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Novel possible symmetries of $S$ -matrix generated by $\mathbb{Z}_2^n$ -graded Lie superalgebras

यह शोध पत्र $S$ -मैट्रिक्स के लिए नवीन सममिति जनित्रों (symmetry generators) के रूप में $\mathbb{Z}_2^n$ -श्रेणीबद्ध (graded) ली (सुपर) बीजगणितों का प्रस्ताव करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि ऐसी संरचनाएँ सुपरसिमेट्रिक बीजगणित का विस्तार कर सकती हैं और आंतरिक सममितियों के रूप में कार्य कर सकती हैं, जिससे वे कोलमैन-मांडूला और हेग-लोपुज़ांस्की-सोन हिस नो-गो (no-go) प्रमेयों के स्वाभाविक सामान्यीकरण प्रदान करती हैं।

मूल लेखक: Ren Ito, Akio Nago

प्रकाशित 2026-09-16

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ren Ito, Akio Nago

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

आधुनिक भौतिकी के विशाल परिदृश्य में, ब्रह्मांड के सबसे मौलिक कणों के व्यवहार का वर्णन अक्सर समरूपता (symmetry) के लेंस के माध्यम से किया जाता है। कल्पना कीजिए कि प्रकृति के नियम नियमों का एक ऐसा सेट हैं जो अपरिवर्तित रहते हैं, भले ही आप अपना दृष्टिकोण बदलें, अपना दृश्य घुमाएँ, या एक कण को उसी प्रकार के दूसरे कण से बदल दें। दशकों तक, भौतिकविदों ने इन समरूपताओं को सूचीबद्ध करने के लिए एक विशिष्ट गणितीय ढांचे पर भरोसा किया है, जिसे ली बीजगणित (Lie algebras) के रूप में जाना जाता है। इस ढांचे ने सफलतापूर्वक समझाया कि कैसे कण परस्पर क्रिया करते हैं और कैसे विद्युत चुंबकत्व और प्रबल नाभिकीय बल जैसी शक्तियां कार्य करती हैं। हालाँकि, 1960 और 70 के दशक के एक प्रसिद्ध नियमों के सेट ने, जिन्हें कोलमैन-मंदुला और हेग-लोपुलांस्की-सोहन प्रमेयपन (Coleman-Mandula and Haag-Lopuszański-Sohnius theorems) के रूप में जाना जाता है, यह निर्धारित किया कि ये समरूपताएं क्या हो सकती हैं, इस पर एक सख्त सीमा लगा दी थी। ये प्रमेय अनिवार्य रूप से यह कहते थे कि एक सापेक्षतावादी ब्रह्मांड में, केवल परिचित समरूपताएं ही संभव थीं जो स्थान और समय को नियंत्रित करती हैं, साथ ही कुछ आंतरिक नियम भी जो उनके साथ मिश्रित नहीं होते थे। इन विभिन्न प्रकार के नियमों को एक ही, बड़े ढांचे में एकीकृत करने का कोई भी प्रयास वर्जित था, जब तक कि इसमें सुपरसिमेट्री (supersymmetry) नामक एक बहुत ही विशिष्ट प्रकार का विस्तार पेश न किया जाए, जो अलग-अलग गुणों वाले कणों को जोड़ता है।

