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A central limit theorem for a generalization of the Ewens measure to random tuples of commuting permutations

यह शोधपत्र यूनिफॉर्म और इवेन्स-जैसे भारित मापों (weighted measures) के तहत कम्यूटिंग परम्यूटेशन के रैंडम टुपल्स में संयुक्त ऑर्बिट्स की संख्या के लिए एक सेंट्रल लिमिट थ्योरम स्थापित करता है, जिसमें गोनचारोव और हैनसेन के शास्त्रीय परिणामों को सामान्यीकृत करने के लिए स्व-निहित सैडल पॉइंट विश्लेषण का उपयोग किया गया है, साथ ही संयोजन विज्ञान (combinatorics), संख्या सिद्धांत और ज्यामितीय समूह सिद्धांत जैसे विविध क्षेत्रों के साथ संबंधों को रेखांकित किया गया है।

मूल लेखक: Abdelmalek Abdesselam, Shannon Starr

प्रकाशित 2026-02-20

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Abdelmalek Abdesselam, Shannon Starr

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास $n$ अलग-अलग खिलौनों का एक विशाल डिब्बा है, जिन्हें 1 से $n$ तक नंबर दिए गए हैं। आप उन्हें इधर-उधर मिलाना (shuffle करना) चाहते हैं।

बुनियादी खेल: एक बार का शफल (One Shuffle)

इस क्लासिक संस्करण में (जिसे गणितज्ञों द्वारा एक सदी से अधिक समय से अध्ययन किया जा रहा है), आप खिलौनों को मिलाने का एक यादृच्छिक (random) तरीका चुनते हैं। आप परिणाम देखते हैं और पूछते हैं: "मैंने कितने अलग-अलग लूप (loops) बनाए?"

यदि खिलौना 1 जाता है 2 पर, 2 जाता है 3 पर, और 3 वापस 1 पर आता है, तो यह एक लूप है।
यदि खिलौना 4 अपनी जगह पर ही रहता है, तो वह एक और छोटा लूप है।
यदि खिलौना 5 जाता है 6 पर और 6 जाता है 5 पर, तो वह तीसरा लूप है।

गणितज्ञों को लंबे समय से पता है कि यदि आप इस शफल को पर्याप्त बार करते हैं, तो लूपों की संख्या एक बहुत ही अनुमानित पैटर्न का पालन करती है: एक बेल कर्व (Bell Curve या Gaussian distribution)। अधिकांश समय, आपको लूपों की एक "औसत" संख्या मिलती है, और बहुत अधिक या बहुत कम संख्या मिलना बहुत दुर्लभ है।

नया खेल: "कम्यूटिंग" शफल (The "Commuting" Shuffle)

यह शोध पत्र इस गेम का एक बहुत अधिक जटिल संस्करण पेश करता है। केवल एक शफल चुनने के बजाय, आप $\ell$ अलग-अलग शफल चुनते हैं (मान लीजिए 2, 3, या अधिक)।

लेकिन एक शर्त है: उन्हें आपस में तालमेल बिठाना होगा।
गणितीय शब्दों में, उन्हें "कम्यूट" (commute) करना होगा। कल्पना कीजिए कि आपके पास दो दोस्त हैं, एलिस और बॉब, जो खिलौनों को शफल कर रहे हैं।

यदि एलिस पहले शफल करती है, और फिर बॉब शफल करता है, तो अंतिम परिणाम बिल्कुल वैसा ही होना चाहिए जैसा कि तब होता यदि बॉब पहले शफल करता और फिर एलिस।
यदि वे क्रम पर सहमत नहीं होते हैं, तो उन्हें खेलने की अनुमति नहीं है।

यह एक वैध शफल सेट खोजना अविश्वसनीय रूप से कठिन बना देता है। यह एक ऐसे समूह को खोजने जैसा है जो संगीत शुरू होने के बावजूद नृत्य की दिनचर्या पर सहमत हो सके।

बड़ा सवाल: कितने "ऑर्बिट्स" (Orbits)?

