💰 quantitative finance

A quantum unstructured search algorithm for discrete optimisation: the use case of portfolio optimisation

यह शोध पत्र QSERA का प्रस्ताव करता है, जो एक क्वांटम अनस्ट्रक्चर्ड सर्च एल्गोरिदम है जो डिस्क्रीट फंक्शन्स के एक्सट्रीमा या रूट्स को खोजने के लिए ग्रोवर के एल्गोरिदम का लाभ उठाकर क्वाड्रेटिक स्पीड-अप प्रदान करता है, और मानक QUBO फ्रेमवर्क से परे उच्च-क्रम ऑब्जेक्टिव फंक्शन्स को संभालने द्वारा पोर्टफोलियो ऑप्टिमाइज़ेशन में अपने अनुप्रयोग को प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Titos Matsakos, Adrian Lomas

प्रकाशित 2026-01-22

📖 6 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Titos Matsakos, Adrian Lomas

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक वित्तीय प्रबंधक (financial manager) हैं जो एक आदर्श निवेश पोर्टफोलियो बनाने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास हजारों शेयरों और बॉन्डों की एक विशाल सूची है, और आपको उनमें से कुछ विशिष्ट विकल्प चुनने हैं जो आपको सबसे कम जोखिम के साथ सबसे अच्छा रिटर्न दे सकें।

गणित की दुनिया में, यह एक "कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइज़ेशन" (combinatorial optimization) समस्या है। यह एक रेसिपी बुक में सामग्रियों के एक विशेष संयोजन को खोजने जैसा है जिसमें व्यंजनों की संख्या पृथ्वी पर रेत के कणों से भी अधिक है। एक सामान्य कंप्यूटर इन व्यंजनों को एक-एक करके जांचने की कोशिश करेगा, जिसमें बहुत समय लगेगा।

यह शोध पत्र एक नया "क्वांटम रेसिपी फाइंडर" पेश करता है जिसे QSERA (Quantum Search for Extrema and Roots Algorithm) कहा जाता है। यह कैसे काम करता है, इसके लिए सरल उपमाओं का उपयोग किया गया है:

1. समस्या: घास के ढेर में सुई खोजना

कल्पना कीजिए कि आपके पास 16 अलग-अलग निवेश पोर्टफोलियो की एक विशाल, बिना क्रम वाली सूची है। आप उस पोर्टफोलियो को खोजना चाहते हैं जो एक विशिष्ट "गोल्डिलॉक्स" (Goldilocks) लक्ष्य के सबसे करीब हो (न बहुत अधिक जोखिम भरा, न बहुत अधिक सुरक्षित, बस बिल्कुल सही)।

पारंपरिक तरीका (The Classical Way): एक सामान्य कंप्यूटर एक अंधेरी लाइब्रेरी में घूमते हुए व्यक्ति की तरह है, जो एक किताब उठाता है, देखता है कि क्या वह सही है, फिर उसे वापस रखता है यदि वह गलत है, और अगले की ओर बढ़ जाता है। यदि 16 किताबें हैं, तो आपको औसतन 8 को जांचना पड़ सकता है। यदि दस लाख किताबें हैं, तो आपको उनमें से पांच लाख को जांचना पड़ सकता है।
क्वांटम तरीका (The Quantum Way): यह शोध पत्र एक क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करने का प्रस्ताव देता है, जो एक जादुई टॉर्च रखने वाले व्यक्ति की तरह है जो एक साथ सभी किताबों पर रोशनी डाल सकता है। यह केवल उन्हें जांचता नहीं है; यह एक विशेष ट्रिक का उपयोग करता है जिससे "सही" किताब चमक उठती है और "गलत" किताबें धुंधली होकर गायब हो जाती हैं।

2. जादुई ट्रिक: "ओरेकल" (The Oracle)

इस नए एल्गोरिदम का मूल एक दो-चरणीय प्रक्रिया है जो एक जटिल गणितीय समस्या को क्वांटम कंप्यूटर के लिए एक सरल "हाँ/नहीं" वाले प्रश्न में बदल देती है।

चरण A: अनुवाद (द रेसिपी कार्ड)
ऑब्जेक्टिव फंक्शन (जो जोखिम और रिटर्न की गणना करने वाला जटिल गणितीय सूत्र है) एक जटिल रेसिपी की तरह है। एल्गोरिदम पहले इस रेसिपी को एक सरल "स्कोरकार्ड" में अनुवादित करता है।

यह जटिल सूत्र को इस तरह से रीस्केल (rescale) करता है कि "परफेक्ट" उत्तर को 1 का स्कोर मिलता है, और बाकी सब कुछ 0 और 1 के बीच का स्कोर प्राप्त करता है।
इसे एक जटिल स्वाद परीक्षण को एक साधारण लाइट स्विच में बदलने के रूप में सोचें: परफेक्ट पोर्टफोलियो लाइट को ON (1) कर देता है, और बाकी सब कुछ मंद या OFF (0) रहता है।

चरण B: प्रवर्धन (Grover's Algorithm)
एक बार जब "परफेक्ट" पोर्टफोलियो को "1" (या एक लाइट स्विच) के रूप में चिह्नित कर दिया जाता है, तो एल्गोरिदम एक प्रसिद्ध क्वांटम तकनीक का उपयोग करता है जिसे ग्रोवर का एल्गोरिदम (Grover's Algorithm) कहा जाता है।

कल्पना कीजिए कि आप 16 लोगों के कमरे में हैं, और केवल एक ने लाल टोपी पहनी है (समाधान)।
एल्गोरिदम "रिफ्लेक्शंस" (reflections) या "इकोज़" (echoes) की एक श्रृंखला करता है। हर प्रतिध्वनि (echo) के साथ, लाल टोपी वाला व्यक्ति थोड़ा और तेज होता जाता है, और बाकी सब थोड़े और शांत होते जाते हैं।
कुछ निश्चित संख्या में प्रतिध्वनियों के बाद, लाल टोपी वाला व्यक्ति इतना तेज हो जाता है कि यदि आप कमरे से चिल्लाने के लिए कहें, तो वह लगभग निश्चित रूप से वही होगा।

3. यह विशेष क्यों है

शोध पत्र इस नए तरीके के कुछ प्रमुख लाभों पर प्रकाश डालता है:

यह जटिल रेसिपी को संभाल सकता है: वर्तमान क्वांटम विधियाँ केवल "सरल" रेसिपी (गणितीय रूप से, द्विघात समीकरण) को ही संभाल सकती हैं। यह नई विधि, QSERA, "जटिल" रेसिपी को संभाल सकती है जिसमें कई सामग्रियां जटिल तरीके से एक-दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करती हैं (उच्च-क्रम के पद)। यह चीनी और आटे के बजाय 10 अलग-अलग मसालों के साथ केक बनाने में सक्षम होने जैसा है।
यह तेज़ है: जबकि एक पारंपरिक कंप्यूटर को वस्तुओं को एक-एक करके जांचने में समय लगता है (समय वस्तुओं की संख्या के समानुपाती होता है), यह क्वांटम विधि उत्तर बहुत तेजी से खोज लेती है (वस्तुओं की संख्या के वर्गमूल के समानुपाती)। यदि आपके पास 10,000 विकल्प हैं, तो एक पारंपरिक कंप्यूटर शायद 5,000 को जांचेगा, लेकिन इस क्वांटम विधि को केवल लगभग 100 जांचों की आवश्यकता होगी।
यह लचीला है: शोध पत्र नोट करता है कि आपको हमेशा पहले से सटीक "परफेक्ट" उत्तर जानने की आवश्यकता नहीं होती है। भले ही आपके पास "सर्वश्रेष्ठ" स्कोर क्या होना चाहिए, इसका केवल एक मोटा अनुमान हो, एल्गोरिदम अभी भी एक बहुत अच्छा उत्तर खोज सकता है, हालांकि इसे सुनिश्चित करने के लिए आपको "इको" प्रक्रिया को कुछ बार चलाने की आवश्यकता हो सकती है।

4. वास्तविक दुनिया का परीक्षण

यह सिद्ध करने के लिए कि यह काम करता है, लेखकों ने केवल 4 संपत्तियों (assets) के एक छोटे पोर्टफोलियो के साथ एक सिमुलेशन चलाया।

उन्होंने एक लक्ष्य (एक विशिष्ट जोखिम और रिटर्न) निर्धारित किया।
उन्होंने एक क्वांटम सर्किट (क्वांटम कंप्यूटर के लिए एक ब्लूप्रिंट) बनाया ताकि गणित को "लाइट स्विच" सिग्नल में बदला जा सके।
उन्होंने एल्गोरिदम चलाया।
परिणाम: क्वांटम कंप्यूटर ने सफलतापूर्वक उस पोर्टफोलियो की पहचान की जो लक्ष्य के सबसे करीब था, जिससे इसकी "मेज़रमेंट" (मापन) या पाए जाने की संभावना सबसे अधिक थी।

कमी (The Catch)

