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Assessing Extreme Risk using Stochastic Simulation of Extremes

यह शोध पत्र बहुभिन्नीय चरम मान सिद्धांत (multivariate extreme value theory) पर आधारित दो गैर-प्राचलिक सिमुलेशन एल्गोरिदम विकसित करके बहुभिन्निक जोखिम प्रबंधन में डेटा की कमी की चुनौती को संबोधित करता है, ताकि स्पर्शोन्मुख रूप से आश्रित चरम मानों (asymptotically dependent extremes) के नमूनों का विस्तार किया जा सके, जिससे एकचर जोखिम मीट्रिक अनुमान की सटीकता में सुधार हो सके।

मूल लेखक: Nisrine Madhar, Juliette Legrand, Maud Thomas

प्रकाशित 2026-01-15

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Nisrine Madhar, Juliette Legrand, Maud Thomas

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जोखिम प्रबंधक (risk manager) हैं जो सबसे खराब संभावित तूफान, सबसे बड़ी बाजार गिरावट, या सबसे भीषण बाढ़ की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं। समस्या यह है कि ये "चरम" (extreme) घटनाएं अविश्वसनीय रूप से दुर्लभ हैं। आपके पास 20 साल का डेटा हो सकता है, लेकिन केवल तीन या चार बार ही चीजें वास्तव में विनाशकारी हुई होंगी। इन कुछ दुर्लभ घटनाओं के परे क्या होता है, इसकी भविष्यवाणी करना वैसा ही है जैसे पानी के एक छोटे से गड्ढे के आधार पर सुनामी की ऊंचाई का अनुमान लगाना। आपके पास पूरी तस्वीर देखने के लिए पर्याप्त डेटा नहीं है।

यह शोध पत्र, जिसका शीर्षक "Assessing Extreme Risk using Stochastic Simulation of Extremes" है, जिसे निसरीन मधर, जूलियट लेग्रैंड और मॉड थॉमस द्वारा लिखा गया है, एक चतुर समाधान प्रस्तावित करता है: दुर्लभ तूफानों के होने का इंतज़ार करने के बजाय, आइए गणित का उपयोग करके उन्हें उत्पन्न करें।

यहाँ उनके दृष्टिकोण का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है।

समस्या: "डेटा का रेगिस्तान" (The Data Desert)

जोखिम प्रबंधन में, आप आमतौर पर भविष्य का अनुमान लगाने के लिए ऐतिहासिक डेटा देखते हैं। लेकिन चरम घटनाओं (जैसे 100 साल में एक बार आने वाली बाढ़) के लिए, आपके पास केवल कुछ ही उदाहरण होते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसी कार की गति का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं जिसे कभी 50 मील प्रति घंटे से तेज़ नहीं चलाया गया है। आपके पास इसके 45, 48 और 49 मील प्रति घंटे की गति के कुछ रिकॉर्ड हैं। यदि आप 100 मील प्रति घंटे पर क्या होता है, इसका अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं, तो आप अंधेरे में तीर चला रहे हैं। पारंपरिक तरीके यहाँ अक्सर विफल हो जाते हैं क्योंकि भविष्यवाणी को "आधार" देने के लिए कोई डेटा नहीं होता।

समाधान: दो "जादुई जनरेटर" (Two "Magic Generators")

लेखकों ने मल्टीवेरिएट एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरी (Multivariate Extreme Value Theory) पर आधारित दो नॉन-पैरामेट्रिक (अर्थात वे डेटा को किसी कठोर, पूर्व-निर्धारित आकार में नहीं थोपते) एल्गोरिदम विकसित किए हैं। इन्हें दो अलग-अलग प्रकार के "चरम घटना जनरेटर" के रूप में समझें।

1. जॉइंट सिम्युलेटर (एल्गोरिदम 1): "तूफान फैक्ट्री" (The Storm Factory)

यह टूल भारी मात्रा में नया चरम डेटा बनाने के लिए डिज़ाइन किया गया है जो बिल्कुल वैसा ही दिखता है जैसा कि आपने पहले देखे गए दुर्लभ घटनाएं देखी हैं, लेकिन अधिक विविधता और तीव्रता के साथ।

