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Granger Causality in Extremes

यह शोध पत्र विशेष रूप से चरम घटनाओं (extreme events) में ग्रेंजर कार्य-कारणता (Granger causality) का पता लगाने के लिए 'कॉज़ल टेल कोएफिशिएंट' (causal tail coefficient) का लाभ उठाते हुए एक कठोर, मॉडल-मुक्त गणितीय ढांचे को प्रस्तुत करता है, जो गैर-रेखीय, उच्च-आयामी समय श्रृंखलाओं और छिपे हुए कन्फाउंडर्स (hidden confounders) को संभालने में मौजूदा विधियों से बेहतर प्रदर्शन करता है और वित्तीय एवं मौसम संबंधी डेटा में कारण संबंधों की सफलतापूर्वक पहचान करता है।

मूल लेखक: Juraj Bodik, Olivier C. Pasche

प्रकाशित 2026-07-07

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Juraj Bodik, Olivier C. Pasche

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह समझने की कोशिश कर रहे हैं कि एक अराजक दुनिया में किस चीज़ के कारण क्या होता है। आमतौर पर, सांख्यिकीविद् (statisticians) चीजों के "औसत" व्यवहार को देखते हैं। वे पूछते हैं, "एक सामान्य मंगलवार को, क्या बारिश से नदी का जलस्तर बढ़ता है?" यह एक शांत, धूप वाले दिन पर मौसम का अध्ययन करने जैसा है। यह आपको सामान्य जीवन के बारे में बहुत कुछ बताता है, लेकिन यह नाटकीय घटनाओं को छोड़ देता है।

यह शोध पत्र, "Granger Causality in Extremes," तर्क देता है कि जब चीजें पागल हो जाती हैं—जब शेयर बाजार गिरता है, कोई तूफान आता है, या नदी में बाढ़ आती है—तो हमें अलग तरह के उपकरणों की आवश्यकता होती है। लेखक एक नया तरीका प्रस्तावित करते हैं जिससे इन चरम घटनाओं (extreme events) के "मूल कारण" को खोजा जा सके, न कि केवल औसत को देखकर।

उनके विचारों का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण यहाँ दिया गया है:

1. समस्या: "औसत" की अंध बिंदु (The "Average" Blind Spot)

एक जंगल की कल्पना करें। अधिकांश समय, पेड़ हल्की हवा में धीरे-धीरे झूमते हैं। यदि आप औसत हवा की गति को देखकर जंगल का अध्ययन करते हैं, तो आप निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हवा वास्तव में बहुत कुछ नहीं करती है। लेकिन यदि एक भीषण तूफान आता है, तो पेड़ टूट सकते हैं, और पूरा पारिस्थितिकी तंत्र बदल सकता है।

पुरानी विधि: यह हल्की हवा (डेटा के "शरीर" या "body") को देखती है। यह इस तथ्य को मिस कर सकती है कि हवा का एक विशिष्ट प्रकार केवल तभी पेड़ों को तोड़ता है जब वह तूफान की तीव्रता तक पहुँच जाता है।
शोध पत्र का विचार: हमें यह देखने के लिए विशेष रूप से "तूफानी दिनों" (चरम स्थितियों) पर ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता है कि वास्तव में नुकसान का कारण क्या है।

2. समाधान: "पूंछ" का जासूस (The "Tail" Detective)

लेखक एक अवधारणा पेश करते हैं जिसे Granger Causality in Extremes कहा जाता है। इसे एक ऐसे जासूस के रूप में सोचें जो केवल उन अपराधों की जांच करता है जो पूर्णिमा (extreme events) के दौरान होते हैं।

वे एक उपकरण का उपयोग करते हैं जिसे Causal Tail Coefficient कहा जाता है।

रूपक (Metaphor): कल्पना करें कि आप एलिस और बॉब को देख रहे हैं।
- सामान्य कार्य-कारण संबंध (Normal Causality): आप पूछते हैं, "क्या एलिस आमतौर पर बॉब को खुश करती है?"
- चरम कार्य-कारण संबंध (Extreme Causality): आप पूछते हैं, "जब एलिस अत्यधिक क्रोधित होती है, तो क्या यह इस बात की गारंटी देता है कि बॉब भी अत्यधिक क्रोधित हो जाएगा?"
- यदि उत्तर "हाँ, हर एक बार" है, तो एलिस बॉब के अत्यधिक क्रोध का कारण है। यह शोध पत्र इस "गारंटी" को मापने का एक गणितीय तरीका प्रदान करता है।