शोध पत्र इसकी सीमाओं के बारे में ईमानदार है। "लाइट स्विच" को पूरी तरह से काम करने के लिए, आदर्श रूप से आपको पहले से ही सबसे अच्छे और सबसे खराब संभव स्कोर को जानना होगा। यदि आप उन्हें सटीक रूप से नहीं जानते हैं, तो आपको अनुमान लगाना होगा। यदि आपका अनुमान थोड़ा भी गलत है, तो "परफेक्ट" लाइट उतनी चमक नहीं पाएगी जितनी उसे चमकनी चाहिए, और आपको पक्का होने के लिए खोज को कुछ बार चलाने की आवश्यकता हो सकती है।

संक्षेप में: यह शोध पत्र एक नया क्वांटम टूल प्रस्तावित करता है जो जटिल वित्तीय गणित को एक सरल "विजेता खोजने" के खेल में बदल देता है। यह सही उत्तर को बढ़ाने के लिए क्वांटम जादू का उपयोग करता है, जिससे हमें पारंपरिक कंप्यूटरों की तुलना में बहुत तेज़ी से कठिन निवेश पहेलियों को हल करने की अनुमति मिलती है, भले ही गणित बहुत जटिल क्यों न हो जाए।

तकनीकी सारांश: डिस्क्रीट ऑप्टिमाइजेशन के लिए एक क्वांटम अनस्ट्रक्चर्ड सर्च एल्गोरिदम

समस्या विवरण
यह शोध पत्र डिस्क्रीट ऑप्टिमाइजेशन समस्याओं, विशेष रूप से कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइजेशन (combinatorial optimisation) को हल करने की चुनौती को संबोधित करता है, जहाँ चर (variables) बाइनरी होते हैं और उनके डेरिवेटिव (derivatives) को परिभाषित नहीं किया जा सकता है। जबकि ग्रेडिएंट-आधारित विधियाँ निरंतर (continuous) चरों के लिए प्रभावी हैं, वे डिस्क्रीट स्पेस में विफल हो जाती हैं, जो अक्सर NP-hard होते हैं। मौजूदा क्वांटम दृष्टिकोण, जैसे कि क्वाड्रेटिक अनकन्स्ट्रेंड बाइनरी ऑप्टिमाइजेशन (QUBO) फ्रेमवर्क, केवल प्रथम और द्वितीय-क्रम के पदों वाले ऑब्जेक्टिव फंक्शन्स तक ही सीमित हैं। इसके अलावा, कई वर्तमान क्वांटम ऑप्टिमाइजेशन एल्गोरिदम (जैसे, वेरिएशनल क्वांटम एल्गोरिदम) हाइब्रिड क्लासिकल-क्वांटम लूप्स पर निर्भर करते हैं जो शोर (noise) से ग्रस्त हो सकते हैं या जिनमें गहरे सर्किट (deep circuits) की आवश्यकता हो सकती है। लेखक सामान्य डिस्क्रीट फंक्शन्स, $f(x)$ , के एक्सट्रीमा (extrema) या रूट्स (roots) को खोजने के लिए एक विधि प्रस्तावित करते हैं, जिसमें QUBO की क्वाड्रेटिक सीमा से परे उच्च-क्रम (higher-order) के पद शामिल हो सकते हैं।

कार्यप्रणाली: QSERA एल्गोरिदम
लेखक क्वांटम सर्च फॉर एक्सट्रीमा एंड रूट्स एल्गोरिदम (QSERA) पेश करते हैं, जो ग्रोवर के एल्गोरिदम (Grover's algorithm) पर आधारित क्वांटम सर्च एल्गोरिदम (QSA) परिवार का एक सदस्य है। कार्यप्रणाली दो प्राथमिक चरणों में आगे बढ़ती है:

ओरेकल निर्माण ( $f(x) \to u(z)$ ):
पहला चरण एक एक्सट्रीमम (या रूट) खोजने की स्थिति $f(x^*) \approx f^*$ को एक बाइनरी स्ट्रिंग $z^*$ के लिए अनस्ट्रक्चर्ड सर्च समस्या में मैप करने से संबंधित है।

