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Classification of LCD and self-dual codes over a finite non-unital local ring

यह शोधपत्र नॉनकम्यूटेटिव नॉन-यूनिटल लोकल रिंग $E_p$ पर LCD और सेल्फ-डुअल कोड्स की जांच करता है, जिसमें MDS और AMDS गुणों के लिए स्थितियां स्थापित की गई हैं और $E_2$ तथा $E_3$ पर छोटे लेंथ के इन कोड्स का वर्गीकरण प्रदान किया गया है।

मूल लेखक: Anup Kushwaha, Indibar Debnath, Om Prakash, Patrick Solé

प्रकाशित 2026-06-25

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Anup Kushwaha, Indibar Debnath, Om Prakash, Patrick Solé

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक शोर भरे कमरे में एक गुप्त संदेश भेजने की कोशिश कर रहे हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि संदेश सही ढंग से पहुँचे, आप अपने संदेश में कुछ अतिरिक्त "गार्ड" बिट्स जोड़ते हैं। ये गार्ड्स आपको यह पहचानने में मदद करते हैं कि क्या कोई अक्षर बिगड़ गया है (त्रुटि का पता लगाना - error detection) या यदि वह गलत है तो उसे ठीक भी कर सकते हैं (त्रुटि सुधार - error correction)। गणित की दुनिया में, इन संदेशों को कोड (codes) कहा जाता है, और वे जिन नियमों का पालन करते हैं, वे एक गुप्त भाषा के व्याकरण की तरह होते हैं।

दशकों तक, गणितज्ञ इन गुप्त भाषाओं को एक बहुत ही विशिष्ट, सुव्यवस्थित प्रकार के संख्या तंत्र का उपयोग करके बनाते रहे जिसे एक फील्ड (field) कहा जाता है (इसे एक पूर्ण, व्यवस्थित ग्रिड की तरह समझें)। लेकिन हाल ही में, शोधकर्ताओं ने पूछना शुरू किया: "क्या होगा यदि हम एक अधिक अव्यवस्थित, अराजक संख्या तंत्र का उपयोग करें?"

यह शोध पत्र बिल्कुल उसी की खोज करता है। लेखक इस अराजक संख्या तंत्र, जिसे $E_p$ कहा जाता है, का उपयोग करके गुप्त कोड बना रहे हैं।

परिवेश: एक अराजक संख्या तंत्र

संख्या तंत्र $E_p$ को दो विशेष कुंजियों, $r$ और $s$ वाले एक कमरे के रूप में सोचें।

एक सामान्य दुनिया में, यदि आपके पास एक कुंजी है, तो आप आमतौर पर कोई भी दरवाजा खोल सकते हैं। लेकिन इस कमरे में, वहाँ कोई मास्टर की (master key) नहीं है (कोई "गुणात्मक पहचान" या multiplicative identity नहीं है)।
नियम अजीब हैं: यदि आप कुंजी $r$ को दो बार घुमाते हैं, तो यह एक बार घुमाने के समान है ( $r^2=r$ )। लेकिन यदि आप $r$ फिर $s$ घुमाते हैं, तो आपको $r$ मिलता है ($rs=r $)। यदि आप$ s $फिर$ r $घुमाते हैं, तो आपको$ s $मिलता है ($ sr=s$)।
यह एक नॉन-कम्यूटेटिव (non-commutative), नॉन-यूनिटल (non-unital) रिंग है। सरल शब्दों में: काम करने का क्रम मायने रखता है, और गुणा करने के लिए कोई "1" नहीं है।

लेखक इस अराजक कमरे का उपयोग करके सर्वोत्तम संभव गुप्त कोड बनाने की कोशिश कर रहे हैं।

तीन प्रकार के कोड जिनका उन्होंने अध्ययन किया

यह शोध पत्र तीन विशिष्ट प्रकार के कोडों पर ध्यान केंद्रित करता है, जिनमें से प्रत्येक के पास एक विशेष सुपरपावर है:

1. LCD कोड्स (द "क्लीन ब्रेक" कोड्स)

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास जासूसों की एक टीम (आपका कोड) है और प्रति-जासूसों की एक टीम (डुअल कोड) है। आमतौर पर, ये दोनों टीमें आपस में मिल सकती हैं; एक जासूस दोनों पक्षों के लिए काम कर सकता है।
लक्ष्य: एक LCD (लिनियर कॉम्प्लीमेंट्री डुअल) कोड एक ऐसी टीम है जहाँ जासूसों और प्रति-जासूसों के बीच शून्य ओवरलैप होता है। वे पूरी तरह से अलग हैं।
क्यों महत्वपूर्ण है: वास्तविक दुनिया में (हालाँकि शोध पत्र गणित पर केंद्रित है), ओवरलैप न होना कोड को कुछ प्रकार के हैकिंग हमलों के खिलाफ बहुत सुरक्षित बनाता है।
शोध पत्र की खोज:

लेखकों ने एक नियम पाया: इस अराजक कमरे ( $E_p$ ) में एक पूर्ण LCD कोड बनाने के लिए, आपको बस एक सामान्य, व्यवस्थित कमरे (एक फील्ड $F_p$ ) से एक पूर्ण LCD कोड लेना होगा और उसे एक विशिष्ट कुंजी ( $r$ ) का उपयोग करके "अनुवादित" करना होगा।
उन्होंने छोटे संदेश लंबाई (बाइनरी संस्करण के लिए 13 तक, टेनरी संस्करण के लिए 10 तक) के लिए इन अद्वितीय कोडों की संख्या गिनी।
उन्होंने इन कोडों के सबसे अच्छे संस्करणों (जिन्हें MDS और AMDS कहा जाता है) को भी खोजा, जो त्रुटियों को ठीक करने में सबसे कुशल हैं।

2. लेफ्ट सेल्फ-डुअल कोड्स (द "मिरर" कोड्स)

उपमा: एक ऐसे कोड की कल्पना करें जो अपना स्वयं का प्रतिबिंब है। यदि आप कोड को दर्पण में देखते हैं, तो आप बिल्कुल वही कोड देखते हैं।
लक्ष्य: एक सेल्फ-डुअल (Self-Dual) कोड एक ऐसा है जहाँ जासूसों की टीम प्रति-जासूसों की टीम के समान है।
ट्विस्ट: क्योंकि हमारा संख्या तंत्र अव्यवस्थित है (क्रम मायने रखता है), हमें सावधान रहना होगा। क्या यह एक "लेफ्ट मिरर" है या "राइट मिरर"?

लेफ्ट सेल्फ-डुअल: कोड बाईं ओर से प्रतिबिंबित होने पर समान दिखता है।
राइट सेल्फ-डुअल: कोड दाईं ओर से प्रतिबिंबित होने पर समान दिखता है।
शोध पत्र की खोज:
लेफ्ट साइड: उन्होंने लंबाई 12 तक के सर्वश्रेष्ठ (MDS/AMDS) लेफ्ट सेल्फ-डुअल कोडों को सफलतापूर्वक बनाया और वर्गीकृत किया। उन्होंने पाया कि ये कोड व्यवस्थित दुनिया के पूर्ण मिरर कोड के केवल "अनुवाद" हैं।
राइट साइड: वे एक दीवार से टकरा गए। उन्होंने सिद्ध किया कि इस अराजक कमरे में पूर्ण (MDS) राइट सेल्फ-डुअल कोड अस्तित्व में नहीं हो सकते। इसके अलावा, "लगभग पूर्ण" (AMDS) राइट सेल्फ-डुअल कोड केवल तभी अस्तित्व में हो सकते हैं जब संदेश ठीक 2 अक्षरों का हो। इससे लंबी कोई भी चीज़ नियमों को तोड़ देती है।

3. टू-साइडेड सेल्फ-डुअल कोड्स (द "परफेक्ट सिमेट्री" कोड्स)

उपमा: यह अंतिम कोड है। यह बाएं और दाएं दोनों तरफ से अपना स्वयं का प्रतिबिंब है। यह पूरी तरह से सममित (symmetrical) है।
शोध पत्र की खोज:

