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A Dichotomy Theorem for Ordinal Ranks in MSO

यह शोधपत्र पूर्ण बाइनरी ट्री (full binary tree) पर मोनैडिक सेकंड-ऑर्डर लॉजिक (monadic second-order logic) में सुव्यवस्थित साक्ष्यों (well-founded witnesses) के ऑर्डिनल रैंकों के लिए एक निर्णायक द्विशाखता (decidable dichotomy) स्थापित करता है, जो यह सिद्ध करता है कि किसी भी ऐसे फॉर्मूला के लिए न्यूनतम रैंक सीमा या तो $\omega^2$ से कम है या अधिकतम मान $\omega_1$ तक पहुँचती है।

मूल लेखक: Damian Niwiński, Paweł Parys, Michał Skrzypczak

प्रकाशित 2026-06-19

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Damian Niwiński, Paweł Parys, Michał Skrzypczak

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: एक पहेली की "गहराई" को मापना

कल्पना कीजिए कि आप एक खेल खेल रहे हैं जहाँ आपको एक विशाल, अनंत पेड़ (एक विशिष्ट नोड्स का सेट) के भीतर एक छिपा हुआ खजाना ढूंढना है। खेल के नियम एक बहुत ही सख्त, तार्किक भाषा में लिखे गए हैं जिसे MSO (मोनैडिक सेकंड-ऑर्डर लॉजिक) कहा जाता है।

कभी-कभी नियम कहते हैं: "एक ऐसा खजाना खोजें जो वेल-फाउंडेड (well-founded) हो।" सरल भाषा में, "वेल-फाउंडेड" का अर्थ है कि खजाना अनंत तक नहीं जा सकता; उसका एक आधार होना चाहिए। आप ऐसा खजाना नहीं रख सकते जो अनंत में नीचे की ओर घूमता रहे।

इस शोध पत्र के लेखक एक विशिष्ट प्रश्न में रुचि रखते हैं: इन खजानों की गहराई कितनी हो सकती है?

गणित में, हम इन परिमित-लेकिन-अनंत संरचनाओं की "गहराई" या जटिलता को ऑर्डिनल नंबर्स (ordinal numbers) का उपयोग करके मापते हैं। इन संख्याओं को एक वीडियो गेम के स्तरों की तरह समझें:

स्तर 1 (Level 1) ब्लॉकों का एक साधारण ढेर है।
स्तर 2 (Level 2) ढेरों का एक ढेर है।
स्तर $\omega$ (Level $\omega$ ) एक ऐसा टॉवर है जहाँ ऊपर जाते समय ढेर अनंत रूप से छोटे होते जाते हैं।
स्तर $\omega^2$ (Level $\omega^2$ ) टॉवरों के टॉवर और टॉवरों का टॉवर है, इत्यादि।

यह शोध पत्र पूछता है: यदि आप एक नियम लिखते हैं (एक फॉर्मूला) जो कहता है: "एक वेल-फाउंडेड खजाना खोजें," तो उस खजाने की गहराई की एक सीमा है या नहीं?

मुख्य खोज: "दो-विकल्प" वाला नियम

लेखकों ने एक आश्चर्यजनक "डाइकोटॉमी" (दो अलग-अलग संभावनाओं में विभाजन) की खोज की। जब आप ऐसा नियम लिखते हैं, तो आपके द्वारा खोजे जाने वाले खजाने की गहराई केवल दो श्रेणियों में से एक में आती है:

"उथला" मामला (The "Shallow" Case): खजाना हमेशा अपेक्षाकृत सरल होता है। आप खेल को कैसे भी सेट करें, गहराई कभी भी एक विशिष्ट, गणना योग्य संख्या (जैसे 5, 100, या 1,000) से अधिक नहीं होगी। यह एक बहुत बड़ी संख्या हो सकती है, लेकिन यह एक परिमित (finite) संख्या है।
"गहरा" मामला (The "Deep" Case): खजाना मनमाने ढंग से गहरा हो सकता है। आप ऐसी स्थितियाँ बना सकते हैं जहाँ खजाना आपकी इच्छानुसार गहरा हो सके, जो अनंत जटिलता (विशेष रूप से, पहले अनकौंटेबल ऑर्डिनल $\omega_1$ तक) के क्षेत्र में पहुँच जाए।

