Renormalisation of Quantum Cellular Automata

आधुनिक भौतिकी के विशाल परिदृश्य में, व्यक्तिगत परमाणुओं की छोटी, उन्मत्त दुनिया को बड़ी वस्तुओं के सुचारू, पूर्वानुमेय व्यवहार से जोड़ने में एक निरंतर चुनौती बनी हुई है। भौतिकविदों ने इस अंतर को पाटने के लिए लंबे समय से 'रेनोर्मलाइजेशन' (renormalization) नामक एक शक्तिशाली उपकरण का उपयोग किया है। कल्पना कीजिए कि आप हर एक पानी के अणु को देखकर एक नदी के प्रवाह को समझने की कोशिश कर रहे हैं; उन सभी का पता लगाना असंभव है। इसके बजाय, वैज्ञानिक इन अणुओं को छोटे पैकेटों, या "टाइल्स" (tiles) में समूहित करते हैं और अध्ययन करते हैं कि ये बड़े हिस्से कैसे चलते हैं और परस्पर क्रिया करते हैं। इन टुकड़ों को और भी बड़े समूहों में बार-बार समूहित करके, वे सूक्ष्म दुनिया के अव्यवस्थित, अप्रासंगिक विवरणों को हटाकर उस सारभूत नियमों को प्रकट कर सकते हैं जो बड़े चित्र को नियंत्रित करते हैं। यह विधि चुंबकों के व्यवहार से लेकर ब्रह्मांड को थामे रखने वाले बलों तक, सब कुछ समझने के लिए एक आधारशिला रही है।

हाल ही में, शोधकर्ताओं ने इसी तर्क को एक अलग प्रकार की प्रणाली की ओर मोड़ दिया है: क्वांटम सेलुलर ऑटोमाटा (quantum cellular automata)। ये गियर या तारों से बनी भौतिक मशीनें नहीं हैं, बल्कि गणितीय मॉडल हैं कि कैसे सूचना क्वांटम बिट्स के एक ग्रिड पर विकसित होती है। इन्हें एक डिजिटल ब्रह्मांड के रूप में सोचें जहाँ प्रत्येक सेल एक सरल, स्थानीय नियम का पालन करते हुए अपनी स्थिति को अपडेट करता है, फिर भी ये सरल नियम समय के साथ अविश्वसनीय रूप से जटिल और अप्रत्याशित पैटर्न उत्पन्न कर सकते हैं। क्योंकि ये मॉडल प्रतिवर्ती (reversible) हैं और सूचना को सुरक्षित रखते हैं, इसलिए ये क्वांटम भौतिक प्रणालियों का अनुकरण करने और भविष्य के क्वांटम कंप्यूटर बनाने के लिए आदर्श उम्मीदवार हैं। हालाँकि, एक महत्वपूर्ण प्रश्न बना हुआ था: यदि हम इन क्वांटम ग्रिडों पर रेनोर्मलाइजेशन तकनीक लागू करते हैं, तो क्या परिणामी बड़े पैमाने की प्रणाली अभी भी एक वैध क्वांटम सेलुलर ऑटोमाटा की तरह व्यवहार करेगी? या क्या यह प्रक्रिया उन नाजुक नियमों को तोड़ देगी जो इस प्रणाली को क्वांटम बनाते हैं?

पविया विश्वविद्यालय और इटली के नेशनल इंस्टीट्यूट ऑफ न्यूक्लियर फिजिक्स के भौतिकविदों की एक टीम ने इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए हाथ बढ़ाया। उन्होंने इन क्वांटम प्रणालियों को "कोर्स-ग्रेन" (coarse-grain) करने के लिए एक कठोर प्रक्रिया विकसित की, जिसमें पड़ोसी सेल्स को टाइल्स में समूहित करना और प्रत्येक टाइल के भीतर संभावनाओं के एक विशिष्ट उप-स्थान (subspace) का चयन करना शामिल है। लक्ष्य यह देखना था कि क्या मूल, सूक्ष्म-स्तरीय विकास के कई चरणों को एक नए, सरल ऑटोमाटा के एकल चरण के रूप में देखा जा सकता है। यदि यह संभव था, तो इसका अर्थ यह होगा कि एक बड़े पैमाने पर संचालित होने वाले एक नए, सरल ऑटोमाटा के रूप में एक जटिल, शोर-युक्त बड़े क्वांटम सिस्टम को समझा जा सकता है। यह केवल एक सैद्धांतिक अभ्यास नहीं है; इसके भविष्य के क्वांटम कंप्यूटरों पर सिमुलेशन चलाने के तरीके पर प्रत्यक्ष निहितार्थ हैं, जहाँ हम एक शोर वाले, भौतिक उपकरण का उपयोग एक पूर्ण, तार्किक एक को सिम्युलेट करने के लिए कर सकते हैं।

शोधकर्ताओं ने एक सख्त सेट की शर्तें निकालीं जिन्हें एक क्वांटम सेलुलर ऑटोमाटा को "रेनोर्मलाइज़ेबल" (renormalizable) होने के लिए पूरा करना आवश्यक है। उन्होंने इन शर्तों को सबसे सरल संभव मामले पर लागू किया: सेल्स की एक एक-आयामी रेखा जहाँ प्रत्येक सेल एक एकल क्वांटम बिट, या क्यूबिट (qubit) धारण करता है। इस परिदृश्य में, उन्होंने दो पड़ोसी सेल्स को एक टाइल में समूहित किया और देखा कि कैसे दो चरणों के विकास को एक में संकुचित किया जा सकता है। परिणाम आश्चर्यजनक रूप से प्रतिबंधात्मक थे। टीम ने पाया कि अधिकांश क्वांटम सेलुलर ऑटोमाटा इस तरह से रेनोर्मलाइज नहीं किए जा सकते हैं। सेल्स को समूहित करने और सूचना को त्यागने की प्रक्रिया इतनी मांग वाली है कि यह सिस्टम को तब तक तोड़ देती है जब तक कि सिस्टम पहले से ही बहुत सरल न हो।

विशेष रूप से, अध्ययन ने सिद्ध किया कि एक क्यूबिट-आधारित ऑटोमाटा के जीवित रहने के लिए, इसका विकास तीन बहुत ही संकीर्ण श्रेणियों में से एक में होना चाहिए। पहला, सिस्टम केवल प्रत्येक सेल पर स्थानीय रोटेशन (local rotations) कर सकता है, जो सूचना को इधर-उled किए बिना स्थान पर ही क्वांटम अवस्था को घुमाने जैसा है। दूसरा, सिस्टम एक सरल शिफ्ट (shift) हो सकता है, जहाँ ग्रिड की पूरी सामग्री एक कन्वेयर बेल्ट की तरह एक स्टेप बाएं या दाएं खिसक जाती है। तीसरा, यह एक यूनिटरी ऑपरेशन (unitary operation) हो सकता है जो मानक आधार (standard basis) में डायगोनल (diagonal) है, जिसका अर्थ है कि यह जटिल रूप से मिश्रण किए बिना अवस्थाओं के फेज़ (phase) को बदलता है। कोई भी ऑटोमाटा जो कुछ अधिक जटिल करने की कोशिश करता है, जैसे कि सूचना को एक जटिल जाल में फैलाना या ग्रिड के दूर के हिस्सों के बीच एंटैंगलमेंट (entanglement) पैदा करना, वह परीक्षण में विफल हो जाता है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि यदि सिस्टम इन विशिष्ट पैटर्न में फिट नहीं बैठता है, तो रेनोर्मलाइजेशन प्रक्रिया ध्वस्त हो जाती है, और परिणामी बड़े पैमाने का विवरण अब एक वैध क्वांटम सेलुलर ऑटोमाटा नहीं रह जाता है।

