Self-graphing equations
यह शोधपत्र टप्पर के स्व-संदर्भित सूत्र (Tupper's self-referential formula) की लोकप्रिय अवधारणा की टाइपोग्राफिक रूप से आश्रित और तुच्छ होने की आलोचना करता है, और फिर इन समस्याओं को औपचारिक रूप देकर और कंप्यूटेबिलिटी थ्योरी (computability theory) का उपयोग करते हुए एक सामान्य समाधान प्रदान करके इन्हें हल करता है।
मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें
एक ऐसी दुनिया की कल्पना करें जहाँ एक गणितीय सूत्र, जब कागज पर खींचा जाता है, तो वह केवल एक वृत्त या तरंग जैसी आकृति का वर्णन नहीं करता, बल्कि उस सूत्र को बनाने वाले स्वयं के शब्दों को ही उकेर देता है। यह "स्व-आरेखित समीकरण" (self-graphing equation) का विचित्र और आकर्षक विचार है। यह अवधारणा तब व्यापक चर्चा में आई जब टपर का स्व-संदर्भित सूत्र (Tupper's self-referential formula) नामक एक विशिष्ट सूत्र इंटरनेट पर वायरल हो गया। वह प्रसिद्ध सूत्र एक निश्चित आकार की किसी भी छवि को बनाने में सक्षम है, जिसमें स्वयं उस सूत्र का टेक्स्ट भी शामिल है, लेकिन यह काम करने के लिए एक विशिष्ट, पूर्व-चयनित संख्या पर निर्भर करता है। यह वास्तविक स्व-संदर्भ के बजाय निर्देशांकों (coordinates) की एक चतुर चाल है। गणितज्ञ लंबे समय से यह सोचने में लगे रहे हैं कि क्या एक ऐसा समीकरण बनाना संभव है जो बिना किसी गुप्त कोड या किसी विशिष्ट संख्या के, स्वाभाविक रूप से स्वयं को खींचने के निर्देशों को अपने भीतर समाहित रखता हो। हालाँकि, यह प्रश्न पेचीदा है क्योंकि यह पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करता है कि हम अक्षरों और प्रतीकों को कैसे लिखते हैं। यदि फ़ॉन्ट बदलता है, तो चित्र बदल जाता है, और समीकरण अब चित्र से मेल नहीं खा पाता। इसके अलावा, यदि किसी को कोई भी काल्पनिक फलन (function) उपयोग करने की अनुमति दी जाए, तो समस्या तुच्छ और अर्थहीन हो जाती है, क्योंकि कोई भी बस एक ऐसा फलन परिभाषित कर सकता है जो जो भी छवि चाहे उसे बना दे, जिसमें स्वयं का टेक्स्ट भी शामिल हो।
एक शोधकर्ता सैमुअल एलन अलेक्जेंडर ने इस समस्या को एक कठोर गणितीय प्रश्न में बदलकर इन खामियों को दूर किया है। किसी विशिष्ट फ़ॉन्ट या अनुमत प्रतीकों के सेट पर ध्यान केंद्रित करने के बजाय, उन्होंने एक सामान्य ढांचा बनाया जो यह परिभाषित करता है कि एक समीकरण को "स्व-आरेखित" होने का क्या अर्थ है, जो किसी भी उचित लेखन प्रणाली के लिए काम कर सके। उन्होंने वर्णमाला के प्रतीकों, उन्हें आकृतियों के रूप में बनाए जाने के तरीके और उन्हें समीकरणों के रूप में व्याख्यायित किए जाने के तरीके को एक औपचारिक प्रणाली के रूप में माना। इस प्रणाली में, प्रतीकों की प्रत्येक श्रृंखला का एक तल (plane) पर एक विशिष्ट ड्राइंग के रूप में अर्थ होता है। लक्ष्य एक ऐसे प्रतीकों की श्रृंखला को खोजना था जो, जब एक ड्राइंग के रूप में व्याख्यायित की जाए, तो ठीक उसी प्रतीकों की श्रृंखला को उत्पन्न करे। इस समस्या को हल करने के लिए, अलेक्जेंडर ने अनुमान लगाने या प्रयास और त्रुटि (trial and error) पर भरोसा नहीं किया। इसके बजाय, उन्होंने गणना सिद्धांत (computability theory) के क्षेत्र से एक शक्तिशाली उपकरण का उपयोग किया, जो इस बात का अध्ययन करता है कि मशीन द्वारा क्या और क्या नहीं निकाला जा सकता है। उन्होंने रिकर्शन थ्योरम (recursion theorem) नामक एक प्रसिद्ध परिणाम को लागू किया, जिसका उपयोग मूल रूप से यह सिद्ध करने के लिए किया जाता था कि एक कंप्यूटर प्रोग्राम अपने स्वयं के सोर्स कोड को प्रिंट कर सकता है। यह प्रमेय गारंटी देता है कि कुछ तार्किक शर्तों के तहत, एक प्रणाली स्वयं को संदर्भित कर सकती है।