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On the moments of the mass of shrinking balls under the Critical $2d$ Stochastic Heat Flow

यह शोध पत्र यह निर्धारित करके क्रिटिकल 2d स्टोकेस्टिक हीट फ्लो की इंटरमिटेंसी (intermittency) की जांच करता है कि त्रिज्या $\epsilon$ वाले सिकुड़ते गोलों को सौंपे गए द्रव्यमान के $h$ -वें मोमेंट का उनके लेबेग वॉल्यूम (Lebesgue volume) के साथ अनुपात स्पर्शोन्मुखी रूप से $(\log\tfrac{1}{\epsilon})^{{h\choose 2}}$ के रूप में स्केल करता है।

मूल लेखक: Ziyang Liu, Nikos Zygouras

प्रकाशित 2026-04-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ziyang Liu, Nikos Zygouras

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ "On the Moments of the Mass of Shrinking Balls Under the Critical 2d Stochastic Heat Flow" नामक शोध पत्र का सरल भाषा और रचनात्मक उपमाओं के साथ हिंदी अनुवाद दिया गया है।

मुख्य विचार: एक तूफान जो कभी शांत नहीं होता

कल्पना कीजिए कि आप एक बहुत ही अजीब और अराजक तूफान के बीच एक मैदान में खड़े हैं। यह कोई सामान्य बारिश वाला तूफान नहीं है; यह एक "स्टोकेस्टिक हीट फ्लो" (Stochastic Heat Flow) है। इसे एक जादुई, अदृश्य तरल पदार्थ के रूप में सोचें जो एक सपाट सतह (एक 2D प्लेन) पर फैल रहा है।

एक सामान्य दुनिया में, यदि आप ज़मीन पर पानी डालते हैं, तो वह समान रूप से फैलता है। लेकिन इस "क्रिटिकल" (Critical) तूफान में, तरल पदार्थ जंगली व्यवहार करता है। यह सुचारू रूप से नहीं फैलता; इसके बजाय, यह अविश्वसनीय रूप से घने, छोटे-छोटे स्पाइक्स (spikes) में इकट्ठा हो जाता है। अधिकांश समय, ज़मीन खाली दिखाई देती है, लेकिन यदि आप बहुत बारीकी से देखें, तो आपको "द्रव्यमान" (या तरल) के तीव्र, केंद्रित विस्फोट मिलेंगे।

इस शोध पत्र के लेखक एक विशिष्ट प्रश्न का उत्तर देने की कोशिश कर रहे हैं: यदि हम एक आवर्धक लेंस (एक सिकुड़ता हुआ गोला या shrinking ball) लें और इस ज़मीन के एक छोटे से बिंदु को देखें, तो हमें उसके अंदर कितना "द्रव्यमान" मिलेगा?

समस्या: "खालीपन" का भ्रम

शोध पत्र एक आश्चर्यजनक तथ्य के साथ शुरू होता है: यदि आप इस ज़मीन पर एक छोटा सा घेरा देखते हैं और पूछते हैं, "इस घेरे के आकार की तुलना में यहाँ कितना द्रव्यमान है?" तो उत्तर शून्य आता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि एक समुद्र तट है। यदि आप एक बाल्टी रेत निकालते हैं, तो आपको बहुत सारी रेत मिलती है। लेकिन यदि आपके पास एक जादुई समुद्र तट है जहाँ रेत वास्तव में अदृश्य धूल से बनी है जो सूक्ष्म, अत्यंत घने कंकड़ों में सिमट जाती है, और आप एक बाल्टी भरने की कोशिश करते हैं, तो आप पाएंगे कि बाल्टी में ज्यादातर खाली हवा है।
गणित: लेखक सिद्ध करते हैं कि जैसे-जैसे आपका "बकेट" (त्रिज्या $\epsilon$ वाला गोला) छोटा होता जाता है, उसके अंदर का द्रव्यमान बकेट के आकार की तुलना में कहीं अधिक तेज़ी से शून्य की ओर घटता है। एक साधारण पर्यवेक्षक के लिए, वह क्षेत्र खाली दिखाई देता है।

मोड़: "इंटरमिटेंसी" (Intermittency) का आश्चर्य

यदि क्षेत्र खाली दिखता है, तो इसका अध्ययन क्यों किया जाए? क्योंकि लेखक मोमेंट्स (moments - उतार-चढ़ाव को मापने का एक सांख्यिकीय तरीका) को देख रहे हैं।

वे पूछते हैं: "यदि हम द्रव्यमान के उच्च घात (high power) का औसत (जैसे वर्ग या घन) देखें, तो क्या होता है?"

