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Prime Factorization in Models of PV $_1$

यह मानते हुए कि बहुपद-आकार के बूलियन सर्किट दो $n$ -बिट अभाज्य संख्याओं के गुणनफलों के एक स्थिर अंश को गुणनखंडित नहीं कर सकते, यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि शार्पली बाउंडेड चॉइस (sharply bounded choice) के साथ संवर्धित बाउंडेड अरिथमेटिक थ्योरी $\text{PV}_1$ , सभी संख्याओं के लिए अभाज्य विभाजकों के अस्तित्व को सिद्ध नहीं कर सकती है, जिससे एक ऐसे मॉडल का अस्तित्व निहित होता है जिसमें एक गैर-मानक संख्या बिना अभाज्य गुणनखंडन के मौजूद है।

मूल लेखक: Ondřej Ježil

प्रकाशित 2026-03-03

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ondřej Ježil

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक बड़ी तस्वीर: गणितीय जासूसी की कहानी

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो संख्याओं के बारे में एक रहस्य सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं। रहस्य यह है: "क्या हर संख्या को उसके सबसे छोटे निर्माण खंडों (अभाज्य संख्याओं/प्राइम नंबर्स) में तोड़ा जा सकता है?"

वास्तविक दुनिया में, इसका उत्तर स्पष्ट रूप से हाँ है। संख्या 12 $2 \times 2 \times 3$ है। संख्या 15 $3 \times 5$ है। इसे प्राइम फैक्टराइजेशन (अभाज्य गुणनखंडन) कहा जाता है।

हालाँकि, यह शोध पत्र वास्तविक दुनिया के बारे में नहीं है। यह गणित के एक बहुत ही सख्त, सीमित संस्करण के बारे में है जिसे PV1 कहा जाता है। PV1 को एक "बुद्धिमान लेकिन अल्पदृष्टि वाले" गणितज्ञ के रूप में समझें। यह गणितज्ञ गणना करने में अविश्वसनीय रूप से तेज़ (पॉलीनोमियल टाइम) है, लेकिन इसकी स्मृति (मेमोरी) बहुत सीमित है और यह उन चीजों को सिद्ध करने के लिए जटिल तार्किक युक्तियों का उपयोग नहीं कर सकता जिनमें "बड़ी तस्वीर" को देखने की आवश्यकता होती है।

लेखक, ओन्ड्रे जेज़िल (Ondřej Jeľil), एक पेचीदा सवाल पूछते हैं: क्या यह सीमित गणितज्ञ (PV1) यह सिद्ध कर सकता है कि प्रत्येक संख्या का एक अभाज्य गुणनखंड होता है?

शोध पत्र का निष्कर्ष एक आश्चर्यजनक "नहीं" है। इस धारणा के तहत कि कोड तोड़ना कितना कठिन है, यह सीमित गणितज्ञ यह सिद्ध नहीं कर सकता कि हर संख्या को तोड़ा जा सकता है। वास्तव में, एक "समानांतर ब्रह्मांड" (एक गणितीय मॉडल) है जहाँ यह गणितज्ञ रहता है, और उस ब्रह्मांड में एक विशाल संख्या है जिसे अभाज्य संख्याओं में नहीं तोड़ा जा सकता।

पात्र और खेल

इसे सिद्ध करने के लिए, लेखक दो पात्रों के बीच एक खेल स्थापित करते हैं: छात्र (The Student) और शिक्षक (The Teacher)।

1. छात्र (सीमित गणितज्ञ)

छात्र PV1 सिद्धांत का प्रतिनिधित्व करता है। वे एक बहुत बड़ी संख्या $X$ के लिए एक अभाज्य गुणनखंड खोजने की कोशिश कर रहे हैं।

लक्ष्य: छात्र को एक ऐसी संख्या का अनुमान लगाना है जो $X$ को विभाजित करती है और अभाज्य है।
सीमा: छात्र बहुत तेज़ है लेकिन बहुत बुद्धिमान नहीं है। वे केवल कुछ प्रश्न पूछ सकते हैं और कुछ संकेत प्राप्त कर सकते हैं।

