Highly Entangled 2D Ground States: Tensor Network, Order Parameter and Correlation

क्वांटम दुनिया में, कण अक्सर ऐसे तरीकों से जुड़े होते हैं जो हमारे रोजमर्रा के अनुभव को चुनौती देते हैं, जिसे एंटैंगलमेंट (उलझाव) नामक एक घटना के रूप में जाना जाता है। जब कणों का एक समूह एंटैंगल्ड होता है, तो एक की स्थिति को दूसरों के बिना वर्णित नहीं किया जा सकता, चाहे वे एक-दूसरे से कितनी भी दूर क्यों न हों। दशकों से, भौतिकविदों ने समझा है कि पदार्थ की अधिकांश स्थिर, निम्न-ऊर्जा अवस्थाओं में, यह एंटैंगलमेंट आश्चर्यजनक रूप से सीमित होता है। यह एक क्षेत्र के आयतन (वॉल्यूम) के बजाय उसके सतही क्षेत्रफल (सरफेस एरिया) के साथ बढ़ता है, जिसे "एरिया लॉ" (क्षेत्र नियम) कहा जाता है। यह सहज रूप से समझ में आता है: कण आमतौर पर केवल अपने निकटतम पड़ोसियों के साथ परस्पर क्रिया करते हैं, इसलिए एक प्रणाली के दो दूरस्थ भागों के बीच संबंध कमजोर होता है। हालाँकि, पदार्थ की कुछ विशेष, विलक्षण अवस्थाएँ हैं जहाँ यह नियम टूट जाता है। इन दुर्लभ मामलों में, एंटैंगलमेंट सिस्टम के आयतन के साथ बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि कण विशाल दूरियों तक गहराई से जुड़े हुए हैं। ये अवस्थाएँ केवल सैद्धांतिक जिज्ञासाएँ नहीं हैं; वे हमारे क्वांटम पदार्थ की समझ के एक नए क्षितिज का प्रतिनिधित्व करती हैं, जो यह झलक देती हैं कि जटिल प्रणालियाँ कैसे खुद को उन तरीकों से व्यवस्थित कर सकती हैं जो हमारी शास्त्रीय अंतर्दृነት को चुनौती देते हैं।

वैज्ञानिकों के लिए चुनौती दो-आयामी (2D) प्रणालियों में इन अत्यधिक एंटैंगल्ड अवस्थाओं के ठोस उदाहरण खोजने की रही है, जो पाठ्यपुस्तकों में अध्ययन की जाने वाली एक-आयामी (1D) श्रृंखलाओं की तुलना में अधिक जटिल हैं। जबकि एक-आयामी मॉडलों को हल कर लिया गया है, इन समाधानों को दो-आयामी प्रणालियों तक विस्तारित करना कठिन साबित हुआ है क्योंकि कण एक साथ कई दिशाओं में एंटैंगल्ड होते हैं। एक नए अध्ययन में, शोधकर्ताओं ने दो विशिष्ट दो-आयामी क्वांटम मॉडलों के ग्राउंड स्टेट्स के लिए पहले सटीक गणितीय विवरण, जिन्हें टेंसर नेटवर्क (tensor networks) कहा जाता है, सफलतापूर्वक निर्मित किए हैं। इन मॉडलों में एक नाटकीय व्यवहार परिवर्तन देखने को मिलता है: एक एकल पैरामीटर को समायोजित करके, सिस्टम एक ऐसी अवस्था से बदल सकता है जहाँ एंटैंगलमेंट सतह के क्षेत्रफल तक सीमित है, से एक ऐसी अवस्था में जहाँ यह पूरे आयतन को भर देता है। शोधकर्ताओं ने केवल इन अवस्थाओं का अनुकरण (सिमुलेशन) नहीं किया; उन्होंने एक सटीक, विश्लेषणात्मक ढांचा बनाया है जो क्वांटम कणों को तीन-आयामी ज्यामितीय टाइल्स की संरचना से जोड़ता है, जिससे यह स्पष्ट होता है कि एंटैंगलमेंट कैसे व्यवस्थित है।

टीम ने दो अलग-अलग मॉडलों पर ध्यान केंद्रित किया। पहला मॉडल कणों के एक ग्रिड से संबंधित है जो एक वर्गाकार पैटर्न में व्यवस्थित हैं, जहाँ कण उन नियमों के अनुसार परस्पर क्रिया करते हैं जो बर्फ के क्रिस्टल के प्रवाह को नियंत्रित करने वाले नियमों के समान हैं। दूसरा मॉडल एक त्रिकोणीय ग्रिड का उपयोग करता है, जहाँ कण ऐसी टाइल्स की तरह व्यवस्थित हैं जो तीन अलग-अलग ओरिएंटेशन में फिट होती हैं। दोनों ही मामलों में, शोधकर्ताओं ने एक "डेफॉर्मेशन पैरामीटर" (विकृति पैरामीटर) पेश किया, जो एक डायल की तरह है जो सिस्टम के विभिन्न विन्यासों को दिए जाने वाले भार को नियंत्रित करता है। जब यह पैरामीटर छोटा होता है, तो सिस्टम सामान्य व्यवहार करता है, जिसमें एंटैंगलमेंट सीमाओं तक सीमित रहता है। लेकिन जब यह पैरामीटर बड़ा होता है, तो सिस्टम एक नई अवस्था में प्रवेश करता है जहाँ एंटैंगलमेंट व्यापक हो जाता है, और पूरे आयतन में फैल जाता है। सफलता इन जटिल, दो-आयामी क्वांटम अवस्थाओं को जुड़ाव के एक तीन-आयामी नेटवर्क का उपयोग करके प्रदर्शित करने में मिली।