3. सुपरपावर: "शोर" को अनदेखा करना

कारण खोजने में सबसे बड़ी सिरदर्द Confounders (भ्रामक कारक) होते हैं। ये छिपे हुए तीसरे पक्ष हैं जो आपके तर्क को बिगाड़ देते हैं।

उपमा: कल्पना करें कि आप देखते हैं कि जुलाई में आइसक्रीम की बिक्री और शार्क के हमले दोनों बढ़ जाते हैं। एक बुरा जासूस कह सकता है, "आइसक्रीम के कारण शार्क के हमले होते हैं!" लेकिन वास्तविक कारण एक छिपा हुआ कन्फाउंडर (hidden confounder) है: गर्म मौसम। गर्म मौसम के कारण लोग आइसक्रीम भी खरीदते हैं और तैरने (जहाँ शार्क होती हैं) भी जाते हैं।

आमतौर पर, इसे ठीक करने के लिए, आपको सब कुछ (तापमान, आर्द्रता आदि) मापने की आवश्यकता होती है। लेकिन वास्तविक दुनिया में, आप अक्सर सब कुछ नहीं माप सकते।

शोध पत्र की खोज: लेखकों ने एक जादुई ट्रिक खोजी है। जब आप चरम घटनाओं (जैसे भीषण हीटवेव) को देख रहे होते हैं, तो "छिपा हुआ कन्फाउंडर" अक्सर समीकरण से गायब हो जाता है।
क्यों? यदि एलिस और बॉब दोनों एक छिपे हुए "गर्म मौसम" चर (variable) के प्रति प्रतिक्रिया दे रहे हैं, लेकिन एलिस की प्रतिक्रिया इतनी चरम है कि वह मौसम पर हावी हो जाती है, तो आप यह बता सकते हैं कि एलिस बॉब की चरम स्थिति का सीधा कारण है, बिना मौसम को मापे। यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि चरम घटनाओं के लिए, आप अक्सर छिपे हुए शोर को अनदेखा कर सकते हैं और फिर भी वास्तविक कारण को खोज सकते हैं।

4. परीक्षण: क्या यह काम करता है?

लेखकों ने केवल सिद्धांत नहीं लिखा; उन्होंने इसे टेस्ट करने के लिए एक कंप्यूटर प्रोग्राम बनाया।

सिमुलेशन (Simulation): उन्होंने जटिल नियमों वाले नकली संसार बनाए, जिनमें कुछ "छिपे हुए जासूसों" (confounders) वाले और कुछ "भारी पूंछ" (heavy tails/outliers) वाले संसार शामिल थे।
परिणाम: उनकी नई विधि वर्तमान "स्टेट-ऑफ-द-आर्ट" विधियों की तुलना में अधिक तेज़ और सटीक थी। इसने उन चरम स्थितियों में कारणों की सही पहचान की जहाँ अन्य विधियाँ भ्रमित हो गईं या विफल रहीं।

5. वास्तविक दुनिया के उदाहरण

लेखकों ने अपने तरीके का परीक्षण दो वास्तविक परिदृश्यों पर किया:

स्विस नदियाँ और वर्षा: उन्होंने वर्षा (precipitation) और नदी के बहाव (river discharge) को देखा।
- निष्कर्ष: वे बता सकते थे कि यदि किसी विशिष्ट पहाड़ी स्रोत पर भारी बारिश होती है, तो कौन सी नदियाँ बाढ़ का कारण बनेंगी। उन्होंने पाया कि एक स्थान पर बारिश ने निचले प्रवाह में अत्यधिक बाढ़ का कारण बनाया, लेकिन इसने दूसरी, दूर स्थित घाटी में अत्यधिक बाढ़ का कारण नहीं बनाया। यह बाढ़ की अधिक सटीक भविष्यवाणी करने में मदद करता है।
क्रिप्टोकरेंसी: उन्होंने 14 अलग-अलग क्रिप्टोकरेंसी को देखा।
- निष्कर्ष: उन्होंने Bitcoin और Litecoin को "लीडर" के रूप में पहचाना। जब बिटकॉइन में अत्यधिक गिरावट या उछाल आता था, तो वह थोड़े समय बाद अन्य सिक्कों (जैसे Ethereum या Cardano) में अत्यधिक हलचल का कारण बनता था। यह व्यापारियों को यह समझने में मदद करता है कि संकट या उछाल के दौरान कौन बाजार को चला रहा है।

सारांश

संक्षेप में, यह शोध पत्र कहता है: "तूफान को समझने के लिए केवल शांत दिनों का अध्ययन न करें।"

उन्होंने एक नया गणितीय लेंस बनाया जो विशेष रूप से सबसे चरम, अस्थिर क्षणों पर ज़ूम करता है। यह लेंस छिपे हुए विकर्षणों (confounders) को अनदेखा करने में बेहतर है और संकट के वास्तविक "ट्रिगर" को खोजने में अधिक तेज़ है, चाहे वह वित्तीय संकट हो या प्राकृतिक आपदा। उन्होंने अपना कोड ओपन-सोर्स भी कर दिया है ताकि अन्य लोग इस "एक्सट्रीम डिटेक्टिव" टूल का उपयोग कर सकें।

तकनीकी सारांश: चरम स्थितियों में ग्रेंजर कार्य-कारणता (Granger Causality in Extremes)

1. समस्या विवरण

टाइम सीरीज़ (समय श्रृंखला) में कारण-संबंधों की खोज गतिशील प्रणालियों को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से उच्च अस्थिरता और चरम घटनाओं की अवधि के दौरान। हालाँकि, अत्याधुनिक विधियाँ मुख्य रूप से वितरण के "मध्य भाग" (जैसे कि माध्य या विचरण में कार्य-कारणता) पर ध्यान केंद्रित करती हैं। ये शास्त्रीय दृष्टिकोण उन तंत्रों को पकड़ने में विफल रहते हैं जो विशेष रूप से चरम घटनाओं के दौरान प्रकट होते हैं, जैसे कि अन्य संपत्तियों पर अत्यधिक स्टॉक रिटर्न का प्रभाव या नदी के बाढ़ पर अत्यधिक वर्षा का प्रभाव। इसके अलावा, मानक कारण अनुमान (causal inference) छिपे हुए कन्फाउंडर्स (confounders) के प्रति अत्यधिक संवेदनशील है, और चरम घटना विश्लेषण के लिए मौजूदा विधियाँ नियमित भिन्नता (regular variation), टेल इक्विवेलेंस (tail equivalence), या विशिष्ट पैरामीट्रिक मॉडल संबंधी मजबूत धारणाओं पर निर्भर करती हैं, जो भारी-पूंछ (heavy-tailed) और हल्की-पूंछ (light-tailed) दोनों प्रकार के चरों की प्रयोज्यता को सीमित करती हैं।

यह शोध पत्र चरम घटनाओं के संदर्भ में विशेष रूप से ग्रेंजर-प्रकार की कार्य-कारणता को औपचारिक रूप से परिभाषित करने और अनुमान लगाने के लिए एक ढांचे की आवश्यकता को संबोधित करता है, जो गैर-रेखीय (non-linear), उच्च-आयामी (high-dimensional) श्रृंखलाओं को संभालने में सक्षम हो, और विशिष्ट पूंछ स्थितियों (tail conditions) के तहत छिपे हुए कन्फाउंडर्स के प्रति सुदृढ़ हो।

