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Asymptotics for estimating a diverging number of parameters -- with and without sparsity

यह शोध पत्र बढ़ते हुए मापदंडों (parameters) वाले अनुमानित समीकरणों (estimating equations) के लिए एक सामान्य अनंतकालीन सिद्धांत (asymptotic theory) स्थापित करता है, जो विविध डेटा संरचनाओं और जटिल दंड फलनों (penalty functions) के तहत अनपेनालाइज़्ड (unpenalized) और स्पार्स पेनालाइज़्ड (sparse penalized) दोनों अनुमानकों के अस्तित्व, संगति (consistency), विशिष्टता (uniqueness) और अनंतकालीन सामान्यता (asymptotic normality) के लिए स्थितियाँ प्रदान करता है।

मूल लेखक: Jana Gauss, Thomas Nagler

प्रकाशित 2026-08-07

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jana Gauss, Thomas Nagler

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक रहस्य सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन आप किसी एक सुराग की तलाश करने के बजाय सबूतों के एक विशाल ढेर को छान रहे हैं जो आपकी पलक झपकते ही बढ़ता जाता है। सांख्यिकी (statistics) की दुनिया में, यह "उच्च-आयामी डेटा" (high-dimensional data) की चुनौती है। पारंपरिक रूप से, वैज्ञानिकों ने माना था कि उनके पास कुछ संदिग्ध (पैरामीटर) हैं और सबूतों का एक बड़ा ढेर (डेटा पॉइंट्स) है ताकि वे अपना मामला सिद्ध कर सकें। लेकिन आधुनिक दुनिया में, संदिग्धों की संख्या कभी-कभी बहुत अधिक बढ़ सकती है, यहाँ तक कि सबूतों से भी अधिक हो सकती है। यह सब शेयर बाजार की गिरावट की भविष्यवाणी करने से लेकर यह पता लगाने तक होता है कि कौन से जीन किसी बीमारी का कारण बनते हैं। सांख्यिकीविदों के लिए बड़ा सवाल यह है कि: जब चरों (variables) की संख्या बहुत अधिक हो जाती है, तो क्या हम अभी भी सत्य खोजने के लिए अपने गणित पर भरोसा कर सकते हैं, या पूरा सिस्टम अराजकता में बदल जाएगा?

इसे समझने के लिए, हमें कुछ उपकरणों को समझना होगा। पहला, "अनुमानित समीकरण" (estimating equations) हैं, जो तराजू के एक सेट की तरह हैं। आप अपने सभी सुरागों को जोड़ते हैं, और लक्ष्य वह सेटिंग ढूँढना है जहाँ तराजू पूरी तरह से शून्य पर संतुलित हो जाए। यदि तराजू संतुलित है, तो आपने अपना उत्तर पा लिया है। दूसरा, "विरलता" (sparsity) की अवधारणा है। हज़ारों वस्तुओं वाले अस्त-व्यस्त कमरे में, आमतौर पर केवल कुछ ही चीजें वास्तव में महत्वपूर्ण होती हैं, बाकी सब केवल कचरा होती हैं। विरलता यह विचार है कि भले ही आपके पास दस लाख चर हों, केवल एक मुट्ठी भर ही वास्तविक "संदिग्ध" हैं, और बाकी को अनदेखा किया जाना चाहिए। अंत में, "दंड" (penalties) हैं, जो एक सख्त लाइब्रेरियन की तरह कार्य करते हैं। यदि आप अपने समाधान में बहुत अधिक चरों को शामिल करने की कोशिश करते हैं, तो लाइब्रेरियन आपके हाथ पर जुर्माना लगाता है, जिससे आप अपनी सूची को छोटा और केंद्रित रखने के लिए मजबूर होते हैं।

वर्षों तक, सांख्यिकीविदों के पास तब के लिए बेहतरीन नियम थे जब चर कम होते थे, और कुछ नियम तब के लिए थे जब चर बहुत अधिक हों लेकिन गणित सरल हो। लेकिन क्या होता है जब आपके पास दस लाख चर हों, डेटा अव्यवस्थित हो, चर जटिल तरीकों से आपस में जुड़े हों, और आप चीजों को सरल रखने के लिए एक बहुत ही सख्त लाइब्रेरियन का उपयोग कर रहे हों? यही वह तूफान है जिसे यह शोध पत्र सुलझाने का प्रयास करता है।