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप लॉटरी पर दांव लगा रहे हैं। अधिकांश दिनों में, आप कुछ भी नहीं जीतते। लेकिन कभी-कभार, आप अरबों रुपये जीत जाते हैं।
- यदि आप केवल "औसत" जीत को देखते हैं, तो यह छोटी लग सकती है।
- लेकिन यदि आप "वर्गों के औसत" (जो बड़ी जीत को भारी दंड देता है) को देखते हैं, तो वह संख्या विस्फोट कर जाती है।
खोज: लेखकों ने पाया कि जबकि द्रव्यमान ऐसा दिखता है जैसे कि वह गायब हो रहा है, उनके सांख्यिकीय स्पाइक्स (statistical spikes) ज़ूम करने पर अनंत रूप से बड़े होते जा रहे हैं। "गुच्छे" (clumps) इतने घने हैं कि जब आप उनकी तीव्रता की गणना करते हैं, तो संख्याएँ अनंत की ओर जाती हैं।

मुख्य परिणाम: लघुगणकीय विस्फोट (Logarithmic Explosion)

शोध पत्र का मुख्य निष्कर्ष यह है कि ये संख्याएँ कितनी तेज़ी से बढ़ती हैं।

उन्होंने पाया कि यह विकास केवल यादृच्छिक (random) नहीं है; यह लघुगणक (logarithm) से संबंधित एक बहुत ही विशिष्ट, पूर्वानुमेय पैटर्न का पालन करता है।

सूत्र: यह वृद्धि लगभग $(\log \frac{1}{\epsilon})^{h/2}$ के समानुपाती है।
रूपक: कल्पना कीजिए कि आप एक फ्रैक्टल छवि (जैसे मैंडलब्रॉट सेट) पर ज़ूम कर रहे हैं। हर बार जब आप 10 के कारक से ज़ूम करते हैं, तो जटिलता केवल दोगुनी नहीं होती; यह एक विशिष्ट, स्तरित तरीके से बढ़ती है।
- यहाँ, जैसे-जैसे आप अपने गोले की त्रिज्या ( $\epsilon$ ) को 10 के कारक से कम करते हैं, द्रव्यमान की "तीव्रता" केवल रैखिक रूप से नहीं बढ़ती। यह लघुगणक की एक घात (power of the logarithm) की तरह बढ़ती है।
- इसे एक रशियन नेस्टिंग डॉल (Russian Nesting Doll) की तरह सोचें। हर छोटी गुड़िया के अंदर, एक और गुड़िया है, लेकिन अंदर की गुड़ियों का "वजन" बाहर की गुड़ियों के छोटा होने की दर से तेज़ बढ़ता है। यह शोध पत्र गणना करता है कि वे आंतरिक गुड़िया कितनी भारी होती जाती हैं।

उन्होंने यह कैसे किया? ("कोलिजन" गेम)

