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Singular set estimates for solutions to elliptic equations in higher co-dimension

यह शोधपत्र शंकुओं (cones) का उपयोग करते हुए एक नवीन मात्रात्मक स्तरीकरण योजना विकसित करके उच्च सह-विमा (higher co-dimension) में गैर-समान रूप से दीर्घवृत्तीय (non-uniformly elliptic) समीकरणों के समाधानों के विलक्षण समुच्चय (singular set) के आकार के लिए सीमा अनुमान स्थापित करता है।

मूल लेखक: Max Engelstein, Cole Jeznach, Yannick Sire

प्रकाशित 2026-04-15

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Max Engelstein, Cole Jeznach, Yannick Sire

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक बहुत ही अजीब, उच्च-आयामी (high-dimensional) परिदृश्य में बहने वाले एक रहस्यमय तरल पदार्थ के व्यवहार को समझने की कोशिश कर रहे हैं। यह तरल पदार्थ एक जटिल गणितीय समीकरण के "समाधान" (solution) का प्रतिनिधित्व करता है। आमतौर पर, ये तरल पदार्थ सुचारू रूप से बहते हैं, लेकिन कभी-कभी वे एक "विलक्षणता" (singularity) से टकराते हैं—एक ऐसा बिंदु जहाँ प्रवाह रुक जाता है, अराजक हो जाता है, या तरल पूरी तरह से गायब हो जाता है।

इस शोध पत्र का लक्ष्य यह मानचित्रित करना है कि ये "मृत क्षेत्र" (singularities) कहाँ स्थित हो सकते हैं और वे कितने बड़े हो सकते हैं, विशेष रूप से तब जब तरल एक बहुत ही पतले, अदृश्य तार या चादर (सीमा/boundary) के ठीक बगल में बह रहा हो।

यहाँ इस शोध पत्र की कहानी का विवरण दिया गया है, जिसमें सरल उपमाओं का उपयोग किया गया है:

1. परिवेश: एक "पतले तार" वाली दुनिया

अधिकांश मानक गणितीय समस्याओं में, सीमाएँ दीवारों की तरह होती हैं (3D स्थान में 2D सतहें)। लेकिन इस शोध पत्र में, हम एक ऐसी दुनिया को देख रहे हैं जहाँ सीमा एक पतला तार (3D स्थान में 1D रेखा) या एक पतली चादर (4D स्थान में 2D तल) है।

समस्या: इस पतले तार के पास नियमों का संचालन नाटकीय रूप से बदल जाता है। तरल केवल बहता नहीं है; जैसे-जैसे यह तार के करीब आता है, यह "खिंच" या "पिचक" जाता है। गणितीय रूप से, तार के पास समीकरण "डीजेनरेट" (degenerate) हो जाता है (अर्थात, यह टूट जाता है)।
चुनौती: क्योंकि तार के पास नियम बहुत तेजी से बदलते हैं, इसलिए यह अनुमान लगाने के लिए उपयोग किए जाने वाले मानक उपकरण कि तरल कहाँ काम करना बंद कर देगा, विफल हो जाते हैं। यह एक ऐसे कैन्यन (घाटी) में नेविगेट करने के लिए एक नियमित मानचित्र का उपयोग करने जैसा है जहाँ आपके पैरों के नीचे की जमीन लगातार खिसकती रहती है।

2. रहस्य: तरल कहाँ गायब हो जाता है?

लेखक "सिंगुलर सेट" (Singular Set) में रुचि रखते हैं। यह उन बिंदुओं का संग्रह है जहाँ तरल शून्य होता है और उसका ढाल (slope) भी शून्य होता है।

उपमा: एक ड्रम की त्वचा (drum skin) की कल्पना करें। यदि आप उसे मारते हैं, तो वह कंपन करती है। "नोडल सेट" वह रेखा है जहाँ त्वचा हिल नहीं रही है। "सिंगुलर सेट" उस रेखा पर एक विशिष्ट बिंदु है जहाँ त्वचा न केवल स्थिर है, बल्कि वह किसी भी दिशा में हिलने की कोशिश भी नहीं कर रही है (वह पूरी तरह से सपाट और स्थिर है)।
प्रश्न: यह "पूरी तरह से स्थिर" स्थान कितना बड़ा हो सकता है? क्या यह एक पूरी रेखा हो सकती है? क्या यह एक पूरी चादर हो सकती है?