2. शिक्षक (विरोधी)

शिक्षक एक चतुर धोखेबाज है जो $X$ के गुप्त गुणनखंडों को जानता है।

रणनीति: शिक्षक केवल उत्तर नहीं देता। इसके बजाय, वे "20 प्रश्न" (20 Questions) का खेल खेलते हैं।
- छात्र एक संख्या का अनुमान लगाता है।
- शिक्षक कहता है, "नहीं, वह अभाज्य गुणनखंड नहीं है," और एक संकेत (एक प्रति-उदाहरण) देता है जिससे पता चलता है कि अनुमान गलत क्यों था।
- छात्र फिर से प्रयास करता है।

3. "स्पष्ट" जाल (The "Obvious" Trap)

शिक्षक के पास एक विशेष चाल है। वे परिभाषित करते हैं कि क्या "स्पष्ट" (Obvious) है।

यदि छात्र ऐसी संख्या का अनुमान लगाता है जिसे पहले देखी गई संख्याओं से आसानी से निकाला जा सकता है (जैसे कि 'ग्रेटेस्ट कॉमन डिविजर' लेना), तो शिक्षक उसे "स्पष्ट" कहता है।
शिक्षक केवल तभी एक "असली" संकेत देता है जब छात्र कुछ गैर-स्पष्ट (non-obvious) अनुमान लगाता है।
शिक्षक का लक्ष्य छात्र को कुछ अत्यंत कठिन करने के लिए मजबूर करना है: बिना गुप्त कुंजी दिए एक विशाल संख्या का गुणनखंडन (Factorize) करना।

मुख्य सादृश्य: बंद बक्सा और मास्टर की (The Locked Box and the Master Key)

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक विशाल, बंद बक्सा (संख्या $X$ ) है जिसे दो गुप्त चाबियों (दो बड़ी अभाज्य संख्याओं $p$ और $q$ ) को आपस में जोड़कर बनाया गया है।

वास्तविक दुनिया: यदि आपके पास एक सुपरकंप्यूटर है, तो आप बॉक्स को तोड़कर चाबियाँ ढूंढ सकते हैं।
PV1 की दुनिया: छात्र एक बहुत कमजोर टॉर्च वाला जासूस है। वे बॉक्स पर रोशनी डाल सकते हैं, लेकिन वे अंदर नहीं देख सकते।

शोध पत्र तर्क देता है कि यदि गुणनखंड करना कठिन है (यानी कोई भी इन कठिन-से-तोड़ने वाले बॉक्सों को आसानी से नहीं खोल सकता), तो छात्र (PV1) फंस जाता है।

यहाँ तर्क का प्रवाह है:

धारणा: हम यह मान लेते हैं कि वास्तविक दुनिया में, दो बड़ी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को जल्दी से गुणनखंडित करना कम्प्यूटेशनल रूप से असंभव है (यह आधुनिक इंटरनेट सुरक्षा, जैसे RSA एन्क्रिप्शन का आधार है)।
खेल: यदि छात्र (PV1) यह सिद्ध कर सकता है कि प्रत्येक संख्या का एक अभाज्य गुणनखंड होता है, तो उनके पास शिक्षक के खिलाफ खेल जीतने की एक रणनीति होगी। वे अंततः एक अभाज्य गुणनखंड का अनुमान लगा लेंगे।
विरोधाभास: लेखक दिखाते हैं कि यदि छात्र यह खेल जीत जाता है, तो वे अनिवार्य रूप से एक ऐसी मशीन बना रहे हैं जो उन कठिन-से-तोड़ने वाले बॉक्सों का गुणनखंड कर सकती है।
परिणाम: चूंकि हम मानते हैं कि वे बॉक्स आसानी से नहीं तोड़े जा सकते, इसलिए छात्र (PV1) खेल नहीं जीत सकता। इसलिए, छात्र यह सिद्ध नहीं कर सकता कि प्रत्येक संख्या का एक अभाज्य गुणनखंड होता है।

"समानांतर ब्रह्मांड" (The Model)