इसे हल करने के लिए, लेखकों ने ब्राउनियन मोशन (Brownian Motion - रैंडम वॉक) से जुड़ी एक चतुर गणितीय युक्ति का उपयोग किया।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक मेज पर $h$ $h$ (मान लीजिए 10) नशे में धुत चींटियों को छोड़ देते हैं। वे बेतरतीब ढंग से इधर-उधर घूमती हैं।
- आमतौर पर, 2D में, दो चींटियाँ आपस में टकरा सकती हैं, लेकिन 10 चींटियों का एक ही समय में, एक ही सटीक स्थान पर टकराना दुर्लभ है।
- हालाँकि, इस "क्रिटिकल" मॉडल में, चींटियाँ एक बहुत ही विशिष्ट, "क्रिटिकल" बल के कारण एक-दूसरे की ओर आकर्षित होती हैं। यह ऐसा है जैसे उनके पास एक चुंबकीय खिंचाव है जो उन्हें मिलने के लिए पर्याप्त मजबूत है, लेकिन इतना भी नहीं कि वे हमेशा के लिए चिपक जाएँ।
गणना: लेखकों ने महसूस किया कि तरल पदार्थ का "द्रव्यमान" गणितीय रूप से इन चींटियों के आपस में टकराने के कुल समय के बराबर है।
- उन्होंने चींटियों के रास्तों और जहाँ वे टकराईं, उनके चित्र (जैसे पेपर में दिए गए हैं) बनाए।
- उन्हें चींटियों के टकराने के हर संभव तरीके को गिनना पड़ा।
- चुनौती: क्योंकि चींटियाँ "क्रिटिकल" रूप से आकर्षित हैं, गणित अत्यंत अस्थिर है। यह एक पेंसिल को उसकी नोक पर संतुलित करने जैसा है। गणित में एक छोटा सा बदलाव भी उत्तर को अनियंत्रित (blow up) कर सकता है।
- समाधान: उन्होंने "डायग्रामैटिक एक्सपेंशन" (diagrammatic expansion) नामक तकनीक का उपयोग किया। उन्होंने समस्या को सरल टकरावों (दो चींटियों का टकराना) और जटिल टकरावों (तीन या अधिक का टकराना) में विभाजित किया। उन्होंने सिद्ध किया कि भले ही गणित अव्यवस्थित हो, लेकिन प्रमुख कारक सरल युग्म-टकराव (pairwise collisions) हैं, और उन्होंने अंतिम सूत्र को सिद्ध करने के लिए "अव्यवस्थित" हिस्सों को नियंत्रित करने का प्रबंधन किया।

यह क्यों मायने रखता है?

यह केवल गणितीय पहेली नहीं है। यह मॉडल उन वास्तविक दुनिया की घटनाओं का वर्णन करता है जहाँ चीजें अप्रत्याशित रूप से क्लस्टर (cluster) होती हैं:

भौतिकी (Physics): यह बताता है कि कुछ क्वांटम सिस्टम में कण कैसे परस्पर क्रिया करते हैं।
वित्त (Finance): यह मॉडल करने में मदद करता है कि शेयर की कीमतें कैसे चरम, दुर्लभ गिरावट (intermittency) दिखा सकती हैं।
प्रकृति (Nature): यह वर्णन करता है कि जंगल कैसे पैच में बढ़ सकते हैं या तरल पदार्थों में विक्षोभ (turbulence) कैसे काम करता है।

एक वाक्य में सारांश

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि जबकि एक अराजक, क्रिटिकल तरल पदार्थ ज़ूम करने पर खाली दिखाई देता है, इसके छिपे हुए "स्पाइक्स" वास्तव में अनंत रूप से घने होते हैं, जो एक सटीक, लघुगणकीय पैटर्न में बढ़ते हैं जो ब्रह्मांड की यादृच्छिकता (randomness) के गहरे, फ्रैक्टल जैसे ढांचे को प्रकट करते हैं।

यहाँ ज़ियांग लियू और निकोस ज़िगुरस के शोध पत्र "On the Moments of the Mass of Shrinking Balls under the Critical 2d Stochastic Heat Flow" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र क्रिटिकल 2d स्टोकैस्टिक हीट फ्लो (SHF), जिसे $Z^\vartheta$ द्वारा दर्शाया गया है, के इंटरमिटेंसी गुणों (intermittency properties) की जांच करता है। यह $\mathbb{R}^2$ पर एक मेजर-वैल्यूड स्टोकैस्टिक प्रोसेस है जो मल्टीप्लिकेटिव स्पेस-टाइम व्हाइट नॉइज़ वाले इल-पोस्ड (ill-posed) 2D स्टोकैस्टिक हीट इक्वेशन (SHE) का एक गैर-तुच्छ समाधान है:
$\partial_t u = \frac{1}{2}\Delta u + \beta \xi u$
क्रिटिकल रिजीम को रेगुलराइजेशन पैरामीटर के शून्य होने पर इनवर्स टेम्परेचर पैरामीटर $\beta$ (या डिस्क्रीट डायरेक्टेड पॉलिमर इन रैंडम एनवायरनमेंट मॉडल में $\beta_N$ ) के एक विशिष्ट स्केलिंग द्वारा परिभाषित किया जाता है।