यह कैसे काम करता है: यह आपके चरम घटनाओं के छोटे नमूने (उदाहरण के लिए, वे कुछ बार जब हवा की गति और लहरों की ऊंचाई दोनों अधिक थीं) को लेता है और उन्हें फिर से मिलाने के लिए एक गणितीय "नुस्खा" का उपयोग करता है। यह हजारों नए काल्पनिक चरम परिदृश्य उत्पन्न करता है।
रूपक: कल्पना कीजिए कि आपके पास दुर्लभ, रंगीन मार्बल्स (आपका वास्तविक डेटा) का एक छोटा सा जार है। आप उन्हें एक ऐसी मशीन में डालते हैं जो उन नियमों को समझती है कि वे मार्बल्स एक साथ कैसे व्यवहार करते हैं। मशीन 10,000 नए मार्बल्स निकालती है जो ठीक उन्हीं नियमों का पालन करते हैं, लेकिन रंगों और आकारों के उन नए संयोजनों का पता लगाती है जिन्हें आपने अभी तक नहीं देखा है।
यह क्या प्राप्त करता है: यह "डेटा के रेगिस्तान" को भर देता है। अब, 5 चरम उदाहरणों के बजाय, आपके पास 10,000 हैं। यह आपको जोखिम मेट्रिक्स (जैसे "एक्सपेक्टेड शॉर्टफॉल", जो यह बताता है कि यदि चीजें बहुत खराब हो जाती हैं तो औसत नुकसान क्या होगा) को बहुत अधिक सटीकता के साथ कैलकुलेट करने की अनुमति देता है।

2. कंडिशनल सिम्युलेटर (एल्गोरिदम 2): "व्हाट-इफ मशीन" (The What-If Machine)

यह टूल एक विशिष्ट प्रश्न का उत्तर देता है: "यदि X होता है, तो Y क्या करेगा?"

यह कैसे काम करता है: कभी-कभी आप जानते हैं कि सिस्टम का एक विशिष्ट हिस्सा तनाव में है (जैसे, "हवा 100 मील प्रति घंटे की रफ्तार से चल रही है")। आप जानना चाहते हैं कि उस हवा की गति दिए हुए लहरों की ऊंचाई क्या होगी। यह एल्गोरिदम अन्य चरम स्थितियों के आधार पर एक वेरिएबल के व्यवहार का अनुकरण (simulate) करता है।
रूपक: कल्पना कीजिए कि आप एक मौसम विज्ञानी हैं। आप जानते हैं कि तट से एक तूफान टकरा रहा है (स्थिति)। आप जानना चाहते हैं कि विशेष रूप से उसी तूफान के कारण पानी का स्तर कितना ऊपर उठेगा। यह टूल औसत मौसम के आधार पर अनुमान लगाने के बजाय, उस विशिष्ट तूफान के परिदृश्य के लिए जल स्तर का अनुकरण करता है।
यह क्या प्राप्त करता है: यह "कंडिशनल रिस्क" का अनुमान लगाने में मदद करता है। उदाहरण के लिए, वित्त (finance) में, यह उत्तर देने में मदद करता है: "यदि बैंक A और बैंक B एक साथ क्रैश होते हैं, तो बैंक C को कितना नुकसान होगा?"

परिणाम: यह क्यों मायने रखता है

लेखकों ने इन उपकरणों का परीक्षण नकली डेटा (जहाँ उन्हें "सही" उत्तर पता था) और वास्तविक वित्तीय डेटा (HSBC और Lloyds जैसे यूके के बैंकों के साप्ताहिक स्टॉक रिटर्न) दोनों पर किया।