जादुई हिस्सा: लेखकों ने सिद्ध किया कि बीच का कोई रास्ता नहीं है। आप ऐसा नियम नहीं बना सकते जहाँ खजाना हमेशा 1,000 से गहरा हो लेकिन कभी अनंत तक न पहुँचे। यह या तो "एक विशिष्ट संख्या द्वारा सीमित" है या "असीमित" है।

इसके अलावा, उन्होंने दिखाया कि हम आपके नियम को देखने के लिए एक कंप्यूटर प्रोग्राम लिख सकते हैं और तुरंत बता सकते हैं: "हे, यह उथला है," या "यह गहरा है।"

खेल की उपमा: आर्किटेक्ट बनाम इंस्पेक्टर

इसे सिद्ध करने के लिए, लेखकों ने दो खिलाड़ियों, आर्किटेक्ट (The Architect) (जो यह सिद्ध करना चाहता है कि खजाना गहरा है) और इंस्पेक्टर (The Inspector) (जो यह सिद्ध करना चाहता है कि खजाना उथला है) के बीच एक खेल का आविष्कार किया।

लक्ष्य: आर्किटेक्ट एक पेड़ को परत-दर-परत बनाने की कोशिश करता है जहाँ खजाना अविश्वसनीय रूप से गहरा हो। इंस्पेक्टर यह दिखाने की कोशिश करता है कि खजाना वास्तव में उथला है।
रणनीति:
- आर्किटेक्ट एक संरचना बनाता है।
- इंस्पेक्टर को पेड़ में नीचे जाने के लिए कौन सा रास्ता चुनना है, इसका निर्णय लेने का अधिकार है।
- यदि आर्किटेक्ट इंस्पेक्टर को बार-बार गहराई में जाने के लिए मजबूर कर सकता है (खेल में "रीच" और "ट्रंक" मोड के बीच बदलते हुए), तो आर्किटेक्ट जीत जाता है। इसका मतलब है कि खजाना अनंत रूप से गहरा हो सकता है।
- यदि इंस्पेक्टर हमेशा आर्किटेक्ट को कुछ चरणों के बाद रोकने का तरीका ढूंढ लेता है, तो इंस्पेक्टर जीत जाता है। इसका मतलब है कि खजाने की एक परिमित सीमा है।

चूँकि यह पूर्ण जानकारी (perfect information) और स्पष्ट नियमों वाला खेल है, एक प्रसिद्ध गणितीय प्रमेय कहता है कि उनमें से एक के पास जीतने की रणनीति होनी ही चाहिए। लेखकों ने सिद्ध किया कि यदि इंस्पेक्टर जीतता है, तो गहराई एक विशिष्ट, गणना योग्य संख्या है। यदि आर्किटेक्ट जीतता है, तो गहराई अनंत है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है (शोध पत्र के अनुसार)

यह शोध पत्र इस अमूर्त गणित को कंप्यूटर विज्ञान, विशेष रूप से प्रोग्राम वेरिफिकेशन (Program Verification) और मॉडल चेकिंग (Model Checking) से जोड़ता है।

संदर्भ: कंप्यूटर वैज्ञानिक यह जाँचने के लिए तर्क (logic) का उपयोग करते हैं कि क्या कंप्यूटर प्रोग्राम सही ढंग से काम करते हैं। कभी-कभी, उन्हें यह सिद्ध करने की आवश्यकता होती है कि एक प्रक्रिया अंततः रुक जाएगी (terminate)।
संबंध: वेल-फाउंडेड सेट की "गहराई" इस बात का माप है कि एक कंप्यूटर प्रोग्राम रुकने से पहले कितनी देर तक चल सकता है।
परिणाम: शोध पत्र सिद्ध करता है कि एक विशिष्ट प्रकार के लॉजिक फॉर्मूला के लिए, "रुकने का समय" (या जटिलता) या तो एक विशिष्ट संख्या द्वारा सीमित है या असीमित है। कोई "अजीब मध्य क्षेत्र" नहीं है जहाँ यह हमेशा बहुत बड़ा हो लेकिन कभी अनंत न हो।