चूंकि छात्र इसे सिद्ध नहीं कर सकता, इसलिए तर्क हमें बताता है कि एक मॉडल (एक समानांतर ब्रह्मांड) होना चाहिए जहाँ छात्र के नियम लागू होते हैं, लेकिन यह कथन "प्रत्येक संख्या का एक अभाज्य गुणनखंड होता है" असत्य है।

इस ब्रह्मांड में:

एक विशेष, गैर-मानक संख्या $m$ मौजूद है।
यह संख्या इतनी अजीब है कि जब भी आप इसे किसी छोटी संख्या से विभाजित करने की कोशिश करते हैं, तो आप पाते हैं कि परिणाम को आगे भी विभाजित किया जा सकता है।
आप अनंत काल तक विभाजित करते रह सकते हैं, लेकिन आप कभी भी एक "अभाज्य" (अविभाज्य ब्लॉक) तक नहीं पहुँच पाते।
यह एक फ्रैक्टल (fractal) की तरह है जो कभी समाप्त नहीं होता। इस ब्रह्मांड में, संख्या $m$ का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है?

यह शोध पत्र दो बहुत अलग क्षेत्रों को जोड़ता है:

क्रिप्टोग्राफी (Cryptography): आपके बैंक खाते की सुरक्षा इस तथ्य पर टिकी है कि गुणनखंड करना कठिन है।
गणितीय तर्क (Mathematical Logic): सीमित उपकरणों के साथ हम क्या सिद्ध कर सकते हैं, इसके आधार।

लेखक दिखाते हैं कि यदि क्रिप्टोग्राफी सुरक्षित है (गुणनखंड करना कठिन है), तो हमारा सीमित गणितीय तंत्र (PV1) अंकगणित के एक बुनियादी तथ्य (कि संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड होते हैं) को सिद्ध करने के लिए बहुत कमजोर है।

यह कहने जैसा है कि: "यदि किसी विशिष्ट ताले को खोलना असंभव है, तो केवल एक पेपरक्लिप (हमारा सीमित गणित सिद्धांत) रखने वाला व्यक्ति यह सिद्ध नहीं कर सकता कि हर ताले की एक चाबी होती है।"

एक वाक्य में सारांश

यह मानते हुए कि कंप्यूटरों के लिए आधुनिक एन्क्रिप्शन कोड तोड़ना असंभव है, यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि गणित का एक विशिष्ट, सीमित तंत्र यह सिद्ध करने के लिए बहुत कमजोर है कि प्रत्येक संख्या को अभाज्य संख्याओं में तोड़ा जा सकता है, जो एक अजीब गणितीय दुनिया के अस्तित्व की ओर संकेत करता है जहाँ कुछ संख्याओं को विभाजित नहीं किया जा सकता।

यहाँ ओन्ड्रेज़ जेज़िल (Ondřej Ježil) के शोध पत्र "Prime Factorization in Models of PV1" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र बाउंडेड अरिथमेटिक (bounded arithmetic) और कंप्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी (computational complexity) के एक मौलिक प्रश्न को संबोधित करता है: क्या सिद्धांत $PV_1$ (और शार्पली बाउंडेड चॉइस स्कीम के साथ इसका विस्तार, $PV_1 + BB(\Sigma^b_0)$ ) यह सिद्ध कर सकता है कि प्रत्येक पूर्णांक $x \ge 2$ का एक अभाज्य भाजक (prime divisor) होता है?