लंबे समय तक, ऐसा प्रतीत होता था कि ये नियम इस बात का अंतिम शब्द थे कि प्रकृति को कैसे व्यवस्थित किया जा सकता है। लेकिन, हाल ही में एक अध्ययन में, ओसाका मेट्रोपॉलिटन यूनिवर्सिटी के शोधकर्ताओं रेन इतो और अकीओ नागो ने एक नया द्वार खोलकर यह सवाल उठाया कि क्या होता है यदि हम पारंपरिक गणितीय बॉक्स से बाहर कदम रखें। उन्होंने $\mathbb{Z}_n^2$ -ग्रैडेड ली सुपरअलजेब्रा (graded Lie superalgebra) नामक एक अधिक जटिल गणितीय संरचना की खोज की। हालांकि यह नाम तकनीकी है, लेकिन अवधारणा मानक भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले नियमों का एक सामान्यीकरण है। मानक दृष्टिकोण में, कण या तो बोसोन (bosons) होते हैं, जो एक ही अवस्था साझा कर सकते हैं, या फर्मियॉन (fermions) होते हैं, जो नहीं कर सकते। नया गणितीय ढांचा एक अधिक जटिल ग्रेडिंग प्रणाली की अनुमति देता है जहाँ कणों को कई अधिक श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है, जिससे संभावित अंतःक्रियाओं का एक समृद्ध ताना-बाना बनता है। शोधकर्ता यह जानना चाहते थे कि क्या ये विलक्षण गणितीय संरचनाएं वास्तव में स्कैटरिंग मैट्रिक्स (scattering matrix) के लिए वैध समरूपताएं बन सकती हैं, जो कि वह उपकरण है जिसका उपयोग भौतिकविद कणों के टकराव के परिणामों की गणना करने के लिए करते हैं।

टीम ने उन स्थापित प्रमेयों को फिर से देखने से शुरुआत की जिन्होंने पहले ऐसे विचारों को बाधित किया था। उन्होंने उस तर्क की सावधानीपूर्वक जांच की जो इस निष्कर्ष की ओर ले गया कि केवल मानक समरूपताएं ही संभव थीं। अपने नए, अधिक जटिल गणितीय संरचनाओं को लागू करते हुए, उन्होंने पाया कि पुराने प्रतिबंध अनिवार्य रूप से लागू नहीं होते हैं। एक मृत अंत खोजने के बजाय, उन्हें आगे बढ़ने का रास्ता मिला। उन्होंने प्रदर्शित किया कि ये बीजगणित वास्तव में स्कैटरिंग मैट्रिक्स के लिए वैध समरूपताएं उत्पन्न कर सकते हैं। विशेष रूप से, उन्होंने दिखाया कि एक सुपरसिमेट्रिक बीजगणित को इस तरह विस्तारित किया जा सकता है जिसमें ये नई ग्रैडेड संरचनाएं शामिल हों। इसका अर्थ यह है कि ब्रह्मांड सैद्धांतिक रूप से एक ऐसी समरूपता रख सकता है जो पहले की तुलना में कहीं अधिक विस्तृत है, जिसमें न केवल मानक बोसोन और फर्मियॉन शामिल हैं, बल्कि "विलक्षण" बोसोन और "कम्यूटिंग" फर्मियॉन भी शामिल हैं जो मानक मॉडलों में देखे गए व्यवहार से भिन्न तरीके से व्यवहार करते हैं।

शोधकर्ताओं ने पाया कि इन नई समरूपताओं के अपने अनूठे नियमों का सेट है। इस विस्तारित ढांचे में, आंतरिक समरूपताएं जो कणों के गुणों को नियंत्रित करती हैं, वे केवल सरल, स्थिर नियम नहीं हैं। इसके बजाय, वे एक ग्रैडेड ली बीजगणित द्वारा उत्पन्न होती हैं, एक ऐसी संरचना जो विभिन्न प्रकार के कणों के बीच अधिक गतिशील और परस्पर जुड़े संबंधों की अनुमति देती है। अध्ययन ने सिद्ध किया कि द्रव्यमान वाले कणों (massive particles) के लिए, यह नया प्रकार की समरूपता गणितीय रूप से सुसंगत और अद्वितीय है। यह एक विशिष्ट प्रकार का "सेंट्रल चार्ज" (central charge) पेश करता है, जो एक संरक्षित मात्रा है जो समरूपता के विभिन्न भागों के बीच एक सेतु के रूप में कार्य करता है, यह सुनिश्चित करता है कि पूरा सिस्टम बिना किसी विरोधाभास के बना रहे। यह परिणाम महत्वपूर्ण है क्योंकि यह सुझाव देता है कि अतीत के प्रसिद्ध 'नो-गो' (no-go) प्रमेयों द्वारा लगाए गए प्रतिबंध इस धारणा पर आधारित थे कि केवल मानक ली बीजगणित ही संभव थे। एक बार जब इस धारणा को शिथिल कर दिया जाता है, तो संभावनाओं की एक पूरी नई दुनिया उभर आती है।

