🔬 mesoscale physics

$Z_2$ topological signature of the optical bound on maximal Berry curvature: Application to two-dimensional time-reversal symmetric insulators

यह शोध पत्र एक परिष्कृत ट्रेस-डिटर्मिनेंट असमानता (trace-determinant inequality) से व्युत्पन्न, दो-आयामी समय-व्युत्क्रम सममित (time-reversal symmetric) कुचालकों के लिए अधिकतम बेरी कर्वेचर (Berry curvature) पर एक ऑप्टिकल बाउंड प्रस्तावित करता है, जो आवृत्ति-एकीकृत ऑप्टिकल चालकता मापन के माध्यम से $Z_2$ टोपोलॉजिकल हस्ताक्षरों की पहचान और टोपोलॉजिकल चरण आरेखों के निर्माण को सक्षम बनाता है।

मूल लेखक: Pok Man Chiu

प्रकाशित 2026-08-11

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Pok Man Chiu

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कल्पना कीजिए कि सामग्रियों की दुनिया केवल निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली वस्तुओं के रूप में नहीं, बल्कि छिपे हुए, अदृश्य मानचित्रों वाले परिदृश्यों के रूप में है। क्वांटम भौतिकी के क्षेत्र में, कुछ सामग्रियां साधारण पहाड़ियों की तरह होती हैं, जबकि अन्य "टोपोलॉजिकल इंसुलेटर" (topological insulators) होती हैं—एक फैंसी नाम जो ऐसी सामग्रियों के लिए है जो अंदर से इंसुलेटर की तरह व्यवहार करती हैं लेकिन सतह पर बिजली के सुपरहाइवे की तरह विद्युत का संचालन करती हैं। लंबे समय तक, वैज्ञानिकों के पास उन विशेष सामग्रियों में इन विशेष राजमार्गों को मैप करने का एक आदर्श तरीका था जहाँ भौतिकी के नियम थोड़े टूट जाते हैं (जैसे जब टाइम-रिवर्सल सिमेट्री समाप्त हो जाती है)। उन्होंने "बेरी कर्वेचर" (Berry curvature) नामक एक उपकरण का उपयोग किया, जो एक चुंबकीय दिशा-सूचक सुई की तरह रास्ता दिखाता है। लेकिन यहाँ एक पहेली है: उन विशाल सामग्रियों के वर्ग में जहाँ समय सामान्य रूप से बहता है और समरूपता (symmetry) बनी रहती है, यह दिशा-सूचक सुई पूरी तरह से गायब हो जाती है। यह शून्य हो जाती है। तो, यदि आपका दिशा-सूचक टूट गया है, तो आप छिपे हुए राजमार्गों को कैसे खोजेंगे? आप केवल अंदर नहीं देख सकते; आपको सामग्री की आत्मा को बिना उसे तोड़े झाँकने का एक नया तरीका चाहिए।

यहीं से कहानी रोमांचक हो जाती है। वैज्ञानिक प्रकाश का उपयोग करके इन "अदृश्य" टोपोलॉजिकल विशेषताओं को पहचानने की कोशिश कर रहे हैं। यदि आप किसी सामग्री पर प्रकाश डालते हैं, तो वह विशिष्ट तरीकों से ऊर्जा को अवशोषित करता है। बड़ा सवाल यह था: क्या हम उस प्रकाश के पैटर्न को डिकोड कर सकते हैं जिससे यह पता चल सके कि सामग्री टोपोलॉजिकली विशेष है या नहीं, भले ही सामान्य चुंबकीय दिशा-सूचक (बेरी कर्वेचर) गायब हो? यह शोध पत्र उसी रहस्य को संबोधित करता है। यह एक नया "ऑप्टिकल बाउंड" (optical bound) प्रस्तावित करता है—एक नियम जो यह जोड़ता है कि एक सामग्री कितनी रोशनी अवशोषित करती है और "मैक्सिमल बेरी कर्वेचर" (Maximal Berry Curvature - MBC) नामक एक छिपे हुए ज्यामितीय गुण से। इसे एक नए प्रकार के जासूसी कार्य के रूप में सोचें: अपने खोए हुए दिशा-सूचक को खोजने के बजाय, हम मापते हैं कि प्रकाश के नीचे सामग्री कैसे "कंपन" (jiggles) करती है ताकि उसके गुप्त आकार को प्रकट किया जा सके।

