Fractional diffusion without disorder in two dimensions

एक भीड़भाड़ वाले डांस फ्लोर की कल्पना करें जहाँ हर कोई एक-दूसरे का हाथ थामे हुए है, जिससे एक विशाल, हिलता-डुलता जाल बन रहा है। भौतिकी (physics) की दुनिया में, यह कुछ हद तक वैसा ही है जैसे कि कण (particles) एक तरल पदार्थ में कैसे चलते हैं: वे बहते हैं, टकराते हैं और बेतरतीब ढंग से फैलते हैं, इस प्रक्रिया को हम "विसरण" (diffusion) कहते हैं। यही कारण है कि पानी के गिलास में स्याही की एक बूंद समान रूप से फैल जाती है या क्यों एक गंध कमरे में भर जाती है। आमतौर पर, यह फैलाव एक अनुमानित लय का पालन करता है: आप जितना दूर जाएंगे, उतना अधिक समय लगेगा, लेकिन यह एक स्थिर, विश्वसनीय गति से होता है। वैज्ञानिकों ने सदियों तक इसका अध्ययन किया है, यह मानते हुए कि यदि बाधाओं (जैसे गंदगी या अव्यवस्था) को हटा दिया जाए और सिस्टम सरल हो, तो कण बस सामान्य रूप से विसरित होंगे।

लेकिन क्या होगा अगर डांस फ्लोर के नियम ही बदल जाएं? क्या होगा अगर नर्तकों को एक सख्त, अदृश्य कोड का पालन करने के लिए मजबूर किया जाए जो आगे बढ़ने को बेहद कठिन बना दे, भले ही फर्श खाली हो? यह वह पहेली है जिसे भौतिक विज्ञानी "फ्रस्ट्रेटेड मैग्नेट्स" (frustrated magnets) और "गेज थ्योरीज़" (gauge theories) के क्षेत्र में सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं। इन प्रणालियों के बारे में सोचें जहाँ छोटे चुंबकीय स्पिन (जैसे छोटे दिशा-सूचक यंत्र) "रॉक-पेपर-सिज़र्स" के खेल में फंस जाते हैं जहाँ कोई भी एक व्यवस्था सभी को खुश नहीं कर सकती। इन प्रणालियों में, एक एकल "दोष" (defect - पैटर्न में एक गड़बड़ी) की गति केवल टकराने के बारे में नहीं है; यह पूरे समूह के सामूहिक नियमों द्वारा बनाए गए भूलभुलैया में रास्ता खोजने के बारे में है। इस बात को समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह हमें नए प्रकार के क्वांटम कंप्यूटर बनाने और लैब में जटिल भौतिकी का अनुकरण करने में मदद करता है, जिससे यह पता चलता है कि क्वांटम दुनिया में व्यवस्था (order) और अराजकता (chaos) एक साथ कैसे नृत्य करते हैं।

फंसे हुए दोष का रहस्य

इस शोध पत्र में, लेखक निलोत्पल चक्रवर्ती, मार्कस हेय और रोडेरिक मोस्नर एक बहुत ही विशिष्ट, विरोधाभासी परिदृश्य की जांच करते हैं: कैसे एक एकल दोष "आइस" (ice) या "डिमर्स" (dimers) (चुंबकीय सामग्रियों के मॉडल) के द्वि-आयामी ग्रिड में घूमता है जिसमें बिल्कुल भी विकार (disorder), कोई यादृच्छिक अव्यवस्था नहीं है, और न ही यह किसी विशेष क्रिटिकल पॉइंट पर ट्यून किया गया है। आप उम्मीद कर सकते हैं कि ऐसी स्वच्छ, सरल प्रणाली में, दोष सामान्य रूप से इधर-उधर घूमेगा। इसके बजाय, उन्होंने कुछ अद्भुत पाया: दोष एक प्रकार के "गतिक पिंजरे" (dynamical cage) में फंस जाता है, और उम्मीद से बहुत धीमी गति से चलता है, जिसे "सबडिफ्यूसिव" (subdiffusive) कहा जाता है।

