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Complexity Analysis of Normalizing Constant Estimation: from Jarzynski Equality to Annealed Importance Sampling and beyond

यह शोधपत्र आइसोपेरिटिक धारणाओं पर निर्भर किए बिना एनियल्ड इम्पोर्टेंस-आधारित नॉर्मलाइजिंग कांस्टेंट एस्टीमेशन के लिए पहले नॉन-एसिम्प्टोटिक ओरेकल कॉम्प्लेक्सिटी बाउंड्स स्थापित करता है और मल्टीमॉडल सेटिंग्स में पारंपरिक ज्यामितीय इंटरपोलेशन की सीमाओं को दूर करने के लिए एक नवीन रिवर्स डिफ्यूजन सैंपलर प्रस्तावित करता है।

मूल लेखक: Wei Guo, Molei Tao, Yongxin Chen

प्रकाशित 2026-05-20

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Wei Guo, Molei Tao, Yongxin Chen

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, धुंधले परिदृश्य के कुल आकार का पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं। आप पहाड़ियों और घाटियों (सिस्टम की "ऊर्जा") को देख सकते हैं, लेकिन धुंध इतनी घनी है कि आप एक बार में पूरी तस्वीर नहीं देख सकते। सांख्यिकी (statistics) और मशीन लर्निंग की दुनिया में, इस "कुल आकार" को नॉर्मलाइजिंग कांस्टेंट (normalizing constant) कहा जाता है। यह एक महत्वपूर्ण संख्या है जो संभावनाओं (probabilities) को सही ढंग से जोड़ने के लिए आवश्यक है, लेकिन इसकी गणना करना अत्यंत कठिन है, विशेष रूप से जब परिदृश्य में कई अलग-अलग शिखर (multimodal) हों या वह अविश्वसनीय रूप से उच्च-आयामी (high-dimensional) हो।

यह शोध पत्र, जिसे ICLR 2026 में प्रस्तुत किया गया है, इस प्रश्न का समाधान करता है: "इस संख्या की गणना करना कितना कठिन है, और क्या हम इसे तेज़ी से और अधिक विश्वसनीयता के साथ कर सकते हैं?"

यहाँ उनके निष्कर्षों का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है।

1. समस्या: "धुंधला पर्वत"

कल्पना कीजिए कि आप एक पर्वतों की श्रृंखला का कुल क्षेत्रफल मापने की कोशिश करने वाले एक हाइकर हैं।

पुराना तरीका (इम्पोर्टेंस सैंपलिंग - Importance Sampling): आप एक स्थान चुनते हैं, चारों ओर देखते हैं, और उस एक दृश्य के आधार पर पूरे क्षेत्र के आकार का अनुमान लगाते हैं। यदि पर्वत जटिल हैं (कई शिखर और घाटियाँ हैं), तो आपका अनुमान आमतौर पर बहुत खराब होता है क्योंकि आप अन्य शिखरों को पूरी तरह से मिस कर देते हैं। यह केवल एक पेड़ को देखकर पूरे जंगल के आकार का अनुमान लगाने जैसा है।
"एनीलिंग" (Annealing) समाधान: एक जगह से अनुमान लगाने के बजाय, आप एक पुल बनाते हैं। आप एक सरल, समतल मैदान (जहाँ आप आकार जानते हैं) से शुरू करते हैं और धीरे-धीरे उस जटिल पर्वत श्रृंखला में परिदृश्य को बदलते हैं। आप इस पुल के साथ छोटे कदम उठाते हैं और परिवर्तनों को मापते हैं। इसे एनीलिंग (Annealing) कहा जाता है।

2. दो मुख्य पुल: JE और AIS

यह पत्र इस पुल को बनाने के दो लोकप्रिय तरीकों का विश्लेषण करता है:

जारज़िंस्की समानता (Jarzynski Equality - JE): इसे एक भौतिकी प्रयोग के रूप में सोचें। आप एक रबर बैंड (सिस्टम) को एक शिथिल अवस्था से खींचकर एक खिंची हुई अवस्था तक बहुत तेज़ी से खींचते हैं। कई अलग-अलग तेज़ खिंचावों के दौरान आपके द्वारा डाली गई "कार्य" (ऊर्जा) को मापकर, आप शुरुआत और अंत के बीच ऊर्जा के अंतर की गणितीय गणना कर सकते हैं।
एनील्ड इम्पोर्टेंस सैंपलिंग (Annealed Importance Sampling - AIS): यह एक गाइडेड टूर की तरह है। आप हाइकरों के एक समूह (samples) को लेते हैं और उन्हें समतल मैदान से पर्वत शिखरों की ओर धीरे-धीरे ले जाते हैं, रास्ते में कई मध्यवर्ती कैंपसाइट्स पर रुकते हैं। प्रत्येक पड़ाव पर, आप समूह की स्थिति को इलाके (terrain) के अनुसार समायोजित करते हैं।

शोध पत्र की बड़ी खोज:
लंबे समय तक, हमें पता था कि ये तरीके व्यवहार में अच्छा काम करते हैं, लेकिन हमारे पास कोई सटीक गणितीय नियम पुस्तिका नहीं थी कि हमें सटीक उत्तर प्राप्त करने के लिए इस पुल को कितना लंबा होना चाहिए। लेखकों ने यह नियम पुस्तिका बनाई। उन्होंने सिद्ध किया कि कार्य की कठिनाई (जटिलता) उस चीज़ पर निर्भर करती है जिसे वे "एक्शन" (Action) कहते हैं।

"एक्शन" की उपमा: कल्पना कीजिए कि पुल एक रास्ता है। यदि रास्ता चिकना और सीधा है, तो "एक्शन" कम है, और गणना आसान है। यदि रास्ता ऊबड़-खाबड़ है, जिसमें हाइकरों को बड़े अंतराल के पार टेलीपोर्ट करने की आवश्यकता है, या जो हिंसक रूप से मुड़ता है, तो "एक्शन" अधिक है, और गणना घातीय रूप से (exponentially) कठिन हो जाती है।

3. "ज्यामितीय" (Geometric) पुल का जाल

वर्षों से, वैज्ञानिक ज्यामितीय इंटरपोलेशन (Geometric Interpolation) नामक एक विशिष्ट प्रकार के पुल का उपयोग करते आए हैं। यह लोकप्रिय है क्योंकि इसे कागज पर लिखना आसान है।

शोध पत्र की चेतावनी: लेखकों ने पाया कि जटिल, बहु-शिखर वाले परिदृश्यों (जैसे दो दूर स्थित शिखरों वाला पर्वत श्रृंखला) के लिए, यह ज्यामितीय पुल वास्तव में एक जाल है।
"टेलीपोर्टेशन" की समस्या: इस विशिष्ट पुल का उपयोग करके एक शिखर से दूसरे शिखर तक जाने के लिए, गणित हाइकरों को शिखरों के बीच के खाली स्थान में "टेलीपोर्ट" करने के लिए मजबूर करता है। इसके लिए असंभव मात्रा में ऊर्जा (अनंत "एक्शन") की आवश्यकता होती है। यह शोध पत्र गणितीय रूप से सिद्ध करता है कि कुछ कठिन समस्याओं के लिए, यह तरीका विफल हो जाएगा या इसमें असंभव रूप से लंबा समय लगेगा।

4. नया समाधान: "रिवर्स डिफ्यूजन" (Reverse Diffusion) लिफ्ट

चूंकि मानक पुल जटिल पहाड़ों के लिए बहुत अस्थिर है, इसलिए लेखक रिवर्स डिफ्यूजन सैंपलर (Reverse Diffusion Samplers) पर आधारित एक नई विधि प्रस्तावित करते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि परिदृश्य धीरे-धीरे धुंध से ढक रहा है जब तक कि वह पूरी तरह से एक समान सफेद कोहरे (एक मानक गॉसियन वितरण) में गायब नहीं हो जाता। यह एक "फॉरवर्ड" प्रक्रिया है।
नवाचार: धुंध से पर्वत तक का पुल बनाने के बजाय, लेखक इस प्रक्रिया को उल्टा (reverse) चलाने का सुझाव देते हैं। आप समान कोहरे से शुरू करते हैं और धीरे-धीरे धुंध को "हटाते" हैं, जिससे परिदृश्य स्वाभाविक रूप से प्रकट होता है।
यह बेहतर क्यों काम करता है: यह रिवर्स प्रक्रिया एक गाइडेड लिफ्ट की तरह काम करती है जो हाइकरों को कोहरे से शिखरों तक धीरे से ले जाती है, बिना उन्हें टेलीपोर्ट करने के लिए मजबूर किए। यह स्वाभाविक रूप से उन उछालों (jumps) को संभाल लेती है जहाँ पुराना तरीका संघर्ष करता था।

