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Hadamard Langevin dynamics for sampling the l1-prior

यह शोध पत्र हैडमार्ड लैंज़िविन डायनेमिक्स (HLD) का प्रस्ताव करता है, जो एक नवीन सैंपलिंग विधि है जो गैर-चिकनी (non-smooth) पोस्टीरियर्स को सटीक रूप से पुनर्प्राप्त करने के लिए l1-नॉर्म के एक चिकने लेकिन गैर-उत्तल (nonconvex) ओवरपैरामीट्राइजेशन का उपयोग करती है, और इस दृष्टिकोण के अस्तित्व, विशिष्टता, ज्यामितीय एर्गोडिसिटी (geometric ergodicity) और अभिसरण को सिद्ध करने वाला एक कठोर सैद्धांतिक आधार स्थापित करती है।

मूल लेखक: Ivan Cheltsov, Federico Cornalba, Clarice Poon, Tony Shardlow

प्रकाशित 2026-05-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ivan Cheltsov, Federico Cornalba, Clarice Poon, Tony Shardlow

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ इस शोध पत्र (paper) का सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों के साथ विवरण दिया गया है।

बड़ी समस्या: "ऊबड़-खाबड़" पहाड़

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, धुंधले जंगल में कैंपिंग के लिए सबसे अच्छी जगह खोजने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास एक नक्शा (आपका डेटा) है और नियमों का एक समूह (आपका प्रायर/prior) है जो आपको बताता है कि आपको कहाँ होना चाहिए। सांख्यिकी (statistics) की दुनिया में, इसे पोस्टीरियर डिस्ट्रीब्यूशन (posterior distribution) से सैंपलिंग करना कहा जाता है।

आमतौर पर, खेल के "नियम" चिकने होते हैं, जैसे एक ढलती हुई कोमल पहाड़ी। लेकिन कई आधुनिक समस्याओं में (जैसे एक विशाल डेटासेट में सबसे महत्वपूर्ण फीचर्स खोजना), नियमों में स्पैरसिटी (sparsity) की आवश्यकता होती है। इसका मतलब है कि आप चाहते हैं कि आपके समाधान में शोर (noise) को नज़रअंदाज़ करते हुए, ज़्यादा से ज़्यादा शून्य (zeros) हों।

गणितीय रूप से, यह स्पैरसिटी नियम एक नुकीली, ऊबड़-खाबड़ चोटी (जैसे एक पिरामिड या तंबू) बनाता है, न कि एक चिकनी पहाड़ी। यह $\ell_1$ -प्रायर ( $\ell_1$ -prior) है।

समस्या यह है कि इस इलाके में चलने के मानक उपकरण (जिन्हें लैंज्विन डायनेमिक्स (Langevin dynamics) कहा जाता है) उन हाइकर्स (हाइकर) की तरह हैं जिन्हें चिकने रास्तों की ज़रूरत होती है। यदि वे एक नुकीले पिरामिड पर चढ़ने की कोशिश करते हैं, तो वे या तो फंस जाते हैं या फिसल जाते हैं। इसे ठीक करने के लिए, पिछले तरीकों ने इन नुकीले कोनों को "सैंडिंग" (घिसकर चिकना) करके उन्हें चिकना बनाने की कोशिश की। लेकिन यह एक पिरामिड को शंकु (cone) में बदलने जैसा है: आप पहाड़ का आकार बदल देते हैं, जिससे आप गलत कैंपिंग साइट पर पहुँच जाते हैं। आपको एक पक्षपाती (biased) उत्तर मिलता है।

नया समाधान: "हैडमार्ड" (Hadamard) ट्रिक

इस शोध पत्र के लेखक इस नुकीले पहाड़ पर बिना उसे चिकना किए नेविगेट करने का एक चतुर नया तरीका प्रस्तावित करते हैं। वे हैडमार्ड पैरामीट्रिज़ेशन (Hadamard parameterization) नामक एक गणितीय ट्रिक का उपयोग करते हैं।

उपमा: छाया कठपुतली (Shadow Puppet)
कल्पना कीजिए कि नुकीला पहाड़ ( $\ell_1$ -norm) एक छाया कठपुतली है।