मुख्य घटना (Key Phenomenon):
यह ज्ञात है कि क्रिटिकल 2d SHF के वन-टाइम मार्जिनल्स (one-time marginals) लेबेग मेजर (Lebesgue measure) के सापेक्ष लगभग निश्चित रूप से सिंगुलर (singular) होते हैं। विशेष रूप से, त्रिज्या $\varepsilon$ वाले एक यूक्लिडियन बॉल $B(x, \varepsilon)$ के लिए, मेजर द्वारा असाइन किया गया द्रव्यमान (mass), $\varepsilon \to 0$ होने पर बॉल के वॉल्यूम ( $\varepsilon^2$ ) की तुलना में अधिक तेज़ी से शून्य की ओर घटता है।
$\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{Z^\vartheta_t(B(x, \varepsilon))}{\text{Vol}(B(x, \varepsilon))} = 0 \quad \text{a.s.}$

अनुसंधान प्रश्न (The Research Question):
जबकि द्रव्यमान (mass) लगभग निश्चित रूप से शून्य हो जाता है, यह शोध पत्र इस द्रव्यमान के मोमेंट्स (moments) के व्यवहार के बारे में पूछता है। क्या इस द्रव्यमान के मोमेंट्स $E[(Z^\vartheta_t(B(x, \varepsilon)))^h]$ भी शून्य हो जाते हैं, या क्या वे $\varepsilon \to 0$ होने पर "इंटरमिटेंसी" (ब्लो अप) प्रदर्शित करते हैं? यदि वे ब्लो अप होते हैं, तो उनकी सटीक ग्रोथ रेट क्या है?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक संभाव्य उपकरणों (probabilistic tools), डायग्रामेटिक एक्सपेंशन (diagrammatic expansions), और कोलिजन टाइम्स (collision times) के एसिम्प्टोटिक विश्लेषण के संयोजन का उपयोग करते हैं।

A. कोलिजन डायग्राम के माध्यम से मोमेंट रिप्रेजेंटेशन (Moment Representation via Collision Diagrams)

SHF के $h$ -वें मोमेंट को एक क्रिटिकल डेल्टा पोटेंशियल के माध्यम से परस्पर क्रिया करने वाले $h$ स्वतंत्र ब्राउनियन मोशन्स के टोटल कोलिजन टाइम के लाप्लास ट्रांसफॉर्म के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह डेल्टा-बोस गैस (delta-Bose gas) हैमिल्टोनियन से जुड़ा हुआ है।
मोमेंट फॉर्मूला को कोलिजन डायग्राम्स (रेप्लिका ओवरलैप डायग्राम्स) की एक श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है। प्रत्येक डायग्राम ब्राउनियन पथों के बीच टकराव के एक विशिष्ट अनुक्रम को दर्शाता है। एक डायग्राम के वेट (weight) में शामिल हैं:

मुक्त प्रसार (free propagation) के लिए हीट कर्नेल्स ( $g_t$ )।
क्रिटिकल डेल्टा इंटरेक्शन से संबंधित एक विशिष्ट कर्नेल $G_\vartheta(t)$ (वोल्टेरा फंक्शन से व्युत्पन्न)।
कोलिजन इवेंट्स में ब्राउनियन मोशन्स को असाइन करने के तरीकों को गिनने वाले कॉम्बिनेटरियल फैक्टर्स।

B. रेगुलराइजेशन और एप्रोक्सिमेशन (Regularization and Approximation)

बॉल के इंडिकेटर फंक्शन की सिंगुलैरिटी को संभालने के लिए, लेखक बॉल पर यूनिफॉर्म डेंसिटी $U_{B(0, \varepsilon)}$ को हीट कर्नेल एप्रोक्सिमेशन $g_{\varepsilon^2/2}$ के साथ एप्रोक्सिमेट करते हैं। वे यह स्थापित करते हैं कि बॉल मास के मोमेंट्स इस स्मूथ किए गए एप्रोक्सिमेशन के मोमेंट्स के तुल्य हैं।