उन्होंने इसे फिक्स्ड-पॉइंट लॉजिक (Fixed-Point Logic) (लूप्स को वर्णित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक उपकरण) पर भी लागू किया है। वे एक लंबे समय से चले आ रहे प्रश्न का उत्तर देते हैं: क्या किसी प्रोग्राम के लूप को एक विशिष्ट सीमा (जैसे $\omega^2$ ) से बड़े "गणनीय" (countable) चरणों की आवश्यकता हो सकती है? उनका उत्तर है नहीं। यह या तो चरणों की एक प्रबंधनीय संख्या है, या यह एक अनकौंटेबल इन्फिनिटी (uncountable infinity) है।

उन्होंने क्या दावा नहीं किया

यह महत्वपूर्ण है कि आप सख्ती से वही रखें जो शोध पत्र कहता है:

उन्होंने यह दावा नहीं किया कि यह सभी कंप्यूटर बग्स को हल करता है।
उन्होंने यह दावा नहीं किया कि यह सभी प्रकार के लॉजिक पर लागू होता है (केवल बाइनरी ट्री पर MSO और $\mu$ -calculus के विशिष्ट हिस्सों पर)।
उन्होंने यह दावा नहीं किया कि हम हर मामले के लिए सटीक संख्या आसानी से निकाल सकते हैं (हालाँकि वे यह तय कर सकते हैं कि यह परिमित है या अनंत, और यदि परिमित है, तो वे एक सीमा/बाउंड पा सकते हैं)।
उन्होंने इसे चिकित्सा निदान, जलवायु मॉडल या वित्तीय बाजारों पर लागू नहीं किया। इसका अनुप्रयोग विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान और गणितीय तर्क तक सीमित है।

सारांश

इस शोध पत्र को तार्किक पहेलियों के लिए भौतिकी के एक नियम की खोज के रूप में समझें। यह कहता है: "यदि आप किसी संरचना की गहराई के बारे में तार्किक प्रश्न पूछते हैं, तो उत्तर या तो 'यह एक विशिष्ट, प्रबंधनीय संख्या है' या 'यह अनंत रूप से जटिल है।' ऐसा कोई विकल्प नहीं है कि 'यह एक बहुत बड़ी संख्या है जिसे हम ठीक से पकड़ नहीं सकते।' और सबसे अच्छी बात यह है कि हमारे पास यह बताने का एक तरीका है कि यह दोनों में से कौन सा है।"

तकनीकी सारांश: MSO में ऑर्डिनल रैंक के लिए एक द्विशाखीय प्रमेय (Dichotomy Theorem)

1. समस्या का निरूपण (Problem Formulation)

यह शोध पत्र पूर्ण अनंत बाइनरी ट्री (infinite binary tree) पर मोनैडिक सेकंड-ऑर्डर (MSO) लॉजिक की अभिव्यंजक शक्ति की जांच करता है, विशेष रूप से अस्तित्व संबंधी परिमाणीकरण (existential quantification) के साक्ष्य (witnesses) के रूप में कार्य करने वाले सुव्यवस्थित समुच्चयों (well-founded sets) की जटिलता के संबंध में।

एक सूत्र $\exists X. \varphi(\vec{Y}, X)$ पर विचार करें जहाँ $\varphi$ एक मनमाना MSO सूत्र है। लेखक यह मान लेते हैं कि जब भी सूत्र $\vec{Y}$ के एक मूल्यांकन (valuation) के लिए संतुष्ट होता है, तो साक्ष्य देने वाला सेट $X$ सुव्यवस्थित (well-founded) होता है (अर्थात, इसमें ट्री के वंशज क्रम (descendant order) के संबंध में कोई अनंत अधोमुखी श्रृंखला (infinite descending chains) नहीं होती है)। ऐसे सेट $X$ के लिए, एक गणनीय ऑर्डिनल रैंक (rank), जिसे $\text{rank}(X)$ द्वारा दर्शाया जाता है, सुव्यवस्थित होता है, जो सेट की गहराई और शाखा संरचना को मापता है।

