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A Sparse Bayesian Learning Algorithm for Estimation of Interaction Kernels in Motsch-Tadmor Model

यह शोध पत्र ट्रैजेक्टरी डेटा से मोटश-टैडमोर मॉडल में असममित इंटरेक्शन कर्नेलल (asymmetric interaction kernels) को मजबूती से पहचानने के लिए एक वेरिएशनल फ्रेमवर्क के भीतर एक स्पार्स बायेसियन लर्निंग एल्गोरिदम का प्रस्ताव करता है, जो पहचान योग्यता (identifiability) की शर्तों को स्थापित करता है और व्यापक संख्यात्मक प्रयोगों के माध्यम से इसकी सटीकता और अनिश्चितता परिमाणीकरण क्षमताओं का प्रदर्शन करता है।

मूल लेखक: Jinchao Feng, Sui Tang

प्रकाशित 2026-06-03

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jinchao Feng, Sui Tang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि पक्षियों का एक झुंड है, मछलियों का एक समूह है, या यहाँ तक कि एक कमरे में लोगों का एक समूह है जो किसी सहमति पर पहुँचने की कोशिश कर रहा है। प्रत्येक व्यक्ति इस आधार पर आगे बढ़ रहा है कि वे अपने आस-पास के अन्य लोगों के साथ कैसे परस्पर क्रिया (interact) करते हैं। वैज्ञानिक इन्हें "इंटरेक्टिंग पार्टिकल सिस्टम्स" (interacting particle systems) कहते हैं। आमतौर पर, ये आपसी क्रियाएं सरल होती हैं: यदि आप किसी के करीब हैं, तो आप उनकी ओर बढ़ते हैं; यदि आप दूर हैं, तो आप उन्हें अनदेखा कर देते हैं।

हालाँकि, वास्तविक दुनिया में, ये आपसी क्रियाएं हमेशा निष्पक्ष या समान नहीं होती हैं। कभी-कभी, एक छोटा पक्षी एक बड़े पक्षी से बहुत अधिक प्रभावित हो सकता है, लेकिन बड़ा पक्षी उसे शायद ही ध्यान में लाता है। इसे एसिमेट्रिक इंटरैक्शन (asymmetric interaction) कहा जाता है।

यह शोध पत्र यह पता लगाने के लिए एक नया "डिटेक्टिव टूल" पेश करता है कि ये व्यक्ति वास्तव में एक-दूसरे को कैसे प्रभावित कर रहे हैं, और वह भी केवल उनके चलने के तरीके को देखकर। यहाँ बताया गया है कि लेखकों ने इसे कैसे किया, सरल शब्दों में:

1. रहस्य: छिपा हुआ नियमकोश (The Hidden Rulebook)

कल्पना कीजिए कि आप एक डांसिंग ग्रुप (नर्तकों के समूह) को देख रहे हैं। आप नर्तकों की स्थिति और उनकी गति को देख सकते हैं, लेकिन आपको उनकी कोरियोग्राफी (नृत्य की रचना) नहीं पता है। आप नहीं जानते कि वह "नियमकोश" क्या है जो एक नर्तक को अपने पड़ोसियों के प्रति प्रतिक्रिया करने का निर्देश देता है।

लक्ष्य: लेखक इस नियमकोश (जिसे इंटरैक्शन कर्नेल कहा जाता है) को केवल नर्तकों के रास्तों को देखकर रिवर्स-इंजीनियर करना चाहते हैं।
समस्या: इस विशिष्ट मॉडल (Motsch-Tadmor मॉडल) में नियमकोश काफी पेचीदा है। यह एक ऐसी रेसिपी की तरह है जहाँ नमक की मात्रा इस बात पर निर्भर करती है कि बर्तन में पहले से कितना पानी है, जो बदले में इस बात पर निर्भर करता है कि आपने अभी-अभी कितना नमक डाला है। यह एक जटिल, गोलाकार गणितीय समस्या पैदा करता है जिसे हल करना बहुत कठिन है, खासकर यदि आपका वीडियो हिलता हुआ है या उसमें "शोर" (noise) है (जैसे कि एक हिलता हुआ कैमरा)।