उन्होंने सिद्ध किया कि ये कोड केवल तभी अस्तित्व में हो सकते हैं जब संदेश की लंबाई एक सम संख्या (even number) हो (जैसे 2, 4, 6)। आप इस प्रणाली में विषम संख्या के अक्षरों के साथ पूर्णतः सममित कोड नहीं रख सकते।
उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि आप न्यूनतम दूरी 1 वाला एक "पूर्ण" (MDS) कोड नहीं बना सकते (जिसका अर्थ है कि कोड बहुत कमजोर होगा)। इस प्रकार के कोडों के लिए उन्होंने बहुत छोटी लंबाई (बाइनरी संस्करण के लिए 6 तक, टेनरी संस्करण के लिए 4 तक) के सर्वश्रेष्ठ कोडों को वर्गीकृत किया।

बड़ी तस्वीर: उन्होंने वास्तव में क्या किया?

लेखकों ने कोई नया फोन या एन्क्रिप्शन ऐप का आविष्कार नहीं किया। इसके बजाय, उन्होंने गणितीय संभावनाओं का एक विशाल इन्वेंट्री चेक (सूचीकरण) किया।

उन्होंने क्षेत्र का मानचित्रण किया: उन्होंने इस विशिष्ट अराजक संख्या तंत्र में छोटे संदेश लंबाई के लिए प्रत्येक अद्वितीय, सर्वश्रेष्ठ-इन-क्लास कोड को सूचीबद्ध करने वाली एक सूची (शोध पत्र में तालिकाएँ) बनाई।
उन्होंने शॉर्टकट खोजे: उन्होंने सिद्ध किया कि आपको पहिये का पुन: आविष्कार करने की आवश्यकता नहीं है। यदि आपके पास एक सामान्य संख्या प्रणाली से एक अच्छा कोड है, तो आप आसानी से इसे इस अराजक प्रणाली के लिए एक अच्छे कोड में बदल सकते हैं।
उन्होंने डेड एंड्स (बंद रास्ते) खोजे: उन्होंने सिद्ध किया कि इस प्रणाली में कुछ प्रकार के कोड (जैसे पूर्ण राइट सेल्फ-डुअल कोड) असंभव हैं, जिससे अन्य गणितज्ञों को उन्हें खोजने में समय बर्बाद करने से बचाया जा सके।

सारांश

इस शोध पत्र को एक बहुत ही विशिष्ट, अजीब प्रकार के लेगो सेट (Lego set) के निर्माण मार्गदर्शिका के रूप में समझें।

ईंटें अजीब हैं और वे सामान्य तरीके से एक साथ नहीं जुड़ती हैं।
लेखकों ने पता लगाया कि इन ईंटों का उपयोग करके सबसे मजबूत, सबसे सममित मीनारें (कोड) कैसे बनाई जा सकती हैं।
उन्होंने यह भी सूचीबद्ध किया कि वे छोटे आकार के लिए कितने अद्वितीय टावर बना सकते हैं।
उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि कुछ विशिष्ट टावर डिज़ाइन इन ईंटों के साथ बनाना असंभव है।

परिणाम इस विशिष्ट अजीब संख्या प्रणाली का उपयोग करके त्रुटि-सुधार कोड (error-correcting codes) बनाने के इच्छुक किसी भी व्यक्ति के लिए एक आधारभूत मानचित्र है।

तकनीकी सारांश: एक परिमित गैर-इकाई स्थानीय वलय (Finite Non-Unital Local Ring) पर LCD और स्व-द्वैत (Self-Dual) कोड का वर्गीकरण