5. परिणाम: शिखर की ओर दौड़

लेखकों ने अपने नए "रिवर्स डिफ्यूजन" तरीके का परीक्षण दो कठिन परीक्षण मामलों पर किया:

मुलर ब्राउन लैंडस्केप (Müller Brown Landscape): भौतिकी में उपयोग किया जाने वाला एक क्लासिक, कठिन पर्वत श्रृंखला।
गॉसियन मिश्रण (Gaussian Mixture): चार अलग-अलग, अलग किए गए शिखरों वाला एक परिदृश्य।

परिणाम:

पुराने तरीके (TI और AIS): वे फंस गए। हाइकर उसी पहली घाटी में रुक गए जहाँ से उन्होंने शुरू किया था और अन्य शिखरों को कभी नहीं ढूंढ सके। उनके अनुमान (estimates) बहुत गलत (biased) थे।
नई विधि (Reverse Diffusion): हाइकर सफलतापूर्वक सभी शिखरों का पता लगाने में सफल रहे। उनके अनुमान सटीक थे, और "सैंपल्स" (हाइकरों की स्थिति) वास्तविक परिदृश्य के साथ पूरी तरह मेल खाते थे।

सारांश

यह शोध पत्र इस बात का पहला कठोर गणितीय प्रमाण प्रदान करता है कि परिदृश्य के बारे में अवास्तविक धारणाएं बनाए बिना इन "नॉर्मलाइजिंग कांस्टेंट्स" की गणना करना कितना कठिन है।

उन्होंने दिखाया कि कठिनाई आपके द्वारा लिए गए पथ की चिकनाई (smoothness) द्वारा निर्धारित होती है।
उन्होंने सिद्ध किया कि सबसे सामान्य पथ (ज्यामितीय इंटरपोलेशन) अक्सर बहुत ऊबड़-खाबड़ होता है और "टेलीपोर्टेशन" विफलताओं का कारण बनता है।
उन्होंने एक नया, चिकना पथ (रिवर्स डिफ्यूजन) पेश किया जो एक कोमल लिफ्ट की तरह काम करता है, जो उन जटिल, बहु-शिखर वाले परिदृश्यों में सफलतापूर्वक नेविगेट करता है जहाँ पुराने तरीके विफल हो जाते हैं।

संक्षेप में: यदि आपको एक जटिल, धुंधले परिदृश्य को मापने की आवश्यकता है, तो अंतरालों के पार एक अस्थिर पुल बनाने की कोशिश न करें। इसके बजाय, परिदृश्य को स्वाभाविक रूप से प्रकट करने के लिए नए "रिवर्स फॉग" (उल्टी धुंध) लिफ्ट का उपयोग करें।

तकनीकी सारांश: नॉर्मलाइजिंग कांस्टेंट एस्टीमेशन की जटिलता का विश्लेषण

समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र एक अननॉर्मलाइज्ड प्रोबेबिलिटी डेंसिटी $\pi \propto e^{-V}$ के लिए नॉर्मलाइजिंग कांस्टेंट $Z = \int_{\mathbb{R}^d} e^{-V(x)} dx$ (या समकक्ष फ्री एनर्जी $F = -\log Z$ ) का अनुमान लगाने की मौलिक समस्या को संबोधित करता है। यह कार्य बेयसियन सांख्यिकी (मार्जनल लाइकलीहुड), सांख्यिकीय यांत्रिकी (पार्टिशन फंक्शन्स), और मशीन लर्निंग (एनर्जी-बेस्ड मॉडल्स का प्रशिक्षण) में अत्यंत महत्वपूर्ण है। यह समस्या उच्च आयामों (high dimensions) या जब लक्षित वितरण (target distribution) $\pi$ मल्टीमॉडल (multimodal) हो, तब विशेष रूप से चुनौतीपूर्ण हो जाती है, क्योंकि पारंपरिक इम्पोर्टेंस सैंपलिंग (importance sampling) प्रपोजल और टार्गेट वितरण के बीच बेमेल होने के कारण उच्च विचरण (high variance) से ग्रस्त होती है।