लेखक, पोक मान चिउ (Pok Man Chiu), एक परिष्कृत गणितीय असमानता (एक सख्त नियम) का उपयोग करके एक चतुर तकनीक का सुझाव देते हैं जो "क्वांटम मेट्रिक" (इलेक्ट्रॉन कितने फैले हुए हैं इसका माप) को इस नए MBC के साथ जोड़ती है। मुख्य निष्कर्ष यह है कि विभिन्न आवृत्तियों (frequencies) पर ऑप्टिकल कंडक्टिविटी (प्रकाश के प्रहार से सामग्री कितनी अच्छी तरह बिजली संचालित करती है) को मापकर, हम "ऑप्टिकल वेट" (optical weight) नामक मान की गणना कर सकते हैं। यदि यह भार पर्याप्त बड़ा है और "बोरिंग" (साधारण) सामग्रियों में तेजी से घटता है, तो यह एक हस्ताक्षर के रूप में कार्य करता है। विशेष रूप से, यदि ऑप्टिकल वेट एक निश्चित सीमा (जो एज स्टेट्स की संख्या से संबंधित है) से ऊपर रहता है, तो यह सिद्ध करता है कि सामग्री टोपोलॉजिकली नॉन-ट्रिवियल (non-trivial) है। यह शोध पत्र तीन प्रसिद्ध मॉडलों: केन-मेले मॉडल (Kane-Mele model), एक मिरर-प्रोटेक्टेड इंसुलेटर और एक क्वाड्रुपोल इंसुलेटर पर सिमुलेशन के माध्यम से इसका प्रदर्शन करता है। इन सिमुलेशन में, विधि ने सफलतापूर्वक टोपोलॉजिकल और नॉन-टोपोलॉजिकल चरणों के बीच अंतर किया, यह दिखाते हुए कि ऑप्टिकल बाउंड $Z_2$ टोपोलॉजिकल सिग्नेचर को प्रकट कर सकता है, भले ही पारंपरिक बेरी कर्वेचर शून्य हो।

इसे समझने के लिए, आइए एक रूपक का उपयोग करें। कल्पना कीजिए कि आपके पास कंचों (marbles) का एक डिब्बा है। एक सामान्य डिब्बे में, कंचे बस बेतरतीब ढंग से बिखरे होते हैं। एक टोपोलॉजिकल डिब्बे में, कंचों को एक गुप्त, लॉक किए गए पैटर्न में व्यवस्थित किया जाता है जो उनमें से कुछ को बिल्कुल किनारे पर बैठने के लिए मजबूर करता है, जो ढक्कन खोलने पर बाहर लुढ़कने के लिए तैयार होते हैं। लंबे समय तक, यदि डिब्बा सममित (जैसे एक पूर्ण घन) था, तो "गुप्त पैटर्न" हमारी आँखों के लिए अदृश्य था; किनारे के कंचों को गिनने का सामान्य तरीका काम नहीं करता था। यह शोध पत्र कहता है, "रुको, हमें पैटर्न को सीधे देखने की ज़रूरत नहीं है। आइए डिब्बे को हिलाते हैं!" डिब्बे को हिलाकर (सामग्री पर प्रकाश डालकर) और यह सुनकर कि कंचे कैसे खड़खड़ाते हैं (ऑप्टिकल वेट को मापकर), हम जान सकते हैं कि क्या गुप्त पैटर्न मौजूद है। यदि खड़खड़ाहट तेज और विशिष्ट है, तो हम जानते हैं कि किनारे के कंचे बाहर निकलने के लिए तैयार हैं।

यह शोध पत्र इस कहानी में एक नया पात्र पेश करता है: "मैक्सिमल बेरी कर्वेचर" (MBC)। पुराने दिनों में, वैज्ञानिक बेरी कर्वेचर का उपयोग करते थे, जो इलेक्ट्रॉनों की गति से उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र की तरह है। लेकिन सममित सामग्रियों में, यह क्षेत्र खुद को शून्य में रद्द कर देता है। MBC देखने का एक नया तरीका है, लेकिन इसमें, सकारात्मक और नकारात्मक भागों को जोड़ने से पहले, लेखक "कंपन" के निरपेक्ष मान (absolute value) को लेते हैं। यह कमरे में होने वाली कुल हलचल को गिनने जैसा है, चाहे लोग ऊपर कूद रहे हों या नीचे। यह नया MBC सममित सामग्रियों में गायब नहीं होता है। यह पता चलता है कि यह MBC "ऑप्टिकल बाउंड" से मजबूती से जुड़ा हुआ है, जो एक सीमा है कि सामग्री कितनी रोशनी अवशोषित कर सकती है।