शायद उनकी खोजों का सबसे आश्चर्यजनक पहलू स्वयं आंतरिक समरूपताओं की प्रकृति है। मानक भौतिकी में, इन आंतरिक नियमों को अक्सर सरल, अपरिवर्तित समूहों द्वारा वर्णित किया जाता है। इतो और नागो द्वारा प्रस्तावित नए ढांचे में, ये आंतरिक समरूपताएं एक ग्रैडेड ली बीजगणित द्वारा उत्पन्न होती हैं। इसका तात्पर्य यह है कि कणों को जोड़ने वाली शक्तियां एक अधिक जटिल, स्तरित संरचना द्वारा शासित हो सकती हैं। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि यह नया बीजगणिक ढांचा एक अन्य ज्ञात विस्तारित बीजगणित के आइसोमोर्फिक (isomorphic), या गणितीय रूप से समकक्ष है, जो इसकी वैधता की पुष्टि करता है। उन्होंने यह भी नोट किया कि यदि कोई इस पर आधारित भौतिक सिद्धांत बनाता है, तो यह नए प्रकार के गेज फील्ड्स (gauge fields) की अनुमति देगा, जो बलों के गणितीय विवरण हैं। यह गुरुत्वाकर्षण या अन्य बलों के निर्माण के द्वार खोलता है जो इन नए, अधिक लचीले नियमों के तहत संचालित होते हैं।

यह अध्ययन द्रव्यमान वाले कणों (massive particles) पर ध्यान केंद्रित करके किया गया था, जो वे कण हैं जिनका द्रव्यमान होता है और जो प्रकाश की गति से धीमी गति से चलते हैं। लेखकों ने स्वीकार किया कि फोटॉन जैसे द्रव्यमान रहित कणों के लिए स्थिति अलग हो सकती है, जहाँ स्पेसटाइम की आकृति से संबंधित अतिरिक्त समरूपताएं काम में आ सकती हैं। हालाँकि, हमारे ब्रह्मांड में पदार्थ के मुख्य भाग बनाने वाले द्रव्यमान वाले कणों के लिए, परिणाम स्पष्ट हैं। यह शोध स्थापित करता है कि ये नवीन समरूपताएं केवल गणितीय जिज्ञासाएं नहीं हैं, बल्कि प्रकृति के मौलिक नियमों के लिए व्यवहार्य उम्मीदवार हैं। शोधकर्ताओं ने यह दावा नहीं किया है कि उन्होंने प्रयोगशाला में कोई नया कण या नई शक्ति खोजी है; बल्कि, उन्होंने यह सिद्ध किया है कि ऐसे ब्रह्मांड का वर्णन करने के लिए आवश्यक गणितीय ढांचा सुदृढ़ और सुसंगत है।

यह कार्य बीसवीं सदी के महान प्रमेयों का एक स्वाभाविक विस्तार है। जिस प्रकार पहले के प्रमेयों ने संभावनाओं को नियमों के एक विशिष्ट सेट तक सीमित कर दिया था, यह नया शोध एक व्यापक वर्ग की संभावनाओं को शामिल करने के लिए क्षितिज का विस्तार करता है। यह सुझाव देता है कि ब्रह्मांड अपने संगठन में हमारी पिछली धारणा से कहीं अधिक लचीला हो सकता है। निष्कर्ष भविष्य के कार्यों के लिए एक ठोस आधार प्रदान करते हैं, जैसे कि इन नए बीजगणितों पर आधारित कण अंतःक्रियाओं या गेज सिद्धांतों के विशिष्ट मॉडल बनाना। यह प्रदर्शित करके कि ये संरचनाएं सापेक्षतावादी क्वांटम फील्ड थ्योरी के नियमों के भीतर अस्तित्व में रह सकती हैं, इतो और नागो ने भौतिकविदों को ब्रह्मांड के गहरे रहस्यों का पता लगाने के लिए एक नया टूलकिट प्रदान किया है, जिससे यह सिद्ध होता है कि समरूपता की कहानी अभी समाप्त नहीं हुई है।

