेजर्स (Correlation Measures): यह जाँचता है कि क्या अनुक्रम में कोई "गूँज" (echoes) है। यदि आप देखते हैं कि एक पैटर्न थोड़े विलंब के साथ खुद को दोहराता है, तो अनुक्रम कमजोर है।

4. लेखक ने क्या पाया?

चनली ली सारांशित करते हैं कि:

लीनियर कॉम्प्लेक्सिटी सबसे बेहतर समझ में आती है। हम जानते हैं कि इसकी गणना कैसे की जाए, उच्च जटिलता वाली अनुक्रम कैसे बनाई जाए, और उनका परीक्षण कैसे किया जाए।
मैक्सिमम-ऑर्डर कॉम्प्लेक्सिटी अब वहां पहुँच रही है। हमारे पास इसे कैलकुलेट करने के लिए अच्छे एल्गोरिदम हैं, लेकिन गणित पेचीदा है।
क्वाड्रेटिक कॉम्प्लेक्सिटी और अन्य अभी भी एक रहस्य हैं। हमारे पास कुछ उपकरण हैं, लेकिन हम अभी तक पूरी तरह से उनके "सांख्यिकीय व्यवहार" (वे औसतन कैसे कार्य करते हैं) को नहीं समझते हैं।

मुख्य निष्कर्ष (The Big Takeaway)

एक सुरक्षित एन्क्रिप्शन कुंजी बनाना एक भूलभुलैया (maze) बनाने जैसा है।

लीनियर कॉम्प्लेक्सिटी यह जाँचती है कि क्या भूलभुलैया में एक सरल, सीधा रास्ता है।
क्वाड्रेटिक/मैक्सिमम-ऑर्डर कॉम्प्लेक्सिटी यह जाँचती है कि क्या वहां छिपे हुए लूप या गुप्त सुरंगें हैं।

पेपर हमें बताता है कि जबकि हम ऐसी भूलभुलैया (mazes) डिजाइन करने में बेहतर हो रहे हैं जिन्हें हल करना कठिन है (उच्च जटिलता), हमें अभी भी यह सुनिश्चित करने के लिए अधिक शोध की आवश्यकता है कि उन भूलभुलभाइयों में स्पष्ट डेड एंड (बंद रास्ते) या उबाऊ पैटर्न (सांख्यिकीय खामियां) न हों।

संक्षेप में: यह पेपर "रैंडमनेस लैंडस्केप" का एक नक्शा है, जो हमें दिखाता है कि हमारे पास सुरक्षा मापने के लिए कौन से उपकरण हैं, कौन से उपकरण पुराने पड़ गए हैं, और भविष्य की क्रिप्टोग्राफी के लिए हमें कहाँ नए पुल बनाने की आवश्यकता है।

यहाँ चनले ली (Chunlei Li) के शोध पत्र "A Survey on Complexity Measures for Pseudo-Random Sequences" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र छद्म-यादृच्छिक अनुक्रमों (Pseudo-Random Sequences - PRS) की यादृच्छिकता (randomness) का मूल्यांकन करने की मौलिक चुनौती को संबोधित करता है, जो छद्म-यादृच्छिक बिट जनरेटरों (PRBGs) द्वारा उत्पन्न होते हैं। ये जनरेटर क्रिप्टोग्राफिक अनुप्रयोगों (जैसे एन्क्रिप्शन कुंजियाँ, नोनस) के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

मुख्य मुद्दा: जबकि आदर्श यादृच्छिकता के लिए एक समान स्रोत (uniform source) से अविभेद्यता (indistinguishability) की आवश्यकता होती है, वास्तविक दुनिया के जनरेटर अक्सर नियतत्ववादी एल्गोरिदम (जैसे फीडबैक शिफ्ट रजिस्टर्स - FSRs) पर निर्भर करते हैं। यदि किसी अनुक्रम की "जटिलता" (complexity) कम है, तो उसे एक संक्षिप्त अवलोकन से अनुमानित या पुनर्गठित किया जा सकता है, जिससे सुरक्षा विफलताओं का जोखिम बढ़ जाता है।
अंतराल (The Gap): हालाँकि रैखिक जटिलता (Linear Complexity) अच्छी तरह से समझी गई और मानकीकृत (जैसे NIST परीक्षणों में) है, अन्य गैर-रैखिक जटिलता मापों (क्वाड्रेटिक, मैक्सिमम-ऑर्डर, 2-एडिक, आदि) और उनके अंतर्संबंधों, विशेष रूप से आवधिक अनुक्रमों (periodic sequences) के सांख्यिकीय व्यवहार और सैद्धांतिक सीमाओं के संबंध में, का अन्वेषण कम किया गया है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक व्यापक साहित्य समीक्षा और सैद्धांतिक विश्लेषण दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं, जो निम्नलिखित पर केंद्रित है:

FSR मॉडल: रैखिक FSRs (LFSRs), क्वाड्रेटिक FSRs और सामान्य गैर-रैखिक FSRs द्वारा उत्पन्न अनुक्रमों का विश्लेषण।
बीजगणितीय और एल्गोरिदम उपकरण: बेलेम्प-मासी (Berlekamp-Massey) एल्गोरिदम, निरंतर भिन्न (continued fractions), डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT), सामान्यीकृत DFT, और डायरेक्ट एसाइक्लिक वर्ड ग्राफ (DAWG) के सिद्धांत जैसे उपकरणों का उपयोग।
सांख्यिकीय विश्लेषण: यादृच्छिक अनुक्रमों के लिए जटिलता मापों के अपेक्षित मान (expected values), प्रसरण (variances) और वितरण प्रोफाइल का परीक्षण।
तुलनात्मक विश्लेषण: विभिन्न जटिलता मेट्रिक्स (जैसे रैखिक बनाम क्वाड्रेटिक बनाम मैक्सिमम-ऑर्डर) के बीच गणितीय असमानताओं और संबंधों को स्थापित करना।

3. प्रमुख योगदान और तकनीकी परिणाम (Key Contributions and Technical Results)

अ. रैखिक जटिलता (Linear Complexity - LC)

परिभाषा: एक अनुक्रम को उत्पन्न करने वाले सबसे छोटे LFSR की लंबाई।
सांख्यिकीय व्यवहार: $n$ लंबाई के यादृच्छिक बाइनरी अनुक्रमों के लिए, अपेक्षित LC $\approx n/2$ होता है। यह शोध पत्र रूप्पेल (Rueppel) और निडरिटर (Niederreiter) के कार्यों की समीक्षा करता है जो दिखाते हैं कि यादृच्छिक अनुक्रमों के लिए, $L_n(s) = n/2 + O(\log n)$ होता है।
आवधिक अनुक्रम (Periodic Sequences): $n$ -आवधिक अनुक्रमों के लिए, LC को GDFT का उपयोग करके गुन्थर-ब्लाहट (Günther-Blahut) प्रमेय के माध्यम से निर्धारित किया जाता है। यह शोध पत्र आवधिक अनुक्रमों के लिए अपेक्षित LC का विवरण देता है, यह नोट करते हुए कि यह आमतौर पर $n/2$ से अधिक होता है (अक्सर आवर्त काल के साइक्लोटोमिक कोसेट्स के आधार पर $n$ के करीब)।
पूर्ण अनुक्रम (Perfect Sequences): उन $d$ -परफेक्ट अनुक्रमों पर चर्चा करता है जहाँ LC प्रोफाइल सभी शिफ्ट्स के लिए $n/2$ के करीब रहता है, जो कीस्ट्रीम्स (keystreams) के लिए एक महत्वपूर्ण गुण है।

ब. क्वाड्रेटिक जटिलता (Quadratic Complexity - QC)

परिभाषा: एक क्वाड्रेटिक फीडबैक फंक्शन वाले सबसे छोटे FSR की लंबाई।
गणना: शोध पत्र उन एल्गोरिदम (Rizomiliotis et al.) का विवरण देता है जो QC निर्धारित करने के लिए रैखिक समीकरणों के सिस्टम $M(n,m)F(m) = E(n,m)$ को हल करते हैं। यह एक बेलेम्प-मासी के समान पुनरावर्ती (recursive) एल्गोरिदम को रेखांकित करता है जो मैट्रिक्स रैंक गणनाओं पर निर्भर है।
सांख्यिकीय व्यवहार: LC के विपरीत, QC के सांख्यिकीय व्यवहार के लिए कोई कठोर सैद्धांतिक परिणाम नहीं हैं। यह शोध पत्र कंजैक्चर 2 (Youssef & Gong) प्रस्तुत करता है जो सुझाव देता है कि यादृच्छिक अनुक्रमों के लिए अपेक्षित QC $\approx \sqrt{2n}$ है।
सुरक्षा निहितार्थ: यदि किसी अनुक्रम की QC कम है, तो $O(m^2)$ बिट्स देखने के बाद फीडबैक फंक्शन को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है, जिससे यह असुरक्षित हो जाता है।

स. मैक्सिमम-ऑर्डर कॉम्प्लेक्सिटी (MOC) / गैर-रैखिक जटिलता

परिभाषा: अनुक्रम को उत्पन्न करने वाले सबसे छोटे FSR (किसी भी गैर-रैखिक फीडबैक के साथ) की लंबाई।
गणना: यह पत्र दो मुख्य दृष्टिकोणों की समीक्षा करता है:
1. DAWG विधि: MOC को एक डायरेक्ट एसाइक्लिक वर्ड ग्राफ की गहराई से जोड़ती है।
2. पुनरावर्ती/बीजगणितीय विधि: आइगनवर्ड्स (eigenwords) और फीडबैक फंक्शन के पुनरावर्ती अपडेट का उपयोग करती है (बेलेम्प-मासी के समान)। औसत जटिलता $O(n^2 \log n)$ है।
सांख्यिकीय व्यवहार: यादृच्छिक अनुक्रमों के लिए, $E[M_n(s)] \approx 2 \log_q(n)$ ।
उच्च जटिलता वाले अनुक्रम: यह पत्र अधिकतम संभव जटिलता ( $n-1$ ) वाले अनुक्रमों को अभिलक्षणित करता है। आश्चर्यजनक रूप से, इन अनुक्रमों (जैसे $00\dots01$ ) में मजबूत पुनरावर्ती संरचनाएं और खराब सांख्यिकीय गुण (संतुलन की कमी) होते हैं, जो उच्च जटिलता के बावजूद उन्हें क्रिप्टोग्राफी के लिए अनुपयुक्त बनाते हैं।
आवधिक अनुक्रम: प्रमेय 10 एक $n$ -आवधिक अनुक्रम के लिए $n-1$ MOC होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें प्रदान करता है, जो यूक्लिडियन एल्गोरिदम से प्राप्त एक पुनरावर्ती संरचना को प्रकट करता है।

