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Dependent Multiplicities in Dependent Linear Type Theory

यह शोध पत्र एक नवीन डिपेंडेंट लीनियर टाइप थ्योरी प्रस्तुत करता है जो चरों (variables) की बहुलता (multiplicities) को अन्य चरों पर निर्भर करने में सक्षम बनाता है, जिससे डिपेंडेंट टाइप थ्योरी में लीनियर लॉजिक के एम्बेडिंग के माध्यम से ब्रांचिंग और रिकर्सिव प्रोग्राम्स के लिए सटीक रिसोर्स एनोटेशन प्रदान किया जाता है, जिसे एक कैटेगोरिकल सेमैntिक्स और एक एगडा (Agda) कार्यान्वयन द्वारा समर्थित किया गया है।

मूल लेखक: Maximilian Doré

प्रकाशित 2026-05-20

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Maximilian Doré

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: एक "स्मार्ट" संसाधन प्रबंधक (Resource Manager)

कल्पना कीजिए कि आप एक कंप्यूटर प्रोग्राम लिख रहे हैं। कंप्यूटर विज्ञान की दुनिया में, कुछ चीजें संसाधनों (resources) की तरह होती हैं (जैसे कि एक खुली हुई फाइल, खत्म होने वाली बैटरी, या कोई गुप्त कुंजी जिसका आप उपयोग करते हैं)। आप यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि आपका प्रोग्राम इन संसाधनों का बिल्कुल सही संख्या में उपयोग करे: न तो बहुत अधिक (जिससे वे बर्बाद हो जाएं या त्रुटियां हों) और न ही बहुत कम (जिससे काम अधूरा रह जाए)।

लंबे समय से, कंप्यूटर वैज्ञानिक संसाधनों को ट्रैक करने के लिए लिनियर लॉजिक (Linear Logic) नामक प्रणाली का उपयोग करते आए हैं। इसे एक सख्त लाइब्रेरियन की तरह समझें जो कहता है, "आप इस किताब को ठीक एक बार ही उधार ले सकते हैं। यदि आप इसे दोबारा लेने की कोशिश करते हैं, तो सिस्टम आपको रोक देगा।"

हालाँकि, इस सख्त लाइब्रेरियन के साथ एक समस्या है: वे बहुत कठोर (rigid) हैं। वे उन स्थितियों को नहीं संभाल सकते जहाँ संसाधन का उपयोग कितनी बार किया जाना है, यह आपके द्वारा प्रोग्राम चलते समय लिए गए किसी निर्णय पर निर्भर करता है।

पुराने नियमों के साथ समस्या:
कल्पना कीजिए कि आपके पास एक फंक्शन है जो एक 'बूलियन स्विच' (True/False) के आधार पर केक बनाने या सलाद बनाने का निर्णय लेता है।

यदि स्विच True है, तो आपको 3 अंडों की आवश्यकता हो सकती है।
यदि स्विच False है, तो आपको 0 अंडों की आवश्यकता हो सकती है।

पुराने सिस्टम यह नहीं कह सकते थे कि "अंडों की संख्या स्विच पर निर्भर करती है।" उन्हें मजबूरन यह कहना पड़ता था कि "आपको चाहे जो भी हो, 3 अंडों की आवश्यकता है," या "चाहे जो भी हो, आपको 0 अंडों की आवश्यकता है।" यह जटिल प्रोग्रामों (जिनमें लूप या ब्रांचिंग लॉजिक शामिल है) के लिए अक्षम और अक्सर असंभव होता है।

समाधान: "डिपेंडेंट मल्टीप्लिसिटीज" (Dependent Multiplicities)

यह पेपर एक ऐसी नई प्रणाली पेश करता है जहाँ आप एक संसाधन का कितनी बार उपयोग करते हैं (मल्टीप्लिसिटी), वह प्रोग्राम के अन्य वेरिएबल्स पर निर्भर कर सकता है।