सबसे उल्लेखनीय खोज शायद यह थी कि भले ही रेनोर्मलाइजेशन काम करता है, यह सिस्टम की टोपोलॉजिकल प्रकृति को मौलिक रूप से बदल सकता है। भौतिकी में, किसी सिस्टम का "इंडेक्स" (index) एक संख्या है जो यह बताती है कि सूचना उसके माध्यम से कैसे प्रवाहित होती है, जो एक प्रकार के टोपोलॉजिकल फिंगरप्रिंट के रूप में कार्य करती है। टीम ने पाया कि कुछ विशिष्ट समाधानों के लिए, रेनोर्मलाइजेशन प्रक्रिया इस इंडेक्स को बदल सकती है। एक सिस्टम जिसमें मूल रूप से सूचना का कोई शुद्ध प्रवाह नहीं था, कोर्स-ग्रेनिंग के बाद एक ऐसा सिस्टम बन सकता है जो सब कुछ दाईं ओर खिसका देता है। यह प्रदर्शित करता है कि इन क्वांटम प्रणालियों के टोपोलॉजिकल गुण हमेशा सुदृढ़ नहीं होते हैं; वे इस पैमाने पर बदल सकते हैं जिस पर आप उन्हें देखते हैं।

लेखकों ने इस प्रक्रिया के "फिक्स्ड पॉइंट्स" (fixed points) की पहचान की, जो वे विशिष्ट ऑटोमाटा हैं जो रेनोर्मलाइजेशन चरण लागू करने पर अपरिवर्तित (या केवल एक अनुमानित, पुनरावृत्ति योग्य तरीके से परिवर्तनशील) रहते हैं। उन्होंने पाया कि केवल बहुत कम संख्या में क्यूबिट ऑटोमाटा इस प्रक्रिया के तहत स्थिर हैं। अधिकांश दिलचस्प, जटिल व्यवहार जो क्वांटम सेलुलर ऑटोमाटा को सिमुलेशन और कंप्यूटेशन के लिए आकर्षक बनाते हैं, कोर्स-ग्रेनिंग के लिए आवश्यक डिग्री ऑफ फ्रीडम (degrees of freedom) के न्यूनीकरण के कारण बहुत नाजुक हैं। शोधकर्ताओं ने निष्कर्ष निकाला कि यह अत्यधिक सीमा संभवतः उनके द्वारा उपयोग किए गए टाइल्स के छोटे आकार के कारण है—केवल दो सेल्स—और एक एकल क्यूबिट में उपलब्ध डिग्री ऑफ फ्रीडम की सीमित संख्या के कारण है। उन्होंने सुझाव दिया कि यदि कोई बड़े सेल ब्लॉक्स को समूहित करता या अधिक जटिल आंतरिक संरचनाओं वाले सिस्टम को देखता, तो अधिक दिलचस्प और स्थिर रेनोर्मलाइज़ेबल सिस्टम उभर सकते थे।

यह कार्य एक पूर्ण और व्यापक समाधान प्रदान करता है, जो एक-आयामी क्यूबिट मामले के लिए, कि क्या संभव है और क्या असंभव है, इसका एक स्पष्ट मानचित्र प्रस्तुत करता है। यह रेनोर्मलाइज़ेबिलिटी के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त स्थापित करता है, जो एक गणितीय नियम है जो यह निर्धारित करता है कि क्या किसी प्रणाली को उसकी क्वांटम पहचान खोए बिना सरल बनाया जा सकता है। जबकि परिणाम दिखाते हैं कि अधिकांश सरल क्यूबिट ऑटोमाटा रेनोर्मलाइज़ेबल नहीं हैं, टीम द्वारा विकसित उपकरण और शर्तें अधिक जटिल परिदृश्यों की खोज के लिए एक आधार प्रदान करती हैं। शोधकर्ता प्रस्तावित करते हैं कि भविष्य के कार्य उच्च-आयामी ग्रिडों या दो से अधिक सेल्स प्रति टाइल वाले सिस्टमों की ओर देख सकते हैं, जहाँ नियम कम प्रतिबंधात्मक हो सकते हैं। फिलहाल, यह अध्ययन एक निश्चित प्रमाण के रूप में खड़ा है कि सरलतम क्वांटम ग्रिडों में, बड़े पैमाने के, सरलीकृत विवरण की ओर जाने वाला मार्ग केवल कुछ चुनिंदा प्रणालियों के लिए खुला है, बाकी को जटिल और अपरिहार्य बने रहने के लिए छोड़ दिया गया है।