रीस्केलिंग (Rescaling): ऑब्जेक्टिव फंक्शन $f(x)$ को एक फंक्शन $g(x) \in [0, 1]$ में रीस्केल किया जाता है। मैक्सिमाइजेशन के लिए, $g(x) = (f(x) - f_{min}) / (f_{max} - f_{min})$ ; मिनिमाइजेशन के लिए, $g(x) = (f_{max} - f(x)) / (f_{max} - f_{min})$ ; और रूट फाइंडिंग के लिए, एक विशिष्ट रूपांतरण लागू किया जाता है। इसके लिए ग्लोबल मिनिमम ( $f_{min}$ ) और मैक्सिमम ( $f_{max}$ ) के a priori ज्ञान या अनुमान की आवश्यकता होती है।
एम्प्लीफिकेशन (Amplification): एक बाइनरी ओरेकल $u(z)$ बनाने के लिए जहाँ $u(z^*) = 1$ और $u(z \neq z^*) = 0$ हो, फंक्शन $g(x)$ को एक बड़ी घात $n$ तक बढ़ाया जाता है (अर्थात, $u_n(z) \equiv g(x)^n$ )। जैसे-जैसे $n \to \infty$ होता है, $u_n(z)$ एक आदर्श ओरेकल के करीब पहुँच जाता है।
सामान्यीकरण (Generalization): पेपर नोट करता है कि $f(x)$ क्रम $K$ तक के पदों वाला एक सामान्य बहुपद (polynomial) हो सकता है (Eq. 10), जो मानक QUBO फॉर्म के अधिक जटिल ऑब्जेक्टिव फंक्शन्स की अनुमति देता है।
गेट कार्यान्वयन (Gate Implementation): लेखक ओरेकल के लिए क्वांटम सर्किट का व्युत्पन्न (derive) करते हैं। वे बाइनरी चरों के अनुरूप स्व-अडजॉइंट ऑपरेटर्स $B_k$ को परिभाषित करते हैं और एक यूनिटरी ऑपरेटर $G$ का निर्माण करते हैं ताकि $G|z\rangle = g(x)|z\rangle$ हो। फिर ओरेकल ऑपरेटर $Q^*$ को $e^{i\pi G^n}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसे प्रत्येक क्रम के पदों (शून्यवें, प्रथम, द्वितीय, आदि) के लिए यूनिटरी ऑपरेटर्स $Q^*_j$ के उत्पाद में विघटित किया जाता है, जिसे एंसिला क्विबिट्स (ancilla qubits) और फेज शिफ्ट गेट्स का उपयोग करके लागू किया जाता है।

सर्च निष्पादन (Search Execution):
एक बार जब ओरेकल $Q^*$ का निर्माण हो जाता है, तो एल्गोरिदम ग्रोवर के डिफ्यूजन ऑपरेटर ( $Q_+$ ) और ओरेकल ( $Q^*$ ) का एक पुनरावृत्ति लूप (iterative loop) में उपयोग करता है। अवस्था (state) को एक समान सुपरपोजिशन (uniform superposition) में इनिशियलाइज़ किया जाता है, और लक्षित अवस्था $|z^*\rangle$ के आयाम (amplitude) को बढ़ाने के लिए $(Q_+ Q^*)$ को $m_{opt} \approx (\pi\sqrt{N} - 2)/4$ बार लागू किया जाता है।

प्रमुख योगदान

QUBO से परे सामान्यीकरण: QUBO-आधारित विधियों के विपरीत, जो केवल क्वाड्रेटिक रूपों तक सीमित हैं, QSERA उच्च-क्रम के ऑब्जेक्टिव फंक्शन्स (क्यूबिक, क्वार्टिक, आदि) को संभाल सकता है, जिससे यह कॉम्बिनेटोरियल समस्याओं के एक व्यापक वर्ग के लिए लागू करने योग्य बन जाता है।
स्पष्ट सर्किट निर्माण: पेपर किसी भी बहुपद क्रम के लिए क्वांटम ओरेकल गेट्स के निर्माण के लिए विस्तृत गणितीय व्युत्पन्न प्रदान करता है, जिसमें सर्किट मापदंडों के लिए आवश्यक गुणांकों (coefficients) की पुनरावृत्ति गणना शामिल है।
अनुमानित सीमाओं को संभालना: लेखक उस परिदृश्य का विश्लेषण करते हैं जहाँ $f_{min}$ और $f_{max}$ सटीक रूप से ज्ञात नहीं होते हैं। वे प्रदर्शित करते हैं कि हालांकि एल्गोरिदम अनुमानों के साथ भी कार्य कर सकता है, लेकिन सटीक ऑप्टिमम खोजने की संभावना पावर पैरामीटर $n$ के चयन पर निर्भर करती है। यदि $n$ बहुत बड़ा है, तो ओरेकल सिग्नल लुप्त हो सकता है; यदि बहुत छोटा है, तो सिग्नल पर्याप्त विशिष्ट नहीं होगा। इन कारकों को संतुलित करने के लिए एक इष्टतम $n$ मौजूद है।

परिणाम: पोर्टफोलियो ऑप्टिमाइजेशन केस स्टडी
लेखक $N_a = 4$ एसेट्स के साथ एक पोर्टफोलियो ऑप्टिमाइजेशन समस्या का उपयोग करके QSERA को मान्य करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप $N=16$ संभावित पोर्टफोलियो बनते हैं।

