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Torsion in abelian fundamental group and its application

यह शोध पत्र स्थानीय क्षेत्रों (local fields) पर नियमित ज्यामितीय रूप से अविभाज्य (regular geometrically integral) प्रक्षेपिक विविधताओं (projective varieties) के लिए एबेलियन मौलिक समूह (abelian fundamental group) के टॉर्शन सबग्रुप की परिमितता स्थापित करता है, $SK_1(X)$ की संरचना का विश्लेषण करता है, और ऐसे क्षेत्रों पर नियमित प्रक्षेपिक वक्रों (regular projective curves) के लिए क्लास फील्ड थ्योरी व्युत्पन्न करता है।

मूल लेखक: Rahul Gupta, Jitendra Rathore

प्रकाशित 2026-08-12

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Rahul Gupta, Jitendra Rathore

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, अदृश्य शहर की खोज कर रहे हैं जो ईंट और गारे से नहीं, बल्कि शुद्ध गणितीय संबंधों से बना है। यह अंकगणितीय ज्यामिति (arithmetic geometry) की दुनिया है, जहाँ संख्याएँ और आकार ब्रह्मांड के गहरे रहस्यों को सुलझाने के लिए एक साथ नृत्य करते हैं। इस शहर में, एक सबसे महत्वपूर्ण मील का पत्थर "मौलिक समूह" (fundamental group) है। इस समूह को एक मास्टर मानचित्र के रूप में सोचें जो इस बात का रिकॉर्ड रखता है कि आप शहर में बिना भटके घूमने के कितने संभावित तरीके हैं, जो उन सभी लूपों और घुमावों को पकड़ता है जो इसके आकार को परिभाषित करते हैं। जब गणितज्ञ इस मानचित्र को देखते हैं, तो वे अक्सर इसके "एबेलियन" (abelian) भाग पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जो शहर के जटिल यातायात नियमों को एक सीधी, व्यवस्थित ग्रिड में सरल बनाने जैसा है।

हालाँकि, यह ग्रिड हमेशा पूरी तरह से चिकना नहीं होता। कभी-कभी, इसमें "टोरशन" (torsion) होता है—छोटे, जिद्दी गांठ या लूप जो कुछ सीमित चरणों में खुद पर वापस मुड़ जाते हैं और फिर गायब हो जाते हैं। ये गांठें टोरशन उपसमूह (torsion subgroups) हैं। दशकों तक, गणितज्ञों को पता था कि यदि शहर पूरी तरह से चिकना (एक "स्मूथ" वैरायटी) है, तो ये गांठें सीमित संख्या में होती हैं और गिनने में आसान होती हैं। लेकिन क्या होगा यदि शहर में खुरदरे हिस्से, दरारें या अनियमितताएं (इसे "रेगुलर" लेकिन "स्मूथ" नहीं बनाना) हों? क्या ये गांठें अभी भी सीमित होंगी, या वे एक अनंत, अराजक झुंड में बदल जाएंगी? यह प्रश्न महत्वपूर्ण है क्योंकि इन गांठों का आकार और संरचना गणितज्ञों को "क्लास फील्ड थ्योरी" (class field theory) के गहरे नियमों को समझने में मदद करता है, जो स्थानीय क्षेत्रों (local fields) नामक विशिष्ट प्रकार के गणितीय संसारों में संख्याओं के परस्पर क्रिया करने का एक सार्वभौमिक नियम पुस्तिका है।

