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Integrally Hilbertian rings and the polynomial Schinzel hypothesis

यह शोध पत्र इंटीग्रली हिल्बर्टियन रिंग्स (integrally Hilbertian rings) की अवधारणा को पेश करता है ताकि इंटीग्रल डोमेन पर बहुपद अपरिमेयता (polynomial irreducibility) को संरक्षित करने के लिए एक सामान्य मानदंड स्थापित किया जा सके, जिससे शिनज़ेल हाइपोथेसिसिस (Schinzel Hypothesis) के एक बहुपद संस्करण को सिद्ध किया जा सके जो पूर्णांक अभाज्य संख्याओं (integer primes) को $\mathcal{Z}[U]$ में अपरिमेय बहुपदों से प्रतिस्थापित करता है।

मूल लेखक: Angelot Behajaina, Pierre Dèbes, Joachim König

प्रकाशित 2026-04-09

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Angelot Behajaina, Pierre Dèbes, Joachim König

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक बहुत ही सख्त रसोई चलाने वाले मास्टर शेफ हैं। आपके पास एक विशाल, जटिल रेसिपी बुक (एक बहुपद/polynomial) है जो आपको एक आदर्श, अविभाज्य व्यंजन (एक अविभाज्य/irreducible वस्तु) बनाने के लिए सामग्रियों को मिलाने का निर्देश देती है।

गणित की दुनिया में, विशेष रूप से अंकगणितीय ज्यामिति (Arithmetic Geometry) में, एक प्रसिद्ध नियम है जिसे हिल्बर्ट स्पेशलाइजेशन प्रॉपर्टी (Hilbert Specialization Property) कहा जाता है। इसे एक गारंटी के रूप में सोचें: "यदि आपके पास एक आदर्श रेसिपी है जो अमूर्त (abstract) रूप में काम करती है, तो आप कुछ अस्पष्ट सामग्रियों को विशिष्ट, वास्तविक दुनिया की संख्याओं से बदल सकते हैं, और व्यंजन अभी भी आदर्श और अविभाज्य बनेगा।"

लंबे समय तक, गणितज्ञ केवल एक "क्षेत्र" (जैसे कि परिमेय संख्याएँ $\mathbb{Q}$ ) में ऐसा करने के बारे में जानते थे, जहाँ आप किसी भी चीज़ से भाग दे सकते हैं (शून्य को छोड़कर)। यह एक ऐसी रसोई में खाना पकाने जैसा है जहाँ आपके पास अनंत पानी है और आप किसी भी चीज़ को घोल सकते हैं।

बड़ी समस्या:
वास्तविक जीवन ऐसा नहीं है। रिंग्स (rings) (जैसे कि पूर्णांक $\mathbb{Z}$ ) की दुनिया में, आप हर चीज़ से भाग नहीं दे सकते। यहाँ आपके पास "निश्चित विभाजक" (fixed divisors) होते हैं।

सादृश्य (Analogy): कल्पना कीजिए कि आपकी रेसिपी कहती है "2 कप आटा डालें।" यदि आप किसी विशिष्ट संख्या में लोगों के लिए व्यंजन बनाने की कोशिश करते हैं, मान लीजिए 3, और गणित मजबूर करता है कि आपको एक कप का वह हिस्सा उपयोग करना पड़े जो आपकी रसोई में मौजूद ही नहीं है, तो रेसिपी विफल हो जाती है। इससे भी बुरा यह है कि कभी-कभी, कोई रेसिपी हमेशा 2 से विभाज्य होती है, चाहे आप कोई भी संख्या डालें। यह एक ऐसी रेसिपी की तरह है जो हमेशा एक "डबल बैच" बनाती है जिसे आधा किया जा सके, जिसका अर्थ है कि वह वास्तविक दुनिया में कभी भी वास्तव में "अविभाज्य" (irreducible) नहीं हो सकती।

यह शोध पत्र, बेहज़ाइना (Behajaina), डेब्स (Dèbes), और कोनिग (König) द्वारा, इन "वास्तविक दुनिया" की रसोइयों में खाना पकरने का एक नया तरीका पेश करता है। वे इसे इंटीग्रली हिल्बर्टियन रिंग्स (Integrally Hilbertian Rings) कहते हैं।

मुख्य विचार: "इंटीग्रली हिल्बर्टियन"

लेखक पूछते हैं: क्या हम अपनी रेसिपी में डालने के लिए विशिष्ट संख्याओं का एक सेट पा सकते हैं ताकि परिणाम न केवल एक आदर्श व्यंजन (irreducible) हो, बल्कि एक "पूर्ण" व्यंजन भी हो जिसे किसी भी पूर्णांक कारक द्वारा विभाजित न किया जा सके?