एनीलिंग-आधारित विधियाँ जैसे कि जारज़िंस्की इक्वैलिटी (Jarzynski Equality - JE) और एनील्ड इम्पोर्टेंस सैंपलिंग (Annealed Importance Sampling - AIS) अनुभवजन्य रूप से सफल हैं, लेकिन उनके सैद्धांतिक जटिलता गारंटी (theoretical complexity guarantees) का अन्वेषण काफी हद तक अनछुआ रहा है, विशेष रूप से गैर-एसिम्प्टोटिक (non-asymptotic) सेटिंग्स में और बिना किसी मजबूत आइसोपेरिमेट्रिक स्थितियों (जैसे लॉग-कॉन्केविटी) के।

कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक स्टोकैस्टिक एनालिसिस और ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट के उपकरणों का लाभ उठाकर $Z$ के अनुमान के लिए एक गैर-एसिम्प्टोटिक विश्लेषण ढांचा विकसित करते हैं।

सैद्धांतिक ढांचा (Theoretical Framework):
- जारज़िंस्की इक्वैलिटी (JE): यह शोध पत्र एनेल्ड लैंघवेन डिफ्यूजन (ALD) को एक निरंतर-समय प्रक्रिया के रूप में मानकर JE का विश्लेषण करता है। यह वर्क फंक्शनल $W$ और फ्री एनर्जी डिफरेंस $\Delta F$ के बीच संबंध स्थापित करता है।
- गिरसानोव थ्योरम और ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट: एक प्रमुख तकनीकी नवाचार पथ के फॉरवर्ड मेजर (forward path measure - सैंपलिंग ट्राजेक्टरी) और बैकवर्ड मेजर के बीच संबंध स्थापित करने के लिए गिरसानोव थ्योरम का उपयोग करना है। यह विश्लेषण आइसोपेरिमेट्रिक असमानताओं (जैसे पोइन्केयर या लॉग-सोबोलेव) पर स्पष्ट निर्भरता से बचता है और इसके बजाय संभाव्यता मापों (probability measures) के कर्व के 'एक्शन' (action) का उपयोग करता है। एक्शन $A$ को इंटरपोलेशन कर्व के वासेस्टीन-2 ( $W_2$ ) दूरी के साथ स्क्वेर्ड मेट्रिक डेरिवेटिव के इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है।
- एनील्ड इम्पोर्टेंस सैंपलिंग (AIS): निरंतर गतिकी (continuous dynamics) को AIS का विश्लेषण करने के लिए विविक्त (discretize) किया जाता है। लेखक एक संदर्भ पथ मेजर (reference path measure) को परिभाषित करते हैं और वास्तविक सैंपलिंग पथ और इस संदर्भ पथ के बीच कुलबैक-लीब्लर (KL) डाइवर्जेंस को बांधते (bound) हैं। यह उन्हें डिस्क्रीट एल्गोरिदम के लिए ओरेकल कॉम्प्लेक्सिटी बाउंड्स प्राप्त करने की अनुमति देता है।
एल्गोरिद्मिक प्रस्ताव (Algorithmic Proposals):
- जियोमेट्रिक इंटरपोलेशन की सीमाएं: शोध पत्र पहचानता है कि व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले जियोमेट्रिक इंटरपोलेशन (पोटेंशियल का लीनियर इंटरपोलेशन) कुछ मल्टीमॉडल वितरणों (जैसे अच्छी तरह से अलग किए गए मोड्स वाले गौसियन मिश्रण) के लिए एक घातीय रूप से बड़े एक्शन का कारण बन सकते हैं, जिससे "मास टेलीपोर्टेशन" (mass teleportation) की समस्या उत्पन्न होती है जहाँ सैंपलर मोड के बीच कुशलतापूर्वक संक्रमण करने में विफल रहता है।
- रिवर्स डिफ्यूजन सैंपलर्स (RDS): जियोमेट्रिक इंटरपोलेशन की सीमाओं को दूर करने के लिए, लेखक रिवर्स डिफ्यूजन सैंपलर्स पर आधारित एल्गोरिदम का एक नया वर्ग प्रस्तावित करते हैं। ये विधियाँ ऑर्नस्टीन-उलेंबैक (OU) प्रक्रिया के टाइम-रिवर्शल का उपयोग करती हैं। OU प्रक्रिया स्वाभाविक रूप से टार्गेट वितरण को एक मानक गौसियन में बदल देती है जिसका एक्शन सुव्यवस्थित होता है, भले ही टार्गेट नॉन-लॉग-कॉन्केव हो। प्रस्तावित ढांचा स्कोर एस्टिमेटर्स का उपयोग करके इस रिवर्स प्रक्रिया को सिम्युलेट करके नॉर्मलाइजिंग कांस्टेंट का अनुमान लगाता है।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