सेटअप: लक्ष्य एक ऐसा पोर्टफोलियो खोजना था जिसमें 2 एसेट्स हों, जो बेंचमार्क रिटर्न और वोलेटिलिटी (volatility) से दूरी को कम करे। ऑब्जेक्टिव फंक्शन में चौथे क्रम तक के पद शामिल थे।
कार्यान्वयन: एक क्वांटम सर्किट को 4 क्विबिट्स (पोर्टफोलियो स्टेट्स के लिए), 2 एंसिला क्विबिट्स (AND ऑपरेशन्स के लिए), और 1 एंसिला (फेज ट्रैकिंग के लिए) का उपयोग करके असेंबल किया गया था।
प्रदर्शन:
- इष्टतम ग्रोवर इटरेशन संख्या ( $m_{opt} = 2$ ) और सावधानीपूर्वक चुने गए पावर $n \approx 24$ के साथ, एल्गोरिदम ने उच्चतम संभावना के साथ इष्टतम पोर्टफोलियो (स्टेट $|1001\rangle$ ) को सफलतापूर्वक पहचाना।
- दूसरा सबसे अच्छा पोर्टफोलियो ( $|0101\rangle$ ) भी अपेक्षाकृत उच्च संभावना प्रदर्शित करता है, जो इस तथ्य को दर्शाता है कि एल्गोरिदम अनुमानित सीमाओं के सबसे करीब समाधान खोज रहा था।
- अध्ययन ने पुष्टि की कि यदि $f_{min}$ और $f_{max}$ सटीक होने के बजाय अनुमानित हैं, तो वास्तविक ऑप्टिमम को मापने की संभावना 1 से कम होती है, जिससे वास्तविक ऑप्टिमम को निकट-इष्टतम समाधानों से अलग करने के लिए कई "शॉट्स" (बार-बार निष्पादन) की आवश्यकता होती है।
- पावर $n$ और सफलता की संभावना के बीच संबंध को विज़ुअलाइज़ किया गया, जो मध्यवर्ती $n$ मानों के लिए पीक प्रोबेबिलिटी दिखाता है, और यदि $n$ बहुत बड़ा है (सिग्नल दमन) या बहुत छोटा है (अपर्याप्त भेदभाव) तो प्रदर्शन घट जाता है।

महत्व और दावे
पेपर का दावा है कि QSERA, डिस्क्रीट फंक्शन्स के एक्सट्रीमा या रूट्स खोजने के लिए क्लासिकल ब्रूट-फोर्स सर्च की तुलना में क्वाड्रेटिक स्पीड-अप ( $O(\sqrt{N})$ ) प्रदान करता है। इसका प्राथमिक महत्व निम्नलिखित में निहित है:

यह उच्च-क्रम के ऑब्जेक्टिव फंक्शन्स को हल कर सकता है जो मानक QUBO फॉर्मूलेशन के साथ असंगत हैं।
यह हाइब्रिड क्लासिकल-क्वांटम पैरामीटर ऑप्टिमाइजेशन लूप्स (जैसे VQAs) की आवश्यकता के बिना काम करता है, जो एकल-शॉट क्वांटम निष्पादन पर निर्भर करता है (हालांकि सांख्यिकीय विश्वास के लिए कई शॉट्स की आवश्यकता हो सकती है)।
यह संभावित रूप से "शोर वाले" या तीव्र-ग्रेडिएंट वाले निरंतर कार्यों (डिस्क्रीटाइजेशन के बाद) को संबोधित कर सकता है जहाँ ग्रेडिएंट-आधारित विधियाँ विफल हो सकती हैं, हालांकि लेखक नोट करते हैं कि निरंतर चरों के लिए संरचित खोज (structured search) आम तौर पर अधिक कुशल होती है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि हालांकि गारंटीकृत सफलता के लिए एल्गोरिदम को फंक्शन बाउंड्स के ज्ञान की आवश्यकता होती है, फिर भी यह डिस्क्रीट ऑप्टिमाइजेशन के लिए एक मजबूत उपकरण बना हुआ है, विशेष रूप से उन मामलों में जहाँ ऑब्जेक्टिव फंक्शन की संरचना वर्तमान QUBO-आधारित दृष्टिकोणों की क्षमताओं से अधिक है।

1. समस्या: घास के ढेर में सुई खोजना

2. जादुई ट्रिक: "ओरेकल" (The Oracle)

3. यह विशेष क्यों है

4. वास्तविक दुनिया का परीक्षण

कमी (The Catch)

इसी तरह के और पेपर