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Time-optimal neural feedback control of nilpotent systems as a binary classification problem

यह शोध पत्र रैखिक निलैयंटेंट (nilpotent) प्रणालियों के लिए समय-इष्टतम फीडबैक नियंत्रण नियमों को संश्लेषित करने हेतु एक कम्प्यूटेशनल ढांचे का प्रस्ताव करता है, जिसमें पहले इष्टतम स्विचिंग अनुक्रमों को व्यापक रूप से हल करने के लिए बीजगणितीय विधियों का उपयोग किया जाता है और फिर सटीक एवं सुदृढ़ वास्तविक समय नियंत्रण प्राप्त करने के लिए परिणामी डेटासेट पर एक डीप न्यूरल नेटवर्क को प्रशिक्षित किया जाता है, जिसे एक बाइनरी क्लासिफायर के रूप में व्याख्यायित किया गया है।

मूल लेखक: Sara Bicego, Samuel Gue, Dante Kalise, Nelly Villamizar

प्रकाशित 2026-05-20

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Sara Bicego, Samuel Gue, Dante Kalise, Nelly Villamizar

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसी कार चला रहे हैं जो केवल पूरी गति से आगे या पूरी गति से पीछे जा सकती है, और आपको एक विशिष्ट स्थान (मूल बिंदु/origin) पर बिल्कुल सटीक रूप से रुकना है। यह टाइम-ऑप्टिमल कंट्रोल (समय-इष्टतम नियंत्रण) की मुख्य चुनौती है। यह शोध पत्र एक विशिष्ट प्रकार के वाहन (गणितीय रूप से जिसे "निलपोटेंट सिस्टम" कहा जाता है, जो जुड़े हुए इंटीग्रेटर्स की एक श्रृंखला की तरह कार्य करता है, जैसे कि एक कार की स्थिति, गति और त्वरण आपस में जुड़े होते हैं) के लिए इस समस्या को संबोधित करता है।

लेखकों ने इस पहेली को सरल उपमाओं के माध्यम से कैसे हल किया है, इसका विवरण यहाँ दिया गया है:

1. पहेली: सही स्विचिंग समय खोजना

एक आदर्श दुनिया में, यदि आपको पता हो कि आप ठीक कहाँ से शुरू कर रहे थे, तो आप "पूरी गति से आगे" से "पूरी गति से पीछे" में स्विच करने के सटीक क्षणों की गणना कर सकते हैं।

पुराना तरीका: पिछले तरीकों ने इसे जटिल बीजगणितीय उपकरणों (जैसे ग्रोबनर बेसिस) का उपयोग करके हल करने का प्रयास किया। इसे एक विशाल जिग्सॉ पहेली को सुलझाने की तरह समझें जहाँ आप हर एक टुकड़े की दूसरे से तुलना करते हैं। यह काम करता है (सरल प्रणालियों के लिए), लेकिन जैसे-जैसे पहेली बड़ी होती जाती है (उच्च आयामों में), यह बहुत अधिक समय लेता है और असंभव हो जाता है।
नया तरीका: लेखक एक स्मार्ट रणनीति प्रस्तावित करते हैं। वे इस समस्या को गणितीय समीकरणों (पॉलीनोमियल्स) के एक सेट में बदल देते हैं जहाँ अज्ञात चर (unknowns) वे समय हैं जब आपको स्विच करना चाहिए।

2. इंजन: एक "डिफलेटेड" खोज

इन समीकरणों को हल करने के लिए, वे न्यूटन के मेथड (Newton's method) का उपयोग करते हैं, जो एक हाइकर (पर्वतारोही) की तरह है जो घाटी के सबसे निचले बिंदु को खोजने की कोशिश कर रहा है।