संदर्भ: $PV_1$ सिद्धांत, कुक के सिद्धांत $PV$ का एक फर्स्ट-ऑर्डर विस्तार है, जो कि पॉलीनोमियल-टाइम प्रेडिकेट्स पर प्रतिबंधित इंडक्शन (induction) द्वारा अभिलक्षित है। यह ज्ञात है कि $S^1_2$ जैसे अधिक शक्तिशाली सिद्धांत, $\Sigma^b_1$ -LMAX (मैक्सिमाइजेशन) के सिद्धांत का उपयोग करके अभाज्य भाजकों (और इस प्रकार अभाज्य गुणनखंडन) के अस्तित्व को सिद्ध कर सकते हैं। हालाँकि, $PV_1$ में यह सिद्धांत तब तक नहीं होता जब तक कि $NP \subseteq P/poly$ न हो।
प्रश्न: क्या $PV_1$ (भले ही $BB(\Sigma^b_0)$ के साथ संवर्धित हो) वाक्य PrimeFactor को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है:
$(\forall x \ge 2)(\exists y \le x)(2 \le y \land y|x \land (\forall z \le y)(z|y \to (z=1 \lor z=y)))$
यदि नहीं, तो यह $PV_1$ के एक ऐसे मॉडल के अस्तित्व का संकेत देता है जिसमें एक "गैर-मानक" (nonstandard) संख्या होती है जिसका कोई अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) नहीं होता।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक KPT विटनेसिंग थ्योरम (Krajíček, Pudlák, and Takeuti, 1991) और पूर्णांक गुणनखंडन (integer factorization) की कठिनाई से संबंधित जटिलता सिद्धांत (complexity theory) की अवधारणाओं का उपयोग करते हुए विरोधाभास द्वारा प्रमाण प्रस्तुत करते हैं।

A. KPT विटनेसिंग थ्योरम (The KPT Witnessing Theorem)

मुख्य तकनीकी उपकरण KPT थ्योरम है, जो कहता है कि यदि $PV_1$ जैसा सिद्धांत एक $\forall\exists\forall$ वाक्य (जैसे PrimeFactor) को सिद्ध करता है, तो एक पॉलीनोमियल-टाइम "छात्र" (student) एल्गोरिदम $s$ मौजूद होता है, जो एक "शिक्षक" (teacher) के साथ इंटरैक्टिव प्रोटोकॉल में, अस्तित्वगत क्वांटिफायर (existential quantifier) के लिए एक विटनेस (witness) खोज सकता है।

प्रोटोकॉल: छात्र $s$ संभावित उम्मीदवार $y_i$ प्रस्तावित करता है। शिक्षक $t$ काउंटर-एग्जांपल (counterexamples) $z_i$ के रूप में प्रतिक्रिया देता है यदि उम्मीदवार गलत है।
गारंटी: यदि सिद्धांत उस कथन को सिद्ध करता है, तो छात्र को एक निश्चित संख्या में राउंड $c$ के बाद एक सही विटनेस खोजने की गारंटी दी जाती है, चाहे शिक्षक की रणनीति कुछ भी हो (बशर्ते कि शिक्षक "सुधारात्मक" हो)।

B. हार्डनेस धारणा (The Hardness Assumption)

शोध पत्र एक मानक क्रिप्टोग्राफिक परिकल्पना को मानता है:

धारणा: कोई भी पॉलीनोमियल-साइज बूलियन सर्किट परिवारों, दो $n$ -बिट अभाज्य संख्याओं के उत्पादों के एक स्थिर अंश (constant fraction) को गुणनखंडित नहीं कर सकता।

C. रणनीति: एक "कठिन" शिक्षक का निर्माण (The Strategy: Constructing a "Hard" Teacher)

PrimeFactor की सिद्धता को गलत सिद्ध करने के लिए, लेखक एक विशिष्ट शिक्षक $t$ का निर्माण करता है जो एक कठिन गुणनखंडन समस्या का अनुकरण करता है:

इनपुट: शिक्षक को एक इनपुट $x = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_d$ (विभिन्न अभाज्य संख्याओं का उत्पाद) प्राप्त होता है।
इंटरैक्शन: छात्र $y_i$ विभाजक प्रस्तावित करता है।
शिक्षक का तर्क:
- यदि $y_i$ एक अभाज्य भाजक है, तो शिक्षक इसकी पुष्टि करता है।
- यदि $y_i$ एक भाज्य संख्या (composite) है, तो शिक्षक $y_i$ का "स्पष्ट संख्याओं" (पिछली अंतःक्रियाओं के माध्यम से GCD और विभाजन द्वारा प्राप्त संख्याएँ) के साथ GCD की गणना करता है।
- यदि कोई स्पष्ट विभाजक नहीं मिलता है, तो शिक्षक $y_i$ को लगभग आधा विभाजित कर देता है (उदाहरण के लिए, $z_i = p_{i_1} \dots p_{i_{\lfloor l/2 \rfloor}}$ )।
विरोधाभास: लेखक सिद्ध करता है कि यदि $PV_1$ PrimeFactor को सिद्ध कर सकता है, तो पॉलीनोमियल-टाइम छात्र $s$ इस शिक्षक के साथ इंटरैक्ट करने और अंततः एक अभाज्य गुणनखंड आउटपुट करने में सक्षम होगा। हालाँकि, शिक्षक की प्रतिक्रियाओं की संरचना छात्र को प्रभावी रूप से अभाज्य संख्याओं के उत्पाद को गुणनखंडित करने के लिए मजबूर करती है। हार्डनेस धारणा के तहत, कोई भी पॉलीनोमियल-टाइम एल्गोरिदम (और इस प्रकार कोई पॉलीनोमियल-साइज सर्किट) गैर-नगण्य प्रायिकता (non-negligible probability) के साथ सफल नहीं हो सकता है।

D. $BB(\Sigma^b_0)$ को संभालना (Handling $BB(\Sigma^b_0)$ )

$PV_1 + BB(\Sigma^b_0)$ के विस्तारित सिद्धांत के लिए, लेखक KPT थ्योरम के एक विस्तार का उपयोग करता है (Cook and Thapen, 2006)। यहाँ, छात्र एक साथ कई उम्मीदवारों का एक अनुक्रम (sequence) आउटपुट कर सकता है। लेखक एक समानांतर शिक्षक (parallel teacher) को परिभाषित करता है जो इन अनुक्रमों के लिए कोआर्डिनेट-वाइज (coordinate-wise) उत्तर देता है। एक प्रमुख लेम्मा दिखाता है कि "स्पष्ट सेटों" (अंतःक्रिया द्वारा उत्पन्न सेटों के क्षेत्र में परमाणु) की संख्या इतनी धीरे बढ़ती है कि एक क्रमिक (sequential) छात्र समानांतर वाले का अनुकरण कर सकता है, जिससे समस्या वापस मानक गुणनखंडन की कठिनाई में बदल जाती है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

मुख्य प्रमेय (Main Theorem)

यह मानते हुए कि दो $n$ -बिट अभाज्य संख्याओं के उत्पादों के गुणनखंडन की औसत-मामले की कठिनाई (average-case hardness) नॉन-यूनिफॉर्म पॉलीनोमियल-टाइम विरोधियों के विरुद्ध है:

$PV_1$ में अप्रमाणनीयता: सिद्धांत $PV_1$ , PrimeFactor को सिद्ध नहीं करता है।
$PV_1 + BB(\Sigma^b_0)$ में अप्रमाणनीयता: सिद्धांत $PV_1 + BB(\Sigma^b_0)$ , PrimeFactor को सिद्ध नहीं करता है।

मॉडल अस्तित्व (Model Existence)

पूर्णता प्रमेय (completeness theorem) द्वारा, अप्रमाणनीयता यह संकेत देती है कि $PV_1$ (या $PV_1 + BB(\Sigma^b_0)$ ) का एक मॉडल $\mathcal{M}$ है जिसमें एक गैर-मानक तत्व $m$ शामिल है कि:

$\mathcal{M}$ में $m$ का प्रत्येक विभाजक $\mathcal{M}$ में एक उचित विभाजक (proper divisor) रखता है।
$m$ का कोई अपरिमेय विभाजक (irreducible divisor) नहीं है और इस प्रकार $\mathcal{M}$ के भीतर कोई अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
यह दर्शाता है कि इन सिद्धांतों के मॉडल अनिवार्य रूप से "फर्स्टेनबर्ग डोमेन के धनात्मक भाग" (एक ऐसा डोमेन जहाँ प्रत्येक गैर-इकाई का एक अपरिमेय विभाजक होता है) नहीं हैं।

पदानुक्रम पृथक्करण (Hierarchy Separation)