जब आपके पास $n$ खिलौने और $\ell$ शफल होते हैं जो आपस में तालमेल रखते हैं, तो खिलौने केवल साधारण लूप नहीं बनाते। वे जटिल, बहु-आयामी आकृतियाँ बनाते हैं।

1 शफल के साथ, आपको लूप्स (1D वृत्त) मिलते हैं।
2 शफल के साथ, आपको टोरस (toruses - डोनट जैसी आकृति) मिलते हैं।
3 शफल के साथ, आपको 3D डोनट्स मिलते हैं।

लेखक इन आकृतियों को "जॉइंट ऑर्बिट्स" (joint orbits) कहते हैं। शोध पत्र पूछता है: यदि हम इन "तालमेल रखने वाले" शफल्स का एक यादृच्छिक सेट चुनते हैं, तो हमें कितनी जटिल आकृतियाँ प्राप्त होंगी?

मुख्य खोज: बेल कर्व की वापसी

लेखक एक आश्चर्यजनक और सुंदर परिणाम सिद्ध करते हैं: भले ही नियम बहुत अधिक जटिल हैं, उत्तर अभी भी एक बेल कर्व (Bell Curve) का पालन करता है।

ठीक साधारण खेल की तरह, यदि आप इस जटिल खेल को कई बार चलाते हैं:

आपको मिलने वाली आकृतियों की संख्या एक विशिष्ट औसत के आसपास केंद्रित होगी।
परिणामों का फैलाव एक पूर्ण बेल कर्व की तरह दिखेगा।
जैसे-जैसे खिलौनों की संख्या ( $n$ ) बहुत बड़ी होती जाती है, यह पैटर्न अधिक सटीक होता जाता है।

उन्होंने यह भी गणना की कि वह औसत और "फैलाव" (variance) क्या होना चाहिए। यह पता चलता है कि उत्तर "रीमैन ज़ेटा फंक्शन" (Riemann Zeta function - एक प्रसिद्ध संख्या जो संख्या सिद्धांत में दिखाई देती है और प्राइम्स से लेकर ब्रह्मांड के आकार तक हर जगह मौजूद है) से जुड़ी एक विशेष संख्या पर निर्भर करता है।

खेल का "स्वाद" (The Ewens Measure)

शोध पत्र इस खेल में एक "स्वाद" भी जोड़ता है। मानक संस्करण में, प्रत्येक संभावित शफल समान रूप से संभावित होता है। लेकिन लेखकों ने पूछा, "क्या होगा यदि हम उन शफल्स को पसंद करें जो अधिक आकृतियाँ बनाते हैं?" या "क्या होगा यदि हम कम आकृतियों को पसंद करें?"

उन्होंने एक "भार" (weight - पैरामीटर $x$ ) पेश किया।

यदि $x$ अधिक है, तो खेल उन शफल्स के पक्ष में है जो कई अलग-अलग आकृतियाँ बनाते हैं।
यदि $x$ कम है, तो यह कम, बड़ी आकृतियों के पक्ष में है।

यहाँ तक कि इस पक्षपात (bias) के बावजूद, बेल कर्व बना रहता है! "कई आकृतियों" बनाम "कम आकृतियों" के प्रति आपकी पसंद के आधार पर वक्र का केंद्र बस बदल जाता है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है? (इसका महत्व क्या है?)

यह विभिन्न दुनियाओं को जोड़ता है: यह परिणाम यादृच्छिक शफल्स (प्रायिकता/probability) के अध्ययन को जटिल ज्यामितीय आकृतियों (toruses) और गहन संख्या सिद्धांत (Zeta functions) के अध्ययन से जोड़ता है।
यह एक पहेली को सुलझाता है: दशकों से, गणितज्ञ सोचते थे कि ये जटिल "कम्यूटिंग" शफल्स अराजक (chaotic) व्यवहार करेंगे। यह शोध पत्र कहता है, "नहीं, वे वास्तव में बहुत व्यवस्थित और अनुमानित हैं।"
यह भौतिकी में मदद करता है: लेखक उल्लेख करते हैं कि ये "कम्यूटिंग शफल्स" "कम्यूटिंग मैट्रिसेस" (commuting matrices) के एक विविक्त (discrete) संस्करण की तरह हैं, जिनका उपयोग क्वांटम भौतिकी में उन कणों का वर्णन करने के लिए किया जाता है जो एक-दूसरे के साथ हस्तक्षेप (interfere) नहीं करते हैं। इन शफल्स के सांख्यिकी को समझना भौतिकविदों को यह समझने में मदद कर सकता है कि बड़े समूहों में ये कण कैसे व्यवहार करते हैं।

