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Shellings of Unbounded Polyhedra

यह शोधपत्र उष्णकटिबंधीय हाइपरसरफेस (ट्रोपिकल हाइपरसरफेस) के लिए परिणाम प्राप्त करने हेतु उपयुक्त संकुचनों (कॉम्पैक्टिफिकेशन) के माध्यम से असीमित बहुफलकीय (अनबाउंडेड पॉलीहेड्रा) की शेलैबिलिटी (shellability) की जांच करता है और पॉलीहेड्रल द्वैतता तथा विविक्त मॉर्स सिद्धांत (डिस्क्रीट मॉर्स थ्योरी) के बीच एक संबंध को प्रकट करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि एक नियमित उपविभाजन का टाइट स्पैन (tight span) कोलैप्सिबल (collapsible) तो है लेकिन आवश्यक रूप से शेलैबल (shellable) नहीं है।

मूल लेखक: George Balla, Michael Joswig, Lena Weis

प्रकाशित 2026-07-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: George Balla, Michael Joswig, Lena Weis

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास रबर बैंड और धागों से बनी एक विशाल, अदृश्य जाल है, जो आसमान में अनंत तक फैला हुआ है। यह जाल एक गणितीय आकृति का प्रतिनिधित्व करता है जिसे अनबाउंडेड पॉलीहेड्रॉन (unbounded polyhedron) कहा जाता है। यह एक ऐसे कमरों वाले शहर की तरह है जो कुछ दिशाओं में अनंत तक जाता है, जहाँ न कोई छत है और न ही ऐसी दीवारें जो आपको अनंत में भटकने से रोक सकें।

गणितज्ञ इन आकृतियों का अध्ययन उन्हें छोटे, प्रबंधनीय टुकड़ों में तोड़कर करना पसंद करते हैं, जैसे लेगो (Lego) कैसल को एक-एक ईंट करके अलग करना। इस प्रक्रिया को शेलैबिलिटी (shellability) कहा जाता है। इसे प्याज के छिलके उतारने या पैनकेक के ढेर की तरह समझें: यदि आप पूरी संरचना को बिना तोड़े एक-एक करके उसकी परतें हटा सकते हैं, और यदि आपके द्वारा हटाई गई प्रत्येक परत एक अच्छी, सरल आकृति है, तो वह पूरी चीज़ "शेलैबल" है। यह एक सुपरपावर है क्योंकि यह हमें बताता है कि आकृति बहुत अजीब या घुमावदार नहीं है; यह समझने के लिए "पर्याप्त सरल" है।

समस्या: अनंत गड़बड़ी

यहाँ एक अड़चन है: आप उस प्याज को नहीं छील सकते जो कभी खत्म ही न हो। शेलैबिलिटी के मानक नियम केवल उन आकृतियों पर काम करते हैं जो परिमित (finite) और बंद (closed) होती हैं (जैसे एक नियमित गेंद या घन)। लेकिन हमारा "पॉलीहेड्रॉन शहर" कुछ दिशाओं में अनंत तक फैलता है। यदि आप नियमों को सीधे लागू करने की कोशिश करते हैं, तो गणित टूट जाता है क्योंकि वह आकृति कॉम्पैक्ट (compact) नहीं है (वह एक बॉक्स में फिट नहीं होती)।

समाधान: ट्रंकेशन ट्रिक (The Truncation Trick)

लेखकों—जॉर्ज, माइकल और लीना—ने इस स्थिति को संभालने के लिए एक चतुर तरीका निकाला। उन्होंने तय किया कि वे ऐसा व्यवहार करेंगे जैसे इस अनंत शहर के चारों ओर एक विशाल, अदृश्य दीवार है।

ट्रंकेशन (The Truncation): कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, चिकनी, उत्तल गेंद (एक विशाल बीच बॉल की तरह) को शहर के ऊपर रख रहे हैं ताकि वह सभी "शुरुआती बिंदुओं" (शीर्षों/vertices) को कवर कर सके लेकिन अनंत की ओर जाने वाले हिस्सों को काट दे। जहाँ वह गेंद अनंत सड़कों को काटती है, वहाँ वह नई, सपाट दीवारें बनाती है। अचानक, अनंत शहर एक परिमित, बंद आकृति बन जाता है—एक ट्रंकेटेड पॉलीहेड्रॉन (truncated polyhedron)।
परिणाम: उन्होंने सिद्ध किया कि यदि आप ऐसा करते हैं, तो आप इस नए, परिमित आकार की परतों को उतारने का एक आदर्श क्रम ढूंढ सकते हैं। यह शहर के माध्यम से एक विशिष्ट पथ खोजने जैसा है जो आपको हर कमरे में जाने और बिना फंसे बाहर निकलने की अनुमति देता है।

उन्होंने एक दूसरा तरीका भी आजमाया जिसे ट्रॉपिकल टॉरिक कॉम्पैक्टिफिकेशन (Tropical Toric Compactification) कहा जाता है। यह थोड़ा इस तरह है जैसे अनंत मानचित्र को एक विशेष, घुमावदार सतह (एक "ट्रॉपिकल टॉरिक वैरायटी") पर मोड़ना, जहाँ किनारे अच्छी तरह से मिलते हैं। उन्होंने पाया कि यह तरीका भी काम करता है! आप अभी भी परतों को एक आदर्श क्रम में उतार सकते हैं।

बड़ा अनुप्रयोग: ट्रॉपिकल हाइपरसरफेस (Tropical Hypersurfaces)

यह क्यों मायने रखता है? लेखक इस ट्रिक का उपयोग ट्रॉपिकल ज्योमेट्री में एक पहेली को हल करने के लिए करते हैं। ट्रॉपिकल ज्योमेट्री को गणित का एक अजीब, धूप वाला संस्करण मान लीजिए जहाँ "जोड़ना" न्यूनतम (minimum) लेने का अर्थ है और "गुणा करना" जोड़ने का अर्थ है। इस दुनिया में, समीकरण ट्रॉपिकल हाइपरसरफेस नामक आकृतियाँ बनाते हैं। ये एक पर्वत श्रृंखला की कटक (ridges) की तरह हैं जहाँ जमीन दो अलग-अलग दिशाओं में सबसे कम होती है।

ये ट्रॉपिकल आकार वास्तव में उन अनंत पॉलीहेड्रा के "साये" या "कंकाल" हैं जिनका अध्ययन लेखकों ने किया है। क्योंकि उन्होंने इन अनंत पॉलीहेड्रा को (ट्रंकेशन या कॉम्पैक्टिफिकेशन के माध्यम से) शेल करने का तरीका ढूंढ लिया है, इसलिए उन्होंने यह सिद्ध किया कि ये ट्रॉपिकल हाइपरसरफेस भी शेलैबल हैं।

इसका अर्थ है: यह पता चलता है कि इन ट्रॉपिकल हाइपरसरफेस का "होमोटॉपी टाइप" (मूल आकार) केवल एक बिंदु पर जुड़ी हुई कई गोलियों (spheres) का एक समूह है, जैसे फूलों का एक गुच्छा। फूलों की संख्या उनके अंतर्निहित ग्रिड में मौजूद "छेद" या "आंतरिक बिंदुओं" पर निर्भर करती है।

ट्विस्ट: हर चीज़ शेलैबल नहीं है

यहीं कहानी दिलचस्प होती है। लेखकों ने पूछा: "टाइट स्पैन (tight span) के बारे में क्या?"

टाइट स्पैन उसी ट्रॉपिकल आकार का "ड्यूल" या "साया" है। यह उसी डेटा को देखने का एक अलग तरीका है। आप सोच सकते हैं कि यदि मूल आकृति शेलैबल है, तो उसका साया भी शेलैबल होगा!