इन रैंकों के लिए क्लोजर ऑर्डिनल (closure ordinal) (या न्यूनतम ऊपरी सीमा) को निर्धारित करना मुख्य समस्या है। मान लें कि $\text{rank}(\varphi)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$\text{rank}(\varphi) \stackrel{\text{def}}{=} \sup_{\vec{Y}} \min_{X} \text{rank}(X)$
जहाँ सुप्रीमम (supremum) सभी $\vec{Y}$ के ऊपर लिया गया है जो सूत्र को संतुष्ट करते हैं, और मिनिममम (minimum) सभी साक्ष्य सेट $X$ के ऊपर लिया गया है। चूंकि गणनीय ऑर्डिनल्स का सुप्रीमम $\omega_1$ (प्रथम अगणनीय ऑर्डिनल) से अधिक नहीं हो सकता, इसलिए प्रश्न यह है: $\text{rank}(\varphi)$ का सटीक मान क्या है?

पिछले कार्यों ने स्थापित किया था कि किसी भी प्राकृतिक संख्याओं के जोड़े $(k, l)$ के लिए, एक ऐसा सूत्र बनाया जा सकता है जिसका $\text{rank}(\varphi) = \omega \cdot k + l$ हो। हालांकि, यह अज्ञात था कि क्या अन्य ऑर्डिनल्स (विशेष रूप से वे जो $\omega^2$ से बड़े लेकिन $\omega_1$ से छोटे हैं) MSO सूत्रों के लिए क्लोजर ऑर्डिनल्स के रूप में साकार किए जा सकते हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक इन रैंकों को अभिलक्षणित (characterize) करने के लिए ऑटोमेटा थ्योरी के साथ मिलकर एक गेम-थ्योरेटिक दृष्टिकोण (game-theoretic approach) का उपयोग करते हैं।

ऑटोमेटा प्रतिनिधित्व (Automata Representation): सीधे MSO सूत्रों के साथ काम करने के बजाय, लेखक गैर-निश्चयात्मक पैरिटी ट्री ऑटोमेटा (Rabin's Theorem) और MSO के बीच समानता का उपयोग करते हैं। वे एक प्रूनड ऑटोमेटा (pruned automaton) द्वारा पहचाने जाने वाले रेगुलर रिलेशन $\Gamma \subseteq \text{Tr}_A \times \text{WF}$ (जहाँ $\text{WF}$ सुव्यवस्थित पेड़ों का सेट है) को परिभाषित करते हैं।
परिमित रैंक (Refined Ranks): प्रमाण को सुगम बनाने के लिए, लेखक दो सहायक रैंक, $\text{rank}_R$ (लेयर्ड डेप्थ/layered depth) और $\text{rank}_T$ (ट्रंक डेप्थ/trunk depth) पेश करते हैं, जो मानक $\text{rank}(x)$ से निकटता से संबंधित हैं। महत्वपूर्ण रूप से, वे स्थापित करते हैं कि $\text{rank}_R(\Gamma) \le \text{rank}(\Gamma) \le \omega \cdot \text{rank}_R(\Gamma)$ । यह उन्हें $\text{rank}_R$ की गणना करने पर ध्यान केंद्रित करने की अनुमति देता है, जो MSO परिभाषितता के संदर्भ में अधिक सुदृढ़ (robust) व्यवहार करता है।
द्विशाखी खेल (The Dichotomy Game - $G^N_A$ ): कार्यप्रणाली का मूल तत्व एक दो-खिलाड़ी वाला खेल, $G^N_A$ $G_{A}^{N}$ है, जो ऑटोमेटा के स्टेट स्पेस पर खेला जाता है। यह खेल एक प्राकृतिक संख्या $N$ $N$ (या $\infty$ $\infty$ ) द्वारा पैरामीटराइज्ड है।
- खिलाड़ी: $\exists$ (Eloise) एक ऐसा पेड़ बनाने का प्रयास करती है जिसे उच्च रैंक वाले साक्ष्यों की आवश्यकता हो, जबकि $\forall$ (Abelard) यह दिखाने का प्रयास करता है कि कम रैंक वाले साक्ष्य पर्याप्त हैं।
- मैकेनिक्स: खेल में ट्रांजिशन, दिशाएं, और "सेलेक्टर्स" (selectors) का चयन शामिल है जो उच्च रैंक का प्रतिनिधित्व करने वाले "कॉम्ब्स" (combs) की संभावित नेस्टिंग को ट्रैक करते हैं। खेल दो पक्षों, R (रीच/reach) और T (ट्रंक/trunk) को ट्रैक करता है, ताकि ऑर्डिनल रैंक को परिभाषित करने के लिए उपयोग की जाने वाली डेरिवेटिव प्रक्रिया को मॉडल किया जा सके।
- जीत की शर्तें (Winning Conditions): जीतने की शर्तें $\omega$ -रेगुलर हैं। $\exists$ तब जीतती है यदि वह एक ऐसा पथ मजबूर कर सके जो $N$ बार (फाइनाइट $N$ के लिए) या अनंत बार ( $N=\infty$ के लिए) R से T में बदलता है, या यदि खेल में अपर्याप्त ब्रांचिंग के साथ रिजेक्टिंग पाथ शामिल हैं। $\forall$ तब जीतता है यदि वह इन शर्तों को रोकने में सक्षम होता है।
रणनीति विश्लेषण (Strategy Analysis): लेखक सिद्ध करते हैं कि खेल निर्धारित (determined) है (Büchi-Landweber प्रमेय द्वारा) और $G^\infty_A$ में $\exists$ के लिए जीतने वाली रणनीति का अस्तित्व ठीक उसी के अनुरूप है जैसे $\text{rank}_R(\Gamma) = \omega_1$ हो, जबकि $\forall$ के लिए जीतने वाली रणनीति का अर्थ है $\text{rank}_R(\Gamma) < \omega$ ।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