इस शोध पत्र में, राहुल गुप्ता और जितेंद्र राठौर ठीक इसी रहस्य की जांच करते हैं। वे एक विशिष्ट प्रकार के गणितीय शहर की जांच करते हैं: एक रेगुलर, प्रोजेक्टिव वैरायटी (एक सुव्यवस्थित, बंद आकार) जो एक "लोकल फील्ड" (स्थानीय क्षेत्र) के ऊपर स्थित है, जिसकी विशेषता धनात्मक अभिलक्षण (positive characteristic) है (एक ऐसी संख्या प्रणाली जो सीमित घंटों वाली घड़ी की तरह व्यवहार करती है)। उनका मुख्य निष्कर्ष यह प्रमाण है कि भले ही शहर में खुरदरे किनारे हों और वह पूरी तरह से स्मूथ न हो, फिर भी इन जिद्दी "गांठों" (टोरशन सबग्रुप) की संख्या सीमित रहती है। उन्होंने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने कठोर गणितीय तर्क के साथ इसे सिद्ध किया। इसके अलावा, उन्होंने इस खोज का उपयोग क्लास फील्ड थ्योरी की "नियम पुस्तिका" को अपडेट करने के लिए किया, यह दिखाते हुए कि ये मौलिक नियम इन खुरदरे आकारों के लिए भी सत्य रहते हैं। उन्होंने $SK_1(X)$ नामक एक संबंधित समूह की संरचना का भी मानचित्रण किया, यह प्रकट करते हुए कि यह एक सीमित, घुमावदार भाग और एक चिकने, अनंत रूप से विभाज्य भाग का मिश्रण है, बिल्कुल एक ऐसी नदी की तरह जिसमें कुछ पथरीले भंवर हैं लेकिन वह अनंत रूप से बहती है।

गांठों और मानचित्र की कहानी

गुप्ता और राठौर ने जो हासिल किया उसे समझने के लिए, आइए पहले उनके द्वारा उपयोग किए गए उपकरणों को देखें। कल्पना कीजिए कि आपके पास एक आकार है, जैसे कि एक डोनट या गोला, लेकिन यह संख्याओं से बना है। बीजगणितीय ज्यामिति (algebraic geometry) की दुनिया में, हम पूछ सकते हैं: "मैं इस आकार के चारों ओर कितनी अलग-अलग तरह से एक धागा लपेट सकता हूँ और एक गांठ बांध सकता हूँ?" इन सभी संभावित गांठों का संग्रह एक समूह बनाता है। लेखक इस समूह के "एबेलियन" संस्करण में रुचि रखते हैं, जो गांठ संग्रह का एक सरल, व्यवस्थित संस्करण है।

इस संग्रह के भीतर, दो प्रकार की गांठें हैं। कुछ "टोरशन" गांठें हैं: यदि आप धागे को एक निश्चित संख्या में उनके चारों ओर लपेटते हैं, तो वे पूरी तरह से खुल जाती हैं। अन्य "डिविज़िबल" (divisible) गांठें हैं, जिन्हें अनंत काल तक छोटे और छोटे टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है। लेखकों ने जो बड़ा सवाल पूछा था, वह यह था: यदि आकार थोड़ा खुरदरा है (रेगुलर लेकिन स्मूथ नहीं), तो क्या टोरशन गांठें अभी भी एक सीमित, गणनीय ढेर रहेंगी, या वे अनंतता में विस्फोट कर देंगी?

अतीत में, गणितज्ञों को पता था कि यदि आकार पूरी तरह से स्मूथ है, तो उत्तर "सीमित" है। लेकिन खुरदरे किनारों वाले आकारों के लिए, यह एक खुला प्रश्न था। लेखकों ने सिद्ध किया कि हाँ, टोरशन गांठें अभी भी सीमित हैं, यहाँ तक कि इन खुरदरे आकारों के लिए भी। यह एक बड़ी बात है क्योंकि इसका मतलब है कि गणितीय "नियम पुस्तिका" (क्लास फील्ड थ्योरी) केवल इसलिए नहीं टूटती क्योंकि आकार पूर्ण नहीं है।

दो-चरणीय प्रमाण: गांठों को वश में करना

लेखकों ने केवल निष्कर्ष पर छलांग नहीं लगाई; उन्होंने समस्या को दो अलग-अलग चुनौतियों में विभाजित किया, जैसे कि एक जासूस संदिग्धों को अलग करके मामला सुलझाता है।

चरण 1: "प्राइम टू p" गांठें
सबसे पहले, उन्होंने उन गांठों को देखा जो संख्या प्रणाली के विशिष्ट "घड़ी के आकार" (characteristic $p$ ) से संबंधित नहीं हैं। उन्होंने इसे "प्राइम टू $p$ " टोरशन कहा। इसे हल करने के लिए, उन्होंने "अल्टरेशन" (alterations) से जुड़े एक चतुर तरीके का उपयोग किया। कल्पना कीजिए कि आपके पास एक खुरदरा, कुचला हुआ कागज (आपका आकार) है। आप उस पर गांठों को आसानी से नहीं गिन सकते। लेकिन, आप एक चिकना, पूर्ण कागज पा सकते हैं जो खुरदरे कागज को कवर करता है, जैसे कि मानचित्र के ऊपर रखी गई एक पारदर्शी शीट। चिकनी शीट का अध्ययन करके और परिणामों को सावधानीपूर्वक खुरदरे कागज पर अनुवादित करके, उन्होंने दिखाया कि इन विशिष्ट गांठों की संख्या सीमित होनी चाहिए। उन्होंने सिद्ध किया कि यदि आप आकार के एक स्मूथ संस्करण पर गांठों को गिन सकते हैं, तो आप खुरदरे संस्करण पर भी उन्हें गिन सकते हैं।

चरण 2: " $p$ " गांठें
इसके बाद, उन्होंने संख्या प्रणाली के विशिष्ट "घड़ी के आकार" $p$ से संबंधित गांठों का सामना किया। यह अधिक कठिन था। उन्होंने एक संरचना प्रमेय का उपयोग किया जो गांठ मानचित्र के समग्र आकार का वर्णन करती है। उन्होंने दिखाया कि मानचित्र का "जियोमेट्रिक" भाग (वह भाग जो संख्या प्रणाली से नहीं, बल्कि स्वयं आकार से आता है) एक सीमित समूह और कुछ अनंत, सीधी रेखाओं जैसा दिखता है। इस संरचना का विश्लेषण करके, उन्होंने सिद्ध किया कि $p$ -संबंधित गांठें भी सीमित हैं।

अनुप्रयोग: नियम पुस्तिका को अपडेट करना

एक बार जब उन्होंने साबित कर दिया कि गांठें सीमित हैं, तो उन्होंने इसे एक प्रसिद्ध समस्या पर लागू किया: क्लास फील्ड थ्योरी। क्लास फील्ड थ्योरी को दो भाषाओं के बीच एक अनुवाद शब्दकोश के रूप में समझें: आकारों की भाषा (ज्यामिति) और संख्याओं की भाषा (अंकगणित)। लंबे समय तक, यह शब्दकोश केवल "स्मूथ" आकारों के लिए पूरी तरह से लिखा गया था।

लेखकों ने इन "रेगुलर" आकारों (जो खुरदरे हो सकते हैं) के लिए इस शब्दकोश का विस्तार करने के लिए अपने नए प्रमाण का उपयोग किया। उन्होंने $SK_1(X)$ नामक एक विशिष्ट समूह पर ध्यान केंद्रित किया, जो आकार और संख्याओं के बीच एक पुल के रूप में कार्य करता है। उन्होंने पाया कि यह पुल दो भागों से बना है:

एक डिविज़िबल भाग ( $D$ ): यह एक अनंत, चिकनी नदी की तरह है जिसे हमेशा विभाजित किया जा सकता है।
एक टोरशन भाग ( $T$ ): यह गांठों का एक सीमित संग्रह है।

उन्होंने सिद्ध किया कि इन खुरदरे आकारों के लिए भी यह पुल पूरी तरह से काम करता है। विशेष रूप से, उन्होंने दिखाया कि "रेसिप्रोसिटी मैप" (इस शब्दकोश में मुख्य अनुवादक) का एक बहुत ही विशिष्ट व्यवहार है:

इसका "कर्नेल" (पुल का वह भाग जो खो जाता है या अनुवाद नहीं करता) विभाज्य (divisible) है, जिसका अर्थ है कि यह उस अनंत, चिकनी नदी का हिस्सा है।
इसका "इमेज" (वह भाग जो सफलतापूर्वक अनुवाद करता है) एक सीमित समूह है।
इसका "कोकर्नेल" (लक्ष्य भाषा का वह भाग जो अननुवादित रह जाता है) में गांठों की एक सीमित संख्या है।

यह क्यों मायने रखता है

एक जिज्ञासु किशोर को गणितीय आकारों पर गांठों को गिनने में क्यों दिलचस्पी होनी चाहिए? क्योंकि ये गांठें वे छिपे हुए गियर हैं जो संख्याओं के ब्रह्मांड को संचालित करते हैं। यह सिद्ध करके कि ये गियर दोषपूर्ण आकारों में भी सीमित हैं, गुप्ता और राठौर ने दिखाया है कि अंकगणितीय ज्यामिति के मौलिक नियम मजबूत हैं। वे तब भी नहीं टूटते जब आकार खुरदरे हो जाते हैं। यह गणितज्ञों को इन शक्तिशाली नियमों को बहुत अधिक विविध प्रकार के आकारों पर लागू करने का विश्वास देता है, जिससे गणित के सबसे जटिल कोनों में संख्याओं और ज्यामिति के बीच परस्पर क्रिया के बारे में नए रहस्य खोलने की संभावना बढ़ जाती है।

संक्षेप में, शोध पत्र कहता है: "भले ही आकार ऊबड़-खाबड़ हो, गांठें अभी भी गणनीय हैं, और नियम पुस्तिका अभी भी काम करती है।" यह एक ऐसी दुनिया में व्यवस्था की जीत है जो कभी-कभी अराजक लग सकती है।

तकनीकी सारांश: एबेलियन फंडामेंटल ग्रुप में टोरशन और इसका अनुप्रयोग

समस्या का विवरण
यह शोध पत्र एक स्थानीय क्षेत्र $k$ के धनात्मक अभिलक्षण $p > 0$ वाले रेगुलर ज्यामितीय रूप से इंटीग्रल प्रोजेक्टिव वैराइटीज़ (varieties) $X$ के लिए एबेलियनाइज्ड एटेले फंडामेंटल ग्रुप (étale fundamental group), जिसे $\pi_1^{ab}(X)$ द्वारा दर्शाया गया है, की संरचना को संबोधित करता है। जबकि ऐसे क्षेत्रों के लिए स्मूथ प्रोजेक्टिव वैराइटीज़ हेतु $\pi_1^{ab}(X)_{tor}$ के टोरशन सबग्रुप की परिमितता (finiteness) स्थापित है (ग्रोथेंडिक, योशिदा और अन्य के परिणामों के माध्यम से), लेकिन रेगुलर (परंतु आवश्यक रूप से स्मूथ नहीं) वैराइटीज़ के लिए इस समूह का व्यवहार साहित्य में एक अंतराल बना हुआ है। विशेष रूप से, लेखक रेगुलर प्रोजेक्टिव वैराइटीज़ के लिए परिमितता परिणामों को विस्तारित करने और इन परिणामों का उपयोग करके स्मूथ से रेगुलर कर्व्स तक अनरैम्डिफाइड क्लास फील्ड थ्योरी (unramified class field theory) का सामान्यीकरण करने का लक्ष्य रखते हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक अपने परिणामों को स्थापित करने के लिए एटेले कोहोमोलॉजी (étale cohomology), अल्टरेशन तकनीकों (alteration techniques) और ड्युअलिटी थीोरम्स (duality theorems) के संयोजन का उपयोग करते हैं।