इसे एक किशोर के गलियारे में चलने की तरह समझें। एक सामान्य गलियारे में, वे एक स्थिर गति से चलते हैं। लेकिन इस "आइस" गलियारे में, हर बार जब वे एक कदम आगे बढ़ने की कोशिश करते हैं, तो उन्हें अपने कदमों को पीछे खींचने, अपने पिछले कदमों को उलटने और फिर से प्रयास करने के लिए मजबूर किया जाता है, और यह बार-बार होता है। वे किसी दीवार से नहीं रुक रहे हैं; वे गलियारे के नियमों द्वारा रोके जा रहे हैं। लेखकों ने पाया कि यह दोष केवल घूमता नहीं है; यह लंबे, लूपिंग रिट्रैक्शन (पीछे हटने) में फंस जाता है। ऐसा लगता है जैसे फर्श खुद चलने वाले से कह रहा हो, "आप उस तरफ नहीं जा सकते क्योंकि आप अभी वहीं से आए हैं, और नियम कहते हैं कि आपको पहले वह कदम वापस लेना होगा।"

"लूप-इरेज़्ड" नृत्य

यह समझने के लिए कि ऐसा क्यों होता है, लेखकों ने दोष द्वारा लिए गए पथ (path) का अध्ययन किया। उन्होंने पाया कि दोष की यात्रा गणितीय रूप से "लूप-इरेज़्ड रैंडम वॉक" (loop-erased random walk) के समान है। कल्पना कीजिए कि आप कागज के एक टुकड़े पर एक रेखा खींच रहे हैं। हर बार जब आपकी कलम गलती से वापस घूमकर उस रेखा को छू लेती है जिसे आपने पहले ही खींचा है, तो आप उस लूप को मिटा देते हैं और उसी बिंदु से आगे बढ़ते हैं जहाँ से लूप शुरू हुआ था। अंत में जो पथ बचता है, वह "लूप-इरेज़्ड" होता है।

उनके सिमुलेशन में, दोष बिल्कुल इसी तरह व्यवहार करता है। वह इधर-उधर कूदने की कोशिश करता है, लेकिन प्रणाली के सख्त नियम (जिसे इस संदर्भ में "गॉस का नियम" कहा जाता है) उसे एक ही दिशा में बंद लूप बनाने से रोकते हैं। यदि वह वापस घूमने की कोशिश करता है, तो प्रणाली उसे वह कदम वापस लेने के लिए मजबूर करती है। इसके परिणामस्वरूप दोष बहुत अधिक समय "प्रतीक्षा" करने या अपने कदमों को वापस लेने में बिता देता है। लेखकों ने इस प्रतीक्षा समय को मापा और पाया कि यह एक विशिष्ट पैटर्न का पालन करता है: प्रतीक्षा जितनी लंबी होगी, इसके होने की संभावना उतनी ही अधिक होगी, जो एक पावर लॉ (power law) का पालन करता है जहाँ घातांक (exponent) लगभग 1.84 है। क्योंकि औसत प्रतीक्षा समय प्रभावी रूप से अनंत है, दोष अविश्वसनीय रूप से धीरे चलता है।

एक घर्षणहीन घर्षण

सबसे आश्चर्यजनक बात यह है कि यह "घर्षण" (friction) भौतिक बाधाओं या गंदगी के कारण नहीं है। यह पूरी तरह से "एन्ट्रोपिक" (entropic) है, जिसका अर्थ है कि यह इस तथ्य से आता है कि प्रणाली खुद को व्यवस्थित करने के कितने तरीके हैं। लेखकों ने दोष की गति को एक "हाइट फील्ड" (height field) के रूप में मैप किया, जो ऐसा है जैसे ग्रिड को एक पहाड़ी परिदृश्य के रूप में देखना। दोष इस परिदृश्य पर लुढ़कने वाली एक गेंद की तरह है। आमतौर पर, एक गेंद पहाड़ी से नीचे लुढ़कती है। लेकिन यहाँ, परिदृश्य में एक विशेष "लॉगैरिद्मिक पोटेंशियल" (logarithmic potential) है—एक अजीब, घुमावदार पहाड़ी जो आपसे दूर जाने पर और तीव्र होती जाती है, लेकिन यह सामग्री की "कठोरता" (stiffness) पर निर्भर करती है।