इसे एक सख्त लाइब्रेरियन के बजाय एक स्मार्ट वेंडिंग मशीन के रूप में सोचें।

पुराना सिस्टम: मशीन कहती है, "आप ठीक 1 सोडा खरीद सकते हैं।" (पूर्ण विराम)।
नया सिस्टम: मशीन कहती है, "आप अपने वॉलेट में मौजूद डॉलर की संख्या के बराबर सोडा खरीद सकते हैं।" यदि आप $5 डालते हैं, तो आपको 5 सोडा मिलता है। यदि आप$ 2 डालते हैं, तो आपको 2 सोडा मिलता है। नियम आपके द्वारा प्रदान किए गए मूल्य पर निर्भर करता है।

इस नई थ्योरी में, "मल्टीप्लिसिटी" (एक वेरिएबल का उपयोग कितनी बार किया जाता है) कोई पत्थर पर लिखी निश्चित संख्या नहीं है। यह एक डायनेमिक कैलकुलेशन (गतिशील गणना) है जो प्रोग्राम चलते समय होती है।

यह कैसे काम करता है: दो परतें (Two Layers)

लेखक, मैक्सिमिलियन डोरे (Maximilian Doré), इस प्रणाली को दो अलग-अलग तरह की सोच को जोड़कर बनाते हैं:

"होस्ट" थ्योरी (दिमाग): यह अधिकांश आधुनिक प्रोग्रामिंग भाषाओं में उपयोग की जाने वाली मानक, लचीली लॉजिक है। यह "सोचने" वाले हिस्से को संभालती है: निर्णय लेना, संख्या की गणना करना और शर्तों की जांच करना।
"लिनियर" थ्योरी (वॉलेट): यह सख्त लॉजिक है जो संसाधनों को ट्रैक करती है।

इस पेपर का जादू यह है कि वे इन्हें कैसे जोड़ते हैं। "वॉलेट" (लिनियर लॉजिक) को एक अलग, कठोर बॉक्स बनाने के बजाय, इसे "दिमाग" (होस्ट थ्योरी) के अंदर समाहित किया गया है।

उपमा (Analogy): कल्पना कीजिए कि "दिमाग" एक शेफ (Chef) है और "वॉलेट" सामग्री का इन्वेंट्री (Inventory) है।
- पुराने सिस्टम में, शेफ को एक निश्चित रेसिपी लिखनी पड़ती थी: "2 अंडे उपयोग करें।"
- इस नए सिस्टम में, शेफ कह सकता है: " n अंडे उपयोग करें," जहाँ n एक संख्या है जिसकी गणना शेफ ग्राहकों के भूखे होने के आधार पर खाना बनाते समय करता है। इन्वेंट्री सिस्टम (लिनियर लॉजिक) शेफ की गणना के आधार पर वास्तविक समय (real-time) में खुद को अपडेट करता है।

सरल भाषा में मुख्य विशेषताओं की व्याख्या

1. डायनेमिक ब्रांचिंग (The "If/Else" Problem)
पेपर में, लेखक दिखाता है कि "If/Else" स्टेटमेंट्स को पूरी तरह से कैसे संभाला जाए।

परिदृश्य: आपके पास एक बूलियन स्विच है।
पुराना तरीका: "If" पथ और "Else" पथ दोनों को संसाधनों की बिल्कुल समान मात्रा का उपयोग करना पड़ता था।
नया तरीका: "If" पथ 5 संसाधनों का उपयोग कर सकता है, और "Else" पथ 2 संसाधनों का। सिस्टम सटीक रूप से जानता है कि कितने संसाधनों का उपयोग किया गया क्योंकि यह पथ तय करने से पहले स्विच के मान को देखता है।

2. रिकर्सिव डेटा (The "Tree" Problem)
यह पेपर ट्री (जैसे लिस्ट की लिस्ट, या फैमिली ट्री) जैसे जटिल डेटा स्ट्रक्चर को संभालता है।

परिदृश्य: आप एक पेड़ (tree) के हर पत्ते (leaf) पर एक फंक्शन लागू करना चाहते हैं।
पुराना तरीका: आप आसानी से यह नहीं कह सकते थे कि "फंक्शन का उपयोग ठीक उतनी ही बार करें जितने पत्ते हैं," क्योंकि सिस्टम को तब तक पता नहीं चलता था कि कितने पत्ते हैं जब तक प्रोग्राम चल नहीं जाता।
नका नया तरीका: सिस्टम पहले पत्तियों की संख्या की गणना करता है, फिर नियम सेट करता है: "फंक्शन का उपयोग LeafCount बार करें।" यह किसी भी आकार के पेड़ के लिए पूरी तरह से काम करता है।