टोरशन का पृथक्करण (Separation of Torsion): $\pi_1^{ab}(X)$ के अध्ययन को प्राइम-टू- $p$ टोरशन ( $\{p'\}$ ) और $p$ -प्राइमरी टोरशन ( $\{p\}$ ) में विभाजित किया गया है।
अल्टरेशन और रिडक्शन (Alteration and Reduction): स्मूथनेस की कमी को संभालने के लिए, लेखक डी जोंग (de Jong) और गैबर (Gabber) के अल्टरेशन थीोरम्स का उपयोग करते हैं। वे एक जेनेरिकली फाइनाइट मॉर्फिज्म $\phi: W \to X$ का निर्माण करते हैं जहाँ $W$ , $k$ के एक परिमित विस्तार पर एक स्मूथ प्रोजेक्टिव स्कीम है। यह उन्हें सिंगुलर (रेगुलर) वैराइटी $X$ के कोहोमोलॉजी और फंडामेंटल ग्रुप को स्मूथ वैराइटी $W$ से जोड़ने की अनुमति देता है।
कोहोमोलॉजिकल फाइनिटी (Cohomological Finiteness):
- प्राइम-टू- $p$ टोरशन के लिए: लेखक सपोर्ट कोहोमोलॉजी सीक्वेंस और प्योरिटी थीोरम्स (गैबर की प्योरिटी) का उपयोग यह दिखाने के लिए करते हैं कि कोहोमोलॉजी ग्रुप्स $H^i_Z(X, (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})')$ क्लोज्ड सबसेट्स $Z$ (जिनका कोडायमेंशन $\ge 1$ है) के लिए परिमित हैं। यह स्थापित करता है कि $\pi_1^{ab}(X)$ का प्राइम-टू- $p$ टोरशन परिमित है यदि और केवल यदि यह एक घने ओपन सबसेट के लिए परिमित है, जिसे फिर स्मूथ केस में घटाया जाता है।
- $p$ -प्राइमरी टोरशन के लिए: लेखक ज्यामितीय भाग $\pi_1^{ab}(X)_{geom} = \text{Ker}(\pi_1^{ab}(X) \to \pi_1^{ab}(\text{Spec}(k)))$ का विश्लेषण करते हैं। वे एक स्ट्रक्चर थ्योरम सिद्ध करते हैं जो यह दर्शाता है कि $\pi_1^{ab}(X)_{geom}$ एक टोपोलॉजिकली फाइनाइटली जेनरेटेड प्रोफ़िनाइट ग्रुप है (जो $\hat{\mathbb{Z}}^r \oplus F$ के समरूप है)। चूंकि $p$ अभिलक्षण वाले लोकल फील्ड के एब्सोल्यूट गैलवाइज़ ग्रुप में कोई $p$ -टोरशन नहीं होता है, इसलिए $\pi_1^{ab}(X)_{geom}$ के $p$ -टोरशन की परिमितता कुल $p$ -टोरशन की परिमितता को सुनिश्चित करती है।
$SK_1(X)$ की संरचना: लेखक $SK_1(X)$ की जांच करते हैं, जिसे $K$ -ग्रुप्स पर बाउंड्री मैप के कोकरनेल के रूप में परिभाषित किया गया है। वे नॉर्म मैप $SK_1(X) \to k^\times$ के कर्नेल $V(X/k)$ का विश्लेषण करते हैं। जेनेरिक हाइपरप्लेन सेक्शन के माध्यम से उच्च-आयामी स्कीम्स को कर्व्स में और स्मूथ कर्व्स के माध्यम से अल्टरेशन का उपयोग करके, वे $V(X/k)$ की संरचना निर्धारित करते हैं।
ड्युअलिटी और रेसिप्रोसिटी (Duality and Reciprocity): अनुप्रयोग अनुभाग में, लेखक ट्रेस मैप्स और गैबर की प्योरिटी का उपयोग करके रेगुलर प्रोजेक्टिव कर्व्स (दोनों प्राइम-टू- $p$ और $p$ -प्राइमरी मामलों) के लिए ड्युअलिटी पेयरिंग्स स्थापित करते हैं। इन ड्युअलिटी परिणामों का उपयोग रेसिप्रोसिटी मैप की $n$ modulo इंजेक्टिविटी को सिद्ध करने के लिए किया जाता है, जो क्लास फील्ड थ्योरी के लिए महत्वपूर्ण है।