लेखक एक विशिष्ट परीक्षण का प्रस्ताव करते हैं: आवृत्तियों की एक श्रृंखला में प्रकाश अवशोषण को मापें और उन सभी को जोड़कर "ऑप्टिकल वेट" प्राप्त करें। उन्होंने पाया कि एक सख्त नियम (एक असमानता) है जो कहता है कि यह ऑप्टिकल वेट सामग्री की टोपोलॉजी से संबंधित संख्या से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। सिमुलेशन में, जब सामग्री टोपोलॉजिकल चरण में थी, तो ऑप्टिकल वेट उच्च था और एज स्टेट्स (सीमा अवस्थाओं) की संख्या से ऊपर रहा। जब सामग्री एक सामान्य, नॉन-टोपोलॉजिकल चरण में थी, तो ऑप्टिकल वेट तेजी से गिर गया। यह गिरावट महत्वपूर्ण है। यह एक लाइट स्विच की तरह है: टोपोलॉजिकल चरण में, प्रकाश चालू रहता है; ट्रिवियल चरण में, यह तेजी से बुझ जाता है। शोध पत्र दिखाता है कि एक "बैंड-इनवर्जन पैरामीटर" (एक नॉब जो सामग्री की आंतरिक संरचना को बदलता है) को ट्यून करके और ऑप्टिकल वेट में बदलाव को देखकर, आप पूरे टोपोलॉजिकल फेज डायग्राम को मैप कर सकते हैं।

यह शोध पत्र विभिन्न प्रकार की टोपोलॉजिकल सामग्रियों का भी अन्वेषण करता है। "केन-मेले मॉडल" (एक क्लासिक टोपोलॉजिकल इंसुलेटर) के लिए, पाया गया कि नॉन-ट्रिवियल चरण में ऑप्टिकल वेट दो से अधिक था, जो एज स्टेट्स की संख्या से मेल खाता है। एक "मिरर-प्रोटेक्टेड इंसुलेटर" के लिए, यह वजन बढ़कर चार हो गया। सबसे दिलचस्प बात यह है कि "क्वाड्रुपोल इंसुलेटर" (कॉर्नर स्टेट्स वाला एक हायर-ऑर्डर टोपोलॉजिकल इंसुलेटर) के लिए, मानक तरीका (कुबो फॉर्म) कभी-कभी पूरी तस्वीर दिखाने में विफल रहा क्योंकि समरूपता बहुत सटीक थी। हालाँकि, सिमुलेशन में मिरर सिमेट्री को थोड़ा तोड़ने से, टाइट टोपोलॉजिकल लोअर बाउंड फिर से प्रकट हो गया, जो साबित करता है कि यह विधि मजबूत है। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि हालांकि संक्रमण बिंदु के पास ट्रिवियल सामग्रियों में ऑप्टिकल वेट उच्च हो सकता है (एक ज्यामितीय प्रभाव), "ऑप्टिकल गैप" (इलेक्ट्रॉनों को उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा) को नियंत्रित करने से शोर से वास्तविक टोपोलॉजिकल सिग्नल को अलग करने में मदद मिलती है।

