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Carryless Pairing: Additive Pairing in the Fibonacci Basis

यह शोध पत्र $\mathbb{N}^2$ से $\mathbb{N}$ तक एक कैरीलेस (carryless), इंजेक्टिव पेयरिंग मैप प्रस्तुत करता है जो दो संख्याओं को एक डेलीमिटर (delimiter) द्वारा अलग किए गए विलगित ज़ेकेनडॉर्फ इंडेक्स बैंड्स (disjoint Zeckendorf index bands) में एनकोड करता है, जिससे बