Qudit-based scalable quantum algorithm for solving the integer programming problem

अनुकूलन (ऑप्टिमाइज़ेशन) विकल्पों की एक विशाल श्रृंखला में से सर्वोत्तम संभव समाधान खोजने की कला है, एक ऐसी चुनौती जो एयरलाइन उड़ानों के शेड्यूलिंग से लेकर वित्तीय पोर्टफोलियो के प्रबंधन तक सब कुछ को आधार प्रदान करती है। जब इन विकल्पों में पूर्ण संख्याएँ (whole numbers) और सख्त नियम शामिल होते हैं, तो इस समस्या को 'इंटीजर प्रोग्रामिंग' के रूप में जाना जाता है। दशकों से, इन समस्याओं को हल करना क्लासिकल कंप्यूटरों के लिए एक कठिन कार्य रहा है। जैसे-जैसे चरों (variables) की संख्या बढ़ती है, सटीक उत्तर खोजने के लिए आवश्यक समय इतनी तेजी से बढ़ता है कि सबसे शक्तिशाली सुपरकंप्यूटर भी फंस सकते हैं, और मानव जीवनकाल के भीतर हर संभावना की जांच करने में असमर्थ हो जाते हैं। इस कठिनाई ने लंबे समय से यह सुझाव दिया है कि एक अलग प्रकार के कंप्यूटिंग की आवश्यकता है, जो इस जटिलता को अधिक कुशलता से नेविगेट कर सके।

हाल के वर्षों में, शोधकर्ताओं ने क्वांटम कंप्यूटरों की खोज शुरू की है, जो सूचना को संसाधित करने के लिए उन भौतिक नियमों का उपयोग करते हैं जो क्लासिकल मशीनों के लिए संभव नहीं हैं। जबकि कई शुरुआती क्वांटम दृष्टिकोण साधारण दो-अवस्था वाली इकाइयों, जिन्हें क्वबिट्स (qubits) कहा जाता है, पर निर्भर थे, एक नई सोच उभरी है जो 'क्विडिट्स' (qudits) नामक अधिक जटिल इकाइयों का उपयोग करती है। ये इकाइयाँ एक साथ कई अवस्थाओं में मौजूद हो सकती हैं, जो सूचना को संग्रहीत और हेरफेर करने के लिए एक बहुत बड़ा स्थान प्रदान करती हैं। भौतिकविदों की एक टीम ने अब एक नया तरीका प्रस्तावित किया है जो इन बहु-अवस्था इकाइयों का उपयोग करके इंटीजर प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करता है। उनका कार्य बताता है कि कैसे उस कम्प्यूटेशनल धुंध को हटाया जा सकता है जिसने लंबे समय से इन कठिन कार्यों को घेरा हुआ है, और यह सर्वोत्तम समाधान खोजने का एक मार्ग प्रदान करता है जो पारंपरिक तरीकों की तुलना में अधिक तेज़ है।

जर्मनी और संयुक्त राज्य अमेरिका के संस्थानों में काम करने वाले शोधकर्ताओं ने इंटीजर प्रोग्रामिंग से निपटने के लिए एक विशिष्ट क्वांटम एल्गोरिदम विकसित किया है। उनका दृष्टिकोण एक दो-चरणीय प्रक्रिया पर आधारित है जो इस बात की नकल करता है कि एक इंसान जटिल पहेली को कैसे हल करता है: पहले, असंभव विकल्पों को फ़िल्टर करना, और दूसरे, जो बच जाता है उसमें से सर्वश्रेष्ठ को चुनना। पहले चरण में, एल्गोरिदम एक क्वांटम सिस्टम तैयार करता है जिसमें कई चर होते हैं, जिनमें से प्रत्येक को एक क्विडट द्वारा दर्शाया जाता है। फिर यह यह जांचने के लिए ऑपरेशनों की एक श्रृंखला लागू करता है कि चरों के कौन से संयोजन सभी दिए गए नियमों या बाधाओं (constraints) को संतुष्ट करते हैं। यह 'हेल्पर बिट्स' के एक सेट के साथ चरों को उलझाकर (entangling) किया जाता है जो झंडों (flags) के रूप में कार्य करते हैं। यदि चरों का कोई संयोजन नियम तोड़ता है, तो झंडा बदल जाता है; यदि वह नियमों का पालन करता है, तो झंडा वैसा ही रहता है।