पेपर स्पष्ट रूप से इसे खारिज करता है।
लेखकों ने एक विशिष्ट उदाहरण (एक जेनस टू वाली ट्रॉपिकल प्लेन कर्व, जो एक फिगर-एट/figure-eight आकार की तरह है) पाया जहाँ टाइट स्पैन शेलैबल नहीं है। आप इस विशिष्ट आकार की परतों को बिना उसे तोड़े एक आदर्श क्रम में नहीं उतार सकते। इसलिए, जबकि मूल ट्रॉपिकल आकृति अच्छी और व्यवस्थित है, उसका विपरीत जुड़वां एक अस्त-व्यस्त, गैर-शेलैबल गांठ हो सकता है।

सिल्वर लाइनिंग: कोलैप्सिबिलिटी (Collapsibility)

लेकिन चिंता न करें! भले ही टाइट स्पैन शेलैबल नहीं है, फिर भी यह पूरी तरह से आपदा नहीं है। लेखकों ने सिद्ध किया कि ये टाइट स्पैन हमेशा कोलैप्सिबल (collapsible) होते हैं।

कोलैप्सिबिलिटी को शेलैबिलिटी के थोड़े कमजोर संस्करण के रूप में समझें। यदि शेलैबिलिटी प्याज की परत को एक-एक करके उतारने जैसा है, तो कोलैप्सिबिलिटी एक जादू के खेल की तरह है जहाँ आकृति अपने आप में सिमट जाती है जब तक कि वह एक एकल बिंदु न बन जाए, बिना फटे। यह एक पॉप-अप कार्ड की तरह है जो सपाट होकर मुड़ जाता है।

लेखकों ने दिखाया कि टाइट स्पैन चाहे कितना भी अस्त-व्यस्त क्यों न दिखे, इसे हमेशा एक बिंदु तक मोड़ा जा सकता है। इसका मतलब है कि यह कॉन्ट्रैक्टिबल (contractible) है (यह एक बिंदु तक सिकुड़ सकता है), जो कि एक बहुत मजबूत गुण है। उन्होंने इसे डिस्क्रीट मॉर्स थ्योरी (discrete Morse theory) नामक एक उपकरण का उपयोग करके सिद्ध किया, जो सेल के जोड़ों को मिलाने का एक खेल है ताकि यह देखा जा सके कि आकार को सरल बनाने के लिए किन सेल्स को हटाया जा सकता है।

निष्कर्षों का सारांश

सिद्ध हुआ: लेखकों ने सिद्ध किया कि यदि आप एक अनंत पॉलीहेड्रॉन को एक दीवार से काट देते हैं (ट्रंकेशन) या उसे एक विशेष सतह पर मोड़ देते हैं (कॉम्पैक्टिफिकेशन), तो आप हमेशा परतों को उतारने का एक आदर्श क्रम ढूंढ सकते हैं (यह शेलैबल है)।
सिद्ध हुआ: इसका अर्थ है कि ट्रॉपिकल हाइपरसरफेस (ट्रॉपिकल ज्योमेट्री की कटक) भी शेलैबल हैं।
सिद्ध हुआ: उनके "टाइट स्पैन" (विपरीत आकार) हमेशा कोलैप्सिबल होते हैं (वे एक बिंदु में सिमट सकते हैं)।
सिद्ध हुआ: हालांकि, लेखकों ने स्पष्ट रूप से दिखाया कि टाइट स्पैन हमेशा शेलैबल नहीं होते। ऐसे विशिष्ट उदाहरण हैं जहाँ एक आदर्श उतारने का क्रम मौजूद नहीं होता।
अज्ञात: पेपर एक प्रश्न के साथ समाप्त होता है: क्या प्रत्येक ट्रॉपिकल पॉलीटोप का टाइट स्पैन शेलैबल है? वे अभी तक उत्तर नहीं जानते। उन्होंने एक ऐसा उदाहरण पाया जो नहीं है, लेकिन उन्होंने यह सिद्ध नहीं किया है कि उनमें से कोई भी नहीं है, या सभी ही हैं। यह एक खुला रहस्य है।

तो, अनंत आकृतियों की दुनिया में, लेखकों ने जंगली किनारों को वश में करने का एक तरीका खोजा, सिद्ध किया कि मुख्य आकृतियाँ व्यवस्थित हैं, लेकिन यह भी पाया कि उनके साये थोड़े अस्त-व्यस्त हो सकते हैं—हालांकि वे इतने भी अस्त-व्यस्त नहीं होते कि एक बिंदु में सिमट न सकें।

तकनीकी सारांश: अनबाउंडेड पॉलीहेड्रा के शेलिंग्स (Shellings of Unbounded Polyhedra)

समस्या विवरण
यह शोध पत्र अनबाउंडेड (unbounded) पॉलीहेड्रा के बाउंड्री कॉम्प्लेक्स की शेलबिलिटी (shellability) को संबोधित करता है। जबकि सीमित नियमित सेल कॉम्प्लेक्स (विशेष रूप से बाउंडेड पॉलीटोप्स) के लिए शेलबिलिटी एक सुस्थापित अवधारणा है, अनबाउंडेड पॉलीहेड्रा में इस धारणा का विस्तार करना एक तकनीकी बाधा प्रस्तुत करता है: अनबाउंडेड पॉलीहेड्रोन का बाउंड्री कॉम्पैक्ट नहीं होता है और इस प्रकार मानक अर्थों में एक परिमित नियमित सेल कॉम्प्लेक्स नहीं बनाता है। लेखक इन अनबाउंडेड पॉलीहेड्रा के उपयुक्त कॉम्पैक्टिफिकेशन (compactifications) का अध्ययन करके शेलबिलिटी परिणामों को प्राप्त करने के लिए इस समस्या को हल करने का लक्ष्य रखते हैं। इन परिणामों को ट्रॉपिकल ज्योमेट्री (tropical geometry), विशेष रूप से ट्रॉपिकल हाइपरसरफेस और रेगुलर सबडिवीजन के टाइट स्पैन (tight spans) पर लागू किया जाता है। एक माध्यमिक समस्या जो संबोधित की गई है, वह टाइट स्पैन की टोपोलॉजिकल प्रकृति है, जो ज्ञात रूप से कॉन्ट्रैक्टिबल (contractible) होते हैं, लेकिन उनकी शेलबिलिटी गुण पहले अस्पष्ट थे।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक पॉलीहेड्रल ज्योमेट्री, कॉम्बिनेटोरियल टोपोलॉजी और डिस्क्रीट मोरसे थ्योरी (discrete Morse theory) के संयोजन का उपयोग करते हैं।

कॉम्पैक्टिफिकेशन रणनीतियाँ (Compactification Strategies): अनबाउंडेडनेस को संभालने के लिए, शोध पत्र एक पॉइंटेड, अनबाउंडेड पॉलीहेड्रोन $P$ के लिए दो विशिष्ट कॉम्पैक्टिफिकेशन विधियों की जांच करता है:
- ट्रंकेशन ( $P'$ ): $P$ को एक हाफ-स्पेस $A$ के साथ इंटरसेक्ट करना जिसमें $P$ के सभी वर्टिसेस (vertices) उसके इंटीरियर में हों। यह एक बाउंडेड पॉलीटोप $P'$ बनाता है जिसमें एक अतिरिक्त "बाउंडिंग फैसेट" (bounding facet) होता है।
- ट्रॉपिकल टोरिक कॉम्पैक्टिफिकेशन ( $P^\diamond$ ): कास्टनर, शॉ और विंज के अनुसरण में, इसमें $P$ को उसके रिसेसन कोन (recession cone) से जुड़े एक ट्रॉपिकल टोरिक वैराइटी में एम्बेड करना शामिल है। यह रिसेसन कोन के ड्यूल के फेसेस (faces) के अनुरूप "इनफिनिटी पर फेसेस" जोड़ता है।
लाइन शेलिंग विस्तार (Line Shelling Extension): लेखक शास्त्रीय ब्रुगेसर-मानी लाइन शेलिंग पद्धति (जो मूल रूप से बाउंडेड पॉलीटोप्स के लिए थी) को इन कॉम्पैक्टिफाइड संरचनाओं के लिए विस्तारित करते हैं। वे फेसेस पर ऑर्डरिंग प्रेरित करने के लिए जेनेरिक एफ़ाइन लाइन्स का उपयोग करते हैं। ट्रंकेशन के लिए, वे दिखाते हैं कि एक लाइन को इस तरह ओरिएंट किया जा सकता है कि बाउंडिंग फैसेट शेलिंग ऑर्डर में अंत में आए। ट्रॉपिकल टोरिक कॉम्पैक्टिफिकेशन के लिए, वे पॉलीहेड्रोन के ट्रंकेशन और ड्यूल कोन के स्टार (star) के शेलिंग्स को इंडक्टिव रूप से संयोजित करके शेलबिलिटी सिद्ध करते हैं।
ड्यूअलिटी और ट्रॉपिकल ज्योमेट्री: शोध पत्र अनबाउंडेड पॉलीहेड्रा (विशेष रूप से "डोम्स" $D(A, \omega)$ ) और रेगुलर सबडिवीजन (नॉर्मल कॉम्प्लेक्स $NC(A, \omega)$ ) के बीच द्वैत (duality) का लाभ उठाता है। ट्रॉपिकल हाइपरसरफेस को नॉर्मल कॉम्प्लेक्स के $(d-1)$ -स्केलेटन के रूप में पहचाना जाता है। कॉम्पैक्टिफाइड पॉलीहेड्रा के लिए शेलबिलिटी स्थापित करके, वे कॉम्पैक्टिफाइड ट्रॉपिकल हाइपरसरफेस के लिए शेलबिलिटी प्रेरित करते हैं।
डिस्क्रीट मोरसे थ्योरी: टाइट स्पैन के कोलैप्सिबिलिटी (collapsibility) को संबोधित करने के लिए (जो आवश्यक रूप से शेलेबल नहीं हैं), लेखक फॉर्मन की डिस्क्रीट मोरसे थ्योरी के चारी (Chari) अनुकूलन का उपयोग करते हैं। वे सेल पोसेट (cell poset) के हासे डायग्राम (Hasse diagram) पर असायक्लिक मैचिंग (acyclic matchings) का निर्माण करके कोलैप्सिबिलिटी प्रदर्शित करते हैं।

मुख्य योगदान और परिणाम

कॉम्पैक्टिफाइड अनबाउंडेड पॉलीहेड्रा की शेलबिलिटी:
- प्रपोजिशन 4: एक पॉइंटेड अनबाउंडेड पॉलीहेड्रोन $P$ के ट्रंकेशन $P'$ का बाउंड्री शेलेबल है, जिसमें बाउंडिंग फैसेट शेलिंग ऑर्डर में अंत में आता है। यह $P$ के अनबाउंडेड फेसेस के ट्रंकेशन पर शेलिंग्स को प्रेरित करता है।
- थ्योरम 12 और कोरोलरी 13: एक पॉलीहेड्रोन $P$ का ट्रॉपिकल टोरिक कॉम्पैक्टिफिकेशन $P^\diamond$ शेलेबल है। शेलिंग ऑर्डर को पॉलीहेड्रोन के ट्रंकेशन के शेलिंग और ड्यूल रिसेसन कोन के स्टार के शेलिंग को संयोजित करके बनाया जाता है।
- कोरोलरी 14: $P$ के $k$ -स्केलेटन का ट्रॉपिकल टोरिक कॉम्पैक्टिफिकेशन भी शेलेबल है।
ट्रॉपिकल हाइपरसरफेस पर अनुप्रयोग:
- थ्योरम 24: $\mathbb{R}^d$ में de $T(F) \cap B$ एक शेलेबल रेगुलर सेल कॉम्प्लेक्स है।
- थ्योरम 25: एक ट्रॉपिकल हाइपरसरफेस का ट्रॉपिकल टोरिक कॉम्पैक्टिफिकेशन एक शेलेबल रेगुलर सेल कॉम्प्लेक्स है।
- कोरोलरी 26: शेलबिलिटी के परिणामस्वरूप, एक ट्रॉपिकल हाइपरसरफेस का होमोटॉपी टाइप $(d-1)$ -स्फीयर्स का वेज (wedge) होता है। स्फीयर्स की संख्या ड्यूल रेगुलर सबडिवीजन के इंटीरियर वर्टिसेस की संख्या के अनुरूप होती है। यह मिखालकिन और राउ के पिछले अवलोकन को मजबूत करता है।
- कोरोलरी 30: ट्रॉपिकल प्रोजेक्टिव टोरस में ट्रॉपिकल हाइपरप्लेन अरेंजमेंट्स शेलेबल हैं।
टाइट स्पैन की कोलैप्सिबिलिटी बनाम शेलबिलिटी:
- उदाहरण 22: लेखक एक स्पष्ट काउंटर-एग्जांपल प्रदान करते हैं जो दिखाता है कि एक रेगुलर सबडिवीजन (विशेष रूप से एक जेनस-टू ट्रॉपिकल प्लेन कर्व से संबंधित) का टाइट स्पैन आवश्यक रूप से शेलेबल नहीं है।
- थ्योरम 35: शेलबिलिटी की कमी के बावजूद, किसी भी रेगुलर सबडिवीजन का टाइट स्पैन कोलैप्सिबल होता है। प्रमाण सेल कॉम्प्लेक्स के हासे डायग्राम पर एक असायक्लिक मैचिंग का निर्माण करता है, जो दर्शाता है कि इसमें ठीक एक क्रिटिकल सेल है। यह निहित करता है कि टाइट स्पैन कॉन्ट्रैक्टिबल है, जो ज्ञात परिणामों को पुष्ट करता है लेकिन कोलैप्सिबिलिटी के माध्यम से एक मजबूत टोपोलॉजिकल लक्षण प्रदान करता है।
- थ्योरम 33: ट्रॉपिकल हाइपरप्लेन अरेंजमेंट्स द्वारा प्रेरित कोवेक्टर डिकंपोजिशन के लिए, मैक्सिमल सेल्स को लेक्सिकोग्राफिकल रूप से कोर्स टाइप्स (coarse types) द्वारा ऑर्डर करना, ट्रंकेशन और ट्रॉपिकल टोरिक कॉम्पैक्टिफिकेशन दोनों के लिए शेलिंग को प्रेरित करता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र दावा करता है कि वह दो मजबूत कॉम्पैक्टिफिकेशन स्कीमों का विश्लेषण करके अनबाउंडेड पॉलीहेड्रल कॉम्प्लेक्स के लिए शेलबिलिटी को परिभाषित करने की तकनीकी कठिनाई को हल करता है। प्राथमिक महत्व ट्रॉपिकल ज्योमेट्री में इन कॉम्बिनेटोरियल परिणामों को स्थानांतरित करने में निहित है, जिससे यह स्थापित होता है कि ट्रॉपिकल हाइपरसरफेस और हाइपरप्लेन अरेंजमेंट्स (उनके कॉम्पैक्टिफाइड रूपों में) शेलबिलिटी के मजबूत संरचनात्मक गुण रखते हैं।

इसके अलावा, यह पेपर टाइट स्पैन की टोपोलॉजिकल स्थिति को स्पष्ट करता है। हालांकि यह पुष्टि करता है कि वे सामान्यतः शेलेबल नहीं हैं, यह सिद्ध करता है कि वे हमेशा कोलैप्सिबल होते हैं। यह अंतर महत्वपूर्ण है क्योंकि कोलैप्सिबिलिटी, केवल कॉन्ट्रैक्टिबिलिटी की तुलना में एक मजबूत स्थिति है, जो इन वस्तुओं के कॉम्बिनेटोरियल टोपोलॉजी की अधिक सूक्ष्म समझ प्रदान करती है। कार्य पॉलीहेड्रल कॉम्प्लेक्स की ड्यूअलिटी और उनकी शेलबिलिटी के बीच परस्पर क्रिया पर निर्भर करता है, जो उनके ज्यामितीय अंतर्दृष्टि को डिस्क्रीट मोरसे थ्योरी की भाषा में अनुवादित करता है।

लेखक अपने निष्कर्षों के दायरे के संबंध में विनम्र बने रहते हैं, यह नोट करते हुए कि जबकि वे टाइट स्पैन के लिए कोलैप्सिबिलिटी सिद्ध करते हैं, प्रत्येक ट्रॉपिकल पॉलीटोप के कोवेक्टर डिकंपोजिशन की शेलबिलिटी का सामान्य प्रश्न अभी भी खुला है (प्रश्न 40)। वे यह भी स्वीकार करते हैं कि अमिनी और पिकुरेज़ द्वारा परिभाषित फैन्स की "ट्रॉपिकल शेलबिलिटी" के साथ उनके परिणामों के संबंध में आगे की जांच की आवश्यकता है।