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One-Bit Distributed Mean Estimation with Unknown Variance

यह शोध पत्र अज्ञात प्रसरण (variance) वाले वितरित माध्य अनुमान (distributed mean estimation) के लिए सरल गैर-अनुकूलित (non-adaptive) और अनुकूलित (adaptive) 1-बिट संचार प्रोटोकॉल का प्रस्ताव और विश्लेषण करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि अनुकूलित योजनाएं सममित लघु-उन्नतोदर (symmetric log-concave) वितरणों के लिए स्पर्शोन्मुखी रूप से इष्टतम माध्य वर्ग त्रुटि (Mean Squared Error) प्राप्त करती हैं और कई सामान्य वितरणों के लिए गैर-अनुकूलित विधियों से स्पष्ट रूप से बेहतर प्रदर्शन करती हैं।

मूल लेखक: Ritesh Kumar, Shashank Vatedka

प्रकाशित 2026-06-24

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ritesh Kumar, Shashank Vatedka

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ "One-Bit Distributed Mean Estimation with Unknown Variance" पेपर की व्याख्या का हिंदी अनुवाद दिया गया है:

बड़ी तस्वीर: एक नया मोड़ वाला "फुसफुसाने का खेल" (Whispering Game)

एक विशाल पार्टी की कल्पना करें जिसमें हजारों मेहमान (उपयोगकर्ता) हैं। हर किसी के दिमाग में एक गुप्त संख्या है, जो एक ही प्रकार के वितरण (distribution) से ली गई है (जैसे कि हर कोई तरबूज के वजन का अनुमान लगा रहा है, लेकिन इसमें स्वाभाविक भिन्नता है)।

लक्ष्य यह है कि एक केंद्रीय "जज" (सर्वर) इन सभी गुप्त संख्याओं का औसत (average) पता लगा सके।

चुनौतियां:

फुसफुसाने का नियम (The Whisper Rule): प्रत्येक मेहमान जज को केवल एक सिंगल बिट जानकारी ही फुसफुसा सकता है। बस इतना ही। वे केवल "हाँ" (1) या "नहीं" (0) कह सकते हैं। वे यह नहीं कह सकते कि "यह लगभग 5.3 पाउंड है।"
रहस्यमयी बॉक्स (The Mystery Box): जज को यह नहीं पता कि अनुमान कितने "फैले हुए" (spread out) हैं। क्या मेहमानों के अनुमान बहुत ज्यादा इधर-उधर के हैं (उच्च विचरण/high variance) या वे सभी एक ही संख्या के बहुत करीब हैं (कम विचरण/low variance)? जज को इस "फैलाव" (spread) के बारे में भी पता नहीं है।

यह पेपर पूछता है: यदि जज को केवल "हाँ/ना" वाले जवाब मिलें और उसे डेटा का फैलाव भी न पता हो, तो वह औसत का कितनी सटीकता से अनुमान लगा सकता है?

दो रणनीतियाँ: "स्थिर योजना" बनाम "स्मार्ट टीम"

लेखक तुलना करते हैं कि मेहमान इस खेल को खेलने के दो तरीके क्या हैं।

1. स्थिर योजना (Non-Adaptive Protocol)

कल्पना करें कि जज खेल शुरू होने से पहले एक नियम पुस्तिका भेजता है: "सभी लोग, यदि आपकी संख्या 50 से कम है, तो 'हाँ' कहें। यदि 50 या उससे अधिक है, तो 'नहीं' कहें।"

यह कैसे काम करता है: प्रत्येक मेहमान स्वतंत्र रूप से इस निश्चित नियम का पालन करता है। वे एक-दूसरे से बात नहीं करते, और उन्हें यह नहीं पता कि किसी और ने क्या कहा।
समस्या: चूंकि जज को "फैलाव" (variance) का पता नहीं है, इसलिए सही "50" चुनना एक तुक्का है। यदि संख्याएँ वास्तव में 40 और 60 के बीच हैं, तो "50" एक बेहतरीन रेखा है। लेकिन यदि संख्याएँ 100 और 120 के बीच हैं, तो "50" बेकार है क्योंकि हर कोई बस "नहीं" कहेगा।
परिणाम: यह पेपर साबित करता है कि कई सामान्य प्रकार के डेटा के लिए, यह कठोर, पूर्व-नियोजित दृष्टिकोण एक स्मार्ट दृष्टिकोण की तुलना में स्पष्ट रूप से खराब है। यह बहुत अधिक सटीकता को खो देता है।