3. "रियल" बनाम "स्पेक" (The "Real" vs. The "Spec")
यह पेपर कोड के दो प्रकारों के बीच अंतर करता है:

स्पेसिफिकेशन (ब्लूप्रिंट/खाका): यह वह हिस्सा है जहाँ आप संख्याओं की गणना करते हैं और निर्णय लेते हैं। यह लचीला है।
एक्जीक्यूशन (निर्माण): यह वह हिस्सा है जहाँ संसाधनों का वास्तव में उपभोग किया जाता है।
सिस्टम आपको गणित करने के बाद "ब्लूप्रिंट" वाले हिस्से को मिटाने (erase) की अनुमति देता है, जिससे केवल कुशल "निर्माण" वाला हिस्सा बचता है। इसका मतलब है कि अंतिम प्रोग्राम तेज़ होता है और अनावश्यक गणनाओं का बोझ नहीं ढोता।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

लेखक ने इस प्रणाली को Agda नामक प्रोग्रामिंग भाषा में लागू किया। उन्होंने सिद्ध किया कि:

यह गणितीय रूप से सुसंगत (sound) है (यह तार्किक रूप से काम करता है)।
यह उन प्रोग्रामों को टाइप कर सकता है जिन्हें पिछले सिस्टम नहीं संभाल सके (जैसे जटिल ब्रांचिंग और रिकर्सिव फंक्शन्स)।
यह प्रत्येक प्रोग्राम के लिए एक सटीक "रसीद" देता है, जो दिखाता है कि प्रत्येक संसाधन का कितनी बार उपयोग किया गया था, भले ही वह संख्या प्रोग्राम के लॉजिक के आधार पर बदलती रहे।

सारांश उपमा (Summary Metaphor)

कल्पना कीजिए कि आप एक निर्माण स्थल (construction site) का प्रबंधन कर रहे हैं।

पुराने सिस्टम: आपके पास एक फोरमैन है जो कहता है, "हमें इस दीवार के लिए ठीक 100 ईंटों की आवश्यकता है," चाहे दीवार बड़ी हो या छोटी। यदि दीवार छोटी है, तो आपके पास अतिरिक्त ईंटें बच जाती हैं। यदि बड़ी है, तो आपके पास ईंटें कम पड़ जाती हैं।
इस पेपर का सिस्टम: आपके पास एक स्मार्ट फोरमैन है जो ब्लूप्रिंट देखता है, इस विशिष्ट दीवार के लिए आवश्यक ईंटों की गणना करता है, और ठीक उतनी ही मात्रा का ऑर्डर देता है। यदि दीवार का आकार बीच में बदल जाता है, तो फोरमैन तुरंत ऑर्डर को एडजस्ट कर देता है।

यह पेपर कंप्यूटर वैज्ञानिकों को सॉफ्टवेयर के लिए ऐसा "स्मार्ट फोरमैन" बनाने का एक तरीका देता है, जो यह सुनिश्चित करता है कि प्रोग्राम लचीले और संसाधनों के मामले में पूरी तरह से कुशल हों।

समस्या विवरण
मौजूदा क्वांटिटेटिव टाइप थ्योरीज़ (Quantitative Type Theories), जैसे कि क्वांटिटेटिव टाइप थ्योरी (QTT) और ग्रेडेड मोडल टाइप थ्योरी (Graded Modal Type Theory), ऐसे रिसोर्स एनोटेशन की अनुमति देती हैं जहाँ वेरिएबल्स के मल्टीप्लिसिटीज (multiplicities) यह निर्दिष्ट करते हैं कि उनका उपयोग कितनी बार किया जाता है। हालाँकि, ये प्रणालियाँ आमतौर पर एक निश्चित रिसोर्स अलजेब्रा (जैसे कि प्राकृतिक संख्याएँ या सेमीरिंग्स) से लिए गए स्थिर मल्टीप्लिसिटीज पर निर्भर करती हैं। यह स्थिर प्रकृति उन प्रोग्राम लॉजिक को संभालने में महत्वपूर्ण सीमाएँ उत्पन्न करती है जो सीधे संसाधनों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, बल्कि उन्हें व्यवस्थित करते हैं, जैसे कि ब्रांचिंग (कंडीशनल्स) और रिकर्शन।