2. तरकीब: स्क्रिप्ट को पलटना (Flipping the Script)

इस जटिल गणित को हल करने के लिए, लेखकों ने एक चतुर तरकीब का उपयोग किया। नियमकोश का सीधे अनुमान लगाने के बजाय, उन्होंने समीकरण को इस तरह से पुनर्व्यवस्थित किया कि "नियमकोश" एक विशाल, संतुलित तराजू में एक छिपे हुए घटक के रूप में आ जाए।

उपमा: एक सी-सॉ (seesaw) के बारे में सोचें। यदि सिस्टम सही ढंग से काम कर रहा है, तो सी-सॉ पूरी तरह से संतुलित (शून्य) होता है। लेखकों ने इस समस्या को ऐसे रूप में बदल दिया जहाँ उन्हें उन विशिष्ट भारों (नियमकोश) को खोजना था जो सी-सॉ को पूरी तरह समतल रखते हैं।
परिणाम: इसने एक भ्रमित करने वाली, नॉन-लीनियर पहेली को एक बहुत ही सरल "सबस्पेस आइडेंटिफिकेशन" (subspace identification) समस्या में बदल दिया। यह लेगो (LEGO) के एक बिखरे हुए ढेर को निर्देशों के एक सेट में बदलने जैसा है जहाँ आपको बस सही कुछ टुकड़ों को खोजना है ताकि संरचना खड़ी हो सके।

3. जासूस: स्पार्स बेयसियन लर्निंग (Sparse Bayesian Learning)

अब जब उनके पास पहेली थी, तो उन्हें शोर से भ्रमित हुए बिना या गलत अनुमान लगाए बिना इसे हल करने की आवश्यकता थी। उन्होंने स्पार्स बेयसियन लर्निंग (SBL) नामक एक विधि का उपयोग किया।

"स्पार्स" वाला हिस्सा: लेखकों ने माना कि नियमकोश अनंत रूप से जटिल नहीं है। उनका मानना था कि नियमकोश "स्पार्स" है, जिसका अर्थ है कि यह ज्यादातर खाली स्थान है जिसमें केवल कुछ महत्वपूर्ण नियम हैं।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक गुप्त कोड का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं। हर संभव अक्षर के संयोजन का अनुमान लगाने के बजाय, आप मानते हैं कि कोड में केवल 3 या 4 विशिष्ट अक्षरों का उपयोग किया गया है। यह खोज को बहुत अधिक सीमित कर देता है।
"बेयसियन" वाला हिस्सा: यह "अनिश्चितता" की सुपरपावर है। पारंपरिक गणितीय विधियाँ आपको एक उत्तर देती हैं और कहती हैं, "यही है।" बेयसियन विधि कहती है, "यह हमारा सबसे अच्छा अनुमान है, और यहाँ एक कॉन्फिडेंस इंटरवल (एक सीमा) है जो दिखाता है कि हम कितने आश्वस्त हैं।"
- उपमा: यदि मौसम ऐप कहता है "बारिश होगी," तो यह एक अनुमान है। यदि यह कहता है "बारिश होने की 90% संभावना है, जिसमें 5% मार्जिन ऑफ एरर है," तो यह बेयसियन है। लेखकों का टूल आपको न केवल यह बताता है कि नियम क्या है, बल्कि यह भी बताता है कि उस उत्तर के बारे में वे कितने आश्वस्त हैं।

4. "मॉडल सिलेक्शन" मानदंड (The "Model Selection" Criterion)

सबसे बड़ी चुनौतियों में से एक यह जानना है कि पहेली के कौन से टुकड़ों को चुनना है। लेखकों ने यह तय करने के लिए एक नया तरीका बनाया कि कौन से टुकड़े सबसे अच्छी तरह फिट बैठते हैं।

नया टूल: उन्होंने वेटेड टोटल अनसर्टेन्टी (wTU) नामक एक स्कोर बनाया।
यह कैसे काम करता है: यह दो चीजों के बीच संतुलन बनाता है:
1. मॉडल डेटा में कितनी अच्छी तरह फिट बैठता है (क्या सी-सॉ संतुलित है?)।
2. मॉडल अपने स्वयं के उत्तर के बारे में कितना अनिश्चित है।
विजेता: अपने परीक्षणों में, यह नया स्कोर पुराने तरीकों की तुलना में सही नियमकोश चुनने में बहुत बेहतर था, विशेष रूप से जब डेटा शोर भरा या अस्त-व्यस्त था।