यह शोध पत्र निम्नलिखित विशिष्ट योगदान देता है:

नवीन जटिलता विश्लेषण रणनीति: यह सामान्य टार्गेट वितरणों के लिए नॉर्मलाइजिंग कांस्टेंट एस्टीमेशन के विश्लेषण के लिए एक रणनीति पेश करता है जो लॉग-कॉन्केविटी की शर्तों को पूरा नहीं करते हैं। यह विश्लेषण लॉग-कॉन्केविटी के बजाय इंटरपोलेशन कर्व के एक्शन पर निर्भर करता है।
JE और AIS के लिए गैर-एसिम्प्टोटिक बाउंड्स:
- JE के लिए, यह सिद्ध करता है कि समय $T \propto A/\varepsilon^2$ के लिए एनेल्ड लैंघवेन डायनेमिक्स चलाना $Z$ को उच्च संभावना के साथ $\varepsilon$ सापेक्ष त्रुटि के भीतर अनुमानित करने के लिए पर्याप्त है, जहाँ $A$ कर्व का एक्शन है।
  क $\text{AIS के लिए, यह बिना लॉग-कॉन्केव टार्गेट के नॉर्मलाइजिंग कांस्टेंट एस्टीमेशन के लिए पहला गैर-एसिम्प्टोटिक ओरेकल कॉम्प्लेक्सिटी बाउंड स्थापित करता है। बाउंड को$ \tilde{O}\left( \frac{d^{4/3}}{\varepsilon^2} \vee \frac{m\beta A^{1/2}}{\varepsilon^2} \vee \frac{d\beta^2 A^2}{\varepsilon^4} \right) $के रूप में प्राप्त किया गया है, जहाँ$ d $आयाम है,$ \beta $स्मूथनेस है,$ m $सेकंड मोमेंट है, और$ A$ एक्शन है।
जियोमेट्रिक इंटरपोलेशन पर लोअर बाउंड: लेखक गौसियन मिक्सचर टार्गेट्स के लिए जियोमेट्रिक इंटरपोलेशन कर्व के एक्शन पर एक घातीय लोअर बाउंड सिद्ध करते हैं, जो मल्टीमॉडल सेटिंग्स में मानक AIS की अक्षमता के लिए एक मात्रात्मक स्पष्टीकरण प्रदान करता है।
RDS ढांचा: यह RDS-आधारित एल्गोरिदम के ओरेकल कॉम्प्लेक्सिटी का विश्लेषण करने के लिए एक ढांचा प्रस्तावित करता है और प्रदर्शित करता है कि OU प्रक्रिया मल्टीमॉडल टार्गेट्स के लिए बेहतर एक्शन गुणों ( $O(d\beta + m^2)$ ) वाला एक कर्व प्रदान करती है।

परिणाम (Results)