वर्तमान प्रणालियों में, एक बूलियन कंडीशन जो दो शाखाओं (branches) के बीच चयन करने के लिए उपयोग की जाती है, उसे यह आवश्यक होता है कि दोनों शाखाएँ समान संसाधनों का उपभोग करें, जो अक्सर अव्यावहारिक होता है क्योंकि विभिन्न शाखाएँ आमतौर पर अलग-अलग ऑपरेशन करती हैं। इसी प्रकार, हायर-ऑर्डर फंक्शन्स या इंडक्टिव टाइप्स (जैसे कि बाइनरी ट्री) में, एक फंक्शन कितनी बार लागू किया जाता है या एक रिसोर्स कितनी बार उपभोग किया जाता है, यह अक्सर रनटाइम पर ज्ञात होने वाले मानों (जैसे कि ट्री की पत्तियों की संख्या) पर निर्भर करता है। डिपेंडेंट टाइप थ्योरी (DTT) को लीनियर लॉजिक के साथ संयोजित करने के पिछले प्रयास इस प्रश्न से संघर्ष करते रहे कि क्या टाइप्स द्वारा टर्म्स पर निर्भरता उन टर्म्स का "उपयोग" (use) है। जबकि मैकब्राइड और एटकी ने तर्क दिया कि टाइप्स चिंतन (contemplation) के लिए हैं न कि गणना (computation) के लिए (लीनियर वेरिएबल्स पर डिपेंडेंसी की अनुमति देते हुए), उनके परिणामी QTT ने फिर भी मल्टीप्लिसिटीज को स्थिर तत्वों तक ही सीमित रखा, जो रिकर्सिव प्रोग्राम्स और डेटा-डिपेंडेंट ब्रांचिंग में निहित डायनेमिक रिसोर्स यूसेज को कैप्चर करने में विफल रहा।

कार्यप्रणाली (Methodology)
यह शोध पत्र एक नवीन डिपेंडेंट लीनियर टाइप थ्योरी प्रस्तावित करता है जो लीनियर लॉजिक को सीधे एक मानक इंट्यूशनिस्टिक डिपेंडेंट टाइप थ्योरी (जिसे "होस्ट थ्योरी" कहा जाता है) में एम्बेड करता है। मुख्य नवाचार मल्टीप्लिसिटीज का उपचार है—इन्हें स्थिर बीजगणितीय तत्वों के रूप में नहीं, बल्कि होस्ट थ्योरी के भीतर टर्म्स के रूप में माना जाता है।