"सैडल पॉइंट" (Saddle Point) की उपमा

उन्होंने इसे कैसे सिद्ध किया? उन्होंने सैडल पॉइंट विश्लेषण (Saddle Point Analysis) नामक तकनीक का उपयोग किया।
कल्पना कीजिए कि आप दृश्य देखने के लिए एक पर्वत श्रृंखला के उच्चतम बिंदु को खोजने की कोशिश कर रहे हैं। लेकिन पर्वत श्रृंखला लाखों छोटे, ऊबड़-खाबड़ शिखरों से बनी है।

हर एक शिखर पर चढ़ने के बजाय, गणितज्ञों ने एक विशिष्ट "सैडल" (दो शिखरों के बीच का निचला हिस्सा) खोजा जो एक प्रवेश द्वार के रूप में कार्य करता है।
उन्होंने महसूस किया कि लगभग सारा "एक्शन" (संभावना/probability) इसी सैडल पॉइंट के आसपास होता है।
इस विशिष्ट स्थान पर ज़ूम करके और बाकी ऊबड़-खाबड़ पहाड़ों को अनदेखा करके, वे वक्र के आकार की सटीक गणना कर सके।

सारांश

यह शोध पत्र एक सरल, अच्छी तरह से समझे गए खेल (एक शफल में लूप गिनना) को लेता है, उसमें जटिलता की एक परत जोड़ता है (कई शफल्स जो आपस में सहमत होते हैं), और सिद्ध करता है कि प्रकृति अभी भी व्यवस्था (order) को पसंद करती है। इस उच्च-आयामी दुनिया के "कम्यूटिंग" नियमों के बावजूद, परिणाम एक सुंदर, अनुमानित बेल कर्व में स्थिर हो जाते हैं। यह एक याद दिलाता है कि सबसे जटिल प्रणालियों में भी, सरल पैटर्न अक्सर उभरते हैं।

यहाँ अब्देलमालेक अब्दसेलम और शैनन स्टार के शोध पत्र "A Central Limit Theorem for a Generalization of the Ewens Measure to Random Tuples of Commuting Permutations" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण और संदर्भ

मुख्य समस्या:
यह शोध पत्र क्रमबद्ध (ordered) $\ell$ -टुपल्स $(\sigma_1, \dots, \sigma_\ell)$ के संयुक्त ऑर्बिट्स (joint orbits) की संख्या, जिसे $\kappa_{\ell,n}(\sigma_1, \dots, \sigma_\ell)$ द्वारा दर्शाया गया है, के सांख्यिकीय व्यवहार की जांच करता है, जहाँ ये टुपल्स सिमेट्रिक ग्रुप $S_n$ में परस्पर क्रमविनिमेय (pairwise commuting) परिमित (permutations) हैं।

क्रमविनिमेय टुपल्स (Commuting Tuples): यहाँ अध्ययन का मुख्य समूह $C_{\ell,n} = \{(\sigma_1, \dots, \sigma_\ell) \in S_n^\ell \mid \sigma_i \sigma_j = \sigma_j \sigma_i\}$ है।
संयुक्त ऑर्बिट्स (Joint Orbits): यादृच्छिक चर (random variable) $K_{\ell,n}$ उन ऑर्बिट्स की संख्या को गिनता है जो इन परिमितों द्वारा जनित उपसमूह (subgroup) द्वारा सेट $[n] = \{1, \dots, n\}$ पर क्रिया (act) करते हैं।
Ewens Measure का सामान्यीकरण: लेखक $C_{\ell,n}$ $C_{ℓ, n}$ पर एक प्रायिकता माप (probability measure) $P_{\ell,n,x}$ $P_{ℓ, n, x}$ पेश करते हैं, जहाँ एक टुपल को $x^{\kappa_{\ell,n}}$ $x^{κ_{ℓ, n}}$ द्वारा भारित (weighted) किया जाता है।
- जब $\ell=1$ होता है, तो यह क्लासिक Ewens measure को पुनः प्राप्त करता है (जहाँ भार $x^{\text{चक्रों की संख्या}}$ है)।
- जब $x=1$ होता है, तो यह क्रमविनिमेय टुपल्स पर समान वितरण (uniform distribution) के अनुरूप होता है।
- $\ell \ge 2$ के लिए, संयुक्त ऑर्बिट्स की संरचना "विस्तारित असतत $\ell$ -आयामी टोराइड्स" (twisted discrete $\ell$ -dimensional tori) के अनुरूप होती है।