लेखक, जाना गॉस और थॉमस नैगलर ने इस क्षेत्र के लिए एक नया, अत्यंत लचीला मानचित्र तैयार किया है। उन्होंने एक सामान्य सिद्धांत विकसित किया है जो हमें ठीक-ठीक बताता है कि हमारा सांख्यिकीय जासूसी कार्य कब सफल होगा, भले ही चरों की संख्या डेटा की मात्रा के साथ उतनी ही तेज़ी से बढ़ रही हो। उन्होंने केवल एक विशिष्ट प्रकार की समस्या को नहीं देखा; उन्होंने एक सार्वभौमिक ढांचा बनाया जो "गैर-दंडित" (unpenalized) समस्याओं (जहाँ हम केवल तराजू को संतुलित करते हैं) और "दंडित" (penalized) समस्याओं (जहाँ हम सख्त लाइब्रेरियन का उपयोग करते हैं) दोनों के लिए काम करता है।

उन्होंने जो पाया वह यहाँ है। पहला, उन्होंने सिद्ध किया कि कुछ शर्तों के तहत, एक समाधान वास्तव में मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। यह केवल एक अनुमान नहीं है; उन्होंने दिखाया कि यदि डेटा एक विशिष्ट तरीके से व्यवहार करता है, तो शोर के बीच केवल एक और एक ही सही उत्तर छिपा होता है। दूसरा, उन्होंने दिखाया कि जैसे-जैसे हम अधिक डेटा एकत्र करते हैं, यह उत्तर सत्य के करीब पहुँचता जाता है। इसे "संगति" (consistency) कहा जाता है। तीसरा, और शायद सबसे महत्वपूर्ण, उन्होंने सिद्ध किया कि जब हम विरल सत्य खोजने के लिए इन "दंडों" का उपयोग करते हैं, तो हमारी विधि सही ढंग से पहचान सकती है कि कौन से चर वास्तविक संदिग्ध हैं और कौन से केवल शोर हैं। इसे "चयन संगति" (selection consistency) कहा जाता है। उन्होंने यहाँ तक दिखाया कि कुछ प्रकार के दंडों के लिए, विधि उतनी ही कुशल हो जाती है जितनी कि यदि हमें उत्तर पहले से पता होता (एक गुण जिसे "ओरेकल प्रॉपर्टी" कहा जाता है)।

हालाँकि, यह शोध पत्र स्पष्ट रूप से उन पुराने विचारों को खारिज करता है जिन पर लोग लंबे समय से भरोसा करते आए थे। लंबे समय तक, सांख्यिकीविदों ने सोचा था कि इन परिणामों की गारंटी देने के लिए "प्रतिबंधित सुदृढ़ उत्तलता" (Restricted Strong Convexity - RSC) नामक एक शर्त आवश्यक थी। लेखकों ने एक सरल उदाहरण खोजा जहाँ यह पुरानी शर्त पूरी तरह विफल हो जाती है, फिर भी उनकी नई, कमजोर शर्तें पूरी तरह से काम करती हैं। उन्होंने दिखाया कि पुराने, सख्त नियम बहुत अधिक मांग वाले थे और उन वास्तविक परिदृश्यों को छोड़ देते थे जहाँ गणित फिर भी काम करता है। उन्होंने यह भी स्पष्ट किया कि जबकि कुछ दंड (जैसे लासो/Lasso) सही चरों को खोजने में महान हैं, वे उन चरों के सटीक आकार का अनुमान लगाने में सबसे कुशल नहीं हो सकते हैं, जबकि अन्य दंड (जैसे SCAD) ये दोनों काम पूरी तरह से कर सकते हैं।