मुख्य द्विशाखी प्रमेय (Main Dichotomy Theorem - Theorem 1.1):
किसी भी MSO सूत्र $\exists X. \varphi(\vec{Y}, X)$ के लिए, जहाँ $X$ सुव्यवस्थित है, ऑर्डिनल $\text{rank}(\varphi)$ एक सख्त द्विशाखी (strict dichotomy) को संतुष्ट करता है:

सख्ती से छोटा (Strictly Small): $\text{rank}(\varphi) < \omega^2$ । इस स्थिति में, एक गणनीय प्राकृतिक संख्या $N$ मौजूद है जिससे $\text{rank}(\varphi) < \omega \cdot N$ ।
अधिकतम (Maximal): $\text{rank}(\varphi) = \omega_1$ ।

इसके अलावा, यह निर्णायक (decidable) है कि दिए गए सूत्र के लिए इनमें से कौन सा मामला लागू होता है।

परिभाषा परिणाम (Definability Results - Section 9):
शोध पत्र इस बात की जांच करता है कि क्या गुण " $\text{rank}(X) \le \eta$ " MSO में अभिव्यक्त योग्य है।

$\eta < \omega$ के लिए, $\text{rank} \le \eta$ वाले पेड़ों की भाषा रेगुलर (MSO-definable) है।
$\eta \ge \omega$ के लिए, भाषा रेगुलर नहीं है। फलस्वरूप, $\eta \ge \omega$ के लिए प्रेडिकेट $\text{rank}(X) \le \eta$ को सीधे MSO में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
हालांकि, द्विशाखी प्रमेय यह संकेत देती है कि हालांकि MSO बड़े विशिष्ट रैंकों को परिभाषित नहीं कर सकता, लेकिन यह अप्रत्यक्ष रूप से यह तय कर सकता है कि रैंक $\omega^2$ से कम है या अनबाउंडेड (अनिश्चित) है (जो $\omega_1$ तक पहुँचता है)।

$\mu$ -Calculus पर अनुप्रयोग (Application to $\mu$ -Calculus - Section 10):
लेखक $\mu$ -calculus में फिक्स्ड-पॉइंट सूत्रों के क्लोजर ऑर्डिनल्स पर अपने परिणामों को लागू करते हैं।