2. स्मार्ट टीम (Adaptive Protocol)

यह इस पेपर का मुख्य योगदान है। एक कठोर नियम पुस्तिका के बजाय, खेल दो राउंड में होता है।

राउंड 1 (स्काउट टीम): मेहमानों का एक छोटा समूह (मान लीजिए, पहले 10%) कुछ अलग-अलग थ्रेशोल्ड (thresholds) के साथ "स्थिर योजना" का पालन करता है। वे अपने "हाँ/नहीं" के जवाब फुसफुसाते हैं।
जासूसी का काम (The Detective Work): जज इन पहले कुछ फुसफुसाहटों को सुनता है और कुछ त्वरित गणित करता है। केवल कुछ बिट्स के साथ भी, जज औसत कहाँ है और संख्याएँ कितनी "फैली हुई" हैं, इसका एक रफ अनुमान (rough estimate) लगा सकता है।
प्रसार (The Broadcast): जज इस रफ अनुमान को बाकी 90% मेहमानों को वापस चिल्लाकर बताता है। "ठीक है, ऐसा लगता है कि औसत लगभग 55 है और फैलाव लगभग 10 है।"
राउंड 2 (मुख्य टीम): शेष मेहमान अब संदर्भ (context) जानते हैं। वे अपने "हाँ/नहीं" थ्रेशोल्ड को जज के रफ अनुमान के इर्द-गिर्द पूरी तरह से केंद्रित करने के लिए समायोजित कर सकते हैं।
परिणाम: क्योंकि दूसरा समूह जज के रफ अनुमान के आधार पर फुसफुसा रहा है, इसलिए जज को अंतिम औसत बहुत अधिक सटीक मिलता है।

उपमा (Analogy):

स्थिर (Static): आँखों पर पट्टी बांधकर, एक निश्चित लक्ष्य के साथ चलते हुए लक्ष्य को भेदने की कोशिश करना।
अनुकूलित (Adaptive): लक्ष्य कहाँ है यह देखने के लिए एक त्वरित नज़र डालना, फिर अपने बाकी शॉट सीधे उसी पर निशाना साधना।

सरल भाषा में मुख्य निष्कर्ष

1. "अंतराल" (Gap) वास्तविक है
लेखकों ने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि कई सामान्य वितरणों (जैसे "सामान्यीकृत गाऊसी" या Generalized Gaussian, जिसमें बेल कर्व और तीखे शिखर शामिल हैं) के लिए, Adaptive तरीका, Static तरीके की तुलना में काफी बेहतर है।

रूपक: यदि Static विधि में 10 यूनिट की त्रुटि होती है, तो Adaptive विधि में केवल 4 यूनिट की त्रुटि हो सकती है। जब आप लाखों डेटा पॉइंट्स के साथ काम कर रहे हों, तो यह एक बहुत बड़ा अंतर है।

2. दो राउंड का "जादू"
पेपर दिखाता है कि आपको जटिल, बहु-चरणीय बातचीत की आवश्यकता नहीं है। केवल दो राउंड (एक त्वरित स्काउट चरण, फिर एक मुख्य चरण) पर्याप्त है ताकि सर्वोत्तम संभव सटीकता प्राप्त की जा सके। अधिक राउंड या अधिक संचार बिट्स जोड़ने से बहुत अधिक लाभ नहीं होता है; "दो-राउंड" वाला तरीका लगभग सारा लाभ पकड़ लेता है।

3. "अज्ञात विचरण" (Unknown Variance) की समस्या
पिछले शोधों ने ज्यादातर इस धारणा पर काम किया था कि जज को डेटा का "फैलाव" (spread) पता है। यह पेपर कठिन, वास्तविक दुनिया की समस्या को हल करता है जहाँ फैलाव अज्ञात है। उन्होंने दिखाया कि बिना फैलाव को जाने भी, Adaptive विधि इसे इतना अच्छी तरह से समझ सकती है कि एक लगभग सटीक औसत प्राप्त किया जा सके।