दो एंटेलमेंट संबंध (Two Entailment Relations): सिस्टम दो प्रकार के जजमेंट्स के बीच अंतर करता है:
- $\vdash$ : मानक इंट्यूशनिस्टिक DTT (होस्ट थ्योरी), जिसका उपयोग टाइप्स, टर्म्स और डिपेंडेंसीज़ को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
- $\Vdash$ : एक रिसोर्स-अवेयर कैलकुलस जहाँ टर्म्स "सप्लाइज" (लीनियर कॉन्टेक्स्ट्स) से व्युत्पन्न होते हैं।
सप्लाइज के रूप में इंट्यूशनिस्टिक टाइप्स: इस सिस्टम में सप्लाइज पारंपरिक लीनियर कॉन्टेक्स्ट्स के विपरीत होस्ट थ्योरी के टर्म्स हैं। यह होस्ट थ्योरी को रिसोर्स एनोटेशन के साथ गणना करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, सिस्टम होस्ट थ्योरी के नेचुरल नंबर्स का उपयोग करके एक सप्लाई के "मल्टीप्लिकेशन" ( $\Delta \hat{m}$ ) को परिभाषित करता है, जहाँ $m$ एक टर्म है जिसका टाइप $\mathbb{N}$ है। यह ऑपरेशन एक सप्लाई को $m$ बार डुप्लिकेट करने की अनुमति देता है, जहाँ $m$ कॉन्टेक्स्ट के अन्य वेरिएबल्स पर निर्भर हो सकता है।
डायनेमिक मल्टीप्लिसिटीज: मल्टीप्लिसिटी $m$ को होस्ट थ्योरी के एक ओपन टर्म के रूप में अनुमति देकर, यह सिस्टम डायनेमिक रिसोर्स एनोटेशन का समर्थन करता है। उदाहरण के लिए, एक ट्री पर मैप करने वाला फंक्शन यह निर्दिष्ट कर सकता है कि फंक्शन $f$ का उपयोग ठीक leafs(t) बार किया गया है, जहाँ leafs(t) इनपुट ट्री $t$ की संरचना से कंप्यूट किया गया है।
टाइप फॉर्मर्स (Type Formers): पेपर में मानक DTT टाइप फॉर्मर्स (फंक्शन्स, पेयर्स, बूलियन्स, और W-टाइप्स) के लीनियर वर्जन को परिभाषित किया गया है जो इन डायनेमिक मल्टीप्लिसिटीज से एनोटेटेड हैं। महत्वपूर्ण रूप से, बूलियन्स और W-टाइप्स के एलिमिनेशन रूल्स यह अनुमति देते हैं कि रिसोर्सेज को रनटाइम वैल्यूज के आधार पर विभिन्न शाखाओं या कंस्ट्रक्टर्स में अलग तरह से वितरित किया जा सके।
सिमेंटिक्स (Semantics): सिमेंटिक्स को "लीनियर कैटेगरीज विद फैमिलीज" (lCwF) के रूप में वर्णित किया गया है, जो सिमेट्रिक मोनोइडल कैटेगरीज में इंडेक्स्ड "कैटेगरीज विद फैमिलीज" (CwF) हैं। यह संरचना क्वांटिटेटिव CwFs के लिए मौजूदा मॉडल्स का सामान्यीकरण करती है।

मुख्य योगदान

डिपेंडेंट मल्टीप्लिसिटीज के साथ सिंटैक्स: पेपर एक ऐसा सिंटैक्स प्रस्तुत करता है जहाँ वेरिएबल मल्टीप्लिसिटीज होस्ट थ्योरी के टर्म्स हैं, जो सटीक रूप से उन प्रोग्राम्स को टाइप करने में सक्षम बनाता है जो पहले लीनियर सिस्टम में टाइप करने योग्य नहीं थे।
लीनियर W-टाइप्स: एक लीनियर सेटिंग में इंडक्टिव टाइप्स (विशेष रूप से सीमित पोजीशंस वाले W-टाइप्स) का एक सिद्धांतपूर्ण उपचार। सिस्टम परिचय (introduction) और एलिमिनेशन (elimination) नियम प्रदान करता है जो रिकर्सिव स्ट्रक्चर्स के डायनेमिक रिसोर्स यूसेज का सही ढंग से हिसाब रखते हैं।
सिमेंटिक कैरेक्टराइजेशन: लेखक lCwFs को इस थ्योरी के मॉडल के रूप में परिभाषित करते हैं, जो दिखाते हैं कि कैसे मानक DTT मॉडल्स और लीनियर लॉजिक मॉडल्स आपस में जुड़ते हैं। वे प्रदर्शित करते हैं कि यह मॉडल लीनियर W-टाइप्स के जटिल नियमों को न्यायसंगत बनाता है और मौजूदा QTT मॉडल्स का सामान्यीकरण करता है।
रियलाइजेबिलिटी और इरेज़र (Realisability and Erasure): एक रियलाइजेबिलिटी मॉडल (जो BCI-एल्जेब्रा पर आधारित है) बनाया गया है ताकि यह दिखाया जा सके कि इंट्यूशनिस्टिक फ्रैगमेंट ( $\vdash$ ) को गणना के लिए हटाया (erase) जा सकता है, जिससे केवल लीनियर फ्रैगमेंट ( $\Vdash$ ) निष्पादन (execution) के लिए बचता है, जैसा कि QTT के 0- और 1-फ्रैगमेंट में होता है।
इम्प्लीमेंटेशन: इस थ्योरी को Agda में इम्प्लीमेंट किया गया है। इम्प्लीमेंटेशन सिमेंटिक इंटरप्रिटेशन (लीनियर जजमेंट्स को सप्लाई विटनेस के साथ इक्विप्ड इंट्यूशनिस्टिक टर्म्स में मैप करना) का उपयोग करता है ताकि एक कठोर, हालांकि अभी तक व्यावहारिक नहीं, टाइप चेकर बनाया जा सके।

परिणाम

एक्सप्रेसिविटी (Expressivity): सिस्टम सफलतापूर्वक उन प्रोग्राम्स को टाइप करता है जिनमें डायनेमिक रिसोर्स काउंटिंग की आवश्यकता होती है, जैसे कि बाइनरी ट्री के लिए एक map फंक्शन जहाँ मैपिंग फंक्शन का उपयोग पत्तियों की संख्या के आनुपातिक होता है।
पूर्णता (Completeness): पेपर "क्लियरली लीनियर टर्म्स" (ऐसे इंट्यूशनिस्टिक टर्म्स जो विशिष्ट एलिमिनेटर्स के माध्यम से वैल्यूज को डिस्कॉर्ड या डुप्लिकेट नहीं करते हैं) के लिए एक पूर्णता परिणाम सिद्ध करता है, जो दिखाता है कि उन्हें लीनियर सिस्टम में सटीक रूप से टाइप किया जा सकता है।
इंट्यूशनिस्टिक लॉजिक की रिकवरी: एक लीनियर एक्सपोनेंशियल कोमोनाड ("!") पेश करके, सिस्टम लीनियर फ्रैगमेंट के भीतर पूर्ण इंट्यूशनिस्टिक लॉजिक को रिकवर कर सकता है, जिससे जहाँ आवश्यक हो वहाँ रिसोर्सेज का अनियंत्रित उपयोग संभव हो जाता है।
डिसाइडेबिलिटी ट्रेड-ऑफ (Decidability Trade-off): लेखक स्वीकार करते हैं कि सामान्य मामले में टाइप-चेकिंग अनिर्णायक (undecidable) है क्योंकि इसके लिए नेचुरल नंबर्स के ओपन टर्म्स की तुलना करना आवश्यक है (जैसे कि $\Delta \hat{m}$ का $\Delta \hat{n}$ के बराबर होना)। हालाँकि, वे उल्लेख करते हैं कि होस्ट थ्योरी में प्रोपोजिशनल इक्वैलिटी का उपयोग टाइप चेकर को रिसोर्स इक्विलेंस के प्रति आश्वस्त करने के लिए किया जा सकता है।

महत्व
पेपर का दावा है कि यह मल्टीप्लिसिटीज को होस्ट थ्योरी से प्राप्त डायनेमिक, कंप्यूटेबल मल्टीप्लिसिटीज में बदलकर क्वांटिटेटिव टाइप थ्योरी का अधिक एक्सप्रेसिव संस्करण प्रदान करता है। लीनियर लॉजिक को DTT में एम्बेड करके, न कि उन्हें दो अलग लॉजिक के रूप में मानकर, यह सिस्टम इंट्यूशनिस्टिक और लीनियर वेरिएबल्स के बीच पाए जाने वाले प्रतिबंधात्मक द्वंद्व से बचता है। यह इंडक्टिव टाइप्स और हायर-ऑर्डर फंक्शन्स के एक बड़े वर्ग के लिए एक "सिद्धांतपूर्ण रिसोर्स-अवेयर ट्रीटमेंट" की अनुमति देता है। यह कार्य प्रदर्शित करता है कि मौजूदा डिपेंडेंट टाइप लैंग्वेजेस को इस सिस्टम के साथ विस्तारित किया जा सकता है, जो डिपेंडेंट टाइप्स की एक्सप्रेसिविटी से समझौता किए बिना फंक्शनल प्रोग्रामिंग में अधिक सटीक रिसोर्स मैनेजमेंट की ओर एक मार्ग प्रदान करता है। लेखक अपने कार्य को QTT के एक सामान्यीकरण के रूप में प्रस्तुत करते हैं जो डायनेमिक रिसोर्स यूसेज को संभालने में मौजूद सीमाओं को हल करता है।