5. परिणाम: उन्होंने क्या पाया

लेखकों ने अपने डिटेक्टिव टूल का दो प्रकार के परिदृश्यों पर परीक्षण किया:

ओपिनियन डायनेमिक्स (Opinion Dynamics): यह सिम्युलेट करना कि लोग इस आधार पर अपनी राय कैसे बदलते हैं कि वे किससे बात कर रहे हैं।
फ्लॉकिंग (Flocking): यह सिम्युलेट करना कि पक्षी या मछलियाँ एक साथ कैसे चलती हैं।

उन्होंने पाया कि:

सटीकता (Accuracy): शोर भरे डेटा (जैसे हिलते हुए कैमरे) के साथ भी, उनकी विधि बहुत सटीक रूप से छिपे हुए नियमों को खोज सकती है।
मजबूती (Robustness): जब डेटा बहुत अधिक अस्त-व्यस्त था, तो पुराने तरीके (जैसे मानक "SINDY" दृष्टिकोण) विफल हो गए या बेतुके उत्तर देने लगे। नया बेयसियन तरीका काम करता रहा और यहाँ तक कि उसने यह भी बताया कि वह कब अनिश्चित हो रहा है।
दक्षता (Efficiency): यह एजेंटों के बड़े समूहों के साथ भी मानक कंप्यूटरों पर चलने के लिए पर्याप्त तेज़ था।

सारांश

संक्षेप में, यह शोध पत्र एक स्मार्ट, गणितीय रूप से गहन तरीका प्रस्तुत करता है जिससे आपस में क्रिया करने वाली चीजों (जैसे पक्षी या लोग) को देखकर उनके पीछे के अदृश्य नियमों का पता लगाया जा सके। "स्पार्स" धारणा (नियम सरल हैं) और "बेयसियन" दृष्टिकोण (हम अपनी धारणा का माप लेते हैं) का उपयोग करके, उन्होंने एक ऐसा टूल बनाया है जो पिछले तरीकों की तुलना में अधिक विश्वसनीय और अपनी सीमाओं के प्रति ईमानदार है। यह एक अंदाजे और जाँच वाले टॉर्च से एक हाई-टेक नाइट-विज़न कैमरे में अपग्रेड करने जैसा है, जो आपको यह भी बताता है कि इमेज कितनी स्पष्ट है।

तकनीकी सारांश: मोत्श-टैडमर मॉडल में इंटरेक्शन कर्नेल के अनुमान के लिए एक स्पार्स बेयसियन लर्निंग एल्गोरिदम

समस्या का निरूपण
यह शोध पत्र मोत्श-टैडमर (Motsch–Tadmor) मॉडल में एसिमेट्रिक (असममित) इंटरेक्शन कर्नेल की डेटा-संचालित पहचान को संबोधित करता है, जो परस्पर क्रिया करने वाले कण प्रणालियों (जैसे, विचार निर्माण, फ्लॉकिंग) के वर्णन के लिए उपयोग किया जाने वाला एक ढांचा है। सममित (symmetric) मॉडलों के विपरीत, जहाँ प्रभाव को एजेंटों की कुल संख्या द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है, मोत्श-टैडमर मॉडल प्रत्येक एजेंट के लिए अंतःक्रियाओं के योग पर आधारित एक स्टेट-डिपेंडेंट (अवस्था-निर्भर) नॉर्मलाइजेशन फैक्टर का उपयोग करता है। यह विषमता महत्वपूर्ण गणितीय चुनौतियाँ पेश करती है: गवर्निंग समीकरण एक वर्ग के सेमीलीनियर इवोल्यूशन समीकरण बन जाते हैं जहाँ इंटरेक्शन कर्नेल एक नॉर्मलाइज्ड, स्टेट-डिपेंडेंट लैप्लासियन ऑपरेटर को परिभाषित करता है।