C. अपर बाउंड स्ट्रैटेजी (Upper Bound Strategy)

अपर बाउंड प्रूफ में कोलिजन डायग्राम्स की अनंत श्रृंखला का कठोर अनुमान शामिल है:

रेप्लिका वेरिएबल्स का इंटीग्रेशन: लेखक स्थानिक वेरिएबल्स और "कोलिजन ड्यूरेशन" वेरिएबल्स ( $v_r$ ) को मल्टीप्लायर्स और $G_\vartheta$ के लाप्लास ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके इंटीग्रेट करते हैं।
रिकर्सिव बाउंड्स: वे कोलिजनों के बीच के समय अंतराल ( $u_r$ ) पर इंटीग्रल्स के लिए रिकर्सिव बाउंड्स प्राप्त करते हैं। इसमें क्रिटिकल स्केलिंग से उत्पन्न होने वाले गुणांकों का एक नवीन कॉम्बिनेटरियल विश्लेषण शामिल है।
ऑप्टिमाइजेशन: एक प्रमुख तकनीकी नवाचार एक पैरामीटर $\lambda$ (मल्टीप्लायर) का परिचय देना और सीरीज सम के ट्रंकेशन को ऑप्टिमाइज़ करना है। वे सम को एक "स्मॉल $m$ " भाग और एक "लार्ज $m$ " भाग में विभाजित करते हैं, और ग्रोथ को नियंत्रित करने के लिए प्रत्येक के लिए अलग-अलग बाउंड्स का उपयोग करते हैं।
लॉग-लॉग करेक्शन: विश्लेषण से पता चलता है कि ग्रोथ $(\log \frac{1}{\varepsilon})^{h/2}$ के रूप में टर्म्स द्वारा डोमिनेटेड है, लेकिन इसमें $\log \log \log \frac{1}{\varepsilon}$ से जुड़े सूक्ष्म सब-लॉगैरिथमिक करेक्शन भी शामिल हैं।

D. लोअर बाउंड स्ट्रैटेजी (Lower Bound Strategy)

लोअर बाउंड गौसियन कोरिलेशन इनइक्वेलिटी (GCI) और पिछले कार्य [CSZ23b] में स्थापित क्रिटिकल 2d SHF के एक विशिष्ट गुण पर निर्भर करता है:
$E[(Z^\vartheta_t(g_{\varepsilon^2/2}))^h] \geq (1+\eta) (E[(Z^\vartheta_t(g_{\varepsilon^2/2}))^2])^{h/2}$
यह इनइक्वेलिटी बताती है कि $h$ -वाँ मोमेंट अनिवार्य रूप से दूसरे मोमेंट के $h/2$ पावर के रूप में निर्धारित होता है। चूंकि दूसरा मोमेंट $\log \frac{1}{\varepsilon}$ के रूप में बढ़ता है, इसलिए $h$ -वाँ मोमेंट $(\log \frac{1}{\varepsilon})^{h/2}$ के रूप में बढ़ता है। लेखक हीट कर्नेल एप्रोक्सिमेशन को इंडिकेटर फंक्शन के साथ बदलने पर एरर टर्म्स को सावधानीपूर्वक नियंत्रित करते हैं।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

मुख्य प्रमेय (Main Theorem - Theorem 1.2)

किसी भी पूर्णांक $h \geq 2$ , समय $t > 0$ , और पैरामीटर $\vartheta \in \mathbb{R}$ के लिए, एक स्थिरांक $C$ मौजूद है जैसे कि $\varepsilon \to 0$ होने पर:
$C \left( \log \frac{1}{\varepsilon} \right)^{h/2} \leq E\left[ \left( Z^\vartheta_t(U_{B(0, \varepsilon)}) \right)^h \right] \leq \left( \log \frac{1}{\varepsilon} \right)^{h/2 + o(1)}$
अधिक सटीक रूप से, अपर बाउंड में एक करेक्शन टर्म शामिल है:
$E\left[ \left( Z^\vartheta_t(U_{B(0, \varepsilon)}) \right)^h \right] \leq \left( \log \frac{1}{\varepsilon} \right)^{\frac{h}{2} + \frac{C'}{\log \log \log \frac{1}{\varepsilon}}}$

तकनीकी अंतर्दृष्टि (Technical Insights)