यह शोध पत्र एक एकल क्रिप्टोग्राफिक धारणा के तहत बस (Buss) के पदानुक्रम में तीन क्रमिक सिद्धांतों के बीच एक सख्त पृथक्करण स्थापित करता है:
$PV_1 \prec PV_1 + BB(\Sigma^b_0) \prec S^1_2$

$PV_1$ PrimeFactor को सिद्ध नहीं कर सकता।
$PV_1 + BB(\Sigma^b_0)$ PrimeFactor को सिद्ध नहीं कर सकता।
$S^1_2$ PrimeFactor को सिद्ध कर सकता है।
यह गुणनखंडन के बारे में एक एकल, स्वाभाविक धारणा का उपयोग करके $PV_1 + BB(\Sigma^b_0)$ को $S^1_2$ से अलग करके पिछले परिणामों (जैसे Cook-Thapen) में सुधार करता है।

4. महत्व (Significance)

क्रिप्टोग्राफी और तर्क का जुड़ाव: यह शोध पत्र पूर्णांक गुणनखंडन (integer factorization) की औसत-मामले की कठिनाई (जो आधुनिक क्रिप्टोग्राफी का आधार है) और बाउंडेड अरिथमेटिक सिद्धांतों की तार्किक शक्ति के बीच एक कठोर संबंध प्रदान करता है। यह प्रदर्शित करता है कि संख्याओं को कुशलतापूर्वक गुणनखंडित करने में असमर्थता, इन कमजोर सिद्धांतों द्वारा बुनियादी संख्या-सिद्धांत संबंधी तथ्यों को सिद्ध करने में असमर्थता के समान है।
पदानुक्रम का परिशोधन: यह $PV_1$ , $PV_1 + BB(\Sigma^b_0)$ , और $S^1_2$ के बीच की सीमा को स्पष्ट करता है। विशेष रूप से, यह दिखाता है कि शार्पली बाउंडेड चॉइस स्कीम ( $BB(\Sigma^b_0)$ ), शक्तिशाली होने के बावजूद, अभाज्य गुणनखंडन के संबंध में $S^1_2$ की पूर्ण शक्ति को पुनः प्राप्त करने के लिए अपर्याप्त है।
मॉडल थ्योरी निहितार्थ: यह परिणाम अंकगणित के "पैथोलॉजिकल" (pathological) मॉडलों के अस्तित्व की गारंटी देता है जहाँ गैर-मानक संख्याओं के लिए अद्वितीय गुणनखंडन विफल हो जाता है, जो ठोस उदाहरण प्रदान करता है कि कम्प्यूटेशनल सीमाएँ तार्किक मॉडलों में कैसे प्रकट होती हैं।
खुले प्रश्न: लेखक यह प्रश्न उठाते हैं कि क्या इसी तरह की धारणाएं पॉलीनोमियल पदानिध (polynomial hierarchy) के उच्च स्तरों (जैसे $S^1_2$ बनाम $T^1_2$ ) को अलग कर सकती हैं और क्या गुणनखंडन की विफलता उन्हीं मॉडलों में इंजेक्टिव वीक पिजनहोल सिद्धांत ($iWPHP$) की विफलता की ओर ले जाती है।

सारांश (Summary)

ओन्ड्रेज़ जेज़िल का शोध पत्र सिद्ध करता है कि मानक क्रिप्टोग्राफिक धारणाओं के तहत, सिद्धांत $PV_1$ (शार्पली बाउंडेड चॉइस स्कीम के साथ भी) इतना कमजोर है कि वह यह सिद्ध नहीं कर सकता कि प्रत्येक संख्या का एक अभाज्य विभाजक होता है। यह यह दिखाकर प्राप्त किया गया है कि ऐसे कथन का प्रमाण एक पॉलीनोमियल-टाइम एल्गोरिदम प्रदान करेगा जो सेमीप्राइम्स (semiprimes) के एक स्थिर अंश को गुणनखंडित करने में सक्षम होगा, जो गुणनखंडन समस्या की अनुमानित कठिनाई का खंडन करता है। फलस्वरूप, इन सिद्धांतों के ऐसे मॉडल मौजूद हैं जहाँ गैर-मानक संख्याओं में अभाज्य गुणनखंडन का अभाव होता है।