निष्कर्ष: जब उन्होंने अधिक डेटा उत्पन्न करने के लिए अपनी "तूफान फैक्ट्री" का उपयोग किया, तो उनके जोखिम अनुमान बहुत अधिक स्थिर और सटीक हो गए।
तुलना: उन्होंने इसकी तुलना लीनियर रिग्रेशन (Linear Regression) (एक मानक सांख्यिकीय उपकरण) से की।
- रूपक: लीनियर रिग्रेशन कुछ बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचने जैसा है। यह सामान्य दिनों के लिए ठीक काम करता है, लेकिन जब आप ग्राफ के "चरम" किनारों पर पहुँचते हैं, तो सीधी रेखा अक्सर वक्र (curve) को पूरी तरह से मिस कर देती है।
- परिणाम: उनके सिमुलेशन पद्धति ने चरम घटनाओं के "वक्रों" को बहुत बेहतर तरीके से संभाला। वास्तविक बैंक डेटा में, उनकी विधि ने उन परिदृश्यों के लिए विश्वसनीय अनुमान प्रदान किया जहाँ पारंपरिक विधियाँ पूरी तरह से विफल हो गईं क्योंकि गणना करने के लिए डेटा ही नहीं था।

सारांश

यह शोध पत्र यह दावा नहीं करता है कि वह भविष्य की भविष्यवाणी क्रिस्टल बॉल जैसी निश्चितता के साथ कर सकता है। इसके बजाय, यह हमारे पास मौजूद सीमित डेटा का विस्तार करने का एक तरीका प्रदान करता है ताकि हम जोखिम के चरम छोर को देख सकें।

इन दो सिमुलेशन एल्गोरिदम का उपयोग करके, जोखिम प्रबंधक सक्षम हो सकते हैं:

अधिक डेटा उत्पन्न करने के लिए ताकि उनके कैलकुलेशन कम अस्थिर हों (जॉइंट सिमुलेशन)।
विशिष्ट "व्हाट-इफ" प्रश्न पूछने के लिए कि संकट के दौरान विभिन्न जोखिम एक-दूसरे के साथ कैसे परस्पर क्रिया करते हैं (कंडिशनल सिमुलेशन)।

यह एक "डेटा के रेगिस्तान" को "डेटा के बगीचे" में बदल देता है, जिससे जब दांव सबसे ऊंचे हों, तब सुरक्षित और अधिक सूचित निर्णय लेना संभव हो जाता है।

तकनीकी सारांश: स्टोकेस्टिक सिमुलेशन ऑफ एक्सट्रीम्स का उपयोग करके चरम जोखिम का आकलन करना

समस्या विवरण

क्लाइमेटोलॉजी और फाइनेंस जैसे क्षेत्रों में जोखिम प्रबंधन अत्यधिक रूप से 'टेल रिस्क' (tail risks) के आकलन पर निर्भर करता है—ऐसी घटनाएँ जिनकी संभावना कम होती है लेकिन गंभीरता अधिक होती है। इस डोमेन में एक प्राथमिक चुनौती डेटा की कमी है, विशेष रूप से मल्टीवेरिएट (multivariate) संदर्भों में जहाँ चरम घटनाएँ दुर्लभ होती हैं। एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरी (EVT) पर आधारित पारंपरिक पैरामीट्रिक दृष्टिकोण अक्सर मल्टीवेरिएट सेटिंग्स में सीमाओं का सामना करते हैं क्योंकि मल्टीवेरिएट एक्सट्रीम्स का लिमिटिंग डिस्ट्रीब्यूशन स्वाभाविक रूप से पैरामीट्रिक नहीं होता है, जिसके लिए जटिल मॉडल चयन और निर्भरता संरचनाओं (जैसे कि कोपुला के माध्यम से यूनिफॉर्म डिपेंडेंस) के बारे में प्रतिबंधात्मक धारणाओं की आवश्यकता होती है। कंडीशनल टेल इंफरेंस के लिए मौजूदा गैर-पैरामीट्रिक विधियाँ डेटा की उपलब्धता और आयामीता (dimensionality) द्वारा सीमित हैं।