मुख्य इन्वर्स प्रॉब्लम (inverse problem) यह है कि प्रेक्षित प्रक्षेपवक्र डेटा $\{x_i(t), \dot{x}_i(t)\}$ से इंटरेक्शन कर्नेल $\phi(r)$ को पुन: प्राप्त करना है। लेखक मानते हैं कि $\phi$ आधार कार्यों (basis functions) के एक सीमित सेट के विस्तार (span) में स्थित है। एक प्राथमिक कठिनाई यह है कि नॉर्मलाइजेशन टर्म डिनोमिनेटर (हर) में होने के कारण कर्नेल पर एक नॉनलीनियर निर्भरता पैदा करता है, जिससे मानक रैखिक इन्वर्स तकनीकें (जैसे SINDy का सीधा अनुप्रयोग) लागू करने योग्य नहीं रह जाती हैं। इसके अलावा, शोर (noise) और सीमित डेटा की उपस्थिति में यह समस्या इल-पोज़्ड (ill-posed) है, और एसिमेट्रिक सिस्टम में संरक्षित मात्राएँ (जैसे कुल संवेग) नहीं होती हैं जो आमतौर पर सममित प्रणालियों के विश्लेषण में सहायता करती हैं।

कार्यप्रणाली
प्रस्तावित कार्यप्रणाली में तीन मुख्य घटक शामिल हैं: एक वेरिएशनल पुनर्गठन (variational reformulation), एक स्पार्स बेयसियन लर्निंग (SBL) ढांचा, और एक नवीन मॉडल चयन मानदंड।

वेरिएशनल पुनर्गठन (इम्प्लिसिट रूप):
नॉर्मलाइजेशन से उत्पन्न होने वाली नॉनलिनैरिटी को संभालने के लिए, लेखक गवर्निंग साधारण अवकल समीकरणों (ODEs) को एक इम्प्लिसिट रूप में पुनर्गठित करते हैं। नॉर्मलाइजेशन फैक्टर से गुणा करके, डिनोमिनेटर को समाप्त कर दिया जाता है, जिससे कर्नेल गुणांकों के संबंध में एक होमोजेनियस लीनियर सिस्टम प्राप्त होता है:
$\sum_{j=1}^N \phi(|x_j - x_i|) (\dot{x}_i - (x_i - x_j)) = 0$
यह कर्नेल पहचान समस्या को एक सबस्पेस आइडेंटिफिकेशन समस्या में बदल देता है: एक गुणांक वेक्टर $c$ खोजना ताकि $Ac = 0 $हो, जहाँ$ A$ प्रक्षेपवक्र डेटा और आधार कार्यों से निर्मित एक मैट्रिक्स है।
स्पार्स बेयसियन लर्निंग (SBL):
परिणामस्वरूप इल-पोज़्ड लीनियर सिस्टम को मजबूती से हल करने के लिए, लेखक एक स्पार्स बेयसियन लर्निंग ढांचे का उपयोग करते हैं।

लाइकलीहुड (Likelihood): ऑब्जर्वेशन नॉइज़ को एडिटिव गॉसियन नॉइज़ के रूप में मॉडल किया गया है।
प्रायर्स (Priors): स्पर्सिटी (sparsity) को लागू करने के लिए (यह मानते हुए कि वास्तविक कर्नेल कुछ ही आधार कार्यों द्वारा प्रतिनिधित्व किया गया है), लेखक पदानुक्रमित (hierarchical) प्रायर्स का उपयोग करते हैं। वे एक फ्लैट हाइपरप्रायर और एक पदानुक्रमित लाप्लेस हाइपरप्रायर (प्रेसिजन मापदंडों पर गामा वितरण के माध्यम से निर्मित) की तुलना करते हैं। यह दृष्टिकोण ऑटोमैटिक रेलिवेंस डिटरमिनेशन (automatic relevance determination) की अनुमति देता है, जहाँ अप्रासंगिक आधार कार्यों को प्रभावी रूप से हटा दिया जाता है (उनके वेट शून्य की ओर ले जाए जाते हैं)।
इन्फरेंस (Inference): विधि हाइपरपैरामीटर्स के अनुमान के लिए टाइप-II मैक्सिमम लाइकलीहुड (एविडेंस मैक्सिमाइजेशन) का उपयोग करती है, जो गुणांकों के लिए एक पॉइंट एस्टीमेट और एक पोस्टीरियर कोवेरिएंस मैट्रिक्स प्रदान करती है।

मॉडल चयन और अनिश्चितता परिमाणीकरण:
चूंकि पुनर्गठित समीकरण के बाईं ओर "वास्तविक" कर्नेल का प्रतिनिधित्व करने वाला विशिष्ट आधार फंक्शन अज्ञात है, इसलिए एल्गोरिदम उम्मीदवार इंडेक्स $k^*$ के माध्यम से पुनरावृत्ति करता है। प्रत्येक उम्मीदवार के लिए, यह SBL समस्या को हल करता है और एक नया वेटेड टोटल अनसर्टेन्टी (wTU) मानदंड का मूल्यांकन करता है। यह मानदंड अनुमानित नॉइज़ वेरिएंस और गुणांकों के पोस्टीरियर कोवेरिएंस के ट्रेस को जोड़ता है, जिसे समाधान के परिमाण द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है। न्यूनतम wTU वाला उम्मीदवार को इष्टतम मॉडल के रूप में चुना जाता है।
ढांचा अनुमानित कर्नेल के लिए अनिश्चितता परिमाणीकरण क्षेत्र भी प्रदान करता है।

प्रमुख योगदान

एसिमेट्रिक मॉडलों के लिए वेरिएशनल फ्रेमवर्क: यह पेपर विशेष रूप से एसिमेट्रिक इंटरेक्शन मॉडलों (मोत्श-टैडमर) के लिए डेटा-संचालित डिस्कवरी फ्रेमवर्क प्रस्तावित करने वाला पहला पेपर है, जो इसे एक सबस्पेस आइडेंटिफिकेशन टास्क में बदलकर नॉनलीनियर इन्वर्स प्रॉब्लम को संबोधित करता है।
आइडेंटिफिएबिलिटी परिणाम: लेखक सैद्धांतिक स्थितियाँ स्थापित करते हैं जिसके तहत इंटरेक्शन कर्नेल को एक स्केलिंग फैक्टर तक विशिष्ट रूप से पुन: प्राप्त किया जा सकता है। वे दिखाते हैं कि पहचान (identifiability) अपेक्षित ग्राम मैट्रिक्स के रैंक पर निर्भर करती है, जो डेटा में युग्मवार दूरियों (pairwise distances) के एम्पिरिकल डिस्ट्रीब्यूशन के सपोर्ट द्वारा निर्धारित होती है।
मजबूत स्पार्स बेयसियन एल्गोरिदम: एक SBL एल्गोरिदम का विकास जो शोर और मॉडल मिसस्पेसिफिकेशन को संभालने के लिए सूचनात्मक प्रायर्स को शामिल करता है। नियत (deterministic) स्पार्स विधियों (जैसे SINDy) के विपरीत, यह दृष्टिकोण अनिश्चितता परिमाणीकरण प्रदान करता है और तब भी मजबूत रहता है जब वास्तविक कर्नेल चुने गए बेसिस स्पेस में सटीक रूप से प्रस्तुत नहीं किया जाता है।
नया मॉडल चयन मानदंड: सही मॉडल संरचना का चयन करने के लिए wTU मानदंड का परिचय, जो उच्च शोर स्थितियों में मानक प्रेडिक्टिव एरर और एस्टीमेशन अनसर्टेंटी मेट्रिक्स से बेहतर प्रदर्शन करता है।

परिणाम
1D और 2D में फर्स्ट-ऑर्डर (ओपिनियन डायनेमिक्स) और सेकंड-ऑर्डर (ककर-स्माइल फ्लॉकिंग) दोनों प्रणालियों पर व्यापक संख्यात्मक प्रयोग किए गए।

