🔬 mesoscale physics

Slave-spin approach to the Anderson-Josephson quantum dot

यह शोध पत्र सुपरकंडक्टिंग लीड्स से जुड़े एक दृढ़ता से परस्पर क्रिया करने वाले क्वांटम डॉट के चरण आरेख (phase diagram), स्पेक्ट्रल गुणों, जोसेफसन करंट और माइक्रोवेव प्रतिक्रिया का विश्लेषण करने के लिए मीन-फील्ड थ्योरी और रैंडम फेज एप्रोक्सिमेशन फ्लक्चुएशन के साथ स्लेव-स्पिन प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है, जो सफलतापूर्वक डबलट शासन (doublet regime) में मीन-फील्ड थ्योरी की सीमाओं को संबोधित करते हुए कोंडो भौतिकी और सुपरकंडक्टिविटी के बीच की प्रतिस्पर्धा को पकड़ता है।

मूल लेखक: Andriani Keliri, Marco Schirò

प्रकाशित 2026-05-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Andriani Keliri, Marco Schirò

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यहाँ इस शोध पत्र का सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों के साथ स्पष्टीकरण दिया गया है।

बड़ी तस्वीर: एक सुपरहाइवे में एक छोटी सी ट्रैफिक जाम

एक बहुत ही छोटे इलेक्ट्रॉनिक उपकरण की कल्पना करें जिसे क्वांटम डॉट (Quantum Dot) कहा जाता है। इस डॉट को इलेक्ट्रॉन्स (बिजली ले जाने वाले सूक्ष्म कणों) के लिए एक छोटे, अलग पार्किंग स्पॉट की तरह समझें। आमतौर पर, यह स्पॉट दो बड़े राजमार्गों (जिन्हें "लीड्स" कहा जाता है) से जुड़ा होता है जहाँ इलेक्ट्रॉन स्वतंत्र रूप से बहते हैं।

इस विशिष्ट प्रयोग में, राजमार्ग एक विशेष सामग्री से बने हैं जिसे सुपरकंडक्टर (Superconductor) कहा जाता है। एक सुपरकंडक्टर में, इलेक्ट्रॉन केवल अकेले नहीं चलते; वे आपस में जुड़कर और पूर्ण तालमेल में नृत्य करते हैं (जैसे जोड़े वाल्ट्ज़ कर रहे हों)। यह ट्रैफ़िक में एक "गैप" (खाली जगह) बनाता है जहाँ कोई भी एकल इलेक्ट्रॉन अकेले नहीं चल सकता; उन्हें हमेशा जोड़ों में होना चाहिए।

अब, कल्पना करें कि हमारे इस छोटे से पार्किंग स्पॉट में एक बहुत ही चिड़चिड़ा, जिद्दी इलेक्ट्रॉन रख दिया गया है। यह इलेक्ट्रॉन जगह साझा करने से नफरत करता है। यदि कोई दूसरा इलेक्ट्रॉन इसके बगल में पार्क करने की कोशिश करता है, तो वे एक-दूसरे को ज़ोर से धकेलते हैं। यही कूलम्ब इंटरेक्शन (Coulomb interaction) है।

शोध पत्र यह पूछता है: जब आप सुपरकंडक्टर राजमार्गों से आने वाले इन नाचते हुए इलेक्ट्रॉन-जोड़ों को हमारे पार्किंग स्पॉट में मौजूद इस चिड़चिड़े, अकेले इलेक्ट्रॉन के साथ बातचीत करने के लिए मजबूर करते हैं, तो क्या होता है?

समस्या: दो विरोधी ताकतें

इस नन्हे से डॉट के भीतर एक खींचतान (tug-of-war) चल रही है:

कोंडो प्रभाव (The Kondo Effect - सामाजिक स्वभाव): चिड़चिड़ा इलेक्ट्रॉन राजमार्गों पर मौजूद इलेक्ट्रॉनों के साथ दोस्ती करना चाहता है। वह एक शांत, स्थिर "सिंगलेट" अवस्था बनाने के लिए उनमें से एक के साथ जुड़ना चाहता है। जब ऐसा होता है, तो डॉट पारदर्शी हो जाता है और बिजली आसानी से बहती है।
सुपरकंडक्टिविटी (The Superconductivity - जोड़ा बनाने वाला): सुपरकconducting राजमार्ग चाहते हैं कि डॉट में मौजूद इलेक्ट्रॉन खुद डॉट के ही दूसरे इलेक्ट्रॉन के साथ जुड़कर एक "कूपर पेयर" (जैसे राजमार्ग पर मौजूद जोड़े) बनाए।
विकर्षण (The Repulsion - चिड़चिड़ापन): डॉट में मौजूद इलेक्ट्रॉन जगह साझा नहीं करना चाहता। यदि विकर्षण बहुत अधिक है, तो वह किसी के साथ भी जुड़ने से इनकार कर देता है। वह अकेला रहता है, एक चुंबकीय "डबलेट" की तरह व्यवहार करता है।

यह शोध पत्र उस क्षण का अध्ययन करता है जब सिस्टम एक "सामाजिक" अवस्था (आसान प्रवाह) से "चिड़चिड़ी" अवस्था (रुका हुआ प्रवाह) में बदल जाता है। इस बदलाव को 0- $\pi$ ट्रांज़िशन कहा जाता है। "0" अवस्था में, करंट सामान्य रूप से बहता है। " $\pi$ " अवस्था में, करंट अपनी दिशा बदल लेता है या अटक जाता है।

विधि: "स्लेव" (दास) ट्रिक

इस जटिल गणितीय समस्या को हल करने के लिए, लेखकों ने "स्लेव-स्पिन अप्रोच" (Slave-Spin Approach) नामक एक चतुर ट्रिक का उपयोग किया।

कल्पना करें कि पार्किंग स्पॉट में मौजूद इलेक्ट्रॉन एक गुस्सैल मैनेजर है। यह समझने के लिए कि मैनेजर कैसा व्यवहार करता है, लेखकों ने एक "स्लेव" (दास) सहायक (एक काल्पनिक स्पिन-1/2 वेरिएबल) का आविष्कार किया।

मैनेजर (इलेक्ट्रॉन): तय करता है कि उसे अकेले रहना है या जोड़ा बनाना है।
स्लेव (सहायक): मैनेजर के मूड (पैरिटी) का हिसाब रखता है। यदि मैनेजर खुश है और जोड़ा बना हुआ है, तो स्लेव एक अवस्था में होता है; यदि मैनेजर चिड़चिड़ा और अकेला है, तो स्लेव दूसरी अवस्था में होता है।

"मैनेजर" को "सहायक" से अलग करके, लेखक इस उलझे हुए गणित को दो आसान समस्याओं में सरल बना सके:

राजमार्गों पर इलेक्ट्रॉन कैसे चलते हैं (फिलहाल चिड़चिड़ेपन को नज़रअंदाज़ करते हुए)।
"स्लेव" सहायक कैसा व्यवहार करता है।

निष्कर्ष: उन्होंने क्या खोजा

1. "मीन-फील्ड" अनुमान (पहला ड्राफ्ट)

सबसे पहले, लेखकों ने एक सरल अनुमान लगाया (मीन-फील्ड थ्योरी)। उन्होंने माना कि मैनेजर और सहायक पूरी तरह से स्वतंत्र थे।

क्या काम आया: यह अनुमान "सामाजिक" अवस्था (कोंडो सिंगलेट) का वर्णन करने में बहुत अच्छा था। इसने सही भविष्यवाणी की कि जब इंटरेक्शन कमजोर होता है, तो सिस्टम सुचारू रूप से बहता है।
कहाँ विफल हुआ: जब इंटरेक्शन बहुत मजबूत हो गया (चिड़चिड़ी अवस्था), तो यह अनुमान विफल हो गया। इसने भविष्यवाणी की कि पार्किंग स्पॉट राजमार्गों से पूरी तरह कट जाता है, जो वास्तव में पूरी तरह सच नहीं है। इसने कुछ उच्च-ऊर्जा "शोर" (जिसे हबार्ड बैंड्स कहा जाता है) को भी मिस कर दिया जो सिस्टम के उत्तेजित होने पर होता है।

2. "फ्लक्चुएशन" जोड़ना (दूसरा ड्राफ्ट)