तो, निष्कर्ष क्या है? यह शोध पत्र केवल एक नया सिद्धांत ही नहीं सुझाता है; यह एक ठोस, मापने योग्य रेसिपी प्रदान करता है। यह तर्क देता है कि हमें अदृश्य दिशा-सूचक को जानने के लिए उसे देखने की आवश्यकता नहीं है। हमें बस प्रकाश डालना है, अवशोषण को सुनना है, और यह जांचना है कि क्या "ऑप्टिकल वेट" संरक्षित एज स्टेट्स के अस्तित्व को साबित करने के लिए पर्याप्त मजबूत है। लेखक अपने सिमुलेशन में आश्वस्त हैं, यह दिखाते हुए कि यह "ऑप्टिकल बाउंड" विभिन्न मॉडलों के लिए काम करता है और $Z_2$ टोपोलॉजिकल सिग्नेचर को प्रकट कर सकता है। वे सुझाव देते हैं कि यह दृष्टिकोण प्रयोगात्मक वैज्ञानिकों के लिए मानक ऑप्टिकल उपकरणों का उपयोग करके सामग्रियों की छिपी हुई टोपोलॉजी की जांच करने के लिए एक नया मार्ग खोलता है, जिससे एक जटिल क्वांटम रहस्य एक मापने योग्य प्रकाश शो में बदल जाता है। शोध पत्र इस बात के साथ समाप्त होता है कि हालांकि विकार (disorder) और अन्य वास्तविक दुनिया के कारक चीजों को जटिल बना सकते हैं, मूल विचार बना रहता है: क्वांटम दुनिया की ज्यामिति उस प्रकाश पर अपनी छाप छोड़ती है जिसे वह अवशोषित करती है, और अंततः हमारे पास इसे पढ़ने का एक तरीका है।

तकनीकी सारांश: अधिकतम बेरी वक्रता (Maximal Berry Curvature) पर ऑप्टिकल बाउंड का $Z_2$ टोपोलॉजिकल सिग्नेचर

समस्या विवरण
टोपोलॉजिकल इंसुलेटर्स (TIs) और उनके उच्च-क्रम (higher-order) परिवारों (HOTIs) में, जो समय-व्युत्क्रमण समरूपता (time-reversal symmetry - TRS) को बनाए रखते हैं, बल्क $Z_2$ इनवेरिएंट और बेरी वक्रता (जो TRS और व्युत्क्रमण/मिरर समरूपता की उपस्थिति में शून्य हो जाती है) को सीधे मापा नहीं जा सकता है। जबकि टूटी हुई TRS वाली प्रणालियों में एक सुस्पष्ट चेर्न नंबर (Chern number) होता है जिसे ऑप्टिकल सर्कुलर डाइक्रोइज़्म के माध्यम से एक्सेस किया जा सकता है, TRS प्रणालियों में कोई बल्क चेर्न नंबर नहीं होता है, जिससे उनके टोपोलॉजिकल हस्ताक्षरों की पहचान और उनके अंतर्निहित ज्यामिति की जांच करना एक अनसुलझा प्रश्न बना हुआ है। विशेष रूप से, यह स्पष्ट नहीं है कि जब बेरी वक्रता शून्य हो जाती है तो टोपोलॉजी कैसे उभरती है और इस टोपोलॉजी को ऑप्टिकल मापों के माध्यम से कैसे जांचा जा सकता है।

कार्यप्रणाली
लेखक एक परिष्कृत ट्रेस-डिटरमिनेंट इनइक्वेलिटी (TDI) से प्राप्त एक मापने योग्य "ऑप्टिकल बाउंड" प्रस्तावित करते हैं। यह दृष्टिकोण क्वांटम ज्यामितिक मात्राओं को प्रयोगात्मक अवलोकन योग्यों (observables) से जोड़ता है।