लक्ष्य:
किसी भी निश्चित $\ell \ge 1$ और $x > 0$ के लिए $n \to \infty$ होने पर $K_{\ell,n}$ के लिए एक सेंट्रल लिमिट थ्योरम (CLT) को सिद्ध करना, और इसके विषम (asymptotic) माध्य (mean), प्रसरण (variance), और गॉसियन सीमांत वितरण (Gaussian limiting distribution) को निर्धारित करना।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

यह प्रमाण एनालिटिक कॉम्बिनेटरिक्स (analytic combinatorics) और सैडल पॉइंट विश्लेषण (saddle point analysis) पर आधारित है, जो सीधे संभाव्य कपलिंग तर्कों (probabilistic coupling arguments) से बचता है (हालाँकि लेखक ऐसे प्रमाणों की संभावना पर चर्चा करते हैं)।

A. जनरेटिंग फंक्शन्स (Generating Functions)

लेखक $H_{\ell,n}(x)$ बहुपदों के लिए साधारण जनरेटिंग फंक्शन (ordinary generating function) का उपयोग करते हैं, जो $K_{\ell,n}$ के वितरण को कूटबद्ध (encode) करते हैं। ब्रायन और फुलमैन के सूत्र के आधार पर, जनरेटिंग फंक्शन एक अनंत उत्पाद (infinite product) है:
$G_\ell(x, z) = \sum_{n=0}^\infty H_{\ell,n}(x) z^n = \prod_{\delta_1, \dots, \delta_{\ell-1}=1}^\infty \left(1 - z^{\delta_1 \cdots \delta_{\ell-1}}\right)^{-x \delta_1^{\delta_2-1} \cdots \delta_{\ell-2}^{\delta_{\ell-1}-1}}$
यह $|z| < 1$ के लिए एक होलोमॉर्फिक (holomorphic) फलन है।

B. सैडल पॉइंट विश्लेषण (Saddle Point Analysis)

$H_{\ell,n}(x)$ के गुणांकों (और फलस्वरूप $K_{\ell,n}$ के क्षणों/moments को निकालने) के लिए, लेखक कॉची के इंटीग्रल फॉर्मूला (Cauchy's integral formula) का उपयोग करते हैं:
$H_{\ell,n}(x) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C(r)} z^{-n} G_\ell(x, z) \frac{dz}{z}$
वे समाकलन की त्रिज्या $r = e^{-t}$ (जहाँ $t > 0$ ) को अनुकूलित (optimize) करने के लिए चुनते हैं ताकि इंटीग्रैंड (integrand) का मापांक (modulus) न्यूनतम हो। इससे एक "सैडल पॉइंट" समीकरण प्राप्त होता है जो $t_n$ निर्धारित करता है, जहाँ $n = x Z^{[\ell]}_\ell(t_n)$ , और $Z^{[\ell]}_\ell(t)$ रीमान ज़ेटा फलन (Riemann zeta function) से संबंधित एक विशिष्ट मल्टीपल सीरीज़ है।