वे एक रिंग (एक गणितीय रसोई) को इंटीग्रली हिल्बर्टियन के रूप में परिभाषित करते हैं यदि उसमें यह करने के लिए पर्याप्त "अच्छे" नंबर हों, बशर्ते कि रेसिपी में कोई "अंतर्निहित दोष" (fixed divisor) न हो जो सबके लिए इसे खराब कर दे।

तीन मुख्य खोजें

1. "क्रुल" (Krull) रसोई सुरक्षित है

लेखक सिद्ध करते हैं कि यदि आपकी रसोई एक क्रुल डोमेन (Krull Domain) है (एक फैंसी गणितीय शब्द जिसमें संख्या क्षेत्रों के पूर्णांक और यूनीक फैक्टराइजेशन डोमेन शामिल हैं), तो आप सुरक्षित हैं।

रूपक: क्रुल डोमेन को एक ऐसी रसोई के रूप में सोचें जिसकी पेंट्री (pantry) बहुत व्यवस्थित है। भले ही आपके पास जटिल नियम हों कि सामग्रियाँ कैसे जुड़ती हैं, पेंट्री की संरचना यह गारंटी देती है कि आप हमेशा सामग्रियों का एक ऐसा संयोजन पा सकते हैं जिसके परिणामस्वरूप एक अद्वितीय, अविभाज्य व्यंजन प्राप्त हो।
परिणाम: इसका अर्थ है कि पूर्णांकों के प्रसिद्ध रिंग (जैसे कि पूर्ण संख्याएँ $\mathbb{Z}$ ) "इंटीग्रली हिल्बर्टियन" हैं। आप हमेशा अपने बहुपदों में विशिष्ट पूर्णांकों को डाल सकते हैं ताकि अभाज्य संख्याएँ (या अविभाज्य बहुपद) प्राप्त हो सकें, बशर्ते कि रेसिपी किसी निश्चित विभाजक द्वारा "टूटी" हुई न हो।

2. "पॉलीनोमियल" (Polynomial) रसोई भी सुरक्षित है

वे यह भी सिद्ध करते हैं कि यदि आप किसी भी रसोई में एक नया चर (variable) जोड़ते हैं (जैसे कि पूर्णांक $\mathbb{Z}$ को बहुपदों $\mathbb{Z}[U]$ में बदलना), तो नई रसोई भी सुरक्षित रहती है।

रूपक: कल्पना कीजिए कि आपके पास एक रेसिपी बुक है। अब, केवल संख्याओं का उपयोग करने के बजाय, आपको अन्य रेसिपी को सामग्री के रूप में उपयोग करने की अनुमति है। लेखक दिखाते हैं कि इस अतिरिक्त जटिलता के साथ भी, आप अभी भी विशिष्ट "उप-रेसिपी" पा सकते हैं जो एक आदर्श, अविभाज्य अंतिम व्यंजन का परिणाम देती हैं।
महत्व: यह बहुत बड़ा है क्योंकि यह गणितज्ञों को बहुपदों के साथ ऐसे व्यवहार करने की अनुमति देता है जैसे कि वे संख्याएँ हों, जिससे पुराने समस्याओं को हल करने के नए तरीके खुलते हैं।

3. "शिनज़ेल परिकल्पना" (Schinzel Hypothesis) का अपग्रेड

शिनज़ेल परिकल्पना एक प्रसिद्ध, अप्रमाणित अनुमान है। यह मूल रूप से कहता है: "यदि आपके पास रेसिपी की एक सूची है जिसमें कोई अंतर्निहित दोष (fixed divisor) नहीं है, तो अनंत बार ऐसे अवसर होंगे जब आप उन्हें पकाकर अभाज्य संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं।"