इसे प्राप्त करने के लिए, शोधकर्ताओं ने क्वांटम सिस्टम की कल्पना एक सपाट शीट के रूप में नहीं, बल्कि एक तीन-आयामी संरचना की सतह के रूप में की। उन्होंने एक ऐसा नेटवर्क बनाया जहाँ सतह पर प्रत्येक भौतिक कण तीसरे आयाम में ऊपर उठने वाले ज्यामितीय ब्लॉकों के एक कॉलम के अनुरूप होता है। वर्गाकार ग्रिड मॉडल के लिए, ये ब्लॉक क्यूब्स (घनाभ) हैं; त्रिकोणीय ग्रिड के लिए, वे प्रिज़्म (प्रिज्म) हैं। इन ब्लॉकों के स्टैक होने और जुड़ने के नियम सख्त और सरल हैं, जो यह सुनिश्चित करते हैं कि ब्लॉकों का प्रत्येक वैध व्यवस्था क्वांटम सिस्टम की ठीक एक संभावित अवस्था के अनुरूप हो। यह विधि शोधकर्ताओं को यह देखने की अनुमति देती है कि सूचना सिस्टम के माध्यम से कैसे प्रवाहित होती है। अत्यधिक एंटैंगल्ड चरण में, कणों के बीच संबंध केवल स्थानीय नहीं होते; वे पूरी प्रणाली में फैले हो सकते हैं, जिससे दूर स्थित कण आपस में जुड़ जाते हैं। यहाँ नेटवर्क की त्रि-आयामी प्रकृति महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह क्वांटम सिस्टम के नियमों को तोड़े बिना इन दूरस्थ जोड़ों को जोड़ने के लिए आवश्यक अतिरिक्त स्थान प्रदान करती है।

अध्ययन ने यह भी पता लगाया कि संक्रमण बिंदु (ट्रांजिशन पॉइंट) पर सिस्टम कैसे व्यवहार करता है। कणों के बीच सहसंबंधों (कोरिलेशन) का विश्लेषण करके, शोधकर्ताओं ने पाया कि जुड़ाव की प्रकृति नाटकीय रूप से बदल जाती है। निम्न-एंटैंगलमेंट चरण में, एक कण का दूसरे पर प्रभाव तेजी से कम हो जाता है, ठीक वैसे ही जैसे एक फुसफुसाहट कुछ फीट के बाद खत्म हो जाती है। हालाँकि, उच्च-एंटैंगलमेंट चरण में, जुड़ाव लंबी दूरी तक बना रहता है, और सिस्टम एक अद्वितीय प्रकार का क्रम प्रदर्शित करता है जो साधारण सामग्रियों में नहीं देखा जाता है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि यह लंबी दूरी का जुड़ाव इस बात से प्रेरित है कि कणों को कैसे रंगा (color) गया है और जोड़ा गया है। इन मॉडलों में, कण अलग-अलग "रंगों" में आते हैं, और सिस्टम के नियम यह आवश्यक करते हैं कि एक ही रंग के कण एक विशिष्ट तरीके से जोड़े में हों। जब सिस्टम उच्च-एंटैंगलमेंट चरण में होता है, तो ये रंगीन जोड़ियाँ पूरे सिस्टम में फैली कनेक्शनों की एक जटिल वेब बनाती हैं, जिससे व्यापक एंटैंगलमेंट होता है।

सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्षों में से एक यह है कि शोधकर्ता इन परिणामों को कंप्यूटर सिमुलेशन पर निर्भर रहने के बजाय गणितीय रूप से सिद्ध करने में सक्षम थे। उन्होंने प्रदर्शित किया कि उनका तीन-आयामी टाइल निर्माण क्वांटम अवस्थाओं के लिए एक सटीक मिलान है, जिसमें कोई अंतराल या त्रुटि नहीं है। यह सटीक समाधान अत्यधिक एंटैंगल्ड पदार्थ की कार्यप्रणाली में एक दुर्लभ खिड़की खोलता है। शोधकर्ताओं ने यह भी गणना की कि सिस्टम आकार और आकार (shape) में बदलाव के प्रति कैसे प्रतिक्रिया करता है, जिससे पुष्टि हुई कि नए चरण में एंटैंगलमेंट सिस्टम के आयतन के साथ स्केल करता है। यह एरिया लॉ के बिल्कुल विपरीत है, जहाँ एंटैंगलमेंट केवल सतह के साथ स्केल करेगा। इतनी सटीकता के साथ इन अवस्थाओं का वर्णन करने की क्षमता उन अन्य जटिल क्वांटम सिस्टमों को समझने का मार्ग प्रशस्त करती है जो पहले विश्लेषण करने के लिए बहुत कठिन थे।