कार्यप्रणाली

यह शोध पत्र दो गैर-पैरामीट्रिक सिमुलेशन एल्गोरिदम प्रस्तावित करता है जिन्हें मल्टीवेरिएट एक्सट्रीम्स के नमूनों (samples) का विस्तार करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जिससे डेटा की कमी को दूर किया जा सके। ये एल्गोरिदम मल्टीवेरिएट जनरलाइज्ड पैरेटो (MGP) डिस्ट्रीब्यूशन के स्टोकेस्टिक रिप्रेजेंटेशन, विशेष रूप से रूटज़ेन एट अल. (2018) द्वारा व्युत्पन्न अपघटन (decomposition) का उपयोग करके आधारित हैं।

सैद्धांतिक आधार

यह दृष्टिकोण मानता है कि एक उच्च थ्रेशोल्ड से ऊपर के अतिरिक्त (excesses) वेक्टर्स एक स्टैंडर्ड MGP डिस्ट्रीब्यूशन की ओर अभिसरित (converge) होते हैं। एक स्टैंडर्ड MGP वेक्टर $Z$ को $Z = E + T - \max(T)$ के रूप में विघटित किया जा सकता है, जहाँ $E$ एक यूनिट एक्सपोनेंशियल वेरिएबल है और $T$ एक $d$ -डायमेंशनल रैंडम वेक्टर है जो $E$ से स्वतंत्र है। यह अपघटन अंतरों $\Delta_{j,k} = T_j - T_k$ के माध्यम से वेक्टर घटकों के प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है।

एल्गोरिदम 1: नॉन-पैरामीट्रिक जॉइंट MGP सिमुलेशन

यह एल्गोरिदम जॉइंट रिस्क असेसमेंट के लिए डेटासेट का विस्तार करने हेतु स्टैंडर्ड MGP वेक्टर के नए i.i.d. सैंपल उत्पन्न करता है।

रूपांतरण (Transformation): देखे गए डेटा को एक्सपोनेंशियल मार्जिन्स में मानकीकृत (standardize) किया जाता है और एक स्टैंडर्ड MGP वेक्टर $Z$ में परिवर्तित किया जाता है।
अंतर गणना (Difference Calculation): एल्गोरिदम पहले घटक के आधार पर अंतर वेक्टर $\Delta^{(1)}$ की गणना करता है।
सिमुलेशन:
- नए यूनिट एक्सपोनेंशियल वेरिएबल्स $E_\ell$ उत्पन्न किए जाते हैं।
- अंतर वेक्टर $\Delta^{(1)}$ के नए वास्तविक रूप (realizations) नॉन-पैरामीट्रिक बूटस्ट्रैपिंग (देखे गए अंतरों से पुन: नमूना लेना) के माध्यम से उत्पन्न किए जाते हैं।
- नए MGP वेक्टर्स $\tilde{Z}$ को स्टोकेस्टिक संबंध $Z_j = E + \sum \Delta_{j,k} \prod \mathbb{1}_{\Delta_{\ell,k}<0}$ का उपयोग करके पुनर्गठित किया जाता है।
आउटपुट: सिमुलेटेड वेक्टर्स को मूल स्पेस में वापस प्रोजेक्ट किया जाता है ताकि रिस्क मेट्रिक्स का अनुमान लगाया जा सके।

एल्गोरिदम 2: नॉन-पैरामीट्रिक कंडीशनल MGP सिमुलेशन

यह एल्गोरिदम एक विशिष्ट रिस्क फैक्टर $X_j$ के नमूनों को अन्य रिस्क फैक्टर्स $X_{-j}$ के चरम स्तरों पर होने की स्थिति (conditional) में उत्पन्न करता है। यह कंडीशनल टेल डिस्ट्रीब्यूशन के अनुमान की सुविधा प्रदान करता है।