वे Czarnecki द्वारा पूछे गए प्रश्न को संबोधित करते हैं कि क्या एक $\mu$ -calculus सूत्र का क्लोजर ऑर्डिनल $\omega^2$ से अधिक गणनीय हो सकता है।
बाइनरी ट्री पर $\mu$ -calculus से MSO में रिडक्शन का उपयोग करते हुए, वे सिद्ध करते हैं कि वेक्टरियल फिक्स्ड पॉइंट्स (जहाँ वेरिएबल्स अन्य फिक्स्ड-पॉइंट ऑपरेटर्स के स्कोप में नहीं आते हैं) के लिए, क्लोजर ऑर्डिनल या तो $< \omega^2$ है या $\ge \omega_1$ है।
यह Afshari, Barlucchi, और Leigh द्वारा हाल ही में स्थापित परिणाम के लिए एक वैकल्पिक प्रमाण और निर्णय प्रक्रिया प्रदान करता है, जिसमें निर्णय क्षमता (decidability) और किसी भी (केवल गणनीय नहीं) मॉडल पर लागू होने की अतिरिक्त विशेषता है।

4. महत्व और दावे (Significance and Claims)

शोध पत्र का दावा है कि इसका प्राथमिक योगदान MSO में सुव्यवस्थित साक्ष्यों के ऑर्डिनल रैंक के लिए एक निर्णायक द्विशाखी (decidable dichotomy) स्थापित करना है।

सैद्धांतिक प्रभाव (Theoretical Impact): यह प्रश्न को हल करता है कि कौन से ऑर्डिनल्स MSO में क्लोजर ऑर्डिनल्स के रूप में दिखाई दे सकते हैं, यह दिखाते हुए कि उनका स्पेक्ट्रम "गैप्ड" (gapped) है: कोई भी ऑर्डिनल $\omega^2$ और $\omega_1$ के बीच प्राप्त नहीं किया जा सकता। प्राप्त करने योग्य रैंकों का सेट है $\{ \alpha \mid \alpha < \omega^2 \} \cup \{ \omega_1 \}$ ।
निर्णय क्षमता (Decidability): MSO विस्तार की कई समस्याओं के विपरीत, लेखक दिखाते हैं कि यह निर्धारित करना कि रैंक $\omega^2$ से कम है या नहीं, निर्णायक (decidable) है।
$\text{rank}_R$ की सुदृढ़ता (Robustness of $\text{rank}_R$ ): शोध पत्र इस बात पर जोर देता है कि मानक रैंक की तुलना में "लेयर्ड डेप्थ" रैंक ( $\text{rank}_R$ ) MSO परिभाषितता के लिए अधिक सुदृढ़ माप है, क्योंकि यह $\omega$ तक के सटीक मानों की गणना करने की अनुमति देता है, जबकि मानक रैंक बहुत पहले ही अनिर्धार्य (undefinable) हो जाता है।
सीमाएँ (Limitations): लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि हालांकि वे यह तय कर सकते हैं कि रैंक $< \omega^2$ है या $= \omega_1$ , मानक रैंक के लिए सटीक मान (यदि वह $< \omega^2$ है) की गणना करना अभी भी एक खुला प्रश्न है, हालांकि $\text{rank}_R$ के लिए यह गणनीय है। वे यह भी स्पष्ट करते हैं कि $\mu$ -calculus के लिए उनका परिणाम एक विशिष्ट खंड (जहाँ वेरिएबल्स फिक्स्ड-पॉइंट ऑपरेटर्स के स्कोप में नहीं होते) के लिए लागू होता है और फिक्स्ड-पॉइंट इटरेशन में अंतर्निहित मॉनोटोनिसिटी बाधाओं के कारण तुरंत सामान्य MSO क्षेत्र में स्थानांतरित नहीं होता है।

संक्षेप में, शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि हालांकि MSO किसी भी बड़े ऑर्डिनल रैंक को स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं कर सकता है, लेकिन इसमें "छोटे" रैंकों (जो $\omega^2$ द्वारा सीमित हैं) और "अधिकतम" रैंकों ( $\omega_1$ ) के बीच अंतर करने की पर्याप्त अप्रत्यक्ष शक्ति है, और यह अंतर प्रभावी रूप से निर्णायक है।