एक बार जब सिस्टम सभी बाधाओं की जांच कर लेता है, तो एल्गोरिदम 'एम्प्लीट्यूड एम्प्लीफिकेशन' (amplitude amplification) नामक तकनीक का उपयोग करता है। यह प्रक्रिया प्रभावी रूप से वैध संयोजनों को खोजने की संभावना को बढ़ाती है और अमान्य वाले को दबा देती है। कल्पना कीजिए कि एक भीड़भाड़ वाला कमरा है जहाँ हर कोई चिल्ला रहा है, लेकिन आप केवल उन लोगों को सुनना चाहते हैं जो सही भाषा बोल रहे हैं। यह चरण सही आवाजों का वॉल्यूम बढ़ा देता है और बाकी का वॉल्यूम कम कर देता है। हेल्पर बिट्स को मापने के माध्यम से, सिस्टम उस स्थिति में ढह (collapse) जाता है जहाँ केवल वैध समाधान ही शेष रह जाते हैं। यह चरण महत्वपूर्ण है क्योंकि यह विचार में से असंभव उत्तरों के विशाल बहुमत को हटा देता है, जिससे व्यवहार्य विकल्पों का एक छोटा, प्रबंधनीय समूह बच जाता है।

वैध समाधानों के अलग होने के बाद, एल्गोरिदम दूसरे चरण की ओर बढ़ता है: सर्वश्रेष्ठ को खोजना। शोधकर्ता लक्ष्य के मान (जिसे अक्सर कॉस्ट फंक्शन कहा जाता है) को क्वांटम अवस्था में एनकोड करते हैं। वे 'क्वांटम फेज एस्टिमेशन' (quantum phase estimation) नामक विधि का उपयोग करते हैं ताकि प्रत्येक समाधान के संख्यात्मक मान को क्वांटम सिस्टम के भीतर एक विशिष्ट चरण (phase), या टाइमिंग में अनुवादित किया जा सके। इस चरण को फिर एक संभावना में परिवर्तित किया जाता है। उनके डिज़ाइन का चतुर हिस्सा यह है कि उच्चतम मान वाले समाधान को उच्चतम संभावना दी जाती है। जब सिस्टम का अंततः अवलोकन किया जाता है, तो यह उस स्थिति में प्रकट होने की सबसे अधिक संभावना रखता है जहाँ संख्याओं का एकल सर्वोत्तम व्यवस्था सभी नियमों को संतुष्ट करती है और उद्देश्य को अधिकतम करती है।

टीम ने पांच चरों वाले एक विशिष्ट, गैर-रेखीय (non-linear) समस्या पर अपने तरीके का अनुकरण (simulate) किया, जहाँ प्रत्येक तीन अलग-अलग मान ले सकता था, और चार जटिल बाधाएं थीं। पायथन का उपयोग करके एल्गोरिदम को लागू करते हुए, जहाँ प्रत्येक ऑपरेटर गणितीय रूप से सुपरिभाषित था, उन्होंने सिमुलेशन में सफलतापूर्वक इष्टतम समाधान की पहचान की। उन्होंने अपने परिणामों की तुलना क्लासिकल विधियों से की, जिसमें 'ब्रूट-फोर्स' दृष्टिकोण (जो हर एक संभावना की जांच करता है) और 'ब्रांच एंड बाउंड' (branch and bound) नामक एक अधिक परिष्कृत तकनीक शामिल है। जबकि क्लासिकल ब्रांच एंड बाउंड विधि को उत्तर खोजने के लिए सैकड़ों चरणों की आवश्यकता थी, और ब्रूट-फोर्स विधि को सैकड़ों संयोजनों की जांच करनी पड़ी, क्वांटम दृष्टिकोण ने समस्या के आकार के बढ़ने के साथ आवश्यक चरणों की संख्या में महत्वपूर्ण कमी दिखाई। शोधकर्ताओं ने पाया कि इस प्रकार की समस्या के लिए, उनकी विधि क्लासिकल एल्गोरिदम की तुलना में बहुत बेहतर तरीके से स्केल करती है, जो एक 'क्वाड्रेटिक स्पीड-अप' (quadratic speed-up) प्रदान करती है, जिसका अर्थ है कि समस्या के बड़े होने पर लगने वाला समय बहुत धीमी गति से बढ़ता है।