समस्या विवरण
पारंपरिक कोडिंग सिद्धांत मुख्य रूप से परिमित क्षेत्रों (Finite Fields) पर वेक्टर स्पेस या इकाई वाले वलयों (Unital Rings) पर मॉड्यूल के रूप में कोड पर केंद्रित रहा है। हालिया शोध गैर-इकाई वलयों (Non-unital Rings) की ओर स्थानांतरित हुआ है, फिर भी गैर-कम्यूटेटिव (Noncommutative), गैर-इकाई वलयों पर कोड के संबंध में साहित्य अत्यंत विरल है। यह शोध एक विशिष्ट परिमित गैर-इकाई स्थानीय वलय, जिसे $E_p$ के रूप में नामित किया गया है, पर लीनियर कॉम्प्लीमेंट्री ड्युअल (LCD) और स्व-द्वैत (Self-dual) कोड के वर्गीकरण और गणना को संबोधित करता है। वलय को दो जनरेटर $r$ और $s$ के साथ संबंधों $pr = ps = 0$, $r^2 = r$ , $s^2 = s$ , $rs = r $, और$ sr = s $द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ$ p$ एक अभाज्य संख्या (Prime) है। लेखक इस बीजगणितीय संरचना के भीतर मैक्सिमम डिस्टेंस सेपरेबल (MDS) और ऑल्मोस्ट मैक्सिमम डिस्टेंस सेपरेबल (AMDS) कोडों की विशेष रूप से जांच करते हैं, जो कि एक ऐसा क्षेत्र है जो पहले अनछुआ था।

कार्यप्रणाली
यह अध्ययन बीजगणितीय संरचनात्मक विश्लेषण और गणनात्मक गणना (Computational Enumeration) का उपयोग करता है। कार्यप्रणाली निम्नलिखित चरणों के माध्यम से आगे बढ़ती है:

बीजगणितीय आधार: लेखक $E_p$ को एक स्थानीय वलय के रूप में परिभाषित करते हैं जिसका एक अद्वितीय अधिकतम आदर्श (Maximal Ideal) $I = \{mt \mid 0 \le m < p\}$ है, जहाँ $t = r + (p-1)s$ है। वे एक न्यूनीकरण मानचित्र (Reduction Map) $\alpha: E_p \to E_p/I \cong \mathbb{F}_p$ स्थापित करते हैं।
कोड अपघटन (Code Decomposition): किसी भी $E_p$ -रैखिक कोड $C$ के लिए, लेखक अवशेष कोड (Residue Code) $Res(C)$ और टॉर्शन कोड (Torsion Code) $Tor(C) $का उपयोग करते हैं। एक प्रमुख संरचनात्मक परिणाम स्थापित किया गया है कि एक कोड$ C$ मुक्त (Free) है यदि और केवल यदि $Res(C) = Tor(C)$ हो।
द्वैतता (Duality) और LCD निर्माण: लेखक यूक्लिडियन आंतरिक गुणन (Euclidean Inner Product) के आधार पर बाएं और दाएं द्वैत (Left and Right Duals - $C^{\perp L}$ और $C^{\perp R}$ ) को परिभाषित करते हैं। यह सिद्ध किया गया है कि $E_p$ पर कोई गैर-शून्य दायां LCD कोड मौजूद नहीं है, जो अध्ययन को केवल बाएं LCD कोडों तक सीमित करता है। लेखक प्रदर्शित करते हैं कि एक $E_p$ -LCD कोड हमेशा मुक्त होता है और इसे $rG $के रूप में एक मैट्रिक्स द्वारा जनरेट किया जाता है, जहाँ$ G $आधार क्षेत्र$ \mathbb{F}_p$ पर एक LCD कोड को जनरेट करता है।
मोनोमियल तुल्यता (Monomial Equivalence): अध्ययन स्थापित करता है कि दो मुक्त $E_p$ -रैखिक कोड मोनोमियल तुल्य हैं यदि और केवल यदि उनके अवशेष कोड $\mathbb{F}_p$ पर मोनोमियल तुल्य हों। यह $E_p$ कोडों की गणना को $\mathbb{F}_p$ कोडों की गणना तक कम करने की अनुमति देता है।
MDS/AMDS लक्षण वर्णन: आवश्यक और पर्याप्त स्थितियां व्युत्पन्न की गई हैं जो दिखाती हैं कि एक मुक्त $E_p$ -रैखिक कोड MDS (या AMDS) है यदि और केवल यदि उसका अवशेष कोड $\mathbb{F}_p$ पर MDS (या AMDS) हो।
गणनात्मक गणना: MAGMA कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली और मौजूदा बाइनरी और त्रिक (Ternary) LCD/स्व-द्वैत कोडों के वर्गीकरणों का उपयोग करते हुए (अराया, हाराडा और अन्य के कार्यों का हवाला देते हुए), लेखक $E_2$ और $E_3$ के लिए लंबाई 13 (LCD के लिए) और 12 (बाएं स्व-द्वैत के लिए) तक की विशिष्ट लंबाई के लिए कोडों की गणना और वर्गीकरण करते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