यह कार्य क्वांटम प्रणालियों में चरण संक्रमण (फेज ट्रांजिशन) की प्रकृति पर भी प्रकाश डालता है। निम्न-एंटैंगलमेंट अवस्था से उच्च-एंटैंगलमेंट अवस्था में संक्रमण एक सहज परिवर्तन नहीं है बल्कि एक तीव्र बदलाव है, ठीक वैसे ही जैसे पानी अचानक बर्फ में बदल जाता है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि इस संक्रमण को सिस्टम के सहसंबंधों के घटने के तरीके में अचानक बदलाव द्वारा पहचाना जाता है। निम्न-एंटैंगलमेंट चरण में, सहसंबंध घातांकीय (exponentially) रूप से गिरते हैं, जिसका अर्थ है कि वे बहुत जल्दी नगण्य हो जाते हैं। उच्च-एंटैंगलमेंट चरण में, ह्रास (decay) बहुत धीमा होता है, जो एक पावर लॉ (power law) का पालन करता है जो लंबी दूरी तक कनेक्शन को बने रहने की अनुमति देता है। यह व्यवहार क्रिटिकल सिस्टम (critical systems) की एक पहचान है, जहाँ सिस्टम के नियम मौलिक रूप से बदल जाते हैं। अपने तीन-आयामी टाइल मॉडलों का उपयोग करके इन संक्रमणों को मैप करने की शोधकर्ताओं की क्षमता दो-आयामी प्रणालियों में क्रिटिकल फेनोमेना के अध्ययन के लिए एक नया उपकरण प्रदान करती है।

इस कार्य के निहितार्थ केवल इन विशिष्ट मॉडलों तक ही सीमित नहीं हैं। टेंसर नेटवर्क बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि—एक द्वि-आयामी प्रणाली को त्रि-आयामी संरचना में मैप करना—क्वांटम भौतिकी की अन्य समस्याओं पर भी लागू की जा सकती है। शोधकर्ता सुझाव देते हैं कि उनका दृष्टिकोण अन्य विलक्षण पदार्थ अवस्थाओं को समझने में मदद कर सकता है, जैसे कि उच्च-तापमान सुपरकंडक्टर्स या टोपोलॉजिकल इंसुलेटर्स में पाई जाने वाली अवस्थाएँ। एक स्पष्ट, विश्लेषणात्मक चित्र प्रदान करके कि दो-आयामी प्रणालियों में एंटैंगलमेंट कैसे काम करता है, यह अध्ययन भविष्य के अनुसंधान के लिए एक आधार प्रदान करता है। यह दिखाता है कि जटिल, बहु-दिशीय प्रणालियों में भी, सही गणितीय उपकरणों के साथ अंतर्निहित पैटर्न खोजे जा सकते हैं। अध्ययन यह दावा नहीं करता है कि उसने क्वांटम एंटैंगलमेंट के सभी रहस्यों को सुलझा लिया है, लेकिन इसने इन घटनाओं को दो-आयामी प्रणालियों में कैसे प्रकट किया जा सकता है, इसका एक ठोस, सत्यापित उदाहरण प्रदान किया है, जो सिद्धांत और क्वांटम पदार्थ की जटिल वास्तविकता के बीच के अंतर को पाटता है।

अंत में, यह शोध एक स्पष्ट और विस्तृत चित्र प्रस्तुत करता है जहाँ एंटैंगलमेंट केवल एक स्थानीय घटना नहीं बल्कि एक वैश्विक घटना है। क्वांटम कणों की सपाट दुनिया और ज्यामितीय टाइल्स की तीन-आयामी दुनिया के बीच एक सेतु बनाकर, शोधकर्ताओं ने दिखाया है कि ये प्रणालियाँ अत्यधिक जटिल अवस्थाओं में खुद को कैसे व्यवस्थित कर सकती हैं। निष्कर्ष पुष्टि करते हैं कि सीमित से व्यापक एंटैंगलमेंट में संक्रमण वास्तविक है और इसे गणितीय सटीकता के साथ वर्णित किया जा सकता है। यह कार्य भौतिकी में विश्लेषणात्मक विधियों की शक्ति के प्रमाण के रूप में खड़ा है, जो यह दर्शाता है कि सबसे जटिल क्वांटम व्यवहारों को भी सही दृष्टिकोण से देखे जाने पर समझा जा सकता है। शोधकर्ताओं ने न केवल दो-आयामी प्रणालियों में इन अवस्थाओं के पहले उदाहरण खोजे हैं, बल्कि उनका गहराई से अध्ययन करने के लिए उपकरण भी प्रदान किए हैं, जो क्वांटम ब्रह्मांड की गहरी समझ का मार्ग प्रशस्त करते हैं।