💰 quantitative finance

A quantum unstructured search algorithm for discrete optimisation: the use case of portfolio optimisation

Cet article propose QSERA, un algorithme de recherche quantique non structurée qui exploite l'algorithme de Grover pour trouver les extrema ou les racines de fonctions discrètes avec une accélération quadratique, démontrant son application dans l'optimisation de portefeuille en traitant des fonctions d'objectif d'ordre supérieur au-delà du cadre standard QUBO.

Auteurs originaux : Titos Matsakos, Adrian Lomas

Publié 2026-01-22

📖 6 min de lecture🧠 Analyse approfondie

CC BY 4.0

Auteurs originaux : Titos Matsakos, Adrian Lomas

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous êtes un gestionnaire financier essayant de construire le portefeuille d'investissement parfait. Vous avez une liste massive de milliers d'actions et d'obligations, et vous devez choisir une poignée spécifique d'entre elles qui vous donneront le meilleur rendement pour le risque le plus bas.

Dans le monde des mathématiques, il s'agit d'un problème d'« optimisation combinatoire ». C'est comme essayer de trouver une combinaison unique et parfaite d'ingrédients dans un livre de recettes qui contient plus de recettes qu'il n'y a de grains de sable sur Terre. Un ordinateur normal devrait vérifier ces recettes une par une, ce qui prendrait une éternité.

Cet article présente un nouveau « chercheur de recettes quantique » appelé QSERA (Quantum Search for Extrema and Roots Algorithm). Voici comment il fonctionne, en utilisant des analogies simples :

1. Le Problème : Trouver une aiguille dans une botte de foin

Imaginez que vous avez une liste géante et non triée de 16 portefeuilles d'investissement différents (dans l'exemple de l'article). Vous voulez trouver celui qui est le plus proche d'une cible spécifique « Goldilocks » (ni trop risquée, ni trop sûre, juste ce qu'il faut).

La méthode classique : Un ordinateur ordinaire est comme une personne marchant dans une bibliothèque obscure, prenant un livre, vérifiant s'il s'agit du bon, le reposant s'il est faux, puis passant au suivant. S'il y a 16 livres, vous devrez peut-être en vérifier 8 en moyenne. S'il y a un million de livres, vous devrez peut-être en vérifier un demi-million.
La méthode quantique : L'article propose d'utiliser un ordinateur quantique, qui est comme avoir une lampe de poche magique capable d'éclairer tous les livres à la fois. Il ne se contente pas de les vérifier ; il utilise un tour spécial pour faire briller davantage le « bon » livre et faire pâlir les « mauvais ».

2. Le Tour de Magie : L'« Oracle »

Le cœur de ce nouvel algorithme est un processus en deux étapes pour transformer un problème mathématique complexe en une simple question par « Oui/Non » pour l'ordinateur quantique.

Étape A : La Traduction (La fiche de recette)
La fonction objectif (la formule mathématique complexe calculant le risque et le rendement) est comme une recette compliquée. L'algorithme traduit d'abord cette recette en une « fiche de score » plus simple.

Il prend la formule complexe et la redimensionne afin que la réponse « parfaite » obtienne un score de 1, et que tout le reste obtienne un score compris entre 0 et 1.
Considérez cela comme le fait de transformer un test de goût complexe en un simple interrupteur : le portefeuille parfait allume la lumière (1), et tout le reste est tamisé ou éteint (0).

Étape B : L'Amplification (L'algorithme de Grover)
Une fois que le « portefeuille parfait » est marqué d'un « 1 » (ou d'un interrupteur), l'algorithme utilise une technique quantique célèbre appelée l'algorithme de Grover.

Imaginez que vous êtes dans une pièce avec 16 personnes, et qu'une seule porte un chapeau rouge (la solution).
L'algorithme effectue une série de « réflexions » ou d'« échos ». À chaque écho, la personne au chapeau rouge devient légèrement plus forte, et tous les autres deviennent légèrement plus silencieux.
Après un nombre spécifique d'échos (qui est bien inférieur à celui de vérifier tout le monde un par un), la personne au chapeau rouge est si forte que si vous demandez à la pièce de crier, ce sera presque certainement elle.

3. Pourquoi est-ce spécial ?

L'article souligne plusieurs avantages clés de cette nouvelle méthode :

Elle gère des recettes complexes : La plupart des méthodes quantiques actuelles ne peuvent gérer que des recettes « simples » (mathématiquement parlant, des équations quadratiques). Cette nouvelle méthode, QSERA, peut gérer des « recettes complexes » avec de nombreux ingrédients interagissant de manière compliquée (termes d'ordre supérieur). C'est comme être capable de cuisiner un gâteau avec 10 épices différentes qui interagissent, et non seulement du sucre et de la farine.
C'est rapide : Alors qu'un ordinateur classique doit vérifier les éléments un par un (prenant un temps proportionnel au nombre d'éléments), cette méthode quantique trouve la réponse beaucoup plus rapidement (proportionnelle à la racine carrée du nombre d'éléments). Si vous avez 10 000 options, un ordinateur classique pourrait en vérifier 5 000, mais cette méthode quantique n'a besoin que d'environ 100 vérifications.
C'est indulgent : L'article note que vous n'avez pas toujours besoin de connaître la réponse exactement parfaite à l'avance. Même si vous n'avez qu'une estimation approximative de ce que devrait être le meilleur score, l'algorithme peut toujours trouver une très bonne réponse, bien qu'il puisse avoir besoin d'exécuter le processus d'« écho » quelques fois pour en être sûr.

4. Le Test en Conditions Réelles

Pour prouver son efficacité, les auteurs ont réalisé une simulation avec un petit portefeuille de seulement 4 actifs.

Ils ont fixé une cible (un risque et un rendement spécifiques).
Ils ont construit un circuit quantique (un plan pour l'ordinateur quantique) pour traduire les mathématiques en un signal d'« interrupteur lumineux ».
Ils ont exécuté l'algorithme.
Le Résultat : L'ordinateur quantique a identifié avec succès le portefeuille le plus proche de la cible, lui donnant la probabilité la plus élevée d'être « mesuré » (trouvé).

Le Bémol

L'article est honnête sur ses limites. Pour que l'« interrupteur lumineux » fonctionne parfaitement, vous devez idéalement connaître à l'avance les meilleurs et les moins bons scores possibles. Si vous ne les connaissez pas exactement, vous devez deviner. Si votre supposition est un peu décalée, la « lumière parfaite » pourrait ne pas briller aussi intensément qu'elle le devrait, et vous devrez peut-être exécuter la recherche plusieurs fois pour être sûr d'avoir trouvé la meilleure option absolue.

En résumé : L'article propose un nouvel outil quantique qui traduit les mathématiques financières complexes en un jeu simple de « trouver le gagnant ». Il utilise la magie quantique pour amplifier la bonne réponse, nous permettant de résoudre des énigmes d'investissement difficiles bien plus rapidement que nous ne le pourrions avec des ordinateurs traditionnels, même lorsque les mathématiques deviennent très complexes.

Résumé Technique : Un Algorithme de Recherche Quantique Non Structurée pour l'Optimisation Discrète

Énoncé du Problème
L'article traite du défi que représente la résolution de problèmes d'optimisation discrète, plus précisément l'optimisation combinatoire, où les variables sont binaires et les dérivées ne peuvent être définies. Bien que les méthodes basées sur le gradient soient efficaces pour les variables continues, elles échouent dans les espaces discrets, qui sont souvent NP-difficiles. Les approches quantiques existantes, telles que le cadre de l'Optimisation Binaire Quadratique Non Contrainte (QUBO), sont limitées à des fonctions d'objectif ne contenant que des termes de premier et second ordre. De plus, de nombreux algorithmes d'optimisation quantique actuels (par exemple, les algorithmes quantiques variationnels) reposent sur des boucles hybrides classique-quantique qui peuvent souffrir de bruit ou nécessiter des circuits profonds. Les auteurs proposent une méthode pour trouver les extrema ou les racines de fonctions discrètes générales, $f(x)$ , qui peuvent contenir des termes d'ordre supérieur au-delà de la limite quadratique de QUBO.

Méthodologie : L'Algorithme QSERA
Les auteurs introduisent l'Algorithme de Recherche Quantique pour les Extrema et les Racines (QSERA), un membre de la famille des Algorithmes de Recherche Quantique (QSA) basés sur l'algorithme de Grover. La méthodologie procède en deux étapes principales :

Construction de l'Oracle ( $f(x) \to u(z)$ ) :
La première étape consiste à mapper la condition de recherche d'un extremum (ou d'une racine) $f(x^*) \approx f^*$ à un problème de recherche non structurée pour une chaîne binaire $z^*$ .
- Redimensionnement (Rescaling) : La fonction d'objectif $f(x)$ est redimensionnée en une fonction $g(x) \in [0, 1]$ . Pour la maximisation, $g(x) = (f(x) - f_{min}) / (f_{max} - f_{min})$ ; pour la minimisation, $g(x) = (f_{max} - f(x)) / (f_{max} - f_{min})$ ; et pour la recherche de racine, une transformation spécifique est appliquée. Cela nécessite une connaissance a priori ou des estimations du minimum global ( $f_{min}$ ) et du maximum global ( $f_{max}$ ).
- Amplification : Pour créer un oracle binaire $u(z)$ tel que $u(z^*) = 1$ et $u(z \neq z^*) = 0$ , la fonction $g(x)$ est élevée à une puissance élevée $n$ (c'est-à-dire $u_n(z) \equiv g(x)^n$ ). Lorsque $n \to \infty$ , $u_n(z)$ approche l'oracle idéal.
- Généralisation : L'article note que $f(x)$ peut être un polynôme général possédant des termes jusqu'à l'ordre $K$ (Éq. 10), permettant des fonctions d'objectif plus complexes que la forme standard de QUBO.
- Implémentation des Portes : Les auteurs dérivent le circuit quantique de l'oracle. Ils définissent des opérateurs auto-adjoints $B_k$ correspondant aux variables binaires et construisent un opérateur unitaire $G$ tel que $G|z\rangle = g(x)|z\rangle$ . L'opérateur oracle $Q^*$ est ensuite défini comme $e^{i\pi G^n}$ . Celui-ci est décomposé en un produit d'opérateurs unitaires $Q^*_j$ pour chaque ordre de terme (ordre zéro, premier, second, etc.), implémentés à l'aide de qubits ancilla et de portes de déphasage.
Exécution de la Recherche :
Une fois l'oracle $Q^*$ construit, l'algorithme emploie l'opérateur de diffusion de Grover ( $Q_+$ ) et l'oracle ( $Q^*$ ) dans une boucle itérative. L'état est initialisé dans une superposition uniforme, et l'opérateur $(Q_+ Q^*)$ est appliqué $m_{opt} \approx (\pi\sqrt{N} - 2)/4$ fois pour amplifier l'amplitude de l'état cible $|z^*\rangle$ .

Principales Contributions

Généralisation au-delà de QUBO : Contrairement à de nombreuses méthodes d'optimisation quantique restreintes aux formes quadratiques, QSERA peut gérer des fonctions d'objectif avec des termes d'ordre supérieur (cubiques, quartiques, etc.), ce qui le rend applicable à une classe plus large de problèmes combinatoires.
Construction Explicite de Circuits : L'article fournit une dérivation mathématique détaillée pour la construction des portes d'oracle quantiques pour des ordres de polynômes arbitraires, incluant le calcul récursif des coefficients requis pour les paramètres du circuit.
Gestion des Bornes Approximatives : Les auteurs analysent le scénario où $f_{min}$ et $f_{max}$ ne sont pas connus exactement. Ils démontrent que, bien que l'algorithme puisse toujours fonctionner avec des estimations, la probabilité de trouver l'optimum exact dépend du choix du paramètre de puissance $n$ . Si $n$ est trop grand, le signal de l'oracle peut s'estomper ; s'il est trop petit, le signal n'est pas assez distinct. Un $n$ optimal existe pour équilibrer ces facteurs.

Résultats : Étude de Cas d'Optimisation de Portefeuille
Les auteurs valident QSERA en utilisant un problème d'optimisation de portefeuille avec $N_a = 4$ actifs, résultant en $N=16$ portefeuilles possibles.

Configuration : L'objectif était de trouver un portefeuille de 2 actifs qui minimise la distance par rapport à un rendement de référence et à la volatilité. La fonction d'objectif incluait des termes allant jusqu'au quatrième ordre.
Implémentation : Un circuit quantique a été assemblé en utilisant 4 qubits pour les états de portefeuille, 2 qubits ancilla pour les opérations AND et 1 ancilla pour le suivi de phase.
Performance :
- Avec le nombre optimal d'itérations de Grover ( $m_{opt} = 2$ ) et un choix de puissance $n \approx 24$ soigneusement effectué, l'algorithme a identifié avec succès le portefeuille optimal (état $|1001\rangle$ ) avec la probabilité la plus élevée.
- Le deuxième meilleur portefeuille ( $|0101\rangle$ ) présentait également une probabilité relativement élevée, reflétant le fait que l'algorithme a trouvé la solution la plus proche des bornes estimées.
- L'étude a confirmé que si $f_{min}$ et $f_{max}$ sont estimés plutôt qu'exacts, la probabilité de mesurer le véritable optimum est inférieure à 1, nécessitant plusieurs "shots" (exécutions répétées) pour distinguer le véritable optimum des solutions quasi-optimales.
- La relation entre la puissance $n$ et la probabilité de succès a été visualisée, montrant un pic de probabilité pour des valeurs de $n$ intermédiaires, la performance se dégradant si $n$ est trop élevé (suppression du signal) ou trop faible (discrimination insuffisante).

Signification et Revendications
L'article affirme que QSERA offre une accélération quadratique ( $O(\sqrt{N})$ ) par rapport à la recherche par force brute classique pour trouver les extrema ou les racines de fonctions discrètes. Sa principale importance réside dans sa capacité à :

Résoudre des problèmes d'optimisation avec des fonctions d'objectif d'ordre supérieur qui sont incompatibles avec les formulations standard de QUBO.
Opérer sans nécessiter de boucles d'optimisation de paramètres hybrides classique-quantique (contrairement aux VQA), en s'appuyant plutôt sur une exécution quantique en une seule étape (bien que plusieurs "shots" puissent être nécessaires pour la confiance statistique si les bornes sont approximatives).
Potentiellement traiter des fonctions continues "bruyantes" ou à gradient abrupt (après discrétisation) là où les méthodes basées sur le gradient pourraient échouer, bien que les auteurs notent que la recherche structurée est généralement plus efficace pour les variables continues.

Les auteurs concluent que, bien que l'algorithme nécessite la connaissance des bornes de la fonction pour un succès garanti, il reste un outil robuste pour l'optimisation discrète, particulièrement lorsque la structure de la fonction d'objectif dépasse les capacités des approches actuelles basées sur QUBO.