टूटे हुए अनुमान को ठीक करने के लिए, लेखकों ने RPA सुधार जोड़े। इसे ऐसे समझें कि यह महसूस करना कि मैनेजर और सहायक वास्तव में स्वतंत्र नहीं हैं; वे लगातार एक-दूसरे को फुसफुसाते हुए और एक-दूसरे के मूड पर प्रतिक्रिया करते हुए देखते हैं।

परिणाम: इन फुसफुसाहटों (fluctuations) को सुनकर, लेखक उस उच्च-ऊर्जा "शोर" (हबार्ड बैंड्स) का सही वर्णन कर सके जिसे पहले अनुमान ने छोड़ दिया था। उन्होंने देखा कि "चिड़चिड़ी" अवस्था में भी, राजमार्गों के साथ कुछ संबंध बना रहता है, बस वह कमजोर होता है।

3. माइक्रोवेव टेस्ट

अंत में, उन्होंने पूछा: "यदि हम इस सिस्टम को माइक्रोवेव (जैसे रेडियो सिग्नल) से हिलाते हैं, तो यह कैसे प्रतिक्रिया देता है?"

उन्होंने पाया कि सिस्टम की विशिष्ट "अनुनाद आवृत्तियाँ" (resonant frequencies) होती हैं जहाँ यह ऊर्जा को अवशोषित करता है। ये आवृत्तियाँ कोंडो प्रभाव और सुपरकंडक्टिविटी के बीच चल रही खींचतान पर निर्भर करती हैं।
उन्होंने सटीक गणना की कि सिस्टम इन माइक्रोवेव के प्रति कैसे प्रतिक्रिया देगा, जो कि ऐसी चीज़ है जिसे प्रयोग करने वाले वैज्ञानिक लैब में यह देखने के लिए माप सकते हैं कि क्या उनका सिद्धांत सही है।

निष्कर्ष: इसका क्या अर्थ है?

यह शोध पत्र एक सैद्धांतिक मार्गदर्शिका है कि एक बहुत ही छोटा, चिड़चिड़ा इलेक्ट्रॉन कैसा व्यवहार करता है जब वह दो सुपरकंडक्टिंग राजमार्गों के बीच फंसा होता है।

अच्छी खबर: उनकी "स्लेव-स्पिन" विधि एक शक्तिशाली उपकरण है। यह "सामाजिक" अवस्था के लिए बहुत अच्छी तरह काम करती है और "चिड़चिड़ी" अवस्था के लिए एक अच्छा गुणात्मक चित्र प्रदान करती है।
सीमा: यह विधि पूर्ण नहीं है। "चिड़चिड़ी" अवस्था में, यह अभी भी कम-ऊर्जा वाले विवरणों को पूरी तरह से समझाने में संघर्ष करती है क्योंकि "मैनेजर" और "सहायक" इतने उलझे हुए हैं कि सरल गणित उन्हें पूरी तरह संभाल नहीं पाता।
मुख्य बात: यह दृष्टिकोण वैज्ञानिकों को यह भविष्यवाणी करने में मदद करता है कि इन छोटे उपकरणों के बनने से पहले ही वे कैसे व्यवहार करेंगे, विशेष रूप से यह कि वे बिजली का संचालन कैसे करते हैं और माइक्रोवेव संकेतों के प्रति कैसी प्रतिक्रिया देते हैं। यह भविष्य के क्वांटम कंप्यूटर विकसित करने के लिए महत्वपूर्ण है जो इन छोटे डॉट्स को निर्माण खंड (building blocks) के रूप में उपयोग करते हैं।

संक्षेप में, लेखकों ने एक सुपरकंडक्टिंग दुनिया में एक छोटे, चिड़चिड़े इलेक्ट्रॉन को सिम्युलेट करने के लिए एक गणितीय मॉडल बनाया, यह पता लगाया कि मॉडल कहाँ काम करता है और कहाँ लड़खड़ाता है, और फिर यह भविष्यवाणी की कि सिस्टम माइक्रोवेव की धुन पर कैसे नाचेगा।