कंडीशनल डिस्ट्रीब्यूशन का व्युत्पन्न: एल्गोरिदम $Z_{-j} = z_{-j}$ $Z_{- j} = z_{- j}$ दिए जाने पर अंतर वेरिएबल $\Delta_{q,j}$ $Δ_{q, j}$ के कंडीशनल डेंसिटी को व्युत्पन्न करता है। तीन मामलों (cases) के बीच अंतर किया जाता है जो कंडीशनिंग वेक्टर $z^* = \max(z_{-j})$ $z^{*} = max (z_{- j})$ के आधार पर होते हैं:
- केस 1: $z^* > 0$ और $z^* = z_q$ ।
- केस 2: $z^* > 0$ और $z^* \neq z_q$ ।
- केस 3: $z^* \leq 0$ ।
सैंपलिंग:
- केस 1 और केस 3 में, जहाँ कंडीशनल डिस्ट्रीब्यूशन $z_{-j}$ के विशिष्ट मानों से स्वतंत्र है, सीधे बूटस्ट्रैपिंग का उपयोग किया जाता है।
- केस 2 में, जहाँ डिस्ट्रीब्यूशन $z_{-j}$ पर निर्भर है, एक रिजेक्शन सैंपलिंग विधि का उपयोग किया जाता है, जो सही कंडीशनल डेंसिटी को सैंपल करने के लिए बूटस्ट्रैपिंग के साथ रिजेक्शन एल्गोरिदम को जोड़ती है।
आउटपुट: $Z_{-j}$ के सापेक्ष $Z_j$ के नए वास्तविक रूप उत्पन्न किए जाते हैं, जिससे कंडीशनल एक्सपेक्टेशन का अनुमान लगाना संभव होता है।

मुख्य योगदान

मल्टीवेरिएट आयामों तक विस्तार: लेखक लेग्रैंड एट अल. (2023) द्वारा प्रस्तावित द्विविचर (bivariate) सिमुलेशन एल्गोरिदम को मनमाने आयामों ( $d > 2$ ) तक सामान्यीकृत करते हैं, जिससे जटिल, उच्च-आयामी जोखिम कारकों का विश्लेषण संभव होता है।
नॉन-पैरामीट्रिक लचीलापन: बूटस्ट्रैपिंग और MGP वेक्टर्स के स्टोकेस्टिक रिप्रेजेंटेशन पर भरोसा करके, यह विधि मल्टीवेरिएट EVT में अक्सर आवश्यक विशिष्ट कोपुला परिवारों जैसी प्रतिबंधात्मक पैरामीट्रिक धारणाओं से बचती है।
दोहरे सिमुलेशन स्कीम्स: पेपर जॉइंट सिमुलेशन (अनकंडीशनल टेल रिस्क मेट्रिक्स का अनुमान लगाने के लिए) और कंडीशनल सिमुलेशन (कंडीशनल टेल डिस्ट्रीब्यूशन से संबंधित मात्राओं का अनुमान लगाने के लिए) दोनों के लिए एक एकीकृत ढांचा प्रदान करता है।
सैद्धांतिक सत्यापन: पेपर में कठोर सैद्धांतिक प्रमाण (प्रपोजिशन 7.1–7.6) शामिल हैं जो यह प्रदर्शित करते हैं कि सिमुलेटेड सैंपल सही स्टैंडर्ड MGP डिस्ट्रीब्यूशन की ओर अभिसरित होते हैं और कंडीशनल एल्गोरिदम में रिजेक्शन सैंपलिंग विधि वैध है।

परिणाम

एल्गोरिदम के प्रदर्शन का मूल्यांकन सिंथेटिक डेटा (स्टूडेंट'स $t$ -डिस्ट्रीब्यूशन और गंबल कोपुला के साथ मॉडल किए गए वित्तीय रिटर्न) और वास्तविक वित्तीय डेटा (HSBC, Lloyds और RBS के साप्ताहिक नकारात्मक रिटर्न) दोनों का उपयोग करके किया गया।