C. $Z$ -फंक्शन्स का विषम विश्लेषण (Asymptotic Analysis of $Z$ -functions)

$Z$ -फंक्शन्स के विषम व्यवहार का विश्लेषण करने में तकनीकी कार्य का एक बड़ा हिस्सा शामिल है:
$Z^{[\ell]}_{\alpha_1, \dots, \alpha_\ell}(t) = \sum_{\delta_1, \dots, \delta_\ell=1}^\infty \delta_1^{\alpha_1-1} \cdots \delta_\ell^{\alpha_\ell-1} e^{-\delta_1 \cdots \delta_\ell t}$
जब $t \to 0^+$ हो, तब। लेखक स्थापित करते हैं कि विशिष्ट मापदंडों के लिए, ये $t^{-\alpha}$ की तरह व्यवहार करते हैं, जिसमें रीमान ज़ेटा फलनों $\zeta(k)$ के उत्पादों का समावेश होता है। विशेष रूप से, वे एक स्थिरांक (constant) को परिभाषित करते हैं:
$K_\ell = (\ell-1)! \zeta(2)\zeta(3)\cdots\zeta(\ell)$

D. इंटीग्रल का अपघटन (Decomposition of the Integral)

गुणांक के लिए इंटीग्रल को दो भागों में विभाजित किया गया है:

मेजर आर्क (Major Arc) ( $|\theta| \le t_n$ ): जहाँ इंटीग्रैंड को गॉसियन द्वारा अनुमानित किया जाता है। लेखक सैडल पॉइंट के आसपास जनरेटिंग फंक्शन के लघुगणक (logarithm) का टेलर विस्तार (Taylor expansion) करते हैं।
माइनर आर्क (Minor Arc) ( $|\theta| > t_n$ ): वे सिद्ध करते हैं कि इस क्षेत्र से योगदान तेजी से घातीय रूप से (exponentially fast) घटता है और मेजर आर्क की तुलना में नगण्य है।

E. मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन्स (Moment Generating Functions)

कर्टिस निरंतरता प्रमेय (Curtiss continuity theorem) का उपयोग करते हुए, लेखक सामान्यीकृत चर (normalized variable) के मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन का विश्लेषण करते हैं। यह दिखाकर कि लॉग-मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन $s^2/2$ की ओर अभिसरित (converge) होता है, वे मानक सामान्य $N(0,1)$ में अभिसरण और मोमेंट्स के अभिसरण को स्थापित करते हैं।

3. मुख्य योगदान और परिणाम

A. मुख्य प्रमेय (Theorem 1.1)

$\ell \ge 2$ और $x > 0$ के लिए, $n \to \infty$ होने पर:

विषम माध्य (Asymptotic Mean):
$\mathbb{E}[K_{\ell,n}] \sim (x K_\ell)^{1/\ell} \frac{1}{\ell-1} n^{\frac{\ell-1}{\ell}}$
विषम प्रसरण (Asymptotic Variance):
$\text{Var}(K_{\ell,n}) \sim (x K_\ell)^{1/\ell} \frac{1}{\ell(\ell-1)} n^{\frac{\ell-1}{\ell}}$
सेंट्रल लिमिट थ्योरम (Central Limit Theorem):
सामान्यीकृत चर वितरण और मोमेंट्स में मानक गॉसियन $N(0, 1)$ की ओर अभिसरित होता है:
$\frac{K_{\ell,n} - \mathbb{E}[K_{\ell,n}]}{\sqrt{\text{Var}(K_{\ell,n})}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$

नोट: $\ell=1$ के लिए, पावर लॉ $n^{(\ell-1)/\ell}$ को $\ln n$ के रूप में व्याख्यायित किया जाता है, जो गोंचारोव (एकसमान मामले में) और हैनसेन (Ewens measure) के क्लासिक परिणाम को पुनः प्राप्त करता है।

B. तकनीकी स्थिरांक (Technical Constants)

यह शोध पत्र ज़ेटा मानों के उत्पादों वाले स्थिरांक $K_\ell$ को पेश करता है। उदाहरण के लिए:

$\ell=2$ : $K_2 = \zeta(2) = \pi^2/6$ ।
$\ell=3$ : $K_3 = \zeta(2)\zeta(3)$ ।

C. लॉग-कॉन्केविटी (Log-Concavity) से संबंध

CLT, पहले लेखक द्वारा $A(\ell, n, k)$ (ऑर्बिट्स की संख्या $k$ वाले टुपल्स की संख्या) के गुणांकों की लॉग-कॉन्केविटी (log-concavity) के संबंध में एक अनुमान की कमजोर पुष्टि प्रदान करता है। चूंकि गॉसियन घनत्व (density) लॉग-कॉन्केव है, इसलिए सीमांत वितरण यह सुझाव देता है कि अंतर्निहित असतत वितरण भी इस गुण को साझा करता है।