4. "हाँ/नहीं" की सीमाएं
लेखकों ने अपने "हाँ/नहीं" तरीके की तुलना एक काल्पनिक परिदृश्य से की जहाँ मेहमान अपनी पूरी संख्या चिल्ला सकते थे (कोई संचार सीमा नहीं)। उन्होंने पाया कि "हाँ/नहीं" वाला Adaptive तरीका, "पूरा चिल्लाने वाले" (Full Shout) तरीके के आश्चर्यजनक रूप से करीब है।

निष्कर्ष: इस विशिष्ट सेटअप में, लोगों को केवल "हाँ" या "ना" कहने के लिए मजबूर करने से सटीकता पर उतना नुकसान नहीं होता जितना आप सोच सकते हैं, बशर्ते आप स्मार्ट दो-राउंड रणनीति का उपयोग करें।

"जीत" का सारांश

इस पेपर ने एक पहेली सुलझाई है: जब हर कोई केवल "हाँ" या "नहीं" कह सकता है, और आपको नहीं पता कि उनके अनुमान कितने अनियंत्रित हैं, तो आप भीड़ से सबसे अच्छा औसत कैसे प्राप्त कर सकते हैं?

उत्तर: सबको एक ही सवाल मत पूछिए। पहले कुछ लोगों से पूछिए ताकि एक "अनुमानित विचार" (ballpark idea) मिल सके, फिर जो आपने सीखा उसे बाकी भीड़ को बताएं, और फिर बाकी भीड़ से एक बेहतर सवाल पूछें। यह सरल "स्काउट और एडजस्ट" (scout and adjust) रणनीति गणितीय रूप से सिद्ध है कि करने का सबसे अच्छा तरीका है, जो किसी भी ऐसी विधि को हरा देती है जो एक ही, अपरिवर्तित नियम पर टिके रहने की कोशिश करती है।

तकनीकी सारांश: अज्ञात प्रसरण (Variance) के साथ एक-बिट वितरित माध्य अनुमान (One-Bit Distributed Mean Estimation)

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह कार्य वितरित माध्य अनुमान (Distributed Mean Estimation - DME) की समस्या को संबोधित करता है, जो अत्यधिक संचार बाधाओं के तहत आती है जहाँ प्रत्येक उपयोगकर्ता एक एकल बिट सूचना प्रसारित करने तक सीमित है। उन पूर्व कार्यों के विपरीत जो अक्सर यह मानते हैं कि प्रसरण (variance) ज्ञात है या केवल माध्य ही अज्ञात पैरामीटर है, यह शोध पत्र स्केल-लोकेशन परिवार (scale-location family) के वितरणों पर विचार करता है जहाँ माध्य ( $\mu$ ) और प्रसरण ( $\sigma^2$ ) दोनों अज्ञात हैं। प्रसरण को एक 'न्युसेंस पैरामीटर' (nuisance parameter) माना गया है।

इस सेटिंग में $n$ उपयोगकर्ता शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक के पास $f_{X,\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma}f_X(\frac{x-\mu}{\sigma})$ वितरण से प्राप्त एक स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) नमूना $X_i$ है, जहाँ $f_X$ एक ज्ञात बेस डेंसिटी (base density) है जिसका माध्य शून्य और प्रसरण एक है। लक्ष्य एक संचार प्रोटोकॉल $\Pi$ (जिसमें $n$ एनकोडर और एक डिकोडर शामिल है) को डिजाइन करना है जो सर्वर को न्यूनतम स्पर्शोन्मुखी माध्य वर्ग त्रुटि (asymptotic Mean Squared Error - MSE) के साथ $\mu$ का अनुमान लगाने की अनुमति दे सके। यह पत्र निम्नलिखित के बीच अंतर करता है:

गैर-अनुकूली प्रोटोकॉल (Non-adaptive protocols): प्रत्येक उपयोगकर्ता का बिट $Y_i$ केवल उनके स्थानीय नमूने $X_i$ पर निर्भर करता है।
अनुकूली प्रोटोकॉल (Adaptive protocols): एक उपयोगकर्ता का बिट $Y_i$ , $X_i$ और पिछले प्रसारित बिट्स $Y_1, \dots, Y_{i-1}$ (या सर्वर के ब्रॉडकास्ट संदेश) पर निर्भर हो सकता है।