तकनीकी सारांश: एंडरसन-जोसेफसन क्वांटम डॉट के लिए स्लेव-स्पिन दृष्टिकोण

समस्या विवरण
यह शोध पत्र दो सुपरकंडक्टिंग लीड्स से जुड़े एक दृढ़ता से अंतःक्रिया करने वाले क्वांटम डॉट (QD) के भौतिकी की जांच करता है, जिसे सुपरकंडक्टिंग एंडरसन इम्प्योरिटी मॉडल (AIM) द्वारा मॉडल किया गया है। यह प्रणाली किंडो प्रभाव (Kondo effect), जो एक स्पिन सिंगलेट के निर्माण को बढ़ावा देता है, और सुपरकंडक्टिंग सहसंबंधों (superconducting correlations), जो एक BCS सिंगलेट अवस्था को बढ़ावा देते हैं, के बीच प्रतिस्पर्धा प्रदर्शित करती है। यह प्रतिस्पर्धा एक सिंगलेट (0-जंक्शन) और एक चुंबकीय डबलट ( $\pi$ -जंक्शन) शासन के बीच ग्राउंड-स्टेट चरण संक्रमण (ground-state phase transition) की ओर ले जाती है। जबकि न्यूमेरिकल रिनॉर्मलाइजेशन ग्रुप (NRG) जैसे संख्यात्मक तरीके साम्यावस्था (equilibrium) में मात्रात्मक सटीकता प्रदान करते हैं, वे गणनात्मक रूप से महंगे हैं और गतिशील शासन (dynamical regimes) या जटिल मल्टी-टर्मिनल संरचनाओं तक विस्तार करने में कठिन हैं। लेखक एक अर्ध-विश्लेणात्मक दृष्टिकोण विकसित करने का लक्ष्य रखते हैं जो दृढ़ सहसंबंध प्रभावों, विशेष रूप से किंडो रेजोनेंस और 0- $\pi$ संक्रमण को पकड़ सके, जबकि गैर-साम्यावस्था गतिकी (non-equilibrium dynamics) और माइक्रोवेव प्रतिक्रिया के अध्ययन के लिए सुलभ बना रहे।

कार्यप्रणाली
लेखक एक स्लेव-स्पिन प्रतिनिधित्व (slave-spin representation) का उपयोग करते हैं ताकि अंतःक्रियात्मक समस्या को एक सहायक स्पिन-1/2 चर के साथ जुड़े एक गैर-अंतःक्रियात्मक रेजोनेंट लेवल मॉडल पर मैप किया जा सके।

स्लेव-स्पिन मैपिंग: डॉट ऑपरेटर्स को एक सहायक आइसिंग स्पिन चर ( $\sigma_z$ ) का उपयोग करके पुनर्गठित किया जाता है जो डॉट अधिभोग (occupation) की पैरिटी को ट्रैक करता है। पार्टिकल-होल सिमेट्रिक बिंदु पर, विस्तारित हिल्बर्ट स्पेस को वापस भौतिक वाले तक प्रोजेक्ट करने वाला प्रतिबंध सख्त रूप से मीन-फील्ड समाधान के लिए आवश्यक नहीं है, जिससे फॉर्मलिज्म सरल हो जाता है।
मीन-फील्ड थ्योरी (MFT): समस्या को पहले मीन-फील्ड स्तर पर हल किया जाता है, जिसमें ग्राउंड स्टेट वेवफंक्शन को फर्मिओनिक और स्पिन भागों में विभाजित किया जाता है। यह सिस्टम को एक रिनॉर्मलाइज्ड होपिंग एम्प्लीट्यूड के साथ एक गैर-अंतःक्रियात्मक सुपरकंडक्टिंग QD और एक प्रभावी स्पिन-1/2 हैमिल्टोनियन में डिकपल कर देता है। रिनॉर्मलाइजेशन पैरामीटर $m_x$ किंडो प्रभाव के लिए एक ऑर्डर पैरामीटर के रूप में कार्य करता है (सिंगलेट चरण में परिमित, डबलट चरण में शून्य)।
फ्लक्चुएशन करेक्शन (RPA): मीन-फील्ड थ्योरी की सीमाओं को संबोधित करने के लिए, विशेष रूप से उच्च-ऊर्जा उत्तेजनाओं के संबंध में, लेखक रैंडम फेज एप्रोक्सिमेशन (RPA) का उपयोग करके क्वांटम फ्लक्चुएशन शामिल करते हैं। इसमें स्लेव-स्पिन ऑपरेटर्स को अब्रिकोसोव स्यूडोफर्मियन्स (Abrikosov pseudofermions) का उपयोग करके पुनर्गठित करना और स्टैटिक मीन-फील्ड सीमा से परे स्पिन ऑटोकोरिलेशन फंक्शन की गणना करना शामिल है। यह एक सेल्फ-एनर्जी करेक्शन पेश करता है जो इनकोहेरेंट उत्तेजनाओं को ध्यान में रखता है।