D. अन्य क्षेत्रों से संबंध

लेखक अपने कार्य को कई व्यापक संदर्भों में स्थापित करते हैं:

रैंडम मैट्रिसेस (Random Matrices): क्रमविनिमेय परिमित (commuting permutations) रैंडम क्रमविनिमेय यूनिटरी मैट्रिसेस के असतत एनालॉग हैं।
सांख्यिकीय यांत्रिकी (Statistical Mechanics): भार (weights) "पॉलिमर गैस" (polymer gas) मॉडलों से संबंधित हैं।
संख्या सिद्धांत (Number Theory): $\ell=2$ के लिए भार विभाजक फलन (divisor function) $\sigma(j)$ के योग से जुड़े हैं, जो रीमान परिकल्पना (Riemann Hypothesis) से संबंधित है।
समूह सिद्धांत (Group Theory): यह समस्या रैंडम होमोमोर्फिज्म $\phi: \mathbb{Z}^\ell \to S_n$ के अध्ययन के समतुल्य है।

4. महत्व

क्लासिकल परिणामों का सामान्यीकरण: यह एकल रैंडम परिमित (permutation) में चक्रों की संख्या (गोंचारोव) और Ewens measure (हैनसेन) के प्रसिद्ध CLT को क्रमविनिमेय टुपल्स के बहु-आयामी सेटिंग में विस्तारित करता है।
नया विषम शासन (New Asymptotic Regime): $\ell=1$ के मामले के विपरीत जहाँ वृद्धि लघुगणकीय ( $\ln n$ ) होती है, $\ell \ge 2$ के लिए, ऑर्बिट्स की संख्या पावर लॉ $n^{1 - 1/\ell}$ के रूप में बढ़ती है। यह इन कॉम्बिनेटरियल संरचनाओं के सांख्यिकीय व्यवहार में एक अलग चरण (phase) का प्रतिनिधित्व करता है।
स्व-निहित प्रमाण (Self-Contained Proof): लेखक सैडल पॉइंट विश्लेषण का उपयोग करके एक कठोर, स्व-निहित प्रमाण प्रदान करते हैं, जिससे जटिल आसतत (asymptotics) को बिना किसी गहन पूर्व ज्ञान (जैसे मेइनार्डस प्रमेय) के सुलभ बनाया जा सकता है।
क्षेत्रों के बीच सेतु: यह कार्य कॉम्बिनेटरिक्स (परिमित), प्रायिकता (सीमांत प्रमेय), संख्या सिद्धांत (ज़ेटा फलन), और गणितीय भौतिकी (रैंडम मैट्रिक्स मॉडल और पॉलिमर गैस) को जोड़ता है।

5. भविष्य की दिशाएँ

शोध पत्र कई खुले प्रश्नों को रेखांकित करता है:

लार्ज डेविएशन (Large Deviations): $K_{\ell,n}$ के माध्य से महत्वपूर्ण विचलन की संभावना का अध्ययन करना।
लोकल CLT (Local CLT): केवल वितरण के बजाय बिंदुवार (pointwise) प्रायिकता द्रव्यमान फलन (probability mass function) को अनुमानित करने के लिए परिणाम को परिष्कृत करना।
संभाव्य प्रमाण (Probabilistic Proofs): भारी विश्लेषणात्मक मशीनरी के बिना CLT को सिद्ध करने के लिए एक कपलिंग तर्क (Feller coupling का सामान्यीकरण) खोजना।
सामान्यीकृत भार (Generalized Weights): केवल ऑर्बिट्स की गणना के बजाय उनके आकार या आकृति पर निर्भर भार की अनुमति देने के लिए माप (measure) का विस्तार करना।
रैंडम क्रमविनिमेय मैट्रिसेस (Random Commuting Matrices): इन असतत परिणामों का उपयोग निरंतर रैंडम क्रमविनिमेय मैट्रिसेस के अध्ययन को सूचित करने के लिए करना।