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Distributional Instrumental Variable Method

यह शोध पत्र डिस्ट्रीब्यूशनल इंस्ट्रूमेंटल वेरिएबल (DIV) पद्धति का प्रस्ताव करता है, जो गैर-रेखीय इंस्ट्रूमेंटल वेरिएबल सेटिंग्स के लिए एक जनरेटिव मॉडलिंग दृष्टिकोण है जो संपूर्ण इंटरवेंशनल डिस्ट्रीब्यूशन का अनुमान लगाता है, और सिम्युलेटेड तथा वास्तविक आर्थिक एवं जैविक अनुप्रयोगों दोनों में मौजूदा विधियों की तुलना में बेहतर पहचान क्षमता (identifiability) और अनुमान सटीकता प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Anastasiia Holovchak, Sorawit Saengkyongam, Nicolai Meinshausen, Xinwei Shen

प्रकाशित 2026-06-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Anastasiia Holovchak, Sorawit Saengkyongam, Nicolai Meinshausen, Xinwei Shen

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक रहस्य सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं: किसी विशिष्ट परिणाम का वास्तविक कारण क्या है?

वास्तविक दुनिया में, चीजें बहुत जटिल होती हैं। यदि आप जानना चाहते हैं कि क्या एक नई दवा (उपचार) किसी बीमारी (परिणाम) को ठीक करती है, तो आप केवल उन लोगों को नहीं देख सकते जिन्होंने दवा ली और उन लोगों को नहीं जो नहीं ली। क्यों? क्योंकि दवा लेने वाले लोगों ने शायद पहले से ही बेहतर स्वास्थ्य चुना होगा, या उनका आहार बेहतर हो सकता है। ये छिपे हुए कारक अदृश्य कठपुतली नर्तकों (invisible puppeteers) की तरह हैं जो उपचार और परिणाम दोनों की डोर खींच रहे हैं, जिससे ऐसा लग सकता है कि दवा काम कर रही है जबकि शायद वह नहीं कर रही है।

सांख्यिकी (statistics) में, इसे कन्फाउंडिंग (confounding) कहा जाता है। इसे हल करने के लिए, वैज्ञानिक एक विशेष उपकरण का उपयोग करते हैं जिसे इंस्ट्रुमेंटल वेरिएबल (Instrumental Variable - IV) कहा जाता है। एक 'इंस्ट्रूमेंट' को एक रैंडम कॉइन फ्लिप (सिक्का उछालना) की तरह समझें जो तय करता है कि किसे उपचार मिलेगा, लेकिन उसका परिणाम पर कोई सीधा प्रभाव नहीं होता। यह एक लॉटरी टिकट की तरह है जो किसी व्यक्ति को दवा लेने के लिए मजबूर करता है, लेकिन वह टिकट खुद उसे स्वस्थ या बीमार नहीं बनाता।

पुराना तरीका बनाम नया तरीका

पुराना तरीका (2SLS):
द दशकों से, मानक जासूसी उपकरण (जिसे टू-स्टेज लीस्ट स्क्वायर्स या 2SLS कहा जाता है) औसत (average) प्रभाव खोजने में बहुत अच्छा रहा है। यह सवाल का जवाब देता है: "औसतन, क्या यह दवा मदद करती है?"
हालाँकि, इसकी दो बड़ी खामियां हैं:

यह केवल औसत देखता है: यह विवरणों को छोड़ देता है। हो सकता है कि दवा 90% लोगों की मदद करती हो लेकिन 10% को गंभीर रूप से नुकसान पहुँचाती हो। औसत "ठीक" दिख सकता है, जो खतरे को छिपा लेता है।
यह आसानी से अटक जाता है: यदि "सिक्का उछाल" (इंस्ट्रूमेंट) पर्याप्त मजबूत नहीं है या यदि ट्रैक करने के लिए बहुत अधिक उपचार हैं, तो पुराना तरीका टूट जाता है और कहता है, "मैं इसे हल नहीं कर सकता।"

नया तरीका (DIV):
यह पेपर एक नई विधि पेश करता है जिसे डिस्ट्रीबशनल इंस्ट्रुमेंटल वेरिएबल (Distributional Instrumental Variable - DIV) कहा जाता है। केवल औसत देखने के बजाय, DIV इस बात को पुनर्गठित करने की कोशिश करता है कि वास्तव में क्या होता है।