यह क्षमता एक सौम्य लेकिन निरंतर हाथ की तरह काम करती है जो दोष को वापस धकेलती है। इस धक्के की ताकत को बदला जा सकता है। प्रणाली के नियमों को बदलकर (जैसे स्थिर आवेश जोड़कर या कणों के स्पिन को बदलकर), लेखकों ने दिखाया कि वे यह नियंत्रित कर सकते हैं कि दोष कितनी धीमी गति से चलता है। 400 × 400 ग्रिड पर अपने सिमुलेशन में, उन्होंने दोष की गति को मापा और पाया कि तय की गई दूरी का वर्ग ($\langle r^2 \rangle$) समय ($t$) के साथ $\langle r^2 \rangle \sim t^{0.86}$ के सूत्र के अनुसार बढ़ता है। सामान्य विसरण (diffusion) में, घातांक 1.0 होगा। 0.86 प्राप्त करने का अर्थ है कि दोष काफी धीमा है, एक ऐसी घटना जिसे वे "रोबस्ट सबडिफ्यूजन" (robust subdiffusion) कहते हैं।

पथ का आकार

लेखकों ने यह भी देखा कि दोष समय के साथ किस क्षेत्र का अन्वेषण करता है। यदि आप उस क्षेत्र की सीमा खींचते हैं जिसे दोष ने देखा है, तो यह एक फ्रैक्टल (fractal) जैसा दिखता है—एक ऐसा आकार जो हर पैमाने पर खुरदरा और टेढ़ा-मेढ़ा है। उन्होंने पाया कि इस सीमा की "खुरदरापन" (roughness) का फ्रैक्टल आयाम 1.25 (या 5/4) है। यह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या है जो "लूप-इरेज़्ड रैंडम वॉक" से पूरी तरह मेल खाती है। यह एक साधारण रैंडम वॉक (जो 4/3 होगा) या सेल्फ-अवॉइडिंग वॉक से अलग है। यह सुझाव देता है कि दोष का पथ केवल एक यादृच्छिक चहलकदमी नहीं है; यह एक अत्यधिक संरचित, गैर-संतुलन विकास प्रक्रिया है जो SLE(2) नामक गणितीय वक्रों के एक अद्वितीय वर्ग से संबंधित है।

जब भीड़ बहुत बड़ी हो जाती है

अंत में, टीम ने पूछा: क्या होगा यदि आपके पास एक से अधिक दोष हों? यदि आपके पास कुछ हैं, तो वे अपने स्वयं के पिंजरों में फंसे रहते हैं। लेकिन जैसे-जैसे आप अधिक दोष जोड़ते हैं, वे एक-दूसरे के साथ हस्तक्षेप करने लगते हैं। लेखकों ने पाया कि सबडिफ्यूजन केवल तब तक चलता है जब तक कि दोष ने दोषों के बीच की औसत दूरी के बराबर दूरी तय नहीं कर ली है। एक बार जब वह इस सीमा को पार कर लेता है, तो "पिंजरा" टूट जाता है, और दोष सामान्य रूप से हिलना शुरू कर देते हैं, जैसे कि एक मानक विसरण प्रक्रिया। यह एक भीड़भाड़ वाली पार्टी की तरह है: यदि आप अकेले नाच रहे हैं, तो आप एक अजीब लय में फंस सकते हैं, लेकिन यदि कमरा भरा हुआ है, तो हर कोई बस एक-दूसरे से टकराता है और एक मानक, अराजक प्रवाह में चलता है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह कार्य एक बड़ी बात है क्योंकि यह दिखाता है कि अजीब, धीमी गति प्राप्त करने के लिए आपको एक अस्त-व्यस्त, विकृत प्रणाली की आवश्यकता नहीं है। आपको बस सही नियमों की आवश्यकता है। यह "प्रतिबंध-प्रेरित सबडिफ्यूजन" (constraint-induced subdiffusion) कृत्रिम स्पिन आइस (छोटे चुंबकों से बनी सामग्रियां) और क्वांटम सिम्युलेटर में दोषों की गति को समझने की कुंजी हो सकता है। यह सुझाव देता है कि इन प्रणालियों के नियमों को ट्यून करके, वैज्ञानिक यह नियंत्रित कर सकते हैं कि सूचना या ऊर्जा कितनी तेजी से चलती है, जिससे डेटा संग्रहीत करने के नए तरीके या जटिल भौतिकी का अनुकरण करने की संभावनाएं खुल सकती हैं। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि यह एक सिमुलेशन-आधारित खोज है, और हालांकि गणित ठोस है, क्वांटम प्लेटफॉर्म में वास्तविक दुनिया का अनुप्रयोग भविष्य के लिए एक रोमांचक संभावना है।