ग्रोथ रेट: मोमेंट्स इनवर्स रेडियस के लॉग के पावर के रूप में बढ़ते हैं, विशेष रूप से $(\log \frac{1}{\varepsilon})^{h/2}$ । यह सब-क्रिटिकल केस के विपरीत है जहाँ मोमेंट्स बाउंड रह सकते हैं या अलग तरह से बढ़ सकते हैं।
क्रिटिकल डेल्टा इंटरेक्शन: परिणाम पुष्टि करता है कि क्रिटिकल स्केलिंग (जहाँ नॉइज़ स्ट्रेंथ फेज ट्रांजिशन पॉइंट पर ट्यून की गई है) पर भी, सिस्टम तीव्र इंटरमिटेंसी प्रदर्शित करता है।
कोरिलेशन स्ट्रक्चर: ग्रोथ रेट $(\log \frac{1}{\varepsilon})^{h/2}$ यह सुझाव देती है कि पेयरवाइज कोलिजन "लगभग स्वतंत्र" (almost independent) हैं (क्योंकि एक्सपोनेंट ठीक $h/2$ है), हालांकि सब-लॉगैरिथमिक करेक्शन की उपस्थिति एक अधिक जटिल कोरिलेशन स्ट्रक्चर की ओर संकेत करती है जो सब-क्रिटिकल रिजीम से भिन्न है।

4. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

मल्टीफ्रेक्टलिटी (Multifractality): परिणाम साक्ष्य प्रदान करते हैं कि क्रिटिकल 2d SHF लॉगैरिथमिक स्केल पर मल्टीफ्रेक्टल व्यवहार प्रदर्शित करता है। मोमेंट्स की नॉन-लीनियर ग्रोथ (विशेष रूप से स्मॉल बॉल एसिम्प्टोटिक्स के संदर्भ में $\xi(h) \approx h/2$ ) मल्टीफ्रेक्टल मेजर्स की एक पहचान है।
फेज ट्रांजिशन: यह पेपर सब-क्रिटिकल रिजीम (जहाँ मोमेंट्स बाउंड या धीरे बढ़ते हैं) और सुपर-क्रिटिकल रिजीम के बीच के अंतर को पाटता है। यह क्रिटिकल पॉइंट पर सटीक व्यवहार को स्पष्ट करता है, जो नॉइज़ की सिंगुलैरिटी के कारण अक्सर सबसे कठिन विश्लेषण होता है।
मेथोडोलॉजिकल एडवांस्डमेंट: यह शोध पत्र क्रिटिकल रिजीम में उच्च-क्रम के कोलिजन डायग्राम्स का अनुमान लगाने के लिए परिष्कृत तकनीकों को पेश करता है, विशेष रूप से उन सिंगुलैरिटीज को संभालते हुए जो रेगुलराइजेशन हटाने पर उत्पन्न होती हैं। क्रिटिकल डेल्टा इंटरेक्शन के लिए लाप्लास मल्टीप्लायर्स और विशिष्ट कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइजेशन का उपयोग एक महत्वपूर्ण मेथोडोलॉजिकल योगदान है।
भविष्य की दिशाएं: लेखक अनुमान लगाते हैं कि एसिम्प्टोटिक व्यवहार फ्रैक्शनल मोमेंट्स $h \in [0, 1]$ तक विस्तृत है, जो मल्टीफ्रेक्टल स्पेक्ट्रम को पूरी तरह से परिभाषित करेगा। वे गैंगुली और नाम के हालिया कार्य में देखे गए फिक्स्ड-साइज़ बॉल्स के लिए एक्सपोनेंशियल ग्रोथ ( $e^{ch}$ ) और लॉगरिदमिक ग्रोथ के बीच के संक्रमण पर भी प्रश्न उठाते हैं।

संक्षेप में, यह शोध पत्र एक कठोर मात्रात्मक विवरण प्रदान करता है कि कैसे क्रिटिकल 2d स्टोकैस्टिक हीट फ्लो का द्रव्यमान छोटे पैमानों पर केंद्रित होता है, जो एक नाजुक लॉगरिदमिक इंटरमिटेंसी संरचना को प्रकट करता है जो गौसियन और सब-क्रिटिकल पॉलिमर रिजीम दोनों से भिन्न है।