समस्या: कभी-कभी, हाइकर को एक छोटा गड्ढा (समाधान) मिल जाता है लेकिन वह वास्तविक निचले बिंदु को मिस कर देता है, या वह एक लूप में फंस जाता है। साथ ही, वहां कई घाटियाँ हो सकती हैं, और आपको सबसे अच्छा विकल्प खोजने के लिए उन सभी को खोजना होगा।
समाधान (डिफलेशन): लेखक एक "डिफलेटेड न्यूटन मेथड" का उपयोग करते हैं। कल्पना करें कि हर बार जब हाइकर को एक घाटी मिलती है, तो वे जादुई रूप से उस घाटी को कंक्रीट से भर देते हैं ताकि उसे दोबारा न खोजा जा सके। फिर, वे अगली सबसे निचली घाटी की तलाश करते हैं। यह सुनिश्चित करता है कि वे एक ही समाधान पर बार-बार अटके बिना हर संभावित समाधान को खोज लें।

3. मानचित्र: यह जानना कि कितनी घाटियाँ मौजूद हैं

इस "घाटी भरने" के खेल में एक बड़ा जोखिम यह है कि यह न पता चले कि कब रुकना है। आप कैसे जानते हैं कि आपने सभी घाटियाँ खोज ली हैं?

उपकरण (हर्मिट क्वाड्रेटिक फॉर्म): लेखक हर्मिट क्वाड्रेटिक फॉर्म नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं। इसे एक जादुई मानचित्र के रूप में सोचें जो आपको यात्रा शुरू करने से पहले ही बताता है कि परिदृश्य में कितनी घाटियाँ मौजूद हैं।
यह क्यों महत्वपूर्ण है: यदि मानचित्र कहता है कि 3 घाटियाँ हैं, तो कंप्यूटर जानता है कि 3 घाटियाँ खोजने के बाद उसे रुक जाना चाहिए। यह प्रक्रिया को तेज़ और विश्वसनीय बनाता है ताकि कंप्यूटर चौथी घाटी खोजने के चक्कर में समय बर्बाद न करे या क्रैश न हो जाए जो अस्तित्व में ही नहीं है।

4. मस्तिष्क: बाइनरी क्लासिफायर के रूप में एक न्यूरल नेटवर्क को प्रशिक्षित करना

हर बार स्टीयरिंग करने के लिए इन समीकरणों को हल करना वास्तविक समय के नियंत्रक (जैसे ड्रोन या रोबोट) के लिए बहुत धीमा होगा। इसलिए, लेखक कुछ चतुर करते हैं: वे कंप्यूटर को उत्तर का अनुमान लगाना सिखाते हैं।

डेटासेट: वे अलग-अलग शुरुआती बिंदुओं पर विभिन्न प्रणालियों पर "परफेक्ट" गणितीय सॉल्वर को हजारों बार चलाते हैं। वे शुरुआती स्थिति और सही पहले कदम (आगे या पीछे) को रिकॉर्ड करते हैं।
शिक्षक: वे इसे एक बाइनरी क्लासिफिकेशन (द्विआधारी वर्गीकरण) समस्या के रूप में देखते हैं। कंप्यूटर से एक संख्या बताने के बजाय, वे उससे एक सरल हाँ/ना वाला सवाल पूछते हैं: "क्या मुझे +1 (आगे) जाना चाहिए या -1 (पीछे)?"
**छात्र (न्यूरल नेटवर्क): इस डेटा पर एक डीप न्यूरल नेटवर्क (एक प्रकार का AI) को प्रशिक्षित किया जाता है। नेटवर्क जटिल "स्विचिंग सरफेस" सीखता है—वह अदृश्य रेखा जो आपको बताती है कि कब अपना स्विच बदलना है।
कॉन्फिडेंस मीटर: AI केवल अनुमान नहीं लगाता; यह एक कॉन्फिडेंस स्कोर (विश्वास स्कोर) भी देता है। यदि यह 99% आश्वस्त है, तो यह तुरंत कार्य करता है। यदि यह अनिश्चित है (जैसे स्विचिंग लाइन के बिल्कुल करीब), तो यह दूसरे विचार के लिए "परफेक्ट सॉल्वर" को बुला सकता है।

5. परिणाम: तेज़, मजबूत और सटीक

लेखकों ने 2, 3, 4 और 5 आयामों (जैसे एक कार जिसमें केवल स्थिति है, या एक कार जिसमें स्थिति, गति, त्वरण आदि है) वाली प्रणालियों पर परीक्षण किया।