2. कार्यप्रणाली और प्रोटोकॉल (Methodology and Protocols)

गैर-अनुकूली प्रोटोकॉल (Non-Adaptive Protocols)

लेखक $\mu$ और $\sigma$ का संयुक्त रूप से अनुमान लगाने के लिए एक सरल दो-थ्रेशोल्ड गैर-अनुकूली प्रोटोकॉल प्रस्तावित करते हैं।

तंत्र (Mechanism): उपयोगकर्ताओं को $n_1$ और $n_2$ आकार के दो समूहों में विभाजित किया जाता है। पहला समूह $\theta_1$ थ्रेशोल्ड का उपयोग करता है, और दूसरा समूह $\theta_2$ का। प्रत्येक उपयोगकर्ता एक बिट प्रसारित करता है जो यह दर्शाता है कि उनका नमूना संबंधित थ्रेशोल्ड से नीचे है या नहीं।
अनुमान (Estimation): सर्वर इन थ्रेशोल्ड पर अनुभवजन्य संचयी वितरण फलन (empirical CDF) के मानों की गणना करता है, ज्ञात बेस CDF $F_X$ को उलटा (invert) करता है, और $\hat{\mu}_c$ तथा $\hat{\sigma}_c$ के मोटे अनुमान प्राप्त करने के लिए समीकरणों के एक निकाय को हल करता है।
प्रदर्शन (Performance): प्रमेय 3.1 स्थापित करता है कि यह प्रोटोकॉल दृढ़ रूप से सुसंगत (strongly consistent) और स्पर्शोन्मुखी रूप से सामान्य (asymptotically normal) है। हालांकि, स्पर्शोन्मुखी MSE वास्तविक $\mu$ पर निर्भर करता है और निश्चित थ्रेशोल्ड के लिए $|\mu| \to \infty$ होने पर अनबाउंड (unbounded) हो जाता है।

यह शोध पत्र गैर-पैरामीट्रिक माध्य अनुमान (अनुभाग 3.4) के लिए एक बहु-थ्रेशोल्ड गैर-अनुकूली प्रोटोकॉल भी पेश करता है, जो रीमैन योग (Riemann sums) के माध्यम से प्रत्याशा (expectation) का सन्निकटन करता है। हालांकि, लेखक नोट करते हैं कि यह दृष्टिकोण आम तौर पर $O(1/n)$ से खराब स्केलिंग वाला MSE देता है, जब तक कि वितरण का सपोर्ट (support) परिबद्ध (bounded) न हो।

अनुकूली प्रोटोकॉल (Adaptive Protocol)

गैर-अनुकूली योजनाओं की सीमाओं को दूर करने के लिए, लेखक एक सरल दो-राउंड अनुकूली प्रोटोकॉल डिजाइन करते हैं:

राउंड 1 (मोटा अनुमान - Coarse Estimation): उपयोगकर्ताओं का एक उपसमूह ( $n_1 + n_2$ ) ऊपर वर्णित गैर-अनुकूली दो-थ्रेशोल्ड प्रोटोकॉल का निष्पादन करता है ताकि $\hat{\mu}_c$ और $\hat{\sigma}_c$ के मोटे अनुमान प्राप्त किए जा सकें।
ब्रॉडकास्ट (Broadcast): सर्वर शेष उपयोगकर्ताओं ( $n_3$ ) को $\hat{\mu}_c$ ब्रॉडकास्ट करता है।
राउंड 2 (परिष्करण - Refinement): शेष उपयोगकर्ता $\hat{\mu}_c$ को अपने क्वांटाइजेशन थ्रेशोल्ड के रूप में उपयोग करते हैं, और $Y_i = \mathbb{1}\{X_i < \hat{\mu}_c\}$ प्रसारित करते हैं।
अंतिम अनुमान (Final Estimation): सर्वर अंतिम अनुमान $\hat{\mu}_f$ को परिष्कृत करने के लिए नए अनुभवजन्य CDF मान और मोटे प्रसरण अनुमान $\hat{\sigma}_c$ का उपयोग करता है।