पुराना तरीका: आप छाया पर चलने की कोशिश करते हैं। यह नुकीला है और इस पर चलना कठिन है।
पेपर का तरीका: छाया पर चलने के बजाय, आप उन हाथों को देखते हैं जो छाया बना रहे हैं।

लेखक समझते हैं कि "स्पैरसिटी पहाड़" का नुकीला आकार दो चिकने, गोल वेरिएबल्स (मान लीजिए $u$ और $v$ ) को आपस में गुणा करके बनाया जा सकता है।

यदि आप $u$ और $v$ को गुणा करते हैं, तो आपको वह नुकीला आकार मिलता है जिसकी आपको आवश्यकता है।
लेकिन $u$ और $v$ स्वयं चिकने और गोल हैं (एक कोमल पहाड़ी की तरह)।

हाइकर्स को नुकीले पहाड़ से हटाकर चिकने "हाथ" वेरिएबल्स ( $u$ और $v$ ) पर ले जाकर, वे मानक, आसानी से उपयोग किए जाने वाले हाइकिंग टूल्स (लैंज्विन डायनेमिक्स) का उपयोग कर सकते हैं। एक बार जब वे चिकनी दुनिया में सबसे अच्छी जगह पा लेते हैं, तो वे सही उत्तर प्राप्त करने के लिए $u$ और $v$ को वापस गुणा करते हैं।

जादू: क्योंकि यह रूपांतरण सटीक (exact) है, इसलिए चिकनी दुनिया में वे जो कैंपसाइट पाते हैं, वह नुकीले पहाड़ पर बिल्कुल उसी स्थान के अनुरूप होता है। इसमें कोई "स्मूथिंग बायस" (smoothing bias) नहीं है। उन्हें सही उत्तर मिलता है।

यह पेपर क्या सिद्ध करता है (एक "सुरक्षा जाँच")

सिर्फ इसलिए कि आपने एक नया रास्ता खोज लिया है, इसका मतलब यह नहीं है कि वह सुरक्षित या विश्वसनीय है। लेखकों ने अपना अधिकांश समय यह सिद्ध करने में बिताया कि यह नया रास्ता गणितीय रूप से काम करता है।

यह टूटेगा नहीं (Well-Posedness): उन्होंने सिद्ध किया कि हाइकर फंसेंगे नहीं, या चट्टान से नहीं गिरेंगे, या अनंत (infinity) की ओर नहीं भटकेंगे। यह रास्ता स्थिर है।
यह आपको वहाँ पहुँचा देगा (Ergodicity): उन्होंने सिद्ध किया कि यदि आप पर्याप्त समय तक चलते हैं, तो आप अंततः सही अनुपात में पहाड़ के हर हिस्से का दौरा करेंगे। आप किसी लूप में नहीं फंसेंगे या कोई हिस्सा मिस नहीं करेंगे।
डिजिटल मैप काम करता है (Discretization): चूंकि कंप्यूटर अनंत छोटे कदम नहीं ले सकते, इसलिए लेखकों ने यह भी सिद्ध किया कि उनका "डिजिटल मैप" (कंप्यूटर एल्गोरिदम) छोटे कदम लेने पर वास्तविक पथ के करीब आता जाता है। उन्होंने दिखाया कि कंप्यूटर सिमुलेशन सही उत्तर की ओर अभिसरित (converge) होता है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है (सरल शब्दों में)

अब "सैंडपेपर" की ज़रूरत नहीं: पिछले तरीकों को समस्या के नुकीले कोनों को घिसकर चिकना करना पड़ता था, जिससे उत्तर बदल जाता था। यह तरीका नुकीले कोनों को बरकरार रखता है लेकिन परिप्रेक्ष्य (perspective) को बदल देता है ताकि तीखापन मायने न रखे।
सटीकता (Exactness): यह सटीक वांछित डिस्ट्रीब्यूशन को पुनः प्राप्त करता है, न कि केवल एक अनुमान (approximation)।
नया दृष्टिकोण: यह एक कठिन, नॉन-स्मूथ समस्या को एक स्मूथ, ओवर-पैरामीटराइज्ड समस्या के रूप में देखता है (अधिक वेरिएबल्स का उपयोग करके, जो आवश्यक से अधिक हैं, लेकिन इस तरह से जो मदद करता है)।

उन्होंने क्या नहीं किया

यह पेपर एक सैद्धांतिक आधार (theoretical foundation) है।

उन्होंने इसे विशिष्ट चिकित्सा निदान या स्टॉक मार्केट की भविष्यवाणियों पर लागू नहीं किया।
उन्होंने यह दावा नहीं किया कि यह हर एकल परिदृश्य में अन्य सभी तरीकों की तुलना में तेज़ है (हालांकि उनके प्रयोग बताते हैं कि यह अच्छी तरह से मिक्स होता है)।
वे पूरी तरह से $\ell_1$ -प्रायर ( $\ell_1$ -prior) पर केंद्रित थे (जो मानक स्पैरसिटी नियम है)। हालांकि वे उल्लेख करते हैं कि यह अन्य समान नियमों के लिए भी काम कर सकता है, लेकिन इस पेपर का मुख्य प्रमाण विशेष रूप से इसी एक मामले के लिए है।

सारांश

इस पेपर को एक नए चश्मे के आविष्कार के रूप में सोचें। जब आप सामान्य चश्मे से एक नुकीले, चढ़ने में असंभव पहाड़ (स्पैरसिटी समस्या) को देखते हैं, तो आप उस पर नहीं चढ़ सकते। इन नए "हैडमार्ड" चश्मों के माध्यम से देखने पर, वह पहाड़ एक चिकनी, चढ़ने योग्य पहाड़ी जैसा दिखता है। लेखकों ने सिद्ध किया कि यदि आप पहाड़ी पर चढ़ते हैं और अपनी स्थिति को वापस अनुवादित (translate) करते हैं, तो आप ठीक वहीं खड़े होंगे जहाँ आपको नुकीले पहाड़ पर होना चाहिए था, और उन्होंने यह सुनिश्चित करने के लिए एक सुरक्षा नियमावली (safety manual) भी प्रदान की है कि चढ़ाई गणितीय रूप से सही हो।

तकनीकी सारांश: $\ell_1$ -प्रायर के नमूनाकरण (Sampling) के लिए हैडामार्ड-लैंग्विन डायनेमिक्स (Hadamard–Langevin Dynamics)

समस्या विवरण

यह शोध पत्र उच्च-आयामी बेयसियन पोस्टीरियर वितरणों (Bayesian posterior distributions) से संबंधित चुनौतियों को संबोधित करता है जिनमें नॉन-स्मूथ लॉग-घनत्व (non-smooth log-densities) होते हैं, विशेष रूप से $\ell_1$ -प्रायर (Lasso)। लक्षित वितरण (target distribution) इस प्रकार दिया गया है:
$\rho(x) = \frac{1}{Z} \exp\left(-\beta (\lambda \|x\|_1 + G(x))\right),$
जहाँ $G(x)$ डेटा लाइकलीहुड (data likelihood) को दर्शाता है और $\|x\|_1$ स्पर्सिटी (sparsity) को बढ़ावा देने वाला नॉन-स्मूथ $\ell_1$ -नॉर्म है।

मौजूदा लैंग्विन-आधारित सैंपलिंग विधियाँ (जैसे, अनएडजस्टेड लैंग्विन एल्गोरिदम, ULA) $\ell_1$ -टर्म की नॉन-डिफरेंशिएबिलिटी (non-differentiability) के कारण संघर्ष करती हैं। मानक दृष्टिकोण आमतौर पर निम्नलिखित पर निर्भर करते हैं:

स्मूथिंग तकनीकें (Smoothing techniques): नॉन-स्मूथ टर्म को अनुमानित करने के लिए मोरो-योसिडा एनवेलप (Moreau–Yosida envelope) का उपयोग करना, जो एक ऐसा बायस (bias) पेश करता है जो केवल तभी समाप्त होता है जब स्मूथिंग पैरामीटर $\gamma \to 0$ हो।
प्रॉक्सिमल मैपिंग्स (Proximal mappings): प्रॉक्सिमल ऑपरेटर्स को शामिल करना (जैसे, प्रॉक्सिमल ग्रेडिएंट लैंग्विन डायनेमिक्स), जिसके परिणामस्वरूप पॉइंट मास (जैसे, शून्य पर) वाली स्टेशनरी डिस्ट्रीब्यूशन बन सकती है, या पदानुक्रमित संरचनाओं (hierarchical formulations) में उच्च-आयामी मैट्रिसेस को उलटने (inverting) की आवश्यकता होती है।

लेखक एक ऐसी विधि चाहते हैं जो स्मूथिंग बायस और प्रॉक्सिमल ऑपरेटर्स से बच सके और साथ ही एक सुलभ डिफ्यूजन प्रक्रिया बनाए रख सके जो सटीक रूप से लक्षित पोस्टीरियर $\rho(x)$ को पुनः प्राप्त करती है।

कार्यप्रणाली: हैडामार्ड ओवरपैरामेटराइजेशन (Hadamard Overparameterization)

मुख्य नवाचार हैडामार्ड-लैंग्विन डायनेमिक्स (HLD) है, जो $\ell_1$ -नॉर्म के एक स्मूथ, ओवरपैरामेट्राइज्ड प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है।

1. हैडामार्ड प्रतिनिधित्व

लेखक पहचान (identity) का लाभ उठाते हैं:
$\|x\|_1 = \sum_i |x_i| = \min_{u \odot v = x} \left\{ \frac{1}{2}\|u\|_2^2 + \frac{1}{2}\|v\|_2^2 \right\},$
जहाँ $\odot$ एलिमेंट-वाइज (Hadamard) उत्पाद को दर्शाता है। $x \in \mathbb{R}^d$ को $(u, v) \in \mathbb{R}^d_+ \times \mathbb{R}^d$ के जोड़े में लिफ्ट करके, नॉन-स्मूथ $\ell_1$ टर्म को एक स्मूथ (यद्यपि नॉन-कॉन्वेक्स) क्वाड्रेटिक टर्म द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

2. संयुक्त वितरण (The Joint Distribution)

लैपलेस प्रायर के पदानुक्रमित बेयसियन फॉर्मूलेशन (गाऊसी मिश्रण प्रतिनिधित्व) से शुरू करते हुए, लेखक लिफ्ट किए गए स्पेस पर एक संयुक्त वितरण $\pi(u, v)$ व्युत्पन्न करते हैं:
$\pi(u, v) \propto \left( \prod_{i=1}^d u_i \right) \exp\left( -\beta \left( \frac{\lambda}{2}\|(u, v)\|_2^2 + G(u \odot v) \right) \right).$
महत्वपूर्ण रूप से, $\pi$ के तहत $x = u \odot v$ का मार्जिनल वितरण सटीक रूप से लक्षित $\rho$ है, बिना किसी अनुमानित बायस के।

3. डायनेमिक्स (The Dynamics)

लेखक $\pi$ से नमूना लेने के लिए $(u, v)$ पर लैंग्विन डायनेमिक्स को परिभाषित करते हैं। परिणामी स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDE) है:
$\begin{aligned} du_t &= -\lambda u_t dt - v_t \odot \nabla G(u_t \odot v_t) dt + \frac{1}{\beta u_t} dt + \frac{1}{\sqrt{\beta}} dW^1_t, \\ dv_t &= -\lambda v_t dt - u_t \odot \nabla G(u_t \odot v_t) dt + \frac{1}{\sqrt{\beta}} dW^2_t, \end{aligned}$
जहाँ $W^1_t$ और $W^2_t$ स्वतंत्र ब्राउनियन मोशन हैं। टर्म $1/(\beta u_t)$ $u$ के लॉग-घनत्व से आता है। डायनेमिक्स डोमेन $X = \mathbb{R}^d_+ \times \mathbb{R}^d$ पर सुव्यवस्थित (well-defined) हैं।

मुख्य योगदान और सैद्धांतिक परिणाम

1. निरंतर डायनेमिक्स की सुव्यवस्थितता (Well-Posedness of Continuous Dynamics)

शोध पत्र निरंतर HLD सिस्टम (Eq. 7) के लिए एक कठोर सुव्यवस्थितता सिद्धांत स्थापित करता है:

अस्तित्व और विशिष्टता (Existence and Uniqueness): लेखक एक अद्वितीय स्ट्रॉन्ग सॉल्यूशन $(u_t, v_t)$ के अस्तित्व को सिद्ध करते हैं जिससे $t > 0$ के लिए लगभग सभी (almost surely) $u_t > 0$ है।
प्रूफ तकनीकें: दो अलग-अलग दृष्टिकोण प्रदान किए गए हैं:
1. सिलिंड्रिकल कोऑर्डिनेट्स: सिस्टम को कार्टेशियन कोऑर्डिनेट्स $(y, z, v)$ में बदलना जहाँ $u = \sqrt{y^2 + z^2}$ है ताकि ड्रिफ्ट (drift) में सिंगुलैरिटी को हटाया जा सके, जिससे मानक SDE सिद्धांत (Stroock and Varadhan) का अनुप्रयोग संभव हो सके।
2. गिरासोव ट्रांसफॉर्मेशन (Girsanov Transformation): सिस्टम को कॉक्स-इंगर्सोल-रोस (CIR) और ऑर्नस्टीन-उहलेनबेक (OU) प्रक्रियाओं से जोड़ना। यह दृष्टिकोण पुष्टि करता है कि प्रक्रिया CIR प्रक्रिया के पॉजिटिविटी गुण को विरासत में लेती है और स्ट्रॉन्ग फेलर (Strong Feller) गुण स्थापित करती है।
एर्गोडिसिटी (Ergodicity): निरंतर डायनेमिक्स को $\pi$ के लिए ज्यामितीय रूप से एर्गोडिक दिखाया गया है, जो घातीय दर (exponential rate) पर इनवेरिएंट मेजर $\pi$ की ओर अभिसरित होता है, भले ही डेटा टर्म $G$ अनबाउंडेड (जैसे, क्वाड्रेटिक लॉस) हो, बशर्ते $x^\top \nabla G(x)$ नीचे की ओर सीमित (bounded below) हो।

2. संख्यात्मक योजना और अभिसरण (Numerical Scheme and Convergence)

लेखक HLD को डिस्क्रीट करने के लिए एक इम्प्लिसिट-एक्सप्लिसिट टाइम-स्टेपिंग स्कीम (Eq. 16) प्रस्तावित करते हैं। यह स्कीम रेगुलराइजेशन टर्म्स में इम्प्लिसिट है (जो $u$ की सकारात्मकता सुनिश्चित करती है) और डेटा टर्म $G$ में एक्सप्लिसिट है।

स्ट्रॉन्ग कन्वर्जेंस: शोध पत्र सिद्ध करता है कि संख्यात्मक योजना स्टेप साइज $\Delta t \to 0$ होने पर निरंतर समाधान की ओर स्ट्रॉन्गली अभिसरित होती है। विशेष रूप से, एक निश्चित समय अंतराल $T$ के लिए, त्रुटि $O(\Delta t^{1/2 - \epsilon})$ द्वारा सीमित है।
तकनीकी चुनौतियों पर विजय: विश्लेषण दो मुख्य कठिनाइयों को संबोधित करता है:
1. इनवर्स मोमेंट्स (Inverse Moments): ड्रिफ्ट में $1/u$ टर्म्स होते हैं। लेखक ऑर्डर 2 तक (लेकिन इसे छोड़कर) इनवर्स-मोमेंट बाउंड्स प्राप्त करते हैं, जो आवश्यक है क्योंकि मानक CIR स्थिति $2\kappa\mu > \theta^2$ इस सेटिंग में समानता के साथ लागू होती है।
2. नॉन-ग्लोबल लिप्सिट्ज़नेस (Non-Global Lipschitzness): ड्रिफ्ट न तो कॉन्वेक्स है और न ही ग्लोबली लिप्सिट्ज़। लेखक बड़े बॉल्स के भीतर एक कपलिंग तकनीक और एस्केप प्रोबेबिलिटी के लिए तेजी से घटने वाले बाउंड का उपयोग करके डिस्क्रीट स्कीम की ज्यामितीय एर्गोडिसिटी को सिद्ध करते हैं।
इनवेरिएंट मेजर का अभिसरण: यह सिद्ध किया गया है कि डिस्क्रीटाइज्ड स्कीम की स्टेशनरी डिस्ट्रीब्यूशन $\pi_{\Delta t}$ , $\Delta t \to 0$ होने पर वास्तविक इनवेरिएंट मेजर $\pi$ की ओर वासेस्टीन-1 (Wasserstein-1) दूरी में अभिसरित होती है।