सटीकता: AI ने 99% से अधिक समय में सही निर्णय लेने में महारत हासिल की।
मजबूती (Robustness): जब उन्होंने इसमें "नॉइज़" (हवा या सेंसर त्रुटियों का अनुकरण) जोड़ा, तब भी AI-नियंत्रित प्रणाली लक्ष्य की ओर वापस मुड़ने में सफल रही। पुराना "ओपन-लूप" तरीका (केवल एक बार पथ की गणना करना और उम्मीद करना कि सब ठीक रहेगा) क्रैश हो गया या लक्ष्य से चूक गया।
गति: AI तुरंत निर्णय लेता है, जबकि पुराने गणित-प्रधान तरीकों में चलते हुए वाहन के दौरान पथ की गणना करने में बहुत अधिक समय लग जाता।

सारांश

यह शोध पत्र जटिल मशीनों को यथासंभव तेज़ी से नियंत्रित करने के लिए दो-चरणीय रेसिपी प्रस्तुत करता है:

गणित: एक स्मार्ट सर्च एल्गोरिदम (डिफलेटेड न्यूटन) का उपयोग करें जो एक "वैली काउंटर" (हर्मिट फॉर्म) द्वारा निर्देशित हो, ताकि पूर्ण प्रशिक्षण डेटा तैयार किया जा सके।
AI: एक न्यूरल नेटवर्क को प्रशिक्षित करें जो एक बाइनरी क्लासिफायर के रूप में कार्य करे जो मशीन की स्थिति के आधार पर तुरंत निर्णय ले सके कि आगे जाना है या पीछे।

यह दृष्टिकोण भारी गणितीय सिद्धांत और रोबोटिक्स एवं एयरोस्पेस में तेज़, वास्तविक समय के निर्णय लेने की आवश्यकता के बीच के अंतर को पाटता है।

तकनीकी सारांश: बाइनरी क्लासिफिकेशन के रूप में निलपोटेंट सिस्टम का टाइम-ऑप्टिमल न्यूरल फीडबैक कंट्रोल

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र लीनियर निलपोटेंट सिस्टम्स (विशेष रूप से इंटीग्रेटर्स की श्रृंखला) के लिए टाइम-ऑप्टिमल फीडबैक कंट्रोल लॉज़ के संश्लेषण (synthesis) को संबोधित करता है। इसका उद्देश्य एक प्रारंभिक अवस्था $x$ से न्यूनतम समय $T$ में मूल बिंदु (origin) तक जाने के लिए एक सिस्टम $\dot{y}(t) = Ay(t) + bu(t)$ को निर्देशित करना है, जबकि नियंत्रण बाधा $u(t) \in [-1, 1]$ लागू होती है।

शास्त्रीय 'बैंग-बैंग' प्रमेय (bang-bang theorem) के अनुसार, ऐसे सिस्टम्स के लिए इष्टतम नियंत्रण सिग्नल खंडित रूप से स्थिर (piecewise constant) होता है, जो $\{-1, 1\}$ के मान लेता है और इसमें अधिकतम $n-1$ स्विच होते हैं (जहाँ $n$ सिस्टम का आयाम है)। हालाँकि किसी विशिष्ट प्रारंभिक स्थिति के लिए ओपन-लूप समाधान को स्विचिंग समय को नियंत्रित करने वाले एक बहुपद सिस्टम (polynomial system) द्वारा वर्णित किया जा सकता है, लेकिन एक वास्तविक समय (real-time) का फीडबैक नियम (अवस्था $x$ से नियंत्रण $u$ का एक मानचित्र) बनाना कम्प्यूटेशनल रूप से चुनौतीपूर्ण है। पारंपरिक विधियाँ, जैसे ग्रोबनर बेसिस (Gröbner bases) का उपयोग करना या हैमिल्टन-जैकबी-बेलमैन (Hamilton-Jacobi-Bellman) PDEs को हल करना, उच्च आयामों में अत्यधिक कम्प्यूटेशनल जटिलता से ग्रस्त होती हैं या ग्रिड-आधारित विविक्तीकरण (discretization) की आवश्यकता होती है जो स्केलेबिलिटी को सीमित करती है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रस्तावित दृष्टिकोण एक अनुमानित फीडबैक कंट्रोलर बनाने के लिए संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति (numerical algebraic geometry), रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम और सुपरवाइज्ड मशीन लर्निंग को जोड़ता है। कार्यप्रणाली को दो मुख्य चरणों में विभाजित किया गया है:

चरण I: डिफ्लेटेड न्यूटन विधि के माध्यम से सिंथेटिक डेटा जनरेशन

आवश्यक डेटासेट तैयार करने के लिए, लेखक विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों के लिए टाइम-ऑप्टिमल कंट्रोल समस्या को हल करते हैं।

बहुपद सूत्रीकरण (Polynomial Formulation): टाइम-ऑप्टिमल कंट्रोल समस्या को स्विचिंग टाइम वृद्धि $\{t_i\}$ के संदर्भ में बहुपद समीकरणों (समीकरण 2.5) के एक सिस्टम के रूप में पुनर्गठित किया गया है। इस सिस्टम के लिए एक गैर-ऋणात्मक समाधान का अस्तित्व, एक विशिष्ट प्रारंभिक नियंत्रण मान $u(0) \in \{-1, 1\}$ के लिए इष्टतम स्विचिंग अनुक्रम को निर्धारित करता है।
रूट फाइंडिंग (Root Finding): ग्रोबनर बेसिस (जिनकी डबल-एक्सपोनेंशियल जटिलता बताई गई है) के बजाय, लेखक एक डिफलेटेड न्यूटन विधि (deflated Newton's method) का उपयोग करते हैं। यह पुनरावृत्ति तकनीक (iterative technique) ज्ञात रूट्स के अवशेष (residual) को व्यवस्थित रूप से बदल देती है ताकि सिस्टम के सभी संभावित वास्तविक रूट्स को खोजा जा सके।
हर्मिट क्वाड्रेटिक फॉर्म के माध्यम से रूट काउंटिंग: डिफ्लेशन रणनीति का एक महत्वपूर्ण घटक यह निर्धारित करना है कि कितने रूट्स की अपेक्षा की जाए (अर्थात स्टॉपिंग क्राइटेरियन)। लेखक बहुपद सिस्टम के लिए वास्तविक रूट्स की सटीक संख्या की गणना करने के लिए हर्मिट क्वाड्रेटिक फॉर्म (Hermite quadratic form) का उपयोग करते हैं। यह डिफ्लेशन एल्गोरिदम के लिए एक सटीक सीमा ( $n_{roots}$ ) प्रदान करता है, जिससे संख्यात्मक अस्थिरता को रोका जा सके और अनावश्यक पुनरावृत्तियों के बिना सभी समाधान प्राप्त किए जा सकें।
डेटासेट निर्माण: प्रत्येक नमूनाकृत प्रारंभिक स्थिति के लिए, सिस्टम $u(0)=1$ और $u(0)=-1$ दोनों के लिए बहुपद सिस्टम को हल करता है। वैध गैर-ऋणात्मक समाधान इष्टतम स्विचिंग संरचना की पहचान करता है। लेखक अवस्था-नियंत्रण युग्मों $(y, u)$ का एक डेटासेट बनाने के लिए परिणामी इष्टतम प्रक्षेपवक्र (trajectory) के साथ 100 बिंदुओं को नमूनाकृत करते हैं।

चरण II: बाइनरी क्लासिफायर के रूप में न्यूरल फीडबैक

दूसरा चरण टाइम-ऑप्टिमल फीडबैक लॉ को एक बाइनरी क्लासिफिकेशन समस्या के रूप में व्याख्यायित करता है।