परिष्कृत ट्रेस-डिटरमिनेंट इनइक्वेलिटी (TDI): लेखक क्वांटम मेट्रिक के ट्रेस ( $\text{tr}g$ ), क्वांटम मेट्रिक के डिटरमिनेंट ( $\sqrt{\det g}$ ), और मैक्सिमल बेरी वक्रता (MBC, जिसे $\Omega_{ab}$ द्वारा दर्शाया गया है) को जोड़ने वाली एक परिष्कृत असमानता स्थापित करते हैं। यह असमानता इस प्रकार है:
$\text{tr}g(k) \geq 2\sqrt{\det g(k)} \geq \Omega_{ab}(k)$
यहाँ, $\Omega_{ab}(k)$ को TRS प्रणालियों में गैर-तुच्छ (nontrivial) टोपोलॉजी को चित्रित करने के लिए परिभाषित किया गया है। MBC के दो परिभाषाएँ पेश की गई हैं:
- कुबो फॉर्म (Kubo form): बेरी वक्रता के बैंड समेशन में एक एब्सोल्यूट-वैल्यू ऑपरेटर को सम्मिलित करके प्राप्त किया जाता है। यह रूप टूटी हुई क्रिस्टलीय समरूपताओं के प्रति संवेदनशील है।
- प्रोजेक्शन फॉर्म (Projection form): इसे प्रोजेक्शन ऑपरेटर $P(k)$ का उपयोग करके $\Omega_{ab}(k) = \text{tr}(|iP(k)[\partial_a P(k), \partial_b P(k)]|)$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यह रूप टोपोलॉजिकल जानकारी को सुरक्षित रखता है और हमेशा टोपोलॉजिकल लोअर बाउंड से बड़ा या उसके बराबर होता है, भले ही समरूपता टूटी हुई हो।
ऑप्टिकल बाउंड और वेट: लेखक लॉन्गिट्यूडिनल ऑप्टिकल कंडक्टिविटी के वास्तविक भाग पर आधारित एक ऑप्टिकल बाउंड, $K_{OP}(\omega)$ , को परिभाषित करते हैं:
$K_{OP}(\omega) = \frac{2[\Re\sigma_{xx}(\omega) + \Re\sigma_{yy}(\omega)]}{\hbar\omega}$
यह मात्रा जनरलाइज्ड ऑप्टिकल हॉल कंडक्टिविटी द्वारा नीचे से बद्ध (bounded from below) है। $K_{OP}(\omega)$ को आवृत्ति के ऊपर इंटीग्रेट करके, वे "ऑप्टिकल वेट" ( $K_{OP}^\infty$ ) को परिभाषित करते हैं, जो SWM सम नियम के माध्यम से "क्वांटम वेट" ( $K$ ) से संबंधित है।
टोपोलॉजिकल इनइक्वेलिटी: परिष्कृत TDI को इंटीग्रेट करने से क्वांटम वेट ( $K$ ), क्वांटम वॉल्यूम ( $V$ ), और एक "स्यूडो-चेर्न नंबर" ( $C$ ) से संबंधित एक "टोपोलॉजिकल इनइक्वेलिटी" प्राप्त होती है:
$K \geq 2V \geq C \geq \sum_{s=1}^{n_t} |N_s|$
जहाँ $N_s$ विभिन्न प्रोजेक्टेड सेक्टर्स में टोपोलॉजिकल नंबरों (जैसे स्पिन चेर्न नंबर, क्वाड्रुपोल मोमेंट्स) का प्रतिनिधित्व करता है। महत्वपूर्ण रूप से, लेखक तर्क देते हैं कि यदि ऑप्टिकल वेट टोपोलॉजिकली ट्रिवियल क्षेत्र में पर्याप्त तेजी से घटता है, तो बाउंडरी स्टेट्स की संख्या से अधिक ऑप्टिकल वेट एक टोपोलॉजिकल चरण का संकेत देता है।

मुख्य योगदान और परिणाम
लेखक तीन प्रतिनिधि TRS मॉडलों पर संख्यात्मक सिमुलेशन के माध्यम से इस ढांचे की प्रभावकारिता प्रदर्शित करते हैं:

केने-मेले मॉडल (TI): $C_3$ रोटेशन सिमेट्री के कारण ट्रिवियल फेज में ऑप्टिकल बाउंड धीरे-धीरे घटता है। हालांकि, ऑप्टिकल गैप (जो स्पिन-ऑर्बिट कपलिंग पैरामीटर $\lambda_{SO}$ द्वारा नियंत्रित होता है) को बढ़ाने से क्षय दर (decay rate) बढ़ जाती है, जिससे ट्रिवियल और नॉन-ट्रिवियल चरणों के बीच स्पष्ट अंतर संभव होता है। डबल क्वांटम वॉल्यूम ( $2V$ ) लगातार दो से अधिक रहता है, जो बाउंडरी स्टेट्स की संख्या पर एक कड़ा ऊपरी बाउंड (upper bound) है।
मिरर-प्रोटेक्टेड इंसुलेटर (TCI): इस मॉडल में, जिसमें $C_4$ रोटेशन सिमेट्री है, ऑप्टिकल बाउंड और जनरलाइज्ड ऑप्टिकल हॉल कंडक्टिविटी लगभग ओवरलैप होते हैं। नॉन-ट्रिवियल फेज में क्वांटम वॉल्यूम ( $V$ ) और स्यूडो-चेर्न नंबर ( $C$ ) दोनों चार के मान तक क्वांटाइज्ड होते हैं, जो मिरर चेर्न नंबर से मेल खाते हैं। ट्रिवियल फेज में ऑप्टिकल वेट का तीव्र क्षय $Z_2$ सिग्नेचर की निर्विवाद पहचान की अनुमति देता है।
क्वाड्रुपोल इंसुलेटर (HOTI): TCI मामले के विपरीत, ऑप्टिकल बाउंड और जनरलाइज्ड ऑप्टिकल हॉल कंडक्टिविटी नॉन-ट्रिवियल फेज में अलग-अलग होते हैं। क्वाड्रुपोल फेज में ऑप्टिकल वेट बाउंडरी स्टेट्स की संख्या (दो) से अधिक होता है। अध्ययन से पता चलता है कि MBC का कुबो फॉर्म ( $C$ ) दो से कम हो सकता है, जो क्वाड्रुपोल फेज को पूरी तरह से पकड़ने में विफल रहता है। हालांकि, एक मिरर-सिमेट्री-ब्रेकिंग टर्म पेश करके, कुबो फॉर्म दो से अधिक का मान प्राप्त करता है, जो यह दर्शाता है कि विशिष्ट टोपोलॉजिकल विरूपणों (deformations) के माध्यम से एक टाइट टोपोलॉजिकल लोअर बाउंड अभी भी मौजूद है। लेखक स्पष्ट रूप से नोट करते हैं कि समरूपता टूटने की स्थिति में इस बाउंड को पुनः प्राप्त करना सभी मामलों में इसके अस्तित्व के सामान्य प्रमाण के रूप में नहीं देखा जाना चाहिए।

महत्व और दावे
लेखक दावा करते हैं कि यह सीधे बेरी वक्रता को मापने की आवश्यकता के बिना, ऑप्टिकल कंडक्टिविटी डेटा से TRS इंसुलेटर्स के $Z_2$ टोपोलॉजिकल सिग्नेचर को निकालने का एक नया मार्ग प्रदान करते हैं। इसकी प्राथमिक महत्ता निम्नलिखित है:

प्रयोगात्मक सुलभता: यह अमूर्त टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट्स और क्वांटम ज्यामितिक मात्राओं को मापने योग्य ऑप्टिकल बाउंड्स और वेट्स में परिवर्तित करता है।
टोपोलॉजिकल लोअर बाउंड्स: यह दृष्टिकोण के प्रभावी होने का प्रदर्शन करता है और विशिष्ट संदर्भों में ऑप्टिकल वेट, क्वांटम वेट और डबल क्वांटम वॉल्यूम के लिए टाइट टोपोलॉजिकल लोअर बाउंड्स के अस्तित्व का तर्क देता है, जिसे बाउंडरी स्टेट्स की संख्या के ऊपरी सीमा के रूप में व्याख्यायित किया जाता है।
सिमेट्री प्रोटेक्शन: यह प्रदर्शित करता है कि मैक्सिमल बेरी वक्रता (MBC) सिमेट्री-प्रोटेक्टेड टोपोलॉजी को प्रकट कर सकती है, जो टूटे हुए TRS प्रणालियों में मूल बेरी वक्रता के समान भूमिका निभाती है।

लेखक नोट करते हैं कि हालांकि यह ढांचा मजबूत है, भविष्य के कार्यों को डिसऑर्डर, चार्ज-डेंसिटी वेव्स, या मेनी-बॉडी प्रभावों के कारण "टोपोलॉजिकल इनइक्वेलिटी" के संभावित उल्लंघन को संबोधित करना होगा, और ट्रिवियल क्षेत्रों में ऑप्टिकल वेट के क्षय को प्रयोगात्मक रूप से नियंत्रित करना होगा। यह कार्य एक सैद्धांतिक प्रस्ताव के रूप में प्रस्तुत किया गया है जो संख्यात्मक मॉडलिंग द्वारा समर्थित है, जो बैंड-इनवर्जन पैरामीटर्स को ट्यून करके और ऊर्जा रेंज के ऊपर ऑप्टिकल कंडक्टिविटी को मापकर टोपोलॉजिकल फेज डायग्राम बनाने की विधि प्रदान करता है।

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