पुरानी समस्या: हमें नहीं पता कि क्या यह मानक पूर्णांकों ( $\mathbb{Z}$ ) के लिए सत्य है। यह एक खुला रहस्य है।
नई सफलता: लेखक इस परिकल्पना का एक पॉलीनोमियल संस्करण सिद्ध करते हैं। वे दिखाते हैं कि यदि आप मानक पूर्णांकों को बहुपदों (जैसे कि $\mathbb{Z}[U]$ ) से बदल देते हैं, तो यह परिकल्पना सत्य है।
जादुई मोड़: उन्होंने एक आश्चर्यजनक दुष्प्रभाव भी पाया। यदि मूल शिनज़ेल परिकल्पना (पूर्णांकों के लिए) सत्य है, तो हम अपनी खोज को केवल सबसे "कठिन" रेसिपी तक सीमित कर सकते हैं: वे जिनका स्तर (degree) बहुत अधिक है (बहुत जटिल रेसिपी)।
- सादृश्य: यह कहने जैसा है कि, "यदि हम एक सरल रेसिपी का उपयोग करके एक अभाज्य संख्या पा सकते हैं, तो हम निश्चित रूप से एक सुपर-कॉम्प्लेक्स, 100 पन्नों वाली रेसिपी का उपयोग करके भी एक पा सकते हैं।" यह प्रमाण की खोज को सरल बनाता है।

आम आदमी के लिए सारांश

इस शोध पत्र को एक कठिन रसोई के लिए खाना पकाने के नए नियमों के रूप में समझें।

समस्या: कभी-कभी, जब आप एक सैद्धांतिक गणितीय रेसिपी को वास्तविक दुनिया की संख्या में बदलने की कोशिश करते हैं, तो यह "विभाज्यता संबंधी गड़बड़ियों" (जैसे कि हमेशा सम होना) के कारण विफल हो जाता है।
समाधान: लेखकों ने एक नया नियम पुस्तिका (इंटीग्रली हिल्बर्टियन रिंग्स) बनाई है जो हमें बताती है कि कौन सी रसोई (गणितीय संरचनाएं) सुरक्षित रूप से खाना पकाने के लिए उपयुक्त हैं।
परिणाम: उन्होंने सिद्ध किया कि सबसे महत्वपूर्ण रसोई (जैसे कि पूर्णांक और बहुपद रिंग) सुरक्षित हैं।
बोनस: उन्होंने बहुपदों के लिए शिनज़ेल परिकल्पना का एक संस्करण हल किया और हमें मूल रहस्य (पूर्णांकों के लिए) से निपटने के लिए एक नया, शक्तिशाली उपकरण दिया।

संक्षेप में, उन्होंने अमूर्त गणित की "परफेक्ट दुनिया" और वास्तविक संख्याओं की "मेसी (messy) दुनिया" के बीच एक पुल बनाया है, यह दिखाते हुए कि मेसी दुनिया में भी, यदि हम सही जगहों पर देखें, तो हम अभी भी पूर्ण, अविभाज्य संरचनाएं पा सकते हैं।

यहाँ एंजेलोट बेहाज़ाइना, पियरे डेबेस और जोआकिम कोनिग के शोध पत्र "इंटीग्रली हिल्बर्टियन रिंग्स एंड द पॉलिनॉमियल शिनज़ेल हाइपोथेसिस" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण और प्रेरणा

यह शोध पत्र अंकगणितीय ज्यामिति (arithmetic geometry) और संख्या सिद्धांत (number theory) में 'हिल्बर्ट स्पेशलाइजेशन प्रॉपर्टी' (Hilbert Specialization Property) के संबंध में एक मौलिक अंतराल को संबोधित करता है।