वर्गीकरण ढांचा (Classification Framework): चूंकि इष्टतम नियंत्रण $u(t)$ के मान $\{-1, 1\}$ में होते हैं, इसलिए फीडबैक मैप को अवस्था स्थान $\mathbb{R}^n$ को $\{-1, 1\}$ में मैप करने वाले एक क्लासिफायर के रूप में मॉडल किया गया है।
न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर: एक डीप फीडफॉरवर्ड न्यूरल नेटवर्क को चरण I में उत्पन्न सिंथेटिक डेटासेट का उपयोग करके प्रशिक्षित किया जाता है। अंतिम परत एक सिग्मॉइड एक्टिवेशन फंक्शन का उपयोग करती है जो $P(u=1)$ की संभावना आउटपुट करती है, जिससे मॉडल अपने वर्गीकरण के लिए एक कॉन्फिडेंस मेजर (विश्वास का स्तर) प्रदान कर सकता है।
हाइब्रिड कंट्रोल रणनीति: स्विचिंग सतह के पास की अवस्थाओं को वर्गीकृत करने की कठिनाई को दूर करने के लिए, लेखक एक हाइब्रिड दृष्टिकोण प्रस्तावित करते हैं। यदि न्यूरल नेटवर्क का कॉन्फिडेंस (विश्वास) एक थ्रेशोल्ड $\epsilon$ से नीचे गिर जाता है, तो सिस्टम उस विशिष्ट अवस्था के लिए सटीक नियंत्रण क्रिया निर्धारित करने के लिए ओपन-लूप बहुपद सॉल्वर (चरण I) का आह्वान करता है।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

निलपोटेंट सिस्टम्स के लिए कम्प्यूटेशनल वर्कफ़्लो: यह शोध पत्र एक सुसंगत वर्कफ़्लो प्रस्तावित करता है जो उच्च-आयामी सिस्टम्स के लिए ग्रोबनर बेसिस की सीमाओं को दरकिनार करने के लिए डिफ्लेटेड न्यूटन मेथड्स को हर्मिट क्वाड्रेटिक फॉर्म्स के साथ जोड़कर काम करता है।
हर्मिट फॉर्म्स के माध्यम से रूट काउंटिंग: टाइम-ऑप्टिमल बहुपद सिस्टम में वास्तविक रूट्स की संख्या निर्धारित करने के लिए हर्मिट क्वाड्रेटिक फॉर्म्स का अनुप्रयोग, रूट-फाइंडिंग प्रक्रिया की दक्षता और स्थिरता सुनिश्चित करने के एक तंत्र के रूप में रेखांकित किया गया है।
बाइनरी क्लासिफिकेशन सूत्रीकरण: लेखक टाइम-ऑप्टिमल फीडबैक लॉ के संश्लेषण को एक सुपरवाइज्ड लर्निंग बाइनरी क्लासिफिकेशन कार्य के रूप में पुनर्गठित करते हैं। यह दृष्टिकोण वास्तविक समय संचालन के दौरान प्रक्षेपवक्रों (trajectories) की पुनरावृत्ति गणना की आवश्यकता को समाप्त करता है।
कॉन्फिडेंस-एन्हांस्ड फीडबैक: कॉन्फिडेंस थ्रेशोल्ड का एकीकरण एक हाइब्रिड कंट्रोल लॉ की अनुमति देता है जो अधिकांश अवस्थाओं के लिए न्यूरल नेटवर्क इन्फरेंस की गति का लाभ उठाता है, जबकि अस्पष्ट अवस्थाओं (स्विचिंग सतहों के पास) के लिए एक फॉलबैक तंत्र के रूप में सटीक बहुपद सॉल्वर का उपयोग करता है।

4. संख्यात्मक परिणाम (Numerical Results)

इस कार्यप्रणाली का परीक्षण $n=2$ से $n=5$ आयामों वाले इंटीग्रेटर चेन्स पर किया गया।