इसे इस तरह समझें:

पुराना तरीका: आप एक गवाह से पूछते हैं, "क्या संदिग्ध औसत से लंबा दिखता था?" वे कहते हैं, "हाँ।" आप औसत ऊंचाई जानते हैं, लेकिन आप उनके चेहरे का आकार नहीं जानते।
DIV तरीका: आप गवाह से उस पूरे व्यक्ति का वर्णन करने के लिए कहते हैं। "वे कैसे दिखते थे? उनकी लंबाई कितनी थी? उनका शरीर कैसा था? क्या उनके चेहरे पर कोई निशान था?" DIV परिणाम का एक पूर्ण 3D मॉडल बनाता है, न कि केवल एक सपाट औसत।

DIV कैसे काम करता है ("जेनेरेटिव" जादू)

DIV जेनेरेटिव मॉडलिंग (Generative Modeling) नामक चीज़ का उपयोग करता है। कल्पना कीजिए कि आप एक कुशल मूर्तिकार हैं।

सेटअप: आपके पास मिट्टी का एक पिंड (डेटा) है जिसमें कुछ छिपे हुए, कीचड़ जैसे तत्व (कन्फाउंडर्स) मिले हुए हैं।
सुराग: आपके पास एक विशिष्ट उपकरण (इंस्ट्रूमेंट) है जिसने कीचड़ मिलने से पहले मिट्टी को एक अनूठे तरीके से आकार दिया था।
प्रक्रिया: DIV एक न्यूरल नेटवर्क (एक प्रकार का AI) का उपयोग यह सीखने के लिए करता है कि उस उपकरण ने मिट्टी को बिल्कुल कैसे आकार दिया। यह डेटा की "रेसिपी" (विधि) को सीखता है।
परिणाम: एक बार जब यह रेसिपी सीख लेता है, तो यह सिम्युलेट (अनुकरण) कर सकता है कि यदि आप मिट्टी पर एक विशिष्ट आकार (उपचार) थोपते, तो वह कैसी दिखती, जिसमें कीचड़ वाले तत्वों को पूरी तरह से अनदेखा किया गया हो।

क्योंकि यह पूरी रेसिपी को सीखता है, इसलिए DIV आपको बता सकता है:

औसत प्रभाव (पुराना तरीका)।
"सबसे खराब-मामले" (worst-case scenarios/quantiles) के प्रभाव।
"सबसे अच्छे-मामले" (best-case scenarios) के प्रभाव।
संभावित परिणामों का संपूर्ण वितरण (entire distribution)।

यह एक बड़ी बात क्यों है?

पेपर तीन बड़ी जीत का दावा करता है:

"अंडर-आइडेंटिफाइड" रहस्य को सुलझाना:
कभी-कभी, आपके पास एक कमजोर सुराग (कमजोर इंस्ट्रूमेंट) होता है या बहुत अधिक संदिग्ध (बहुत सारे उपचार) होते हैं। पुराना तरीका (2SLS) यहाँ हार मान लेता है। हालाँकि, DIV डेटा वितरण के हर छोटे विवरण का उपयोग करता है। यह एक पहेली को बॉक्स पर बनी तस्वीर के बजाय कार्डबोर्ड की बनावट को देखकर सुलझाने जैसा है। पेपर दिखाता है कि DIV उन मामलों को भी हल कर सकता है जहाँ पुराना तरीका पूरी तरह विफल हो जाता है।
पूरी तस्वीर देखना:
वास्तविक जीवन में, उपचार केवल औसत को नहीं बदलते; वे परिणाम का आकार भी बदल देते हैं। DIV इसे पकड़ लेता है। यह बता सकता है कि क्या कोई नीति गरीबों की मदद करती है लेकिन अमीरों को नुकसान पहुँचाती है, या क्या कोई दवा अधिकांश के लिए काम करती है लेकिन दुर्लभ, गंभीर दुष्प्रभावों का कारण बनती है।
वास्तविक दुनिया का प्रमाण:
लेखकों ने दो बहुत अलग वास्तविक दुनिया के डेटासेट पर DIV का परीक्षण किया:

अर्थशास्त्र (Economics): उन्होंने देखा कि "संस्थागत गुणवत्ता" (जैसे संपत्ति के अधिकार) किसी देश की संपत्ति को कैसे प्रभावित करती है। परिणाम प्रसिद्ध मूल अध्ययन से मेल खाते हैं, जो साबित करते हैं कि DIV जटिल आर्थिक डेटा पर काम करता है।
जीव विज्ञान (Single-Cell Data): उन्होंने देखा कि एक जीन की अभिव्यक्ति (expression) बदलने से दूसरे जीन पर क्या प्रभाव पड़ता है। इस अस्त-व्यस्त जैविक दुनिया में, DIV नए, अनदेखे आनुवंशिक हस्तक्षेपों के तहत क्या होगा, इसकी भविष्यवाणी करने में अन्य तरीकों से बेहतर था। यह अधिक स्थिर (stable) और सामान्यीकरण योग्य (generalizable) था, जिसका अर्थ है कि वातावरण बदलने पर यह भ्रमित नहीं हुआ।

निष्कर्ष

डिस्ट्रीशनल इंस्ट्रुमेंटल वेरिएबल (DIV) विधि ब्लैक-एंड-व्हाइट फोटो से हाई-डेफिनिशन, 360-डिग्री वीडियो में अपग्रेड करने जैसा है। यह केवल कारण-और-प्रभाव संबंध के "औसत" परिणाम को नहीं बताती है; यह संभावनाओं के पूरे परिदृश्य का पुनर्निर्माण करती है। यह तब भी काम करती है जब सुराग कमजोर हों या स्थिति जटिल हो, और यह शोधकर्ताओं को दुनिया कैसे काम करती है, इसकी बहुत समृद्ध और अधिक सटीक समझ प्रदान करती है।

लेखकों ने "मूर्तिकला उपकरण" (सॉफ्टवेयर) को R और Python में दूसरों के उपयोग के लिए भी उपलब्ध करा दिया है।

तकनीकी सारांश: डिस्ट्रीब्यूशनल इंस्ट्रुमेंटल वेरिएबल (DIV) विधि

समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र उन स्थितियों में कारण प्रभावों (causal effects) का अनुमान लगाने की चुनौती को संबोधित करता है जहाँ अनकहे कन्फाउंडर्स (unmeasured confounding - छिपे हुए कन्फाउंडर्स $H$ ) मौजूद होते हैं और रैंडमाइज्ड प्रयोग उपलब्ध नहीं होते। जबकि इंस्ट्रुमेंटल वेरिएबल (IV) दृष्टिकोण एक मानक उपकरण है, मौजूदा विधियाँ आमतौर पर कारण प्रभाव के विशिष्ट फंकशनल्स (functionals) का अनुमान लगाने पर केंद्रित होती हैं, जैसे कि औसत कारण प्रभाव (mean causal effect) (उदाहरण के लिए, टू-स्टेज लीस्ट स्क्वायर्स, 2SLS के माध्यम से) या क्वांटाइल ट्रीटमेंट इफेक्ट्स।

लेखकों का तर्क है कि कारण प्रभावों को एकल मात्राओं (जैसे माध्य/means) में संक्षेपित करना मूल्यवान जानकारी को नष्ट कर देता है। कई अनुप्रयोगों में, उपचार $X$ पर $do$-इंटरवेंशन (do-intervention) के तहत परिणाम $Y$ के संपूर्ण इंटरवेंशनल डिस्ट्रीब्यूशन (entire interventional distribution) $P_{do(X:=x)}(Y)$ को समझना अधिक सूचनात्मक होता है। इसके अलावा, पारंपरिक IV विधियाँ अक्सर उन "अंडर-आइडेंटिफाइड" (under-identified) सेटिंग्स में विफल हो जाती हैं जहाँ इंस्ट्रमेंट्स की संख्या उपचार चरों की संख्या से कम होती है, या जब इंस्ट्रूमेंट और उपचार के बीच का संबंध कंडीशनल मीन्स (conditional means) के संदर्भ में कमजोर होता है लेकिन उच्च-क्रम के डिस्ट्रीब्यूशनल मोमेंट्स (higher-order distributional moments) के संदर्भ में मजबूत होता है।

कार्यप्रणाली: डिस्ट्रीब्यूशनल इंस्ट्रुमेंटल वेरिएबल (DIV)