3. पुराना तरीका बनाम नया तरीका

पुराना तरीका (आंतरिक/Interior):
गणितज्ञों को लंबे समय से पता है कि यदि ये विलक्षणताएं सीमा से दूर हों, तो उन्हें कैसे संभालना है। वे इसके लिए "क्वांटिटेटिव स्ट्रैटिफिकेशन" (Quantitative Stratification) नामक एक तकनीक का उपयोग करते हैं।

रूपक: कल्पना कीजिए कि आप भीड़ की एक धुंधली तस्वीर देख रहे हैं। यदि आप ज़ूम करके उस व्यक्ति को देखते हैं जो स्थिर खड़ा दिखाई देता है, तो आप अपने पड़ोसियों की जाँच करते हैं। यदि आस-पास के सभी लोग भी स्थिर खड़े दिखते हैं, तो आप महसूस करते हैं कि वे सभी एक सीधी रेखा पर खड़े हैं। यदि वे एक रेखा पर खड़े हैं, तो "स्थिरता" 1-आयामी (1-dimensional) है। यदि वे एक सपाट फर्श पर खड़े हैं, तो यह 2-आयामी (2-dimensional) है।
उपकरण: वे सिंगुलर सेट के आकार का अनुमान लगाने के लिए "प्लेन" (Planes/तल) का उपयोग करते हैं। यदि समाधान अलग-अलग दिशाओं में एक जैसा दिखता है, तो इसका मतलब है कि वह एक सपाट तल पर स्थित है।

नया तरीका (सीमा की समस्या):
लेखकों ने महसूस किया कि पतले तार के पास, "पुराना तरीका" टूट जाता है।

मोड़: तार के पास, तरल खुले स्थान की तुलना में अलग व्यवहार करता है। यह ऐसा है जैसे तरल किसी अजीब तरीके से तार से "चिपका" हुआ है। यदि आप तार के पास के किसी बिंदु पर ज़ूम करते हैं, तो तरल अब एक सपाट तल जैसा नहीं दिखता; यह एक शंकु (Cone) जैसा दिखता है।
नवाचार: लेखकों ने "क्वांटिटेटिव स्ट्रैटिफिकेशन" तकनीक का एक नया संस्करण विकसित किया। आकार का अनुमान लगाने के लिए "प्लेन" के बजाय, वे "कोन" (Cones/शंकु) का उपयोग करते हैं।
- कल्पना करें: एक मुड़े हुए कागज को मेज पर सपाट करने (प्लेन) के बजाय, आप महसूस करते हैं कि कागज वास्तव में एक आइसक्रीम कोन के आकार का है। सिंगुलर सेट के आकार को समझने के लिए आपको उसके "कोन-पन" (cone-ness) को मापना होगा।

4. मुख्य खोज

लेखकों ने एक आश्चर्यजनक परिणाम सिद्ध किया:
भले ही पतले तार के पास गणित बहुत कठिन है और नियम "टूटे हुए" हैं, फिर भी सिंगुलर सेट अभी भी छोटा है।

परिणाम: उन्होंने दिखाया कि सिंगुलर सेट (वे "मृत क्षेत्र") का एक विशिष्ट आकार सीमा है। 3D दुनिया में 1D तार सीमा के साथ, सिंगुलर सेट अधिकतम एक 1D रेखा (या रेखाओं का संग्रह) है। 4D दुनिया में 2D शीट सीमा के साथ, सिंगुलर सेट अधिकतम एक 2D शीट है।
यह क्यों मायने रखता है: यह "सर्वश्रेष्ठ संभव" उत्तर है। उन्होंने ऐसे उदाहरण भी दिखाए जहाँ सिंगुलर सेट वास्तव में उस पूरे आयाम (dimension) को भर देता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि आप अनुमान को इससे छोटा नहीं कर सकते। यह कहने जैसा है कि, "कीचड़ का गड्ढा फर्श जितना बड़ा हो सकता है, लेकिन यह फर्श से बड़ा नहीं हो सकता।"

5. "कपड़े बदलने" की ट्रिक (Change of Clothes Trick)

इसे हल करने के लिए, लेखकों ने "चेंज ऑफ वेरिएबल्स" (Change of Variables) नामक एक चतुर गणितीय ट्रिक का उपयोग किया।

रूपक: कल्पना कीजिए कि पतला तार एक मुड़ी हुई, गांठदार रस्सी है। एक गांठ के चारों ओर बहने वाले तरल का अध्ययन करना बहुत कठिन है। इसलिए, लेखकों ने एक जादुई चश्मा (कोऑर्डिनेट ट्रांसफॉर्मेशन) बनाया जो रस्सी की गांठ को "खोल" देता है, जिससे वह एक बिल्कुल सीधी, सपाट रेखा की तरह दिखने लगती है।
सावधानी: जब आप ये चश्मा पहनते हैं, तो तरल केवल सीधा ही नहीं दिखता, बल्कि तरल के नियम भी बदल जाते हैं। तरल "सुचारू" (smooth) हो जाता है ताकि उसका अध्ययन किया जा सके, लेकिन समीकरण अव्यवस्थित (messy) हो जाते हैं। लेखकों को यह सिद्ध करना पड़ा कि इस अव्यवस्थित नए समीकरण के साथ भी, "कोन" (Cone) वाला तर्क अभी भी काम करता है।

सारांश

यह शोध पत्र एक बहुत ही अजीब, उच्च-आयामी कमरे में एक पतले, अदृश्य तार के माध्यम से बहने वाले तरल के पहेली को सुलझाने के बारे में है।

समस्या: हम जानना चाहते हैं कि तार के पास "मृत स्थानों" (dead spots) का आकार कितना बड़ा हो सकता है।
बाधा: तार के पास तरल अनियंत्रित व्यवहार करता है, जिससे मानक सपाट-तल (flat-plane) गणित बेकार हो जाता है।
समाधान: लेखकों ने मृत स्थानों को मापने के लिए सपाट प्लेन के बजाय कोन (Cones) का उपयोग करने वाली एक नई विधि विकसित की।
परिणाम: उन्होंने सिद्ध किया कि इस अराजक वातावरण में भी, मृत स्थान आकार में सीमित हैं, ठीक वैसे ही जैसे वे सामान्य, शांत वातावरण में होते हैं।

यह ज्यामिति और विश्लेषण की एक बड़ी उपलब्धि है, जो यह दिखाती है कि जब ब्रह्मांड के नियम अजीब और डीजेनरेट हो जाते हैं, तब भी चीजों के टूटने के पीछे एक अंतर्निहित व्यवस्था और संरचना बनी रहती है।

यहाँ मैक्स एंजेलस्टीन, कोल जेज़नाच और यानिक सिरे के शोध पत्र "Singular Set Estimates for Solutions to Elliptic Equations in Higher Co-dimension" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण और संदर्भ

मुख्य समस्या:
यह शोध पत्र उच्च को-डायमेंशन (high co-dimension) सीमाओं वाले डोमेन में विशिष्ट प्रकार के डिजेनरेट एलिप्टिक पार्शियल डिफरेंशियल इक्वेशन्स (PDEs) के समाधानों के लिए क्वांटिटेटिव यूनिक कंटीन्यूएशन गुणों और सिंगुलर सेट ( $S(u)$ ) की ज्यामितीय संरचना की जांच करता है।

इक्वेशन: लेखक $u$ के समाधानों का अध्ययन करते हैं जो इस प्रकार की समीकरणों के रूप में होते हैं:
$-\text{div}\left( A(X) \text{dist}(X, \Gamma)^{-n+d+1} \nabla u \right) = 0$
जहाँ $\Gamma \subset \mathbb{R}^n$ एक $d$ -डायमेंशनल सीमा है जहाँ $d < n-1$ (उच्च को-डायमेंशन)।
सिंगुलैरिटी (Singularity): मानक एलिप्टिक समीकरणों के विपरीत, गुणांक $\text{dist}(X, \Gamma)^{-n+d+1}$ के कारण यह ऑपरेटर सीमा $\Gamma$ के पास न तो यूनिफॉर्मली एलिप्टिक है और न ही यूनिफॉर्मली लिप्सिट्ज़ (Lipschitz) है।
सिंगुलर सेट: सिंगुलर सेट को $S(u) := \{X : u(X) = |\nabla u(X)| = 0\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। लक्ष्य सीमा $\Gamma$ के पास इस सेट के आकार (हाउसरडॉर्फ मेजर) और संरचना (रेक्टिफिएबिलिटी) का अनुमान लगाना है।