तकनीकी सारांश: $\mathbb{Z}_2^n$ -ग्रेडेड ली सुपरएल्जेब्रा द्वारा जनित S-मैट्रिक्स के नवीन संभावित सममिति (Symmetries)

समस्या विवरण
सापेक्षतावादी क्वांटम फील्ड थ्योरी (QFT) में सममितिओं के वर्गीकरण को ऐतिहासिक रूप से कोलमैन-मैंडुला प्रमेय और उसके विस्तार, हेग-लोपुज़ांस्की-सोहनस (HLS) प्रमेय द्वारा बाधित किया गया है। कोलमैन-मैंडुला प्रमेय स्थापित करता है कि द्रव्यमान वाले कणों के लिए, केवल संभव सममितियाँ ली-एल्जेब्रा (Lie algebras) द्वारा जनित पोइन्केयर सममिति और उसके साथ क्रमविनिमेय (commute) करने वाली आंतरिक सममितियाँ हैं, जो स्पेसटाइम और आंतरिक सममितिओं के एकीकरण को वर्जित करती हैं। HLS प्रमेय ने ली सुपरएल्जेब्रा (Lie superalgebras) के लिए बीजगणितीय ढांचे का उपयोग करके इसे शिथिल किया, जिससे फर्मियोनिक जनरेटरों की अनुमति मिली और सुपरसिमेट्री को पोइन्केयर सममिति के अद्वितीय विस्तार के रूप में पहचाना गया।

हालाँकि, ये प्रमेय इस धारणा पर आधारित हैं कि सममिति जनरेटर ली-एल्जेब्रा (या $n=1$ के लिए ली सुपरएल्जेब्रा) बनाते हैं। यह शोध इस प्रश्न को संबोधित करता है कि क्या $\mathbb{Z}_2^n$ -ग्रेडेड ली (सुपर)एल्जेब्रा—जो $\mathbb{Z}_2^n = \mathbb{Z}_2 \times \cdots \times \mathbb{Z}_2$ ( $n$ बार) द्वारा ग्रेडेड हैं—सापेक्षतावादी QFT और S-मैट्रिक्स के लिए वैध जनरेटर के रूप में कार्य कर सकते हैं। जबकि इन एल्जेब्रा का गैर-सापेक्षतावादी संदर्भों और विशिष्ट मॉडलों (जैसे, डी सिटर SUGRA, पैरास्टेटिस्टिक्स) में अध्ययन किया गया है, $(1+3)$ -आयामी सापेक्षतावादी QFT और S-मैट्रिक्स में उनके अनुप्रयोग पर पहले विचार नहीं किया गया था।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक कोलमैन-मैंडुला और HLS प्रमेयों के प्रमाणों में प्रयुक्त कठोर दृष्टिकोण को अपनाते हैं, जिसे $\mathbb{Z}_2^n$ -ग्रेडेड ली (सुपर)एल्जेब्रा (LSA) के ढांचे पर लागू किया जाता है। कार्यप्रणाली में शामिल है:

बीजगणितीय परिभाषा: $\mathbb{Z}_2^n$ -ग्रेडेड वेक्टर स्पेस $\mathfrak{g} = \bigoplus_{\vec{a} \in \mathbb{Z}_2^n} \mathfrak{g}_{\vec{a}}$ और $\mathbb{Z}_2^n$ -ली ब्रैकेट $\{A, B\} = AB - (-1)^{\vec{a} \cdot \vec{b}} BA$ को परिभाषित करना, जहाँ $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ग्रेडिंग वेक्टर्स का अदिश गुणन (scalar product) है।
उप-एल्जेब्रा विश्लेषण: ग्रेडिंग वेक्टर्स की पैरिटी (parity) के आधार पर पूर्ण एल्जेब्रा को उप-एल्जेब्रा में विभाजित करना। विशेष रूप से, किसी भी $\vec{b}$ के लिए, $\mathfrak{h}_{\vec{b}} = \mathfrak{g}_{\vec{0}} \oplus \mathfrak{g}_{\vec{b}}$ सब्सपेस का विश्लेषण किया जाता है। यदि $\vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \pmod 2$ , तो $\mathfrak{h}_{\vec{b}}$ एक साधारण ली-एल्जेब्रा बनाता है; यदि $\vec{b} \cdot \vec{b} = 1 \pmod 2$ , तो यह एक ली सुपरएल्जेब्रा बनाता है।
नो-गो (No-Go) प्रमेयों का अनुप्रयोग:
- "सम" (even) उप-एल्जेब्रा (ली-एल्जेब्रा) पर कोलमैन-मैंडुला प्रमेय को लागू किया जाता है ताकि अनुमत बोसोनिक जनरेटर निर्धारित किए जा सकें।
- "विषम" (odd) उप-एल्जेब्रा (ली सुपरएल्जेब्रा) पर HLS प्रमेय को लागू किया जाता है ताकि अनुमत फर्मियोनिक जनरेटर निर्धारित किए जा सकें।
जैकोबी पहचान (Jacobi Identity) प्रतिबंध: लेखक संरचना स्थिरांकों (structure constants) पर प्रतिबंध लगाने के लिए $\mathbb{Z}_2^n$ -ग्रेडेड जैकोबी पहचानों की व्यवस्थित गणना करते हैं। यह विभिन्न ग्रेडिंगों के बीच जनरेटरों के बीच अनुमत क्रमविनिमेय और प्रति-क्रमविनिमेय (anti-commutation) संबंधों को सुनिश्चित करता है और विस्तारित एल्जेब्रा की निरंतरता निर्धारित करता है।
आंतरिक सममिति विश्लेषण: उन जनरेटरों की संरचना की जांच करना जो पोइन्केयर जनरेटरों के साथ क्रमविनिमेय (commute) होते हैं, विशेष रूप से यह देखते हुए कि क्या आंतरिक सममिति क्षेत्र स्वयं एक $\mathbb{Z}_2^n$ -ग्रेडेड ली एल्जेब्रा बना सकता है।

मुख्य योगदान और परिणाम

$\mathbb{Z}_2^n$ -ग्रेडेड सुपरसिमेट्री का अस्तित्व:
लेख यह प्रदर्शित करता है कि एक $\mathbb{Z}_2^n$ -ग्रेडेड सुपरसिमेट्रिक विस्तार द्रव्यमान वाले कणों के लिए S-मैट्रिक्स का एक वैध सममिति है।
- $n=2$ $n = 2$ ( $\mathbb{Z}_2^2$ $Z_{2}^{2}$ -ग्रेडिंग) के विशिष्ट मामले के लिए, एल्जेब्रा में चार प्रकार के जनरेटर होते हैं:
  - $(0,0)$ -ग्रेडेड: साधारण बोसोनिक जनरेटर (पोइन्केयर $P_\mu, M_{\mu\nu}$ और आंतरिक सममितियाँ $B^{(0,0)}_l$ )।
  - $(1,1)$ -ग्रेडेड: "विदेशी" (exotic) बोसोनिक जनरेटर ( $B^{(1,1)}_l$ )।
  - $(0,1)$ और $(1,0)$ -ग्रेडेड: फर्मियोनिक जनरेटर (सुपरचार्ज $Q^{(0,1)}$ और $Q^{(1,0)}$ )।
- एल्जेब्रा संबंधी संबंध फर्मियोनिक जनरेटरों के बीच मानक प्रति-क्रमविनिमेय संबंधों को शामिल करते हैं जो मोमेंटम और सेंट्रल चार्जेस उत्पन्न करते हैं, साथ ही विभिन्न ग्रेडिंगों के बीच फर्मियोनिक जनरेटरों के बीच नए क्रमविनिमेय संबंध भी उत्पन्न करते हैं जो विदेशी बोसोनिक जनरेटरों को जन्म देते हैं।
- लेखक एक अद्वितीय $N=(K|L)$ $\mathbb{Z}_2^2$ -सुपरसिमेट्रिक एल्जेब्रा को परिभाषित करते हैं, जो ब्रूस द्वारा प्रस्तुत $N=2$ $\mathbb{Z}_2^2$ -सुपरसिमेट्रिक एल्जेब्रा का सामान्यीकरण है।
$\mathbb{Z}_2^n$ तक सामान्यीकरण:
परिणामों को अनिश्चित $n$ के लिए सामान्यीकृत किया गया है। यह शोध एक अद्वितीय $N=(K_1|K_2|\dots|K_{2^n-1})$ $\mathbb{Z}_2^n$ -सुपरसिमेट्रिक एल्जेब्रा के अस्तित्व को सिद्ध करता है। इस एल्जेब्रा में प्रत्येक विषम सब्सपेस $\mathfrak{g}_{\vec{f}}$ में सुपरचार्ज और प्रत्येक सम सब्सपेस $\mathfrak{g}_{\vec{b}}$ में गैर-तुच्छ सेंट्रल चार्जेस शामिल हैं।
$\mathbb{Z}_2^n$ -ग्रेडेड आंतरिक सममितियाँ:
एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष यह है कि S-मैट्रिक्स की आंतरिक सममितियाँ एक साधारण ली-एल्जेब्रा द्वारा जनित होने की आवश्यकता नहीं है। लेख सिद्ध करता है कि आंतरिक सममिति जनरेटरों का सेट $\{B_{\vec{b}}\}$ एक $(\mathbb{Z}_2^{2n+1})_{\text{ev}}$ -ग्रेडेड ली सुपरएल्जेब्रा बनाता है।
- लेखक इस $(\mathbb{Z}_2^{2n+1})_{\text{ev}}$ -ग्रेडेड LSA और रिटेनबर्ग और विलर द्वारा परिभाषित $\mathbb{Z}_2^{2n}$ -ग्रेडेड ली एल्जेब्रा के बीच एक आइसोमोर्फिज्म (isomorphism) स्थापित करते हैं।
- यह प्रमेय 4 की ओर ले जाता है: $\mathbb{Z}_2^n$ -ग्रेडेड ली एल्जेब्रा को S-मैट्रिक्स में आंतरिक सममितिओं के जनरेटर के रूप में अनुमत माना जा सकता है।