सटीकता और मजबूती: प्रस्तावित विधि विभिन्न शोर स्तरों (100% नॉइज़-टू-सिग्नल रेशियो तक) और सीमित डेटा व्यवस्था (कम ट्रैजेक्टरीज $M$ ) में पीसवाइज कांस्टेंट और स्मूथ इंटरेक्शन कर्नेल को सफलतापूर्वक रिकवर करती है।
SINDy के साथ तुलना: उन परिदृश्यों में जहाँ वास्तविक कर्नेल बेसिस में सटीक रूप से प्रस्तुत किया गया था, प्रस्तावित विधि शोर-मुक्त सेटिंग्स में एक इमप्लिसिट SINDy दृष्टिकोण के तुलनीय प्रदर्शन करती है। हालाँकि, शोर या जब कर्नेल सटीक रूप से प्रस्तुत नहीं किया गया था (मॉडल मिसमैच), तो SINDy दृष्टिकोण सार्थक अनुमान देने में विफल रहा, जबकि बेयसियन फ्रेमवर्क मजबूत बना रहा और अनिश्चितता सीमाओं के साथ विश्वसनीय अनुमान प्रदान किया।
ट्रैजेक्टरी प्रेडिक्शन: भले ही अनुमानित कर्नेल शोर के कारण स्थानीय विसंगतियों को दर्शाता हो, सीखा गया मॉडल फॉरवर्ड इंटीग्रेशन वास्तविक ग्राउंड ट्रुथ के करीब प्रक्षेपवक्र उत्पन्न करता है, जो सीखे गए कर्नेल की व्यावहारिक उपयोगिता को प्रदर्शित करता है।
कंप्यूटेशनल दक्षता: एल्गोरिदम ने व्यावहारिक दक्षता प्रदर्शित की, जिसमें रनिंग टाइम लगभग $O(M^{3/2})$ (1D के लिए) और $O(M^{5/2})$ (2D सिस्टम के लिए) के रूप में स्केल होता है, जो असेंबल की गई मैट्रिसेस की स्पर्सिटी के कारण सैद्धांतिक वर्स्ट-केस से बेहतर है।

महत्व और दावे
यह पेपर दावा करता है कि यह साहित्य में एक महत्वपूर्ण अंतर को भरता है जहाँ डेटा-संचालित खोज मुख्य रूप से सममित मॉडलों पर केंद्रित रही है, जिससे गणितीय जटिलता के कारण एसिमेट्रिक मॉडल कम खोजे गए हैं। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनका कार्य एसिमेट्रिक डायनेमिकल सिस्टम की मॉडलिंग के लिए एक सिद्धांतिक, व्याख्या योग्य और मजबूत दृष्टिकोण प्रदान करता है।

महत्व निम्नलिखित में निहित है:

नॉनलिनैरिटी को संभालना: एक इमप्लिसिट फॉर्मूलेशन के माध्यम से एक नॉनलीनियर इन्वर्स प्रॉब्लम को एक सुलभ लीनियर सबस्पेस प्रॉब्लम में सफलतापूर्वक बदलना।
अनिश्चितता परिमाणीकरण: पॉइंट एस्टीमेट से आगे बढ़कर सीखे गए इंटरेक्शन लॉ के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल प्रदान करना, जो शोर वाले डेटा वाले वैज्ञानिक मॉडलिंग के लिए महत्वपूर्ण है।
सामान्यीकरण (Generalizability): फ्रेमवर्क फर्स्ट-ऑर्डर (ओपिनियन) और सेकंड-ऑर्डर (फ्लॉकिंग) दोनों प्रणालियों के लिए लागू है और उन मामलों को संभालता है जहाँ वास्तविक इंटरेक्शन लॉ बेसिस द्वारा पूरी तरह से कैप्चर नहीं किया जाता है (मॉडल मिसस्पेसिफिकेशन)।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि यह फ्रेमवर्क जटिल, एसिमेट्रिक इंटरैक्टिंग पार्टिकल सिस्टम में सैद्धांतिक मॉडल और अनुभवजन्य अवलोकनों के बीच के अंतर को पाटने के लिए एक व्यवहार्य मार्ग प्रदान करता है। भविष्य के कार्य के रूप में केवल स्थिति-आधारित (position-only) अवलोकनों और समय-परिवर्तित अंतःक्रियाओं तक विस्तार करने का सुझाव दिया गया है।