सैद्धांतिक: व्युत्पन्न जटिलता बाउंड्स (complexity bounds) दिखाए गए हैं कि वे एक्शन $A$ पर निर्भर हैं। विश्लेषण पुष्टि करता है कि नॉर्मलाइजिंग कांस्टेंट का अनुमान लगाने की जटिलता, सैंपलिंग की जटिलता से मात्रात्मक रूप से जुड़ी हुई है, जो पिछले डिस्क्रीट परिणामों को बिना लॉग-कॉन्केविटी के निरंतर सेटिंग्स तक विस्तारित करती है।
अनुभवजन्य (Empirical): $\mathbb{R}^2$ $R^{2}$ में दो मल्टीमॉडल वितरणों (एक संशोधित म्यूलर ब्राउन वितरण और एक 4-कंपोनेंट गौसियन मिश्रण) पर प्रयोग RDS-आधारित विधियों की TI और AIS पर श्रेष्ठता प्रदर्शित करते हैं।
- TI और AIS: दोनों विधियों ने नॉर्मलाइजिंग कांस्टेंट के गंभीर रूप से बायस्ड (biased) अनुमान दिए और टार्गेट के सभी मोड्स को कवर करने में विफल रहीं (प्रारंभिक मोड में ही फंस गईं)।
- RDS विधियाँ (RDMC, RSDMC, ZODMC, SNDMC): चारों RDS-आधारित विधियों ने नॉर्मलाइजिंग कांस्टेंट का सटीक अनुमान प्रदान किया (सापेक्ष त्रुटि 1 के करीब) और उच्च गुणवत्ता वाले सैंपल उत्पन्न किए जिन्होंने कम मैक्सिमम मीन डिसपेंस (MMD) और वासेस्टीन-2 ( $W_2$ ) दूरियों से सभी मोड्स को कवर किया।

महत्व (Significance)

यह शोध पत्र दावा करता है कि यह नॉर्मलाइजिंग कांस्टेंट एस्टीमेशन के लिए एनीलिंग-आधारित विधियों के कठोर गैर-एसिम्प्टोटिक विश्लेषण की दिशा में एक "पहला कदम" है। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

मान्यताओं को शिथिल करना: लॉग-कॉन्केविटी की प्रतिबंधात्मक धारणाओं से आगे बढ़ना, जिसने इन विधियों की व्यावहारिक, मल्टीमॉडल परिदृश्यों में सैद्धांतिक समझ को सीमित कर दिया था।
अक्षमता को मात्रात्मक बनाना: एक एक्शन लोअर बाउंड के माध्यम से यह सैद्धांतिक स्पष्टीकरण प्रदान करना कि मानक जियोमेट्रिक एनीलिंग मल्टीमॉडल सेटिंग्स में क्यों विफल रहती है, जो पहले अनुभवजन्य रूप से देखा गया है।
सैंपलिंग और एस्टीमेशन को जोड़ना: निरंतर, नॉन-लॉग-कॉन्केव सेटिंग्स में सैंपलिंग की जटिलता और नॉर्मलाइजिंग कांस्टेंट के अनुमान की जटिलता के बीच एक मात्रात्मक लिंक स्थापित करना।
समाधान का प्रस्ताव: रिवर्स डिफ्यूजन सैंपलर्स को एक व्यवहार्य विकल्प के रूप में पेश करना और विश्लेषण करना जो मल्टीमोडैलिटी को प्रभावी ढंग से संभालने के लिए OU प्रक्रिया के अनुकूल गुणों का लाभ उठाता है।

लेखक नोट करते हैं कि जबकि उनके अपर बाउंड्स (upper bounds) प्राप्त किए गए हैं, उनकी टाइटनेस (tightness) अज्ञात है, और एक्शन मेट्रिक की व्यावहारिक व्याख्यात्मकता के लिए और अध्ययन की आवश्यकता है। वे सुझाव देते हैं कि भविष्य का कार्य इन तकनीकों को अन्य सैंपलर्स (जैसे हैमिल्टोनियन डायनेमिक्स) और डिस्क्रीट वितरणों तक विस्तारित कर सकता है।