2. कार्यप्रणाली

2.1 सैद्धांतिक ढांचा: चरम स्थितियों में कार्य-कारणता

लेखक एक द्विविचर प्रक्रिया $(X, Y)$ के लिए चरम स्थितियों में कार्य-कारणता की दो नवीन परिभाषाएँ पेश करते हैं, जो चरों के एक सेट $Z$ पर आधारित हैं (जिसमें $X$ और $Y$ के पिछले मान और संभावित कन्फाउंडर्स शामिल हो सकते हैं)। ये परिभाषाएँ कॉज़ल टेल कोएफिशिएंट (causal tail coefficient) पर निर्भर करती हैं, जो Gnecco et al. (2020) द्वारा पेश किए गए गुणांक का एक सामान्यीकरण है।

मान लीजिए $F$ एक वितरण फलन है जहाँ सभी $x$ के लिए $F(x) < 1$ है। $Z$ के लिए समायोजित कॉज़ल टेल कोएफिशिएंट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$\Gamma_{X \to Y|C} := \lim_{v \to \infty} \mathbb{E}[F(Y_{t+1}) \mid X_t > v, C^{-X}_t]$
जहाँ $C^{-X}_t$ सूचना सेट है जिसमें $X$ के अतीत को शामिल नहीं किया गया है।

शोध पत्र चरम कार्य-कारणता के दो रूप परिभाषित करता है:

टेल कार्य-कारणता ( $X \xrightarrow{tail} Y$ ): $X$ की ऊपरी पूंछ (upper tail) $Y$ की पूंछ को तब प्रभावित करती है जब उपरोक्त सशर्त प्रत्याशा (conditional expectation) आधार रेखा प्रत्याशा $\mathbb{E}[F(Y_{t+1}) \mid C^{-X}_t]$ से भिन्न होती है।
एक्सट्रीम (चरम) कार्य-कारणता ( $X \xrightarrow{ext} Y$ ): $X$ में एक चरम घटना $Y$ में एक चरम घटना का कारण तब बनती है जब गुणांक लगभग निश्चित रूप से (almost surely) 1 के बराबर होता है। इसका तात्पर्य यह है कि $X$ में एक चरम घटना $Y$ में एक चरम घटना को निश्चित बनाती है (प्रायिकता 1 के करीब पहुँच जाती है)।

यह ढांचा गैर-इकाई लैग्स (max-lag $p$ ), इंस्टेंटेनियस प्रभावों (instantaneous effects), दोनों पूंछों ( $|X|$ और $|Y|$ का उपयोग करके), और सीमित सपोर्ट (bounded supports) तक विस्तृत है।

2.2 तुल्यता और सुदृढ़ता (Equivalence and Robustness)

लेखक इन नई परिभाषाओं और शास्त्रीय अवधारणाओं के बीच औपचारिक तुल्यता स्थापित करते हैं:

धारणा A1 (संरचनात्मक निर्भरता पूंछों में लुप्त नहीं होती है) के तहत, $X \xrightarrow{ext} Y \iff X \xrightarrow{tail} Y \iff X \xrightarrow{G} Y$ (ग्रेंजर कार्य-कारणता)।
छिपे हुए कन्फाउंडर्स के प्रति सुदृढ़ता: एक प्रमुख सैद्धांतिक योगदान यह प्रदर्शन है कि नियमित भिन्नता धारणाओं (विशेष रूप से ग्रे धारणा/Grey assumption) और स्थिरता (stationarity) के तहत, कन्फाउंडर्स $Z$ के लिए समायोजन को अनदेखा किया जा सकता है। विशेष रूप से, $\Gamma_{X \to Y|C} = 1 \iff \Gamma_{X \to Y|\emptyset} = 1$ । यह उच्च-आयामी कन्फाउंडर्स को स्पष्ट रूप से मॉडल किए बिना चरम कार्य-कारण संबंधों का पता लगाने की अनुमति देता, बशर्ते $X$ का चरम व्यवहार उसके अपने नवाचारों (innovations) द्वारा पर्याप्त रूप से संचालित हो।

2.3 अनुमान और निष्कर्ष (Estimation and Inference)

शोध पत्र एक गैर-पैरामीट्रिक, मॉडल-मुक्त निष्कर्ष प्रक्रिया प्रस्तावित करता है:

अनुमानकर्ता (Estimator): एक सैंपल-आधारित अनुमानकर्ता $\hat{\Gamma}_{X \to Y|Z}$ का निर्माण समय चरणों के एक उपसमुच्चय $S$ पर $F(y_{t+1})$ का औसत निकालकर किया जाता है, जहाँ $X_t$ चरम है (सीमा $\tau_n$ से अधिक) और कन्फाउंडर्स $Z_t$ (और संभावित रूप से $Y_t$ ) चरम नहीं हैं।
सेट चयन: $S$ $S$ के लिए दो सेट प्रस्तावित किए गए हैं:
- $S_1$ : $X_t$ के चरम होने और $Z_t$ (और $Y_t$ ) के एक निश्चित सीमा से नीचे होने की स्थिति पर।
- $S_2$ : $X_t$ के चरम होने और $(Y_t, Z_t)$ के एक विशिष्ट बिंदु $(y_0, z_0)$ के आसपास एक छोटे बॉल (ball) के भीतर होने की स्थिति पर।
संगति (Consistency): प्रमेय 2 और प्रमेय 3 सिद्ध करते हैं कि जब नमूना आकार $n \to \infty$ होता है, तो ये अनुमानकर्ता सुसंगत (consistent) होते हैं।
एल्गोरिदम: एक वर्गीकरण एल्गोरिदम (एल्गोरिदम 1) अनुमानित गुणांक की आधार रेखा के साथ तुलना करता है। यदि $\hat{\Gamma} \approx 1$ है, तो यह 'एक्सट्रीम कार्य-कारणता' का निष्कर्ष निकालता है; अन्यथा, यह 'कोई एक्सट्रीम कार्य-कारणता नहीं' का निष्कर्ष निकालता है।
बहुचर विस्तार (Multivariate Extension): एल्गोरिदम 2 $m$ चरों के लिए पूर्ण कार्य-कारण ग्राफ (causal graph) का अनुमान लगाने के लिए इसे विस्तारित करता है। यह पहले युग्मवार स्क्रीनिंग (pairwise screening) करने के लिए सुदृढ़ता गुण का लाभ उठाता है (कन्फाउंडर्स को अनदेखा करते हुए), और फिर माता-पिता (parents) पर शर्त लगाकर ग्राफ को परिष्कृत करता है, जिससे इसकी समय जटिलता (time complexity) $O(m^2 n \log n)$ प्राप्त होती है।
परीक्षण: टेम्पोरल डिपेंडेंसी (कालिक निर्भरता) को बनाए रखने के लिए टेल कार्य-कारणता परीक्षणों के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल बनाने हेतु एक मूविंग ब्लॉक बूटस्ट्रैप प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है।

3. मुख्य परिणाम

3.1 सैद्धांतिक योगदान

तुल्यता: शोध पत्र सिद्ध करता है कि हल्के संरचनात्मक अनुमानों (A1/A2) के तहत, चरम स्थितियों में कार्य-कारणता शास्त्रीय ग्रेंजर और संरचनात्मक कार्य-कारणता के समकक्ष है।
कन्फाउंडिंग सुदृढ़ता: प्रमेय 1 स्थापित करता है कि नियमित रूप से परिवर्तनशील प्रक्रियाओं के लिए जो ग्रे धारणा (Grey assumption) का पालन करती हैं, छिपे हुए कन्फाउंडर्स की उपस्थिति चरम कार्य-कारणता का पता लगाने ( $\Gamma=1$ ) को नहीं बदलती है, यदि पूंछों में प्रत्यक्ष मार्ग (direct pathway) कन्फाउंडिंग मार्ग पर हावी है।
नो-फ्री-लंच थ्योरम: लेखक प्रदर्शित करते हैं कि मॉडल वर्ग (जैसे कि स्ट्रक्चरल कॉज़ल मॉडल्स) को प्रतिबंधित किए बिना, ग्रेंजर गैर-कार्य-कारणता या चरम स्थितियों में गैर-कार्य-कारणता के लिए कोई वैध-स्तर का परीक्षण मौजूद नहीं है, जो उपयोग किए गए संरचनात्मक अनुमानों की आवश्यकता को रेखांकित करता है।

3.2 अनुभवजन्य प्रदर्शन (Empirical Performance)