टेल रिस्क मेट्रिक (TRM) अनुमान:
- जॉइंट सिमुलेशन एल्गोरिदम ने वैल्यू एट रिस्क (VaR), एक्सपेक्टेड शॉर्टफॉल (ES), मार्जिनल एक्सपेक्टेड शॉर्टफॉल (MES), और डिपेंडेंट कंडीशनल टेल एक्सपेक्टेशन (DCTE) के अनुमान में महत्वपूर्ण सुधार किया।
- मूल सैंपल का उपयोग करने की तुलना में, सिमुलेटेड और विस्तारित नमूनों ने सापेक्ष सन्निकटन त्रुटियों (approximation errors) और विचलन (dispersion) को कम किया, विशेष रूप से उच्च कॉन्फिडेंस लेवल ( $\alpha \in \{0.9975, 0.999, 0.9997\}$ ) पर।
- विधि ने उन परिदृश्यों में भी TRMs का सफलतापूर्वक अनुमान लगाया जहाँ मूल सैंपल में शून्य या बहुत कम 'एक्ससीडेंस' (exceedances) थे (उदाहरण के लिए, कुछ स्टॉक्स के लिए DCTE अनुमान लगाना मूल डेटा के साथ असंभव था लेकिन सिमुलेशन के साथ संभव था)।
कंडीशनल एक्सपेक्टेशन अनुमान:
- $\mu(x_{-j}) = E[X_j | X_{-j} = x_{-j}]$ के अनुमान के लिए कंडीशनल सिमुलेशन एल्गोरिदम का परीक्षण लीनियर रिग्रेशन के विरुद्ध किया गया था।
- सिंथेटिक डेटा में, कंडीशनल सिमुलेशन दृष्टिकोण ने लीनियर रिग्रेशन की तुलना में कम त्रुटियां दीं, और जैसे-जैसे कंडीशनिंग ऑब्जर्वेशन अधिक चरम होते गए, इसका लाभ बढ़ता गया।
- वास्तविक डेटा अनुप्रयोगों में, सिमुलेशन दृष्टिकोण ने लीनियर रिग्रेशन की तुलना में समान या अधिक मजबूत 'शॉक एस्टीमेट्स' प्रदान किए, विशेष रूप से उन संपत्तियों के लिए जिनके टेल्स भारी (heavier tails) हैं (Lloyds और RBS), जहाँ लीनियर रिग्रेशन कम उपयुक्त माना जाता है।

महत्व और दावे

यह शोध पत्र दावा करता है कि प्रस्तावित नॉन-पैरामीट्रिक सिमुलेशन स्कीम्स चरम जोखिम प्रबंधन में डेटा की कमी के महत्वपूर्ण मुद्दे को प्रभावी ढंग से संबोधित करती हैं। स्टोकेस्टिक सिमुलेशन के माध्यम से उपलब्ध डेटासेट का विस्तार करके, लेखक यह प्रदर्शित करते हैं कि यह संभव है:

देखे गए ऐतिहासिक डेटा की सीमा से आगे जाना (extrapolate)।
अत्यधिक सीमित ऐतिहासिक डेटा होने पर भी अधिक विश्वसनीय और स्थिर टेल रिस्क मेट्रिक्स (ES, MMES, DCTE) प्राप्त करना।
उच्च-आयामी सेटिंग्स में कंडीशनल टेल डिस्ट्रीब्यूशन पर निष्कर्ष निकालना जहाँ पारंपरिक रिग्रेशन या पैरामीट्रिक विधियाँ संघर्ष करती हैं।

लेखक इन एल्गोरिदम को जोखिम प्रबंधकों के लिए व्यावहारिक उपकरणों के रूप में प्रस्तुत करते हैं जिन्हें असाधारण परिस्थितियों में जोखिम को मापने की आवश्यकता होती है जहाँ ऐतिहासिक डेटा अपर्याप्त होता है। वे नोट करते हैं कि हालांकि वर्तमान कार्यान्वयन सिमुलेटेड डेटा पर एम्पिरिकल एस्टिमेटर्स का उपयोग करता है, भविष्य के कार्य इन सिमुलेशन दृष्टिकोणों को अधिक परिष्कृत अनुमान तकनीकों के साथ एकीकृत कर सकते हैं। शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि ये विधियाँ चरम क्षेत्रों में अवलोकनों की मात्रा को बढ़ाती हैं, जिससे बिना किसी प्रतिबंधात्मक पैरामीट्रिक मॉडल के अधिक भरोसेमंद जोखिम मेट्रिक्स प्राप्त होते हैं।