प्रस्तावित डिस्ट्रीब्यूशनल इंस्ट्रुमेंटल वेरिएबल (DIV) विधि एक स्ट्रक्चरल कॉज़ल मॉडल (SCM) फ्रेमवर्क के भीतर जेनरेटिव मॉडलिंग (generative modelling) का लाभ उठाकर पूर्ण इंटरवेंशनल डिस्ट्रीब्यूशन का अनुमान लगाती है।

1. स्ट्रक्चरल कॉज़ल मॉडल और जेनरेटिव फॉर्मूलेशन

लेखक मानते हैं कि डेटा एक SCM द्वारा उत्पन्न होता है जहाँ:
$X := g(Z, \eta_X)$
$Y := f(X, \eta_Y)$
यहाँ, $Z$ इंस्ट्रूमेंट है, $X$ उपचार है, $Y$ परिणाम है, और $\eta_X, \eta_Y$ शोर (noise) के पद हैं जो छिपे हुए कन्फाउंडिंग के कारण सह-संबंधित (correlated) हैं। क्लासिकल लीनियर IV विधियों के विपरीत, DIV सामान्य नॉनलीनर फंक्शन $g$ और $f$ की अनुमति देता है और एडिटिव नॉइज़ (additive noise) की धारणा नहीं रखता है।

$\eta_X$ और $\eta_Y$ के बीच सह-संबंध को कैप्चर करने के लिए, DIV शोर के पदों को स्वतंत्र स्टैंडर्ड गॉसियन वेरिएबल्स और एक साझा लेटेंट नॉइज़ कंपोनेंट के फलन (functions) के रूप में मॉडल करता है:
$\eta_X = h_X(\varepsilon_X, \varepsilon_H)$
$\eta_Y = h_Y(\varepsilon_Y, \varepsilon_H)$
जहाँ $\varepsilon_X, \varepsilon_Y, \varepsilon_H$ स्वतंत्र स्टैंडर्ड गॉसियन्स हैं। यह $Z$ के दिए होने पर $(X, Y)$ के लिए एक संयुक्त जेनरेटिव मॉडल प्रदान करता है।

2. एनेर्जी स्कोर के माध्यम से अनुमान (Estimation via Energy Score)

DIV विधि का मूल भाग 'एंग्रेशन' (Engression) (शेन और मीनशौसेन, 2024) का उपयोग करके संयुक्त कंडीशनल डिस्ट्रीब्यूशन $P(X, Y | Z)$ को फिट करना है। मॉडल पैरामीटर्स ( $g, f, h_X, h_Y$ के लिए न्यूरल नेटवर्क) को अपेक्षित नेगेटिव एनेर्जी स्कोर (expected negative energy score) को कम करने के लिए अनुकूलित किया जाता है, जो मल्टीवेरिएट डिस्ट्रीब्यूशन के लिए एक स्ट्रिक्टली प्रोपर स्कोरिंग रूल है।

पॉपुलेशन ऑब्जेक्टिव (Population objective) है:
$(g^*, f^*, h_X^*, h_Y^*) \in \arg \min_{f,g,h_X,h_Y} \mathbb{E} \left[ \|(X, Y) - (\hat{X}, \hat{Y})\| - \frac{1}{2}\|(\hat{X}, \hat{Y}) - (\hat{X}', \hat{Y}')\| \right]$
जहाँ $(\hat{X}, \hat{Y})$ और $(\hat{X}', \hat{Y}')$ मॉडल द्वारा उत्पन्न स्वतंत्र नमूने (samples) हैं।

3. इंटरवेंशनल डिस्ट्रीब्यूशन का अनुमान

एक बार मॉडल फिट हो जाने के बाद, इंटरवेंशनल डिस्ट्रीब्यूशन $P_{do(X:=x)}(Y)$ का अनुमान सैंपलिंग के माध्यम से लगाया जाता है। एक $do $-इंटरवेंशन$ do(X:=x)$, $X$ और उसके शोर $\eta_X$ के बीच के लिंक को काट देता है। प्रक्रिया में शामिल है:

$\varepsilon_Y$ और $\varepsilon_H$ को स्टैंडर्ड गॉसियन्स से सैंपल करना।
शोर $\eta_Y^* = h_Y^*(\varepsilon_Y, \varepsilon_H)$ की गणना करना।
परिणाम $Y^* = f^*(x, \eta_Y^*)$ उत्पन्न करना।