प्रेरणा:
पिछले कार्यों (जैसे चेगर, नाबर, वाल्टोर्टा, लोगुनोव, मालिनिकोवा) ने स्थापित किया था कि हार्मोनिक फंक्शन्स या लिप्सिट्ज़ गुणांकों वाले यूनिफॉर्मली एलिप्टिक समीकरणों के लिए, सिंगुलर सेट $(n-2)$ -रेक्टिफिएबल होता है और उसका $(n-2)$ -डायमेंशनल हाउसरडॉर्फ मेजर परिमित होता है। हालाँकि, ये परिणाम इस बात पर निर्भर थे कि सीमा एक हाइपरसरफेस ( $d=n-1$ ) हो या गुणांक नियमित हों। यह शोध पत्र उस अंतराल को संबोधित करता है जहाँ सीमा एक निम्न-आयामी सेट ( $d \leq n-2$ ) है और ऑपरेटर डिजेनरेट है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक क्वांटिटेटिव स्ट्रैटिफिकेशन, ब्लो-अप विश्लेषण, और कोन-आधारित कवरिंग आर्गुमेंट्स को संयोजित करने वाला एक नवीन ढांचा विकसित करते हैं।

A. वेरिएबल परिवर्तन और रेगुलराइजेशन (Change of Variables and Regularization)

एक घुमावदार $d$ -डायमेंशनल ग्राफ $\Gamma$ की ज्यामितीय जटिलता को संभालने के लिए, लेखक एक बाय-लिप्सिट्ज़ वेरिएबल परिवर्तन (डेविड-फेन्यूइल-मेबोरोडा के कार्य पर आधारित) का उपयोग करते हैं जो $\Gamma$ को $\mathbb{R}^d$ में सपाट (flatten) कर देता है।

यह रूपांतरण मूल डिजेनरेट ऑपरेटर को फ्लैट स्पेस $\mathbb{R}^n \setminus \mathbb{R}^d$ में एक नए ऑपरेटर में मैप करता है।
महत्वपूर्ण रूप से, वे सिद्ध करते हैं कि रूपांतरित गुणांक एक "हायर को-डायमेंशनल $C^{0,1}$ स्थिति" (परिभाषा 4.1) को संतुष्ट करते हैं। यह स्थिति सुनिश्चित करती है कि गुणांक सीमा से दूर लिप्सिट्ज़ हैं और सीमा के पास एक विशिष्ट ब्लॉक संरचना रखते हैं, जिससे रेगुलैरिटी थ्योरी का अनुप्रयोग संभव हो पाता है।

B. फ्रीक्वेंसी फंक्शन और मोनोटोनिसिटी (Frequency Function and Monotonicity)

लेखक डिजेनरेट वेट के अनुकूल एक अल्मग्रेन-टाइप फ्रीक्वेंसी फंक्शन $N_u(X_0, r)$ को परिभाषित करते हैं।

मोनोटोनिसिटी: वे सीमा $\Gamma$ पर केंद्रित $N_u$ के लिए एक 'ऑलमोस्ट-मोनोटोनिसिटी' फॉर्मूला सिद्ध करते हैं (लेम्मा 4.6)। यह समाधानों के वैनिशिंग ऑर्डर (vanishing order) को नियंत्रित करता है।
ब्लो-अप विश्लेषण: मोनोटोनिसिटी का उपयोग करते हुए, वे "कांस्टेंट कोएफिशिएंट" मॉडल इक्वेशन के होमोजेनियस सॉल्यूशंस की ओर अभिसरण (convergence) दिखाने के लिए ब्लो-अप लिमिट्स का प्रदर्शन करते हैं:
$-\text{div}(|t|^{-n+d+1} \nabla u) = 0 \quad \text{in } \mathbb{R}^n \setminus \mathbb{R}^d$