इस कार्य की सुंदरता यह है कि यह केवल साफ, आदर्श डेटा के लिए काम नहीं करता है। लेखकों ने अपने सिद्धांत को निर्भर डेटा को संभालने के लिए विस्तारित किया, जैसे घटनाओं की एक श्रृंखला जहाँ एक चीज़ दूसरी चीज़ को प्रभावित करती है, या अलग-अलग नियमों वाले विभिन्न स्रोतों से आने वाला डेटा। उन्होंने इसे "स्टेपवाइज़" (stepwise) प्रक्रियाओं के लिए भी लागू किया, जहाँ आप एक समस्या को कई छोटे चरणों में हल करते हैं, और दिखाया कि भले ही चरणों की संख्या बहुत बढ़ जाए, गणित फिर भी कायम रहता है। उन्होंने इसे वास्तविक दुनिया के उदाहरणों के माध्यम से प्रदर्शित किया, जैसे जुड़े हुए लोगों के नेटवर्क का विश्लेषण करना, चिकित्सा में कारण प्रभावों का अनुमान लगाना, और निवेश पोर्टफोलियो को अनुकूलित करना।

संक्षेप में, यह शोध पत्र सबसे जटिल, अव्यवस्थित और उच्च-दांव वाले परिदृश्यों में हमारे सांख्यिकीय उपकरणों पर भरोसा करने के लिए कठोर गणितीय आधार प्रदान करता है। यह हमें बताता है कि जब तक हम सही प्रकार के "लाइब्रेरियन" (दंड) का उपयोग करते हैं और डेटा बहुत अधिक अराजक नहीं होता है, हम घास के ढेर में सुई को ढूंढ सकते हैं, भले ही घास का ढेर ग्रह के आकार का हो और बढ़ता ही जा रहा हो। लेखकों ने केवल यह सुझाव नहीं दिया कि यह काम कर सकता है; उन्होंने इसे प्रमेयों (theorems) के साथ सिद्ध किया, जिससे हमें भविष्य के डेटा विज्ञान के निर्माण के लिए एक ठोस आधार मिला।

तकनीकी सारांश: विवर्गात्मक (Diverging) संख्या में मापदंडों के अनुमान के लिए अनंतस्पर्शीता (Asymptotics) — स्पर्सिटी (Sparsity) के साथ और बिना

समस्या विवरण

आधुनिक सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में अक्सर उच्च-आयामी डेटा (high-dimensional data) शामिल होता है जहाँ मापदंडों की संख्या $p_n$ नमूना आकार $n$ के साथ बढ़ती है, और स्पर्सिटी वाले सेटिंग्स में, $p_n$ , $n$ से भी अधिक हो सकती है। पारंपरिक निश्चित- $p$ बड़े- $n$ अनंतस्पर्शी सिद्धांत (large- $n$ asymptotic theory) इन परिदृश्यों के लिए अपर्याप्त है। जबकि मौजूदा साहित्य ने विशिष्ट मॉडलों (जैसे, रैखिक मॉडल, सामान्यीकृत रैखिक मॉडल) या विशिष्ट दंड संरचनाओं (जैसे, उत्तल, कोआर्डिनेट-सेपरेबल) के लिए अनंतस्पर्शी परिणाम स्थापित किए हैं, निम्नलिखित के लिए एक एकीकृत सैद्धांतिक ढांचे का अभाव है:

सामान्य अनुमानित समीकरण (estimating equations) जो अनिवार्य रूप से एक एकल लॉस फंक्शन के ग्रेडिएंट नहीं हैं।
विवर्गात्मक संख्या में अनुमान चरणों (estimation steps) वाली प्रक्रियाएं (जैसे, स्टेपवाइज़ एस्टीमेशन)।
डेटा जो स्वतंत्र लेकिन गैर-समान रूप से वितरित (non-identically distributed) है (i.i.d. का अनुमान नहीं लगाया गया है) या आश्रित (dependent) है (जैसे, टाइम सीरीज़, नेटवर्क डेटा)।
दंडित अनुमान (penalized estimation) जिसमें ऐसे दंडों का उपयोग किया जाता है जो एक साथ नॉन-कॉन्वेक्स (nonconvex), नॉन-कोआर्डिनेट-सेपरेबल (non-coordinate-separable), और ग्रुप-स्ट्रक्चर्ड (group-structured) हैं (जैसे, Group SCAD)।

लेखक इस मौलिक प्रश्न को संबोधित करते हैं: डेटा-जनरेटिंग प्रक्रिया, अनुमानित फलन $\phi$ , और $p_n$ के विकास पर किन शर्तों के तहत एक अनुमानित समीकरण को हल करने वाले अनुमानक (estimator) का अस्तित्व होता है, और कब वह सुसंगत (consistent), अद्वितीय (unique), और अनंतस्पर्शी रूप से सामान्य (asymptotically normal) होता है?

कार्यप्रणाली (Methodology)

यह शोध पत्र उन अनुमानकों $\hat{\theta}$ के लिए एक सामान्य अनंतस्पर्शी सिद्धांत विकसित करता है जो निम्नलिखित प्रकार के अनुमानित समीकरणों को हल करते हैं:
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \phi(X_i; \hat{\theta}) = 0$
और उनके दंडित समकक्षों (penalized counterparts) के लिए:
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \phi(X_i; \hat{\theta}) \in \partial p_{\lambda_n}(\hat{\theta})$
जहाँ $\partial p_{\lambda_n}$ एक दंड फलन (penalty function) के सामान्यीकृत ग्रेडिएंट (generalized gradient) को दर्शाता है।

मुख्य दृष्टिकोण

विशिष्ट मॉडलों के लिए अलग-अलग तर्क व्युत्पन्न करने के बजाय, लेखक अनुमानित समीकरण और उसकी वक्रता (curvature) पर सत्यापनीय जनसंख्या-स्तरीय शर्तों (verifiable population-level conditions) को सूत्रबद्ध करते हैं। मुख्य पद्धतिगत विशेषताएं शामिल हैं:

जनसंख्या-स्तरीय वक्रता स्थितियां (Population-Level Curvature Conditions): सिद्धांत (A1, A4) जैसी शर्तों पर निर्भर करता है जो अनुमानित समीकरण की अपेक्षित वक्रता (expected curvature) पर एक प्रकार की अवतलता (concavity) या ऋणात्मक निश्चितता (negative definiteness) आरोपित करती हैं। इसे एक अनुक्रमिक सममित मैट्रिक्स-मान वाले फलनों $H_n(x)$ द्वारा नियंत्रित किया जाता है जो सिमेट्राइज्ड जैकोबियन्स (symmetrized Jacobians) के लिए एनवेलप (envelopes) के रूप में कार्य करते हैं। पिछले कार्यों के विपरीत, जो अक्सर वास्तविक नमूना हेसियन (realized sample Hessian) पर मजबूत प्रतिबंधित स्ट्रॉन्ग कॉनवेक्सिटी (Restricted Strong Convexity - RSC) की मांग करते हैं, यह दृष्टिकोण जनसंख्या प्रत्याशा (population expectation) पर कमजोर शर्तों का उपयोग करता है।
सामान्यीकृत ग्रेडिएंट (Generalized Gradients): दंडित समस्याओं के लिए, लेखक नॉन-डिफरेंशिएबल और नॉन-कॉन्वेक्स दंडों को संभालने के लिए क्लार्क के सामान्यीकृत ग्रेडिएंट (Clarke's generalized gradient) का उपयोग करते हैं, जिससे लासो (Lasso), SCAD, MCP और ग्रुप-स्ट्रक्चर्ड दंडों का एक एकीकृत उपचार संभव होता है।
आश्रित डेटा विस्तार (Dependent Data Extension): यह ढांचा ब्लॉकिंग और कपलिंग तर्क के माध्यम से आश्रित डेटा (जैसे, टाइम सीरीज़, नेटवर्क डिपेंडेंस) तक विस्तारित होता है। डेटा को ब्लॉक्स में विभाजित करके और रिटेन किए गए ब्लॉक्स के बीच कमजोर निर्भरता (बीटा-मिक्सिंग गुणांकों द्वारा मापी गई) को मानकर, लेखक दिखाते हैं कि आश्रित समस्या को एक स्वतंत्र समस्या द्वारा कम त्रुटि के साथ अनुमानित किया जा सकता है।
स्टेपवाइज़ और मल्टी-सैंपल प्रक्रियाएं: सिद्धांत क्रमिक अनुमान चरणों या मल्टी-सैंपल समस्याओं को एक एकल उच्च-आयामी अनुमानित समीकरण के रूप में मानता है, जिससे चरणों या नमूनों की संख्या $n$ के साथ विवर्गात्मक (diverge) हो सकती है।

मुख्य योगदान और परिणाम

1. बिना दंडित अनुमान (Unpenalized Estimation)

लेखक निम्नलिखित के लिए स्थितियां स्थापित करते हैं:

अस्तित्व और सुसंगतता (Theorem 1): समाधान घटते हुए पड़ोस (shrinking neighborhood) में मौजूद होते हैं, जिसकी प्रायिकता 1 की ओर बढ़ती है। अभिसरण दर (convergence rate) $r_n = \sqrt{\text{tr}(I_p(\theta^*))/n}$ है, जो आमतौर पर $\sqrt{p_n/n}$ के क्रम की होती है।
एकमात्रता (Uniqueness) (Theorem 2): सुदृढ़ वक्रता स्थितियों के तहत, समाधान उस पड़ोस के भीतर अद्वितीय होता है।
अनंतस्पर्शी सामान्यता (Asymptotic Normality) (Theorem 3): अनुमानक के परिमित-आयामी प्रोजेक्शन (finite-dimensional projections) अनंतस्पर्शी रूप से सामान्य होते हैं।
विकास दर (Growth Rates): सामान्यीकृत रैखिक मॉडलों (GLMs) के लिए, सिद्धांत सुसंगतता के लिए $p_n \ln p_n / n \to 0$ की स्थिति देता है, जो सबसे सटीक ज्ञात परिणामों (पोर्टनोय, 1984) से मेल खाता है। अनंतस्पर्शी सामान्यता के लिए, इसे $p_n^2/n \to 0$ (या विशिष्ट रैखिक संरचनाओं के तहत थोड़ा कमजोर $p_n^{3/2} \ln n / n \to 0$ ) की आवश्यकता होती है, जो फैन और पेंग (2004) द्वारा सामान्य गैर-रैखिक MLE के लिए आवश्यक $p_n^5/n \to 0$ की तुलना में एक सुधार है।

2. दंडित अनुमान (Penalized Estimation)

उन स्पर्स (sparse) समस्याओं के लिए जहाँ $p_n > n$ :

सुसंगतता और चयन (Theorems 4 & 5): लेखक सिद्ध करते हैं कि एक ऐसा समाधान मौजूद है जो अनुमानतः सुसंगत (estimation consistent) और चयन सुसंगत (selection consistent, यानी $\hat{\theta}^{(2)} = 0$ ) दोनों है। अभिसरण दर स्पर्सिटी स्तर $s_n$ और दंड द्वारा प्रेरित बायस (bias) पर निर्भर करती है।
सामान्यीकृत पारस्परिक अस्विरलता (Generalized Mutual Incoherence): धारणा (A6) नॉन-कोआर्डिनेट-सेपरेबल और ग्रुप-स्ट्रक्चर्ड दंडों के लिए म्यूचुअल इनकोहेरेंस और इरेप्रेजेंटेबल स्थितियों को सामान्यीकृत करती है। यह सुनिश्चित करता है कि सक्रिय चरों का निष्क्रिय समीकरणों पर प्रभाव पर्याप्त रूप से छोटा है ताकि दंड निष्क्रिय गुणांकों को शून्य कर सके।
ओरेकल प्रॉपर्टी (Oracle Property) (Theorem 7): SCAD और MCP जैसे नॉन-कॉन्वेक्स दंडों के लिए, अनुमानक "ओरेकल प्रॉपर्टी" प्राप्त करता है: यह इस तरह व्यवहार करता है जैसे कि वास्तविक सपोर्ट पहले से ज्ञात हो, और सक्रिय सेट पर बिना दंडित अनुमानक के समान दक्षता प्राप्त करता है।
एकमात्रता (Uniqueness) (Theorem 6): $\mu$ -अमेनेबिलिटी (amenability) स्थिति के सामान्यीकृत संस्करण पर भरोसा करते हुए, ऐसी स्थितियां प्रदान की गई हैं जिनके तहत दंडित समाधान अद्वितीय होता है।

3. आश्रित डेटा और स्टेपवाइज़ प्रक्रियाएं

आश्रित डेटा (Theorem 8): एक ब्लॉकिंग स्कीम पेश करके परिणामों को आश्रित डेटा (जैसे, $\beta$ -मिक्सिंग टाइम सीरीज़, नेटवर्क-डिपेंडेंट डेटा) के लिए विस्तारित किया गया है। सिद्धांत दिखाता है कि यदि निर्भरता पर्याप्त तेजी से घटती है, तो अनंतस्पर्शी व्यवहार स्वतंत्र मामले के समान होता है, जिसमें कोवेरिएंस मैट्रिक्स को निर्भरता संरचना के लिए समायोजित किया जाता है।
विवर्गात्मक चरण (Diverging Steps): ढांचा उन स्टेपवाइज़ प्रक्रियाओं को समायोजित करता है जहाँ चरणों की संख्या $K_n \to \infty$ होती है, बशर्ते पिछले चरणों से होने वाली संचयी त्रुटि को नियंत्रित किया जा सके।

4. स्ट्रॉन्ग RSC के लिए काउंटर-एग्जांपल

पेपर एक सरल द्विघातीय आवंटन समस्या (अनुभाग 5.2) प्रदान करता है जहाँ सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाली स्ट्रॉन्ग RSC स्थिति (जो सभी स्पर्स वेक्टर्स के लिए द्विघातीय रूप के निचले स्तर की मांग करती है) नमूना हेसियन की रैंक संरचना के कारण उच्च प्रायिकता के साथ विफल हो जाती है। हालाँकि, लेखकों की कमजोर जनसंख्या-स्तरीय स्थिति यहाँ लागू होती है, जो यह प्रदर्शित करती है कि उनका ढांचा उन परिदृश्यों को कवर करता है जहाँ मौजूदा गैर-अनंतस्पर्शी सिद्धांत (जैसे, नेगाभान आदि, 2012; लो और वेनराइट, 2015) लागू नहीं होते हैं।

महत्व और दावे

लेखक दावा करते हैं कि उनका कार्य एक एकीकृत अनंतस्पर्शी सिद्धांत प्रदान करता है जो तीन दिशाओं में मौजूदा परिणामों की प्रयोज्यता का विस्तार करता है:

व्यापकता (Generality): यह सामान्य अनुमानित समीकरणों पर लागू होता है जो जोखिम न्यूनीकरण (risk minimization) से प्राप्त नहीं होते हैं, जिनमें स्टेपवाइज़ और मल्टी-सैंपल प्रक्रियाएं शामिल हैं।
दंड लचीलापन (Penalty Flexibility): यह उन दंडों को कवर करता है जो एक साथ नॉन-कॉन्वेक्स और ग्रुप-स्ट्रक्चर्ड हैं (जैसे, Group SCAD), जो कि पहले सामान्य सिद्धांत द्वारा कवर नहीं किया गया था।
डेटा लचीलापन (Data Flexibility): यह स्वतंत्र गैर-समान रूप से वितरित अवलोकनों और विभिन्न प्रकार की निर्भरता को संभालता है, जिसमें उच्च-आयामी सेटिंग्स में अक्सर विफल होने वाली मजबूत नमूना-स्तरीय RSC शर्तों की आवश्यकता नहीं होती है।

पेपर इस बात पर जोर देता है कि जनसंख्या स्तर पर नियमितता शर्तों (regularity conditions) को सूत्रबद्ध करके, सिद्धांत की प्रयोज्यता अधिक पारदर्शी है, और परिणामी वितरण सीमाएँ (distributional limits) अनुमान अनिश्चितता का एक सटीक लक्षण वर्णन प्रदान करती हैं। परिणामों को GLMs में Group SCAD, नेटवर्क निर्भरता के तहत वितरित अनुमान (distributed inference), और कारण अनुमान (causal inference) में दंडित स्टेपवाइज़ अनुमान सहित अनुप्रयोगों के माध्यम से स्पष्ट किया गया है, जो यह दर्शाता है कि ढांचा ज्ञात परिणामों को पुनः प्राप्त करता है और जटिल, उच्च-आयामी प्रक्रियाओं के लिए नई गारंटी प्रदान करता है।