सैद्धांतिक विश्लेषण (प्रमेय 4.1) दर्शाता है कि यह योजना $\frac{\sigma^2}{4f_X(0)^2}$ का स्पर्शोन्मुखी MSE प्राप्त करती है, जो वास्तविक $\mu$ से स्वतंत्र है।

3. मुख्य योगदान और सैद्धांतिक परिणाम (Key Contributions and Theoretical Results)

गैर-अनुकूली प्रोटोकॉल के लिए निचली सीमाएँ (Lower Bounds for Non-Adaptive Protocols)

एक प्राथमिक योगदान सममित, सख्त लॉग-कॉन्केव (strictly log-concave) वितरणों के लिए किसी भी 1-बिट गैर-अनुकूली प्रोटोकॉल के मिनिमैक्स MSE (minimax MSE) के लिए एक सामान्य निचली सीमा का व्युत्पत्ति है।

Le Cam के टू-पॉइंट मेथड और स्क्वेर्ड हेलिंगर दूरी (squared Hellinger distance) के एक परिष्कृत विश्लेषण का उपयोग करते हुए, लेखक सिद्ध करते हैं कि किसी भी ऐसे वितरण के लिए, स्पर्शोन्मुखी मिनिमैक्स MSE निम्न द्वारा निम्न-बद्ध (lower-bounded) है:
$\lim_{n \to \infty} \sup_{\mu} n \cdot \text{MSE}(\hat{\mu}) \geq \frac{\alpha^* \sigma^2}{T(f_X)}$
जहाँ $\alpha^* \approx 0.1034$ और $T(f_X)$ घनत्व $f_X$ से प्राप्त एक वितरण-निर्भर स्थिरांक है।
यह सीमा सामान्यीकृत गॉसियन परिवार सहित व्यापक श्रेणी के वितरणों पर लागू होती है।

अनुकूली प्रोटोकॉल की इष्टतमता (Optimality of the Adaptive Protocol)

लेखक सममित, सख्त लॉग-कॉन्केव वितरणों के एक बड़े उपसमूह (जहाँ घनत्व की एक विशिष्ट आकृति की स्थिति लागू होती है) के लिए अपने सरल अनुकूली प्रोटोकॉल की सूचना-सैद्धांतिक इष्टतमता (information-theoretic optimality) स्थापित करते हैं।

Van Trees असमानता का उपयोग करके एक मिलान निचली सीमा (matching lower bound) प्राप्त करके, वे सिद्ध करते हैं कि कोई भी 1-बिट अनुकूली प्रोटोकॉल $\frac{\sigma^2}{4f_X(0)^2}$ से कम का स्पर्शोन्मुखी MSE प्राप्त नहीं कर सकता है।
चूंकि उनका अनुकूली प्रोटोकॉल इस सीमा को प्राप्त करता है, इसलिए यह इन वितरणों के लिए इष्टतम है।

अनुकूली और गैर-अनुकूली के बीच का अंतर (The Gap Between Adaptive and Non-Adaptive)

यह शोध पत्र कई सामान्य वितरणों के लिए अनुकूली और गैर-अनुकूली प्रोटोकॉल के बीच एक स्पष्ट प्रदर्शन अंतराल (performance gap) प्रदर्शित करता है।

सामान्यीकृत गॉसियन वितरण (GGD) (आकार पैरामीटर $1 < \beta < 1.85$ के साथ) और हाइपरबोलिक सेकेंट वितरण के लिए, गैर-अनुकूली प्रोटोकॉल की निचली सीमा, अनुकूली प्रोटोकॉल द्वारा प्राप्त ऊपरी सीमा से स्पष्ट रूप से अधिक है।
विशेष रूप से, $\beta < 1.85$ के लिए GGD हेतु, गैर-अनुकूली निचली सीमा और अनुकूली ऊपरी सीमा का अनुपात 1 से अधिक है, जो यह सिद्ध करता है कि इन शासन (regimes) में गैर-अनुकूली प्रोटोकॉल स्पष्ट रूप से उप-इष्टतम (suboptimal) हैं।
$\beta > 1.85$ के लिए, अनुकूली स्थिरांक गैर-अनुकूली निचली सीमा से छोटा हो जाता है, हालांकि लेखक अनुमान लगाते हैं कि इन भारी-पूंछ (heavier-tailed) आकृतियों के लिए गैर-अनुकूली निचली सीमा ढीली (loose) हो सकती है।