3. मौजूदा विधियों के साथ संबंध

रीमानियन कनेक्शन: HLD को एक मैनिफोल्ड पर रीमानियन लैंग्विन डायनेमिक्स के एक विशिष्ट उदाहरण के रूप में पहचाना गया है जिसका मेट्रिक एक कॉन्वेक्स फंक्शन के हेसियन (Hessian) से प्राप्त होता है, जो इस पद्धति को मिरर-लैंग्विन डायनेमिक्स से जोड़ता है।
प्रॉक्सिमल विधियों के साथ तुलना: प्रॉक्सिमल ग्रेडिएंट लैंग्विन डायनेमिक्स (PGLD) के विपरीत, जो शून्य पर पॉइंट मास पेश कर सकते हैं, HLD एक निरंतर घनत्व उत्पन्न करता है। मोरो-योसिडा रेगुलराइज्ड मेथड्स (MYULA) के विपरीत, HLD कोई स्मूथिंग बायस पेश नहीं करता है।

परिणाम और महत्व

यह शोध पत्र ओवरपैरामेट्राइज्ड लैंग्विन डायनेमिक्स का उपयोग करके नॉन-कॉन्वेक्स, नॉन-स्मूथ पोस्टीरियर्स से नमूना लेने के लिए पहला सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है।

सैद्धांतिक कठोरता: यह कार्य ओवरपैरामेटराइजेशन के ऑप्टिमाइजेशन में हेयुरिस्टिक अनुप्रयोगों से आगे बढ़कर, परिणामी डिफ्यूजन प्रक्रिया का पूर्ण संभाव्य विश्लेषण (existence, uniqueness, और convergence rates सहित) प्रदान करता है।
सटीक नमूनाकरण (Exact Sampling): यह विधि बिना किसी बायस के सटीक लक्षित पोस्टीरियर $\rho(x)$ को पुनः प्राप्त करती है, जो स्मूथिंग एप्रोक्सिमेशन में निहित बायस या प्रॉक्सिमल विधियों के संरचनात्मक आर्टिफैक्ट्स (पॉइंट मास) से मुक्त है।
संख्यात्मक प्रमाण: हालांकि डिस्क्रीटेड इनवेरिएंट मेजर के बायस के लिए सैद्धांतिक अभिसरण दरें मात्रात्मक रूप से निर्धारित नहीं की गई हैं (सिंगुलैरिटी के कारण), 1D समस्या पर संख्यात्मक प्रयोग सुझाव देते हैं कि बायस $O(\Delta t)$ है। प्रयोग दिखाते हैं कि HLD, PGLD और MYULA की तुलना में तेज़ मिक्सिंग (उच्च प्रभावी नमूना आकार/Effective Sample Size) प्राप्त करता है, और हिस्टोग्राम में कोई बायस नहीं देखा गया है।

सीमाएं और भविष्य का कार्य

लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि उनका वर्तमान विश्लेषण डिस्क्रीटाइज्ड इनवेरिएंट मेजर $\pi_{\Delta t}$ के बायस के लिए मात्रात्मक अभिसरण दर प्रदान नहीं करता है, क्योंकि सिंगुलर $1/u$ टर्म्स मानक सेमिए ग्रुप एक्सपेंशन तकनीकों के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को रोकते हैं। भविष्य के कार्य का लक्ष्य इस बायस को मात्रात्मक बनाना और गैऊसी मिश्रण प्रतिनिधित्व दृष्टिकोण को अन्य स्पर्सिटी-इंड्यूसिंग प्रायर, जैसे कि ग्रुप- $\ell_1$ (जिसे एक सरल विस्तार के रूप में दिखाया गया है) और संभावित रूप से $\ell_q$ प्रायर ( $q \in (0, 1)$ के लिए) तक विस्तारित करना है, हालांकि बाद वाले के पास वर्तमान में क्लोज्ड-फॉर्म गैऊसी मिश्रण प्रतिनिधित्व का अभाव है।