शास्त्रीय संदर्भ: शास्त्रीय हिल्बर्ट गुण (Hilbert property) क्षेत्रों (विशेष रूप से हिल्बर्टियन क्षेत्रों) पर लागू होता है। यह गारंटी देता है कि यदि कोई बहुपद (या बहुपदों का एक परिवार) किसी क्षेत्र $Q(T)$ पर अपरिमेय (irreducible) है, तो विशेषीकरण (specialization) के लिए एक "सघन" (dense) सेट $t \in Q^k$ मौजूद होता है, जिससे विशेषित बहुपद $Q$ पर अपरिमेय बना रहता है।
इंटीग्रल चुनौती: लेखक एक इंटीग्रल प्रतिरूप (integral counterpart) विकसित करने का लक्ष्य रखते हैं जहाँ विशेषीकरण एक रिंग $Z$ के भीतर होता है (न कि उसके भिन्न क्षेत्र $Q$ में), और अपरिमेयता की आवश्यकता स्वयं रिंग $Z$ पर होती है।
बाधा: रिंग पर अपरिमेयता, क्षेत्र की तुलना में काफी अधिक संवेदनशील है। एक रिंग पर, एक बहुपद न केवल बीजगणितीय संरचना के कारण, बल्कि गुणांक विभाज्यता (coefficient divisibility) (जैसे, सभी गुणांकों का एक सामान्य गुणनखंड साझा करना) या निश्चित भाजक (fixed divisors) (एक पूर्णांक $a$ जो $P(t, Y)$ को $t \in Z^k$ के लिए सभी मानों के लिए विभाजित करता है) के कारण भी अपरिमेय होने में विफल हो सकता है। ये घटनाएँ क्षेत्र सिद्धांत (field theory) में अस्तित्व में नहीं हैं।

केंद्रीय प्रश्न यह है: एक डोमेन $Z$ पर क्या शर्तें होनी चाहिए जिससे हिल्बर्ट गुण इंटीग्रली (integrally) लागू हो, जो यह सुनिश्चित करे कि $Q[T, Y]$ पर अपरिमेय बहुपद $Z[Y]$ पर अपरिमेय बहुपदों में विशेषित हों और निश्चित भाजकों से बच सकें?

2. कार्यप्रणाली और ढांचा

लेखक तीन प्रमुख अवधारणाओं वाले एक एकीकृत ढांचे को पेश करते हैं:

A. इंटीग्रली हिल्बर्टियन रिंग्स (Integrally Hilbertian Rings)

परिभाषा: एक डोमेन $Z$ इंटीग्रली हिल्बर्टियन है यदि $Z[T, Y] \in P_1, \dots, P_s$ बहुपदों के किसी भी परिमित सेट के लिए, जो $Q[T, Y]$ पर अपरिमेय हैं और जिनका $Z$ में कोई निश्चित भाजक नहीं है (w.r.t. $T$ ), एक ज़ारिस्की-सघन (Zariski-dense) उपसमुच्चय $H \subset Z^k$ मौजूद है, ताकि प्रत्येक $t \in H$ के लिए:

$P_i(t, Y)$ , $Q[Y]$ में अपरिमेय है।
उत्पाद $\prod P_i(t, Y)$ का $Z$ में कोई गैर-इकाई (non-unit) भाजक नहीं है।
(यह सुनिश्चित करता है कि $P_i(t, Y)$ , $Z[Y]$ में अपरिमेय है)।

B. लोकली शिनज़ेल रिंग्स (Locally Schinzel Rings)

इंटीग्रली हिल्बर्टियन रिंग्स के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए, लेखक एक मध्यवर्ती गुण पेश करते हैं: लोकली शिनज़ेल।

एक रिंग लोकली शिनज़ेल है यदि "कोई निश्चित भाजक नहीं" की स्थिति को पूरा करने वाले बहुपदों के लिए, पैरामीटर स्पेस में एक अंकगणितीय प्रगति (arithmetic progression) पाई जा सकती है ताकि एक समय में एक पैरामीटर को विशेषित करने से शेष पैरामीटर्स के लिए "कोई निश्चित भाजक नहीं" की स्थिति बनी रहे।
मुख्य तार्किक कड़ी: शोध पत्र सिद्ध करता है कि यदि कोई रिंग हिल्बर्टियन (क्षेत्र-सैद्धांतिक) और लोकली शिनज़ेल दोनों है, तो वह इंटीग्रली हिल्बर्टियन है।

C. संरचनात्मक गुण: (NVA) और (SF)

किसी विशिष्ट रिंग के लोकली शिनज़ेल होने के प्रमाण के लिए लेखक रिंग की आदर्श संरचना (ideal structure) के दो गुणों पर निर्भर करते हैं:

नॉन-वेनिशिंग एप्रोक्सिमेशन (NVA): एक गुण जो ऐसे बिंदुओं के निर्माण की अनुमति देता है जहाँ बहुपद चुनिंदा आदर्शों के एक परिमित सेट के मॉड्यूल शून्य नहीं होते हैं।
सपोर्ट फाइनाइटनेस (SF): एक गुण जो यह सुनिश्चित करता है कि एक निश्चित भाजक को विभाजित करने वाले अभाज्य आदर्शों का सेट एक विशिष्ट अर्थ में "छोटा" (परिमित) है।

लेखक दिखाते हैं कि क्रुल डोमेन (जिसमें UFDs और डेडेंड डोमेन शामिल हैं) इन गुणों को संतुष्ट करते हैं, जिससे उनकी इंटीग्रली हिल्बर्टियन प्रकृति स्थापित होती है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम

A. इंटीग्रली हिल्बर्टियन रिंग्स का लक्षण वर्णन

प्रमेय 1.3: यदि $Z$ $Z$ एक हिल्बर्टियन रिंग और एक क्रुल डोमेन है, तो $Z$ $Z$ इंटीग्रली हिल्बर्टियन है।
- महत्व: यह पिछले परिणामों का सामान्यीकरण करता है जो केवल यूनीक फैक्टराइजेशन डोमेन (UFDs) तक सीमित थे। यह सभी संख्या क्षेत्रों (number fields) के पूर्णांकों के रिंग्स पर लागू होता है, चाहे उनका क्लास नंबर कुछ भी हो (उस अंतराल को हल करता है जहाँ क्लास नंबर > 1 वाले डेडेंड डोमेन पहले अनसुलझे थे)।
प्रमेय 1.6: यदि $R$ $R$ एक मनमाना डोमेन है, तो बहुपद रिंग $R[U]$ इंटीग्रली हिल्बर्टियन है।
- महत्व: यह एक बड़ा विस्तार है, क्योंकि मनमाने डोमेन पर बहुपद रिंग आमतौर पर क्रुल डोमेन नहीं होते हैं। यह परिणाम बताता है कि इंटीग्रली हिल्बर्टियन होने का गुण यह आवश्यक नहीं करता कि रिंग 'इंटीग्रली क्लोज्ड' (integrally closed) हो।

B. पॉलिनॉमियल शिनज़ेल हाइपोथेसिस (The Polynomial Schinzel Hypothesis)

लेखक अपने सिद्धांत को शिनज़ेल हाइपोथेसिस पर लागू करते हैं, जो अनुमान लगाता है कि यदि बहुपदों का एक सेट कोई निश्चित भाजक नहीं रखता है, तो वे अनंत बार अभाज्य मान लेते हैं।

प्रमेय 1.7 (पॉलिनॉमियल शिनज़ेल हाइपोथेसिस): यदि $Z$ एक इंटीग्रली हिल्बर्टियन रिंग है, तो बहुपद रिंग $Z[Y_1, \dots, Y_n]$ एक शिनज़ेल रिंग है।
व्याख्या: यदि $P_1, \dots, P_s \in Z[Y][T]$ अपरिमेय हैं और उनका कोई निश्चित भाजक नहीं है, तो $M_1(Y), \dots, M_k(Y)$ के ऐसे बहुपद मौजूद हैं जिनका डिग्री मनमाना रूप से बड़ा है, ताकि $P_i(M_1(Y), \dots, M_k(Y), Y)$ , $Z[Y]$ में अपरिमेय हो।
उपप्रमेय 1.9: किसी भी डोमेन $Z$ के लिए, रिंग $Z[Y_0, \dots, Y_n]$ (जहाँ $n \ge 1$ ) एक शिनज़ेल रिंग है।

C. स्थानीय स्थितियों का संरक्षण

एक अभिनव योगदान यह सिद्ध करना है कि "कोई निश्चित भाजक नहीं" की स्थिति को विशेषीकरण के तहत संरक्षित किया जा सकता है।