LCD कोड:
- सिद्ध किया कि $E_p$ पर सभी LCD कोड मुक्त हैं और $E_p$ पर मोनोमियल रूप से असमान LCD कोडों की संख्या समान लंबाई के लिए $\mathbb{F}_p$ पर उनके संख्या के बराबर है।
- $E_2$ (लंबाई 13 तक) और $E_3$ (लंबाई 10 तक) पर मोनोमियल रूप से असमान LCD कोडों के लिए सटीक गणना प्रदान की।
- $E_2$ और $E_3$ पर लंबाई 6 तक के सभी MDS और AMDS LCD कोडों का वर्गीकरण किया, जो स्पष्ट जनरेटर मैट्रिसेस प्रदान करते हैं।
बाएं स्व-द्वैत (Left Self-Dual) कोड:
- स्थापित किया कि $E_p$ पर एक बायां स्व-द्वैत कोड मुक्त है और उसका अवशेष कोड $\mathbb{F}_p$ पर एक स्व-द्वैत कोड है।
- $E_2$ और $E_3$ पर लंबाई 12 तक के MDS और AMDS बाएं स्व-द्वैत कोडों का वर्गीकरण किया।
- प्रदर्शित किया कि $E_p$ पर बाएं स्व-द्वैत कोडों के लिए MDS और AMDS गुण सीधे उनके $\mathbb{F}_p$ पर अवशेष कोडों से विरासत में मिलते हैं।
दाएं स्व-द्वैत (Right Self-Dual) कोड:
- $E_p$ पर MDS दाएं स्व-द्वैत कोडों की गैर-मौजूदगी को सिद्ध किया।
- दिखाया कि $E_p$ पर AMDS दाएं स्व-द्वैत कोड तभी मौजूद होते हैं जब कोड की लंबाई 2 हो।
दो-तरफा स्व-द्वैत (Two-Sided Self-Dual) कोड:
- सिद्ध किया कि $E_p$ पर कोई भी MDS या AMDS स्व-द्वैत कोड की लंबाई सम (Even) होनी चाहिए।
- दिखाया कि $d=1$ के न्यूनतम अंतर के साथ कोई MDS स्व-द्वैत कोड मौजूद नहीं है।
- $E_2$ (लंबाई 6 तक) और $E_3$ (लंबाई 4 तक) पर MDS और AMDS स्व-द्वैत कोडों का वर्गीकरण किया।

महत्व
यह शोध दावा करता है कि यह एक गैर-इकाई वलय पर MDS और AMDS LCD और स्व-द्वैत कोडों का अध्ययन करने का पहला प्रयास है। इकाई और कम्यूटेटिव वलयों से गैर-इकाई, नॉन-कम्यूटेटिव वलय $E_p$ तक सिद्धांत का विस्तार करके, यह कार्य गैर-इकाई संरचनाओं पर कोडिंग के संबंध में साहित्य के अंतराल को भरता है। परिणाम लघु लंबाई के लिए पूर्ण वर्गीकरण प्रदान करते हैं, जो समान बीजगणितीय संरचनाओं पर भविष्य के अन्वेषणों के लिए एक आधारभूत ढांचा प्रदान करते हैं। यह कार्य $E_p$ पर कोडों और $\mathbb{F}_p$ पर कोडों के बीच पत्राचार का लाभ उठाते हुए, प्रभावी रूप से मौजूदा क्षेत्र-आधारित वर्गीकरणों का उपयोग करके वलय-आधारित समस्या को हल करता है।