अनक्वांटाइज्ड सीमाओं के साथ तुलना (Comparison with Unquantized Limits)

लेखक अपने अनुकूली एक-बिट सीमाओं की फिशर सूचना सीमा (Fisher information bound) (बिना संचार बाधाओं के सीमा) के साथ तुलना करते हैं।

कई वितरणों (जैसे, गॉसियन, लॉजिस्टिक, हाइपरबोलिक सेकेंट) के लिए, अनुकूली एक-बिट प्रोटोकॉल द्वारा प्राप्त स्थिरांक, केंद्रीकृत फिशर सूचना सीमा के बहुत करीब है।
यह सुझाव देता है कि इन वितरणों के लिए एक उपयोगकर्ता प्रति बिट बजट को एक बिट से अधिक बढ़ाने से स्पर्शोन्मुखी MSE के लिए केवल मामूली सुधार होता है।

4. महत्व और दावे (Significance and Claims)

यह शोध पत्र दावा करता है कि इसका कार्य जब न्युसेंस पैरामीटर (प्रसरण) मौजूद होते हैं, तो वितरित अनुमान में संचार बाधाओं की लागत के बारे में मौलिक अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

अनुकूलन की इष्टतमता (Optimality of Adaptation): यह कार्य कठोरता से सिद्ध करता है कि व्यापक श्रेणी के वितरणों के लिए, जब प्रसरण अज्ञात होता है, तो अनुकूली प्रोटोकॉल, गैर-अनुकूली प्रोटोकॉल की तुलना में स्पष्ट रूप से श्रेष्ठ होते हैं। यह पिछले साहित्य के विपरीत है जहाँ गैर-अनुकूली योजनाओं को अलग-अलग धारणाओं (जैसे, ज्ञात प्रसरण या परिबद्ध माध्य) के तहत ऑर्डर-ऑप्टिमल (order-optimal) दिखाया गया था।
व्यावहारिक दक्षता (Practical Efficiency): प्रस्तावित अनुकूली प्रोटोकॉल सरल है (जिसके लिए केवल दो संचार राउंड की आवश्यकता है) और यह सैद्धांतिक निचली सीमा प्राप्त करता है, जो इसे बताए गए प्रश्न के लिए सूचना-सैद्धांतिक रूप से इष्टतम समाधान बनाता है।
अधिक बिट्स से मामूली लाभ (Marginal Gains from More Bits): केंद्रीकृत फिशर सूचना सीमा के निकट अनुकूली एक-बिट प्रदर्शन का होना यह बताता है कि कई व्यावहारिक परिदृश्यों में, जिसमें सममित लॉग-कॉन्केव वितरण शामिल हैं, "एक-बिट क्वांटाइजेशन" की लागत न्यूनतम है, और प्राथमिक बाधा बिट बजट के बजाय अनुकूलन (adaptation) की कमी है।
सीमाएँ (Limitations): लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि उनकी गैर-अनुकूली निचली सीमा सभी वितरणों (विशेष रूप से $\beta > 1.85$ के साथ GGD) के लिए सटीक (tight) नहीं हो सकती है, और प्रसरण अनुमान के परिणाम वर्तमान में बिना किसी इष्टतमता के दावे के गैर-अनुकूली सेटिंग तक सीमित हैं। उन्होंने यह भी पहचान किया है कि इन तकनीकों को उच्च-आयामी वेक्टरों और बहु-बिट बजटों तक विस्तारित करना भविष्य के शोध के विषय हैं।

शोध पत्र में प्रस्तुत सिमुलेशन परिणाम सैद्धांतिक भविष्यवाणियों की पुष्टि करते हैं, जो विभिन्न वितरणों में अनुकूली और गैर-अनुकूली प्रोटोकॉल के अनुभवजन्य MSE के बीच एक सुसंगत सकारात्मक अंतर दिखाते हैं, जो उनके व्युत्पन्न स्पर्शोन्मुखी सीमाओं के अनुरूप है।