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि यदि समीकरणों की एक प्रणाली "स्व-प्रतिबंधित" (self-constrained) है—अर्थात इसमें एक तार्किक संरचना है जो एक ड्राइंग के विवरण को वापस उस समीकरण में अनुवाद करने की अनुमति देती है जो उस ड्राइंग को उत्पन्न करता है—तो एक स्व-आरेखित समीकरण का अस्तित्व सुनिश्चित है। अलेक्जेंडर ने दिखाया कि यह स्थिति समीकरणों की एक बहुत ही व्यावहारिक लेखन प्रणाली द्वारा पूरी की जाती है। उन्होंने अक्षरों, संख्याओं और गणितीय प्रतीकों के एक मानक सेट का उपयोग करके एक विशिष्ट उदाहरण बनाया, जिसमें अनंत योग (infinite sums) और गुणन (products) को संभालने के लिए विशेष उपकरण शामिल थे। इस प्रणाली में, प्रतीकों को डिजिटल स्क्रीन पर अक्षरों की तरह छोटे, ब्लॉकनुमा आकारों के रूप में बनाया गया है जो सूक्ष्म पिक्सेल से बने होते हैं। शोधकर्ता ने सिद्ध किया कि इस प्रणाली के भीतर, पात्रों की एक विशिष्ट श्रृंखला मौजूद है जो, जब ग्राफ़ की जाती है, तो ठीक उसी पात्रों की श्रृंखला को चित्रित करती है। यह प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि प्रणाली जटिल तार्किक कथनों को व्यक्त कर सकती है, जिसमें "अस्तित्व है" या "सभी के लिए" कहने की क्षमता शामिल है, जो समीकरण को अपनी स्वयं की संरचना का वर्णन करने की अनुमति देती है।
यह खोज अस्तित्व का एक निर्णायक प्रमाण है, न कि हाथ से ऐसा समीकरण लिखने की कोई विशिष्ट विधि। शोध पत्र उस प्रतीकों की वास्तविक श्रृंखला प्रदान नहीं करता है जो इस समस्या को हल करती है, क्योंकि वह श्रृंखला अविश्वसनीय रूप से लंबी और जटिल होगी, जो एक मनुष्य के लिखने या पढ़ने की क्षमता से परे है। इसके बजाय, यह कार्य सिद्ध करता है कि ऐसी एक श्रृंखला अस्तित्व में होनी ही चाहिए यदि वह उन तार्किक मानदंडों को पूरा करती है जिन्हें अलेक्जेंडर ने स्थापित किया है। यह शोध प्रभावी रूप से इस बहस को समाप्त करता है कि क्या स्व-आरेखित समीकरण एक अर्थहीन जिज्ञासा हैं या एक तुच्छ असंभवता। यह दिखाता है कि वे न तो ये हैं और न ही वह। वे एक वास्तविक गणितीय वास्तविकता हैं जो उन प्रणालियों में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है जो अपने स्वयं के तर्क को व्यक्त करने में सक्षम हैं। यह कार्य स्पष्ट करता है कि इंटरनेट पर वायरल हुआ सूत्र ही इस कार्य को करने का एकमात्र तरीका नहीं था, न ही वह सख्त अर्थों में एक सच्चा स्व-संदर्भ था। नियमों को औपचारिक बनाकर, अलेक्जेंडर ने दिखाया है कि गणितीय समीकरणों का ब्रह्मांड इतना समृद्ध है कि वह अपनी स्वयं की छवि को समाहित कर सके, बशर्ते कि खेल के नियम सही ढंग से निर्धारित हों। यह कार्य अमूर्त तर्क और दृश्य प्रतिनिधित्व के बीच के अंतर को पाटता है, यह सिद्ध करते हुए कि निर्देशों का एक सेट, एक बहुत ही वास्तविक अर्थ में, स्वयं को चित्रित कर सकता है।
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