C. होमॉजीनियस सॉल्यूशंस का वर्गीकरण (Classification of Homogeneous Solutions)

मॉडल इक्वेशन के वैश्विक होमॉजीनियस सॉल्यूशंस को वर्गीकृत करने के लिए कार्य का एक महत्वपूर्ण हिस्सा (सेक्शन 3) समर्पित है।

हार्मोनिक पॉलिनॉमियल्स के विपरीत, इन समाधानों में स्फीयर $S^{n-d-1}$ पर लाप्लास आइजनफंक्शन्स और गैर-पूर्णांक होमोजेनिटी डिग्री शामिल होते हैं।
वे स्थापित करते हैं कि इन होमॉजीनियस सॉल्यूशंस का सिंगुलर सेट $(n-2)$ -डायमेंशनल प्लेन्स के चारों ओर कोन्स (cones) के भीतर स्थित होता है (थ्योरम 3.10)। यह शास्त्रीय मामले से एक महत्वपूर्ण विचलन है जहाँ सिंगुलर सेट एफाइन प्लेन्स (affine planes) के भीतर होता है।

D. कोन्स के साथ क्वांटिटेटिव स्ट्रैटिफिकेशन (Quantitative Stratification with Cones)

मानक क्वांटिटेटिव स्ट्रैटिफिकेशन तकनीक (चेगर-नाबर-वाल्टोर्टा) इस तथ्य पर निर्भर करती है कि यदि एक समाधान दो नजदीकी बिंदुओं पर होमॉजीनियस दिखता है, तो वह उन्हें जोड़ने वाली रेखा के साथ इनवेरिएंट होता है (जिसका अर्थ है कि बिंदु एक प्लेन के पास स्थित हैं)।

चुनौती: हाई को-डायमेंशन सेटिंग में, सीमा के बिंदु पर "ब्लो-अप", इंटीरियर बिंदु पर होने वाले ब्लो-अप से अलग समीकरण को हल करता है। शास्त्रीय "लाइन स्प्लिटिंग" तर्क विफल हो जाता है।
नवाचार: लेखक एक "कोन-स्प्लिटिंग आर्गुमेंट" पेश करते हैं। वे दिखाते हैं कि यदि कोई सिंगुलर पॉइंट सीमा के करीब है, तो उसे निकटतम सीमा बिंदु पर ब्लो-अप द्वारा निर्धारित एक विशिष्ट कोन के भीतर होना चाहिए।
यह सिद्ध करके कि ये कोन्स मोटे तौर पर एक ही दिशा में संकेत करते हैं ( $\Gamma$ की $C^{1,1}$ रेगुलैरिटी के कारण), वे सिंगुलर सेट के आकार को सीमित करने के लिए एक कवरिंग आर्गुमेंट बना सकते हैं।

3. मुख्य योगदान और परिणाम

मुख्य प्रमेय (Main Theorem - Theorem 1.1 / Corollary 6.5)

एक $C^{1,1}$ $d$ -डायमेंशनल सीमा $\Gamma$ के लिए डिजेनरेट एलिप्टिक इक्वेशन के एक समाधान $u$ के लिए:

मेजर अनुमान (Measure Estimate): सिंगुलर सेट $S(u)$ का स्थानीय रूप से परिमित $(n-2)$ -डायमेंशनल हाउसरडॉर्फ मेजर है:
$\mathcal{H}^{n-2}(S(u) \cap B_{r_0}) \leq C$
मिंकोव्स्की अनुमान (Minkowski Estimate): सिंगुलर सेट के $\epsilon$ -नेबरहुड का वॉल्यूम $\epsilon^2$ के रूप में स्केल करता है:
$\mathcal{L}^n(B_\epsilon(S(u)) \cap B_{r_0}) \leq C \epsilon^2$
रेक्टिफिएबिलिटी (Rectifiability): सिंगुलर सेट काउंटेबली $(n-2)$ -रेक्टिफिएबल है। इसे शून्य माप के सेट को छोड़कर, गणना योग्य कई $(n-2)$ -डायमेंशनल लिप्सिट्ज़ ग्राफ्स द्वारा कवर किया जा सकता है।

परिणामों की शार्पनेस (Sharpness of Results)