मुख्य परिणाम

फेज डायग्राम और 0- $\pi$ संक्रमण: मीन-फील्ड थ्योरी सुपरकंडक्टिंग AIM के गुणात्मक फेज डायग्राम को सफलतापूर्वक पुनरुत्पादित करती है। यह अंतःक्रिया शक्ति $U$ , सुपरकंडक्टिंग गैप $\Delta$ , और फेज अंतर $\phi$ के फलन के रूप में एक किंडो-स्क्रीन किया गया सिंगलेट चरण और एक लोकल-मोमेंट डबलट चरण के बीच संक्रमण की पहचान करती है। संक्रमण सीमा $U/\Gamma$ पर घातांकीय निर्भरता (exponential dependence) के साथ विश्लेषणात्मक रूप से व्युत्पन्न की गई है, जो ज्ञात स्केलिंग के अनुरूप है, हालांकि सटीक बेथे अनसाइस (Bethe ansatz) या NRG परिणामों की तुलना में एक अलग प्रीफैक्टर के साथ।
स्पेक्ट्रल फंक्शन और एंड्रीव बाउंड स्टेट्स (ABS):
- मीन-फील्ड: सिंगलेट चरण में, मीन-फील्ड स्पेक्ट्रल फंक्शन किंडो रेजोनेंस और सुपरकंडक्टिंग गैप के भीतर एंड्रीव बाउंड स्टेट्स (ABS) के निर्माण को कैप्चर करता है। हालांकि, यह उच्च-ऊर्जा भौतिकी का सही वर्णन करने में विफल रहता है, जो अवास्तविक रूप से संकीर्ण हबार्ड बैंड्स की भविष्यवाणी करता है और $\pi$ -फेज (जहाँ यह गलत तरीके से एक डिकपल्ड डॉट की भविष्यवाणी करता है) का वर्णन करने में विफल रहता है।
- RPA करेक्शन: RPA सुधारों को शामिल करने से सही उच्च-ऊर्जा व्यवहार बहाल होता है। स्पेक्ट्रल फंक्शन $\pm U/2$ पर केंद्रित ब्रॉड हबार्ड बैंड्स विकसित करता है जिनका विस्तार रिनॉर्मइज्ड $\Gamma$ के बजाय मूल हाइब्रिडाइजेशन $\Gamma$ द्वारा निर्धारित होता है। RPA इन बैंड्स की परिमित चौड़ाई को भी सही ढंग से कैप्चर करता है। हालांकि, RPA सुधार डबलट ( $\pi$ ) चरण में निम्न-ऊर्जा भौतिकी को पूरी तरह से हल नहीं करते हैं; सिस्टम अभी भी निम्न-ऊर्जा सीमा में बाथ (bath) से अलग दिखाई देता है, जो प्रोक्सिमिटी प्रभाव और $\pi$ -फेज में अपेक्षित जोसेफसन करंट के साइन परिवर्तन को पकड़ने में विफल रहता है।
जोसेफसन करंट: लेखक जोसेफसन करंट की गणना करते हैं, जिसे कोहेरेंट (सबगैप) और इनकोकोहेरेंट (उच्च-ऊर्जा) योगदान में विभाजित किया गया है। जैसे-जैसे अंतःक्रिया बढ़ती है, RPA सुधार क्रिटिकल करंट को थोड़ा कम करते हैं लेकिन छोटे $U/\Delta$ के लिए मीन-फील्ड भविष्यवाणी को गुणात्मक रूप से नहीं बदलते हैं। यह विधि 0- $\pi$ संक्रमण पर शून्य करंट की अचानक छलांग की सही भविष्यवाणी करती है, हालांकि इस छलांग की राउंडिंग का कारण संख्यात्मक ब्रोडनिंग (numerical broadening) को बताया गया है।
सुपरकंडक्टिंग सहसंबंध: डॉट पर प्रेरित पेयरिंग सहसंबंधों की गणना की जाती है। मीन-फील्ड दृष्टिकोण सिंगलेट चरण में $1/2$ पर सहसंबंधों के सैचुरेशन और उसके बाद डबलट चरण में शून्य तक अचानक गिरावट की भविष्यवाणी करता है। RPA सुधार स्ट्रोंग कपलिंग लिमिट में इस व्यवहार को महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलते हैं लेकिन गणना के लिए एक अधिक कठोर ढांचा प्रदान करते हैं।
माइक्रोवेव रिस्पॉन्स: इस पद्धति का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग किंडो शासन में रैखिक माइक्रोवेव रिस्पॉन्स (करंट-करंट कोरिलेशन फंक्शन) की गणना करना है। रिस्पॉन्स तीन विशिष्ट थ्रेशोल्ड फ्रीक्वेंसी के साथ एक समृद्ध संरचना प्रदर्शित करता है: (a) दो क्वासिपार्टिकल्स का निर्माण ( $\Omega = 2\Delta$ ), (b) एक क्वासिपार्टिकल और एक बाउंड स्टेट का निर्माण ( $\Omega = \Delta + E_{ABS}$ ), और (c) ABS के भीतर एक जोड़ी क्वासिपार्टिकल्स की उत्तेजना ( $\Omega = 2E_{ABS}$ )। ससेप्टिबिलिटी का रियल पार्ट उन फेज डिफरेंस पर अवॉइड क्रॉसिंग्स (avoided crossings) दिखाता है जहाँ माइक्रोवेव फ्रीक्वेंसी ABS ऊर्जा से मेल खाती है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि स्लेव-स्पिन दृष्टिकोण, RPA सुधारों के साथ मिलकर, सुपरकंडक्टिंग AIM के अध्ययन के लिए एक न्यूनतम और कुशल अर्ध-विश्लेणात्मक ढांचा प्रदान करता है।