द. जटिलता मापों के बीच संबंध (Relations Between Complexity Measures)

यह शोध पत्र एक पदानुक्रम और अंतर्संबंध स्थापित करता है:

असमानता श्रृंखला (Inequality Chain): $M_n(s) \le Q_n(s) \le L_n(s) \le n$ ।
2-एडिक जटिलता: एक बाइनरी अनुक्रम की MOC, उसकी 2-एडिक जटिलता द्वारा ऊपरी-बद्ध (upper-bounded) होती है।
लेम्पेल-ज़िव (LZ) जटिलता: "आइगनवैल्यू प्रोफाइल" (विशिष्ट उप-अनुक्रमों की संख्या) के माध्यम से MOC से जुड़ी हुई है।
एक्सपेंशन जटिलता (Expansion Complexity): अनुक्रम को शून्य करने वाले बहुपदों (polynomials) की डिग्री से संबंधित है।
सहसंबंध माप (Correlation Measures): रैखिक/MOC को $k$ -ऑर्डर सहसंबंध मापों से जोड़ने वाले सीमाएँ (bounds) प्रदान की गई हैं। उच्च सहसंबंध का अर्थ कम जटिलता है।

4. प्रमुख परिणाम और खुले प्रश्न (Key Results and Open Problems)

डी ब्रुइन अनुक्रम (DeBruijn Sequences): यह शोध पत्र डी ब्रुइन अनुक्रमों की रैखिक जटिलता (सीमा $2^{m-1}+m$ और $2^m-1$ के बीच) पर चर्चा करता है और विशिष्ट न्यूनतम बहुपदों वाली अनुक्रमों के अस्तित्व के संबंध में कंजैक्चर 3 प्रस्तावित करता है।
डी ब्रुइन की क्वाड्रेटिक जटिलता: पुष्टि करता है कि क्रम $m \ge 3$ के लिए, $Q(s) \le 2^m - \binom{m}{2} - 1$ ।
प्रस्तावित खुले प्रश्न:
1. अधिकतम क्वाड्रेटिक जटिलता ( $n-1$ ) वाले सभी $n$ -आवधिक अनुक्रमों को अभिलक्षणित करना।
2. अधिकतम MOC वाले अनुक्रमों के लिए $k$ -त्रुटि (error) मैक्सिमम-ऑर्डर जटिलता पर निचली सीमा (lower bounds) स्थापित करना।

5. महत्व (Significance)

क्रिप्टोग्राफिक सुरक्षा: यह सर्वेक्षण स्पष्ट करता है कि उच्च जटिलता स्वतः ही अच्छी यादृच्छिकता का संकेत नहीं देती है। अधिकतम MOC वाले अनुक्रम अपनी पुनरावर्ती संरचना के कारण सांख्यिकीय परीक्षणों (संतुलन, रन प्रॉपर्टीज) में विफल हो जाते हैं। इसके विपरीत, कम जटिलता वाले अनुक्रमों को आसानी से तोड़ा जा सकता है।
मानकीकरण: यह NIST परीक्षणों में रैखिक जटिलता के महत्व को सुदृढ़ करता है और भविष्य की क्रिप्टोग्राफिक विफलताओं को रोकने के लिए गैर-रैखिक मापों (MOC, QC) की बेहतर समझ की आवश्यकता को रेखांकित करता है।
अनुसंधान दिशा: यह पत्र पहचान करता है कि जहाँ रैखिक जटिलता परिपक्व है, वहीं क्वाड्रेटिक और मैक्सिमम-ऑर्डर जटिलताओं में कठोर सांख्यिकीय सिद्धांतों का अभाव है। यह नए बीजगणितीय उपकरणों और सैद्धांतिक ढांचों की मांग करता है ताकि इन गैर-रैखिक मापों, विशेष रूप से स्ट्रीम सिफर्स में उपयोग किए जाने वाले आवधिक अनुक्रमों का विश्लेषण किया जा सके।

संक्षेप में, यह शोध पत्र रैखिक जटिलता के सुस्थापित सिद्धांत और गैर-रैखिक अनुक्रम विश्लेषण के अधिक जटिल एवं कम समझे गए क्षेत्र के बीच एक महत्वपूर्ण सेतु के रूप में कार्य करता है, जो भविष्य के क्रिप्टोग्राफिक अनुक्रम डिजाइन के लिए एक रोडमैप प्रदान करता है।