लेखक स्पष्ट उदाहरण (सेक्शन 2) बनाकर दिखाते हैं कि सिंगुलर सेट वास्तव में $(n-2)$ -डायमेंशनल हो सकता है और कुछ मामलों में पूरी सीमा $\Gamma$ को भी शामिल कर सकता है। यह सिद्ध करता है कि $(n-2)$ -डायमेंशनल अनुमान इष्टतम (optimal) है और इसे कम आयाम में नहीं सुधारा जा सकता (को-डायमेंशन 1 वाले मामले के विपरीत जहाँ सिंगुलर सेट अक्सर सीमा के सापेक्ष छोटा होता है)।
वे दर्शाते हैं कि हाउसरडॉर्फ मेजर अनुमान इस अर्थ में शार्प है कि किसी भी $\epsilon > 0$ के लिए, $(n-2-\epsilon)$ -मेजर अनंत हो सकता है।

तकनीकी प्रगति (Technical Advances)

कोन कंडीशंस (Cone Conditions): यह सिद्ध करना कि सीमा के पास के सिंगुलर पॉइंट्स को कोन्स द्वारा सीमित किया गया है (कोरोलरी 5.8) एक बड़ी तकनीकी सफलता है, जो पिछले साहित्य में उपयोग किए गए एफाइन प्लेन एप्रोक्सिमेशन को प्रतिस्थापित करती है।
रूपांतरित ऑपरेटरों की रेगुलैरिटी: यह कठोर प्रमाण (परिशिष्ट B) कि वेरिएबल परिवर्तन डिजेनरेट ऑपरेटर के लिए आवश्यक रेगुलैरिटी ( $C^{0,1}$ स्थिति) को बनाए रखता है, डिजेनरेट एलिप्टिक समीकरणों के सिद्धांत में एक मौलिक योगदान है।

4. महत्व और प्रभाव

यूनिक कंटीन्यूएशन का विस्तार: यह कार्य क्वांटिटेटिव यूनिक कंटीन्यूएशन के शक्तिशाली तंत्र को शास्त्रीय सेटिंग (यूनिफॉर्मली एलिप्टिक, हाइपरसरफेस सीमाएं) से डिजेनरेट, हाई को-डायमेंशन सेटिंग तक विस्तारित करता है।
ज्यामितीय माप सिद्धांत (Geometric Measure Theory): यह उन ऑपरेटरों के सिंगुलर सेट्स के लिए पहला कठोर ज्यामितीय माप अनुमान प्रदान करता है जो को-डायमेंशन $>2$ वाले सेट्स का पता लगाते हैं। यह फ्रैक्शनल लाप्लासियन (कैफेलि-सिलवेस्टर एक्सटेंशन के माध्यम से) और निम्न-आयामी सेट्स पर हारमोनिक मेजर से संबंधित समस्याओं के लिए प्रासंगिक है।
नई तकनीकें: क्वांटिटेटिव स्ट्रैटिफिकेशन में "प्लेन स्प्लिटिंग" से "कोन स्प्लिटिंग" की ओर बदलाव उन PDEs के विश्लेषण के लिए नए रास्ते खोलता है जहाँ सिंगुलैरिटी की ज्यामिति एक साधारण एफाइन सबस्पेस से अधिक जटिल होती है।
अनुप्रयोग: इन परिणामों के कंट्रोल थ्योरी, फ्री बाउंड्री प्रॉब्लम्स और डिजेनरेट वातावरण में आइजनफंक्शन्स के नोडल सेट्स के अध्ययन में संभावित अनुप्रयोग हैं।

संक्षेप में, एंजेलस्टीन, जेज़नाच और सिरे सफलतापूर्वक शास्त्रीय एलिप्टिक थ्योरी और उच्च को-डायमेंशन सीमाओं की जटिल ज्यामिति के बीच के अंतर को पाटते हैं, यह सिद्ध करते हुए कि ऑपरेटर की डिजेनेरेसी के बावजूद, सिंगुलर सेट सुव्यवस्थित रहता है (परिमित $(n-2)$ -मेजर और रेक्टिफिएबल), लेकिन इसके विश्लेषण के लिए मौलिक रूप से नए ज्यामितीय उपकरणों (कोन्स) की आवश्यकता होती है।