महत्व और दावे
लेख दावा करता है कि यह कोलमैन-मैंडुला और हेग-लोपुज़ांस्की-सोहनस प्रमेयों के एक स्वाभाविक विस्तार प्रदान करता है। साधारण ली-एल्जेब्रा और ली सुपरएल्जेब्रा से आगे बढ़कर $\mathbb{Z}_2^n$ -ग्रेडेड संरचनाओं का उपयोग करके, लेखक दिखाते हैं कि:

$\mathbb{Z}_2^n$ -ग्रेडेड सुपरसिमेट्रिक विस्तार सापेक्षतावादी QFT के भीतर गणितीय रूप से सुसंगत हैं।
आंतरिक सममितियाँ $\mathbb{Z}_2^n$ -ग्रेडेड ली एल्जेब्रा द्वारा जनित की जा सकती हैं, जो सापेक्षतावादी QFT में नए प्रकार की गेज सममितियों (gauge symmetries) की संभावना का सुझाव देती हैं जो मानक ली-एल्जेब्रा तक सीमित नहीं हैं।

लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि हालांकि उन्होंने इन सममितियों की एल्जेब्रिक संभावना को प्रदर्शित किया है, लेकिन सुपरचार्जों की विशिष्ट संख्या ( $N$ ) को केवल एल्जेब्रिक प्रतिबंधों से निर्धारित नहीं किया जा सकता है; इसे विशिष्ट मॉडल के भौतिक डिग्री ऑफ फ्रीडम द्वारा तय किया जाना चाहिए। वे इन सममितियों को भौतिक रूप से साकार करने के लिए एक विशिष्ट गेज फील्ड थ्योरी (जैसे, एक $\mathbb{Z}_2^2$ - $sl_2$ गेज थ्योरी) के निर्माण को एक आवश्यक भविष्य के कदम के रूप में पहचानते हैं। यह शोध विशेष रूप से द्रव्यमान वाले कणों पर केंद्रित है और नोट करता है कि कॉन्फॉर्मल जनरेटर्स वाले द्रव्यमान रहित (massless) मामलों में आगे की जांच का विषय खुला है।

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