प्रमेय 1.7 (जारी): यदि $Z$ एक क्रुल डोमेन है, तो ऐसे विशेषीकरण पाए जा सकते हैं जो न केवल अपरिमेय बहुपद प्रदान करते हैं, बल्कि यह भी सुनिश्चित करते हैं कि परिणामी बहुपदों का अभी भी कोई निश्चित भाजक नहीं है।
उपप्रमेय 1.10 (शास्त्रीय शिनज़ेल के लिए निहितार्थ): यह मानते हुए कि शास्त्रीय शिनज़ेल हाइपोथेसिस $\mathbb{Z}$ पर सत्य है, लेखक एक मजबूत संस्करण सिद्ध करते हैं: किसी भी अपरिमेय बहुपदों $P_i \in \mathbb{Z}[T]$ के लिए, जिनका कोई निश्चित भाजक नहीं है, मोनिक (monic) बहुपद $M \in \mathbb{Z}[T]$ मौजूद हैं जिनका डिग्री $d \ge 1$ मनमाना है, ताकि $P_i(M(t))$ अनंत रूप से कई $t$ के लिए अभाज्य हों।
महत्व: यह शिनज़ेल हाइपोथेसिस के प्रमाण को मनमाने बड़े डिग्री वाले बहुपदों की जाँच करने तक सीमित कर देता है, जो एक उल्लेखनीय संरचनात्मक कमी है।

4. महत्व और प्रभाव

क्षेत्र और रिंग सिद्धांत का एकीकरण: यह शोध पत्र क्षेत्र-सैद्धांतिक हिल्बर्ट गुणों और इंटीग्रल अंकगणित के बीच के अंतर को सफलतापूर्वक पाटता है, जो रिंग सिद्धांत में बाधा डालने वाली विभाज्यता समस्याओं को संभालने के लिए एक मजबूत ढांचा प्रदान करता है।
संख्या सिद्धांत के परिणामों का सामान्यीकरण: UFDs से लेकर सभी क्रुल डोमेन (जिनमें गैर-तुच्छ क्लास ग्रुप वाले संख्या क्षेत्रों के पूर्णांक शामिल हैं) तक विस्तारित करके, लेखकों ने उन प्रतिबंधात्मक धारणाओं को हटा दिया है जो पहले बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में हिल्बर्टियन विधियों की प्रयोज्यता को सीमित करती थीं।
शिनज़ेल हाइपोथेसिस के लिए नए उपकरण: "शिनज़ेल रिंग्स" और "पॉलिनॉमियल शिनज़ेल हाइपोथेसिस" की शुरूआत शिनज़ेल हाइपोथेसिस पर एक नया दृष्टिकोण प्रदान करती है। यह परिणाम कि हाइपोथेसिस बहुपद रिंग $Z[U]$ के लिए सत्य है (जहाँ "अभाज्य" को "अपरिमेय" से बदल दिया गया है), एक महत्वपूर्ण कदम है, जो परिमित क्षेत्रों और $\mathbb{Z}$ पर पिछले कार्यों का सामान्यीकरण करता है।
संरचनात्मक अंतर्दृष्टि: यह खोज कि विशेषीकरण के दौरान "कोई निश्चित भाजक नहीं" की स्थिति को संरक्षित किया जा सकता है (प्रमेय 1.7 जारी), विशिष्ट अंकगणितीय गुणों वाले बहुपदों के अनुक्रमों के निर्माण के लिए एक शक्तिशाली नया उपकरण प्रदान करती है, जो भविष्य में शास्त्रीय शिनज़ेल हाइपोथेसिस को सिद्ध करने के प्रयासों में सहायता कर सकता है।

संक्षेप में, बेहाज़ाइना, डेबेस और कोनिग ने इंटीग्रली हिल्बर्टियन रिंग्स का एक व्यापक सिद्धांत स्थापित किया है, यह सिद्ध करते हुए कि यह गुणों के एक विशाल वर्ग (सभी पूर्णांक रिंग्स और मनमाने बहुपद रिंग्स सहित) पर लागू होता है और शिनज़ेल हाइपोथेसिस के नए, मजबूत रूपों को प्राप्त करने के लिए इसका उपयोग किया गया है।