सिमुलेशन: VAR और GARCH मॉडल (दोनों गॉसियन और हेवी-टेल्ड) में अत्याधुनिक विधियों (PCMCI विद RobustParCorr और GPDC) के विरुद्ध तुलनात्मक अध्ययन दिखाते हैं कि प्रस्तावित विधि:
- लगभग सभी सेटिंग्स में, विशेष रूप से उच्च-आयामी और हेवी-टेल्ड परिदृश्यों में, काफी कम औसत मॉडल त्रुटि प्राप्त करती है।
- गणनात्मक रूप से अधिक कुशल है (उदाहरण के लिए, 20-चर चर वाले डेटासेट के लिए PCMCI-GPDC के >1 घंटे के मुकाबले ~6 सेकंड)।
- छिपे हुए कन्फाउंडर्स के प्रति सुदृढ़ता प्रदर्शित करती है जहाँ अन्य विधियाँ विफल हो जाती हैं।
वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग:
- हाइड्रो-मेटियोरोलॉजी: स्विस नदी डिस्चार्ज और वर्षा डेटा पर लागू किया गया। विधि ने सफलतापूर्वक पहचाना कि स्रोत स्टेशन पर अत्यधिक वर्षा निचले प्रवाह वाले स्टेशनों में अत्यधिक डिस्चार्ज का कारण बनती है (एक्सट्रीम कार्य-कारणता), जबकि उन स्टेशनों के लिए केवल टेल कार्य-कारणता दिखाई गई जहाँ कारण संबंध संभाव्य है या भूगोल द्वारा बाधित है।
- क्रिप्टोकरेंसी: 14 उच्च-आवृत्ति वाले क्रिप्टोकरेंसी रिटर्न्स का विश्लेषण किया गया। ढांचे ने बिटकॉइन और लाइटकॉइन को चरम बाजार गतिविधियों के प्राथमिक चालक के रूप में पहचाना, जो बाजार के ज्ञान (जैसे कि बिटकॉइन एक अग्रणी संकेतक के रूप में) के अनुरूप सुसंगत कारण संरचनाओं को उजागर करता है।

4. महत्व और दावे

शोध पत्र का दावा है कि यह चरम स्थितियों में ग्रेंजर कार्य-कारणता के लिए पहला औपचारिक ढांचा प्रदान करता है जो भविष्य कहनेवाला कार्य-कारण (predictive causality) और चरम घटना विश्लेषण के बीच के अंतर को पाटता है। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

चरम स्थितियों को संभालना: एक ऐसा उपकरण प्रदान करना जो विशेष रूप से उच्च-प्रभाव, कम-संभावना वाली घटनाओं के लिए डिज़ाइन किया गया है जहाँ शास्त्रीय माध्य-आधारित विधियाँ अपर्याप्त हैं।
सुदृढ़ता: यह सैद्धांतिक गारंटी प्रदान करना कि छिपे हुए कन्फाउंडर्स की उपस्थिति में भी चरम कारण संबंधों का पता लगाया जा सकता है, जो अवलोकन संबंधी कारण अनुमान (observational causal inference) में एक बड़ी चुनौती है।
व्यावहारिक उपयोगिता: एक तेज़, गैर-पैरामीट्रिक और ओपन-सोर्स कार्यान्वयन प्रदान करना जो सटीकता और गति में मौजूदा अत्याधुनिक विधियों से बेहतर है, जो वित्त से लेकर जलवायु विज्ञान तक के क्षेत्रों में लागू होता है।

लेखक नोट करते हैं कि हालांकि यह ढांचा शक्तिशाली है, यह विशिष्ट पूंछ धारणाओं (नियमित भिन्नता, ग्रे धारणा) और संरचनात्मक गुणों पर निर्भर करता है। वे Kesten-Goldie धारणाओं तक इन सुदृढ़ता परिणामों के विस्तार और बूटस्ट्रैप परीक्षण प्रक्रिया के लिए तेज़, सैद्धांतिक रूप से न्यायसंगत विकल्पों के विकास के संबंध में खुले प्रश्नों को स्वीकार करते हैं।