इन नमूनों से, डिस्ट्रीब्यूशन के किसी भी फंकशनल (जैसे माध्य, क्वांटाइल, वेरिएंस) का अनुमान मोंटे कार्लो (Monte Carlo) विधि द्वारा लगाया जा सकता है।

मुख्य सैद्धांतिक योगदान (Key Theoretical Contributions)

यह शोध पत्र तीन अलग-अलग मॉडल कॉन्फ़िगरेशन के तहत इंटरवेंशनल डिस्ट्रीब्यूशन के लिए आइडेंटिफिएबिलिटी (identifiability) परिणाम स्थापित करता है:

सामान्य मॉडल क्लास: लेटेंट डिस्टरबेंस में स्ट्रिक्ट मोनोटोनिसिटी (strict monotonicity) और एक कॉमन सपोर्ट कंडीशन (जिसके लिए इंस्ट्रूमेंट का एक बड़ा सपोर्ट होना आवश्यक है) के तहत, इंटरवेंशनल डिस्ट्रीब्यूशन ऑब्जर्व्ड डेटा से विशिष्ट रूप से आइडेंटिफिएबल है।
प्री-एडिटिव नॉइज़ मॉडल्स (कंटीन्यूअस इंस्ट्रूमेंट): आउटकम मॉडल को प्री-एडिटिव नॉइज़ फॉर्म तक सीमित करके, लेखक दिखाते हैं कि इंटरवेंशनल डिस्ट्रीब्यूशन आइडेंटिफिएबल है, भले ही इंस्ट्रूमेंट का सपोर्ट निरंतर (continuous) हो और वह "लार्ज सपोर्ट" की शर्त को पूरा न करता हो।
प्री-एडिटिव नॉइज़ मॉडल्स (डिस्क्रीट/बाइनरी इंस्ट्रूमेंट): महत्वपूर्ण रूप से, यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि प्री-एडिटिव नॉइज़ मॉडल्स के लिए, इंटरवेंशनल डिस्ट्रीब्यूशन एक बाइनरी इंस्ट्रूमेंट और मल्टीवेरिएट ट्रीटमेंट के साथ भी आइडेंटिफिएबल है (एक ऐसी स्थिति जहाँ $dim(Z) < dim(X)$ है और जो अंडर-आइडेंटिफाइड है)। यह 2SLS के विपरीत है, जो ऐसे मामलों में मल्टीकोलिनैरिटी के कारण विफल हो जाता है। लेखक दिखाते हैं कि यदि इंस्ट्रूमेंट उपचार के वितरण को केवल एक नियत शिफ्ट (deterministic shift) के रूप में प्रभावित नहीं करता है (अर्थात, कंडीशनल डिस्ट्रीब्यूशन केवल मीन शिफ्ट से परे भिन्न होते हैं), तो पूर्ण डिस्ट्रीब्यूशनल जानकारी पहचान (identification) के लिए पर्याप्त होती है।

पेपर एक सरल पैरामेट्रिक लीनियर सबक्लास में DIV एस्टीमेटर की कंसिस्टेंसी (consistency) को भी सिद्ध करता है।

अनुभवजन्य परिणाम (Empirical Results)

लेखक DIV का मूल्यांकन 2SLS, कंट्रोल फंक्शन्स (CF), DeepIV, DeepGMM, HSIC-X, IVQR, और DIVE सहित बेंचमार्क्स के विरुद्ध करते हैं।