मुख्य योगदान और परिणाम

थ्योरम 1.1 (टोरशन की परिमितता):
- यदि $X$ , $p > 0$ के स्थानीय क्षेत्र पर एक रेगुलर प्रोजेक्टिव स्कीम है, तो टोरशन सबग्रुप $\pi_1^{ab}(X)_{tor}$ परिमित है।
- यदि $X$ रेगुलर और क्वासी-प्रोजेक्टिव है, तो $p$ -टोरशन को छोड़कर टोरशन सबग्रुप परिमित है।
- यह पिछले परिणामों का विस्तार करता है जो केवल स्मूथ वैराइटीज़ के लिए ज्ञात थे, अब इसे रेगुलर केस तक ले जाता है।
थ्योरम 1.2 ( $V(X/k)$ की संरचना):
- $p > 0$ के स्थानीय क्षेत्र पर एक ज्यामितीय रूप से इर्रेड्यूसिबल प्रोजेक्टिव इंटीग्रल स्कीम $X$ के लिए, समूह $V(X/k) = \text{Ker}(SK_1(X) \to k^\times)$ एक $T \oplus D$ के रूप में विघटित होता है, जहाँ $T$ एक टोरशन ग्रुप है और $D$ एक डिविजिबल ग्रुप है।
- इसके अतिरिक्त, रेगुलर प्रोजेक्टिव कर्व्स के लिए, टोरशन समैंड $T$ को परिमित एक्सपोनेंट वाला दिखाया गया है।
थ्योरम 1.3 (रेगुलर कर्व्स के लिए क्लास फील्ड थ्योरी):
- एक स्थानीय क्षेत्र पर रेगुलर प्रोजेक्टिव कर्व $X$ $X$ के लिए, रेसिप्रोसिटी मैप $\rho_X: SK_1(X) \to \pi_1^{ab}(X)$ $ρ_{X} : S K_{1} (X) \to π_{1}^{ab} (X)$ निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:
  1. $\text{Ker}(\rho_X)$ प्रत्येक $p$ से प्राइम पूर्णांक द्वारा डिविजिबल है। यदि $X$ जेनेरिकली स्मूथ है, तो $\text{Ker}(\rho_X)$ , $SK_1(X)$ का मैक्सिमल डिविजिबल सबग्रुप है।
  2. $\text{Image}(\rho_{X,0})$ (ज्यामितीय भाग में इमेज) एक परिमित समूह है।
  3. $\text{Coker}(\rho_X)_{tor}$ एक परिमित समूह है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र $p > 0$ के स्थानीय क्षेत्रों पर रेडुलर प्रोजेक्टिव वैराइटीज़ के लिए एबेलियन फंडामेंटल ग्रुप के मौलिक परिमितता परिणामों को स्मूथ से रेगुलर तक विस्तारित करने का दावा करता है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि फाइनाइट फील्ड्स पर रेगुलर क्वासी-प्रोजेक्टिव स्कीम्स स्वतः ही स्मूथ होती हैं, जिससे यह प्रश्न स्थानीय क्षेत्र के संदर्भ में अद्वितीय हो जाता है।

प्रस्तुत प्राथमिक अनुप्रयोग अनरैम्डिफाइड क्लास फील्ड थ्योरी का विस्तार है। $\pi_1^{ab}(X)$ के टोरशन सबग्रुप की परिमितता को सिद्ध करके और रेगुलर कर्व्स के लिए $SK_1(X)$ की संरचना स्थापित करके, लेखक क्लास फील्ड थ्योरी के परिणामों को सामान्यीकृत करते हैं जो पहले केवल स्मूथ प्रोजेक्टिव कर्व्स (ब्लॉक, सैतो और योशिदा द्वारा) के लिए ज्ञात थे, अब उन्हें रेगुलर प्रोजेक्टिव कर्व्स के मामले में लागू करते हैं। शोध पत्र का दावा है कि ये परिणाम रेसिप्रोसिटी मैप पर आवश्यक संरचनात्मक नियंत्रण प्रदान करते हैं ताकि वैराइटीज़ के इस व्यापक वर्ग के लिए क्लास फील्ड थ्योरी को तैयार किया जा सके।

लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि उनका कार्य क्लास फील्ड थ्योरी के अध्ययन के लिए एक प्रमुख घटक के रूप में टोरशन सबग्रुप की परिमितता पर निर्भर करता है, जिससे वे स्मूथ वैराइटीज़ और रेगुलर (संभावित रूप से सिंगुलर) वैराइटीज़ के बीच के अंतर को स्थानीय क्षेत्रों के संदर्भ में पाटते हैं।

गांठों और मानचित्र की कहानी

दो-चरणीय प्रमाण: गांठों को वश में करना

अनुप्रयोग: नियम पुस्तिका को अपडेट करना

यह क्यों मायने रखता है

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