गुणात्मक सफलता: विधि किंडो सिंगलेट चरण, सुपरकंडक्टिविटी के साथ प्रतिस्पर्धा, और अंतःक्रिया शक्ति पर ABS की निर्भरता को गुणात्मक रूप से कैप्चर करती है।
उच्च-ऊर्जा भौतिकी: सही उच्च-ऊर्जा स्पेक्ट्रल फीचर्स (हबार्ड बैंड्स) को पुनः प्राप्त करने के लिए RPA फ्लक्चुएशंस को शामिल करना महत्वपूर्ण है, जिन्हें सरल मीन-फील्ड डिकपलिंग मिस कर देती है।
माइक्रोवेव स्पेक्ट्रोस्कोपी: यह दृष्टिकोण किंडो शासन में सिस्टम के माइक्रोवेव रिस्पॉन्स तक पहुंच प्रदान करता है, जो सर्किट QED सेटअप के लिए प्रत्यक्ष प्रयोगात्मक प्रासंगिकता रखने वाला एक परिमाण है। लेखक प्रदर्शित करते हैं कि विधि डिसिपेशन (dissipation) के लिए निरंतर (continuum) और रेजोनेंट योगदान के बीच अंतर कर सकती है।
सीमाएं: लेखक स्पष्ट रूप से स्वीकार करते हैं कि यह विधि डबलट ( $\pi$ ) चरण में निम्न-ऊर्जा भौतिकी का वर्णन करने में विफल रहती है, जो सही प्रोक्सिमिटी प्रभाव के बजाय एक डिकपल्ड डॉट की भविष्यवाणी करती है। वे नोट करते हैं कि $\pi$ -फेज तक पहुँचने के लिए संभवतः ग्रीन फंक्शन स्तर पर फर्मियन-स्पिन डिकपलिंग से आगे जाने (जैसे, वर्टेक्स करेक्शन पेश करना) की आवश्यकता होगी।

यह कार्य स्लेव-स्पिन पद्धति को अधिक जटिल सेटअप, जैसे मल्टी-टर्मिनल जंक्शन या गैर-साम्यावस्था परिदृश्यों, का पता लगाने के लिए एक आशाजनक उपकरण के रूप में स्थापित करता है, जहाँ पूर्णतः संख्यात्मक तरीके गणनात्मक रूप से निषेधात्मक हैं।