यह कार्य केवल एक सैद्धांतिक अभ्यास नहीं है; यह इस बात को संबोधित करता है कि क्वांटम कंप्यूटर वास्तविक दुनिया के डेटा को कैसे संभालते हैं। अनुकूलन के अधिकांश मौजूदा क्वांटम एल्गोरिदम पूर्ण संख्याओं को बाइनरी कोड में बदलने की अक्षमता के साथ संघर्ष करते हैं, जिससे संसाधनों की बर्बादी होती है। सीधे क्विडट्स का उपयोग करके, यह नया एल्गोरिदम समस्या को हार्डवेयर पर अधिक स्वाभाविक रूप से मैप करता है, जिससे सर्किट की जटिलता कम हो जाती है। शोधकर्ता स्वीकार करते हैं कि वर्तमान क्वांटम हार्डवेयर अभी भी शोर (noisy) युक्त और त्रुटियों के प्रति संवेदनशील है, और उनके परिणाम अब तक सिमुलेशन पर आधारित हैं। हालांकि, उन्होंने बताया है कि भविष्य की मशीनों का उपयोग करके इस एल्गोरिदम को कैसे लागू किया जा सकता है, जैसे कि ट्रैप्ड आयन, फोटोन, या अन्य क्वांटम सिस्टम जो इन बहु-अवस्था इकाइयों का समर्थन कर सकते हैं।

इस शोध के निहितार्थ केवल एक गणितीय युक्ति से परे हैं। इंटीजर प्रोग्रामिंग लॉजिस्टिक्स, इंजीनियरिंग और वित्त में एक मौलिक उपकरण है, उन क्षेत्रों में जहाँ सबसे कुशल समाधान खोजना लाखों डॉलर या घंटों का समय बचा सकता है। यदि इस विधि को भौतिक हार्डवेयर पर साकार किया जा सकता है, तो यह उद्योगों को उन समस्याओं को हल करने की अनुमति दे सकता है जो वर्तमान में निपटने के लिए बहुत कठिन हैं। यह पेपर यह दावा नहीं करता है कि इसने सभी अनुकूलन समस्याओं को हल कर लिया है, न ही यह सुझाव देता है कि क्वांटम कंप्यूटर तुरंत क्लासिकल कंप्यूटरों की जगह ले लेंगे। इसके बजाय, यह एक स्केलेबल, संसाधन-कुशल मार्ग प्रस्तुत करता है जो विशिष्ट और महत्वपूर्ण कठिन समस्याओं के लिए एक वास्तविक लाभ प्रदान करता है। नियमों की जांच करने के कार्य को सर्वश्रेष्ठ उत्तर खोजने के कार्य से अलग करके, शोधकर्ताओं ने एक ऐसे क्वांटम एल्गोरिदम का ब्लूप्रिंट तैयार किया है जो शक्तिशाली और व्यावहारिक दोनों है, जो क्वांटम एडवांटेज के वादे को वास्तविकता के एक कदम और करीब लाता है।