सटीकता (Accuracy): न्यूरल नेटवर्क क्लासिफायर ने उच्च टेस्ट सेट सटीकता प्राप्त की, जो 96.76% (4th-order) से 99.61% (5th-order) के बीच रही।
मजबूती (Robustness): एडिटिव गौसियन नॉइज़ के साथ मोंटे कार्लो सिमुलेशन ने प्रदर्शित किया कि न्यूरल फीडबैक लॉ सफलतापूर्वक सिस्टम को मूल बिंदु तक ले जाता है, जबकि ओपन-लूप समाधान फीडबैक सुधार के अभाव में विचलित (diverge) हो जाते हैं।
हाइब्रिड रणनीति का प्रदर्शन:
- 2nd-order मामले में, हाइब्रिड रणनीति (लो-कॉन्फिडेंस पॉइंट्स के लिए सॉल्वर का उपयोग करना) ने शुद्ध न्यूरल कंट्रोलर की तुलना में नगण्य सुधार दिखाया, क्योंकि नेटवर्क ने लो-कॉन्फिडेंस के बावजूद स्विचिंग सतह के बिंदुओं को सही ढंग से वर्गीकृत किया।
- उच्च आयामों (3rd, 4th, और 5th order) में, हाइब्रिड दृष्टिकोण ने इष्टतम समय क्षितिज ( $T_{NN}$ ) के सन्निकटन में महत्वपूर्ण सुधार किया, जिससे केवल न्यूरल नेटवर्क का उपयोग करने की तुलना में मूल बिंदु तक पहुँचने का समय कम हो गया।
कम्प्यूटेशनल दक्षता: डेटा जनरेशन के लिए रूट्स की संख्या को सीमित करने के लिए हर्मिट क्वाड्रेटिक फॉर्म्स के उपयोग ने 4th-order मामले में CPU समय को 108 मिनट (सैद्धांतिक सीमाओं का उपयोग करके) से घटाकर 49 मिनट कर दिया।

5. महत्व और दावे (Significance and Claims)

यह शोध पत्र दावा करता है कि यह निलपोटेंट सिस्टम्स के लिए रियल-टाइम फीडबैक कंट्रोलर बनाने के लिए ग्रोबनर बेसिस जैसे बीजगणितीय ज्यामिति-आधारित तरीकों के लिए एक स्केलेबल विकल्प प्रदान करता है। लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि यद्यपि ग्रोबनर बेसिस सैद्धांतिक रूप से सुदृढ़ हैं, उनकी कम्प्यूटेशनल लागत उन्हें 3 से अधिक आयाम वाले स्टेट स्पेस के लिए अनुपयुक्त बनाती है।

इस कार्य का महत्व निम्नलिखित में निहित है:

स्केलेबिलिटी: प्रस्तावित संख्यात्मक और लर्निंग-आधारित दृष्टिकोण का उपयोग करके आयाम 5 तक के इंटीग्रेटर चेन्स के लिए टाइम-ऑप्टिमल कंट्रोल संश्लेषण को विस्तारित करना।
रियल-टाइम व्यवहार्यता: रनटाइम पर बहुपद प्रणालियों के पुनरावृत्ति समाधान के बजाय न्यूरल नेटवर्क के सिंगल फॉरवर्ड पास को प्रतिस्थापित करना, जिसे आवश्यकता पड़ने पर एक फॉलबैक मैकेनिज्म द्वारा सुदृढ़ किया गया है।
नॉन-स्मूथनेस को संभालना: बाइनरी क्लासिफिकेशन समस्या के रूप में एक डिस्कंटीन्यूअस बैंग-बैंग कंट्रोल लॉ (एक नॉन-स्मूथ फील्ड) को सफलतापूर्वक सन्निकटित करना, जो एक ऐसा कार्य है जहाँ पारंपरिक ग्लोबल एप्रोक्सिमेशन तकनीकें अक्सर संघर्ष करती हैं।

लेखक अपने दायरे के संबंध में विनम्र बने हुए हैं, यह नोट करते हुए कि जैसे-जैसे आयाम बढ़ता है, हर्मिट क्वाड्रेटिक फॉर्म की गणना स्वयं कम्प्यूटेशनल रूप से महंगी हो जाती है (इसे आयाम 7 तक सफलतापूर्वक कंप्यूट किया गया है, लेकिन प्रयोगों में डेटा जनरेशन के लिए आयाम 5 तक उपयोग किया गया है)। वे सुझाव देते हैं कि बाइनरी क्लासिफिकेशन के माध्यम से बैंग-बैंग लॉ का इंटरपोलेशन समान संरचना वाले अन्य स्पार्स कंट्रोल समस्याओं के लिए नए मार्ग खोलता है।