सिम्युलेटेड डेटा (Simulated Data):
- मीन और क्वांटाइल एस्टीमेशन: DIV लीनियर, नॉनलीनियर, और प्री-एडिटिव नॉइज़ सेटिंग्स में इंटरवेंशनल मीन्स और क्वांटाइल्स का अनुमान लगाने में प्रतिस्पर्धी या श्रेष्ठ प्रदर्शन करता है।
- अंडर-आइडेंटिफाइड मामले: उन परिदृश्यों में जहाँ एक सिंगल बाइनरी इंस्ट्रूमेंट और टू-डायमेंशनल ट्रीटमेंट ($dim(Z)=1, dim(X)=2$) है, 2SLS और अन्य बेंचमार्क्स कारण पैरामीटर्स को पहचानने में विफल रहते हैं। DIV पूर्ण डिस्ट्रीब्यूशनल जानकारी का उपयोग करके पैरामीटर्स को सफलतापूर्वक रिकवर करता है।
- वीक इंस्ट्रूमेंट्स: DIV तब भी मजबूत रहता है जब इंस्ट्रूमेंट का मीन रेलेवेंस (mean relevance) या मीन-वेरिएंस रेलेवेंस कमजोर होता है, बशर्ते कि उच्च-क्रम के डिस्ट्रीब्यूशनल मोमेंट्स स्ट्रक्चरल जानकारी ले जाते हों।
वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग (Real-World Applications):
- आर्थिक डेटा (Acemoglu et al., 2001): संस्थागत गुणवत्ता और GDP के बीच संबंध पर लागू किया गया। DIV एक सकारात्मक, लगभग लीनियर कॉज़ल इफेक्ट रिकवर करता है जो मूल 2SLS निष्कर्षों के अनुरूप है, साथ ही पूर्ण डिस्ट्रीब्यूशनल एस्टीमेट (क्वांटाइल्स) भी प्रदान करता है।
- सिंगल-सेल डेटा: अनदेखे CRISPR परटर्बेशन्स के तहत जीन एक्सप्रेशन प्रेडिक्शन पर लागू किया गया। DIV अन्य विधियों की तुलना में अनदेखे इंटरवेंशन एनवायरनमेंट्स के प्रति बेहतर जनरलाइज़ेबिलिटी (generalizability) और विभिन्न ट्रेनिंग सबसेट्स के बीच स्थिरता (stability) प्रदर्शित करता है, जो यह सुझाव देता है कि यह अंतर्निहित कॉज़ल मैकेनिज्म को अधिक प्रभावी ढंग से कैप्चर करता है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

लेखक दावा करते हैं कि DIV कॉज़ल इन्फरेंस में एक महत्वपूर्ण प्रगति प्रदान करता है:

एस्टिमैंड का विस्तार: माध्य या क्वांटाइल प्रभावों से आगे बढ़कर पूरे इंटरवेंशनल डिस्ट्रीब्यूशन का अनुमान लगाना, जो कॉज़ल मैकेनिज्म और एलेटोरिक अनसर्टेंटी (aleatoric uncertainty) की गहरी समझ प्रदान करता है।
आइडेंटिफिकेशन सीमाओं को पार करना: "अंडर-आइडेंटिफाइड" समस्याओं को हल करना जहाँ पारंपरिक IV विधियाँ (जैसे 2SLS) विफल हो जाती हैं, विशेष रूप से डिस्क्रीट इंस्ट्रूमेंट्स और मल्टीवेरिएट ट्रीटमेंट वाले सेटिंग्स में डिस्ट्रीब्यूशनल जानकारी का लाभ उठाकर।
लचीलापन (Flexibility): प्रतिबंधात्मक एडिटिव नॉइज़ धारणाओं के बिना सामान्य नॉनलीनियर संबंधों को समाहित करना।
व्यावहारिक उपयोगिता: एक कंप्यूटेशनल रूप से कुशल सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन (R और Python) प्रदान करना जो अनुमानित इंटरवेंशनल डिस्ट्रीब्यूशन से सैंपलिंग की अनुमति देता है, जिससे किसी भी डिस्ट्रीब्यूशनल फंकशनल की गणना सुलभ हो जाती है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि हालांकि यह विधि $P(X, Y | Z)$ के संयुक्त वितरण के अनुमान पर निर्भर करती है, लेकिन यह दृष्टिकोण इंस्ट्रूमेंट्स से प्राप्त जानकारी के अधिकतम उपयोग को सुनिश्चित करता है, जो जटिल और कन्फाउंडेड सेटिंग्स में आइडेंटिफिकेशन के सर्वोत्तम अवसर प्रदान करता है। उल्लेखित भविष्य के कार्य दिशाओं में एपिस्टेमिक अनसर्टेंटी क्वांटिफिकेशन (epistemic uncertainty quantification) और डिस्ट्रीब्यूशन जनरलाइजेशन कार्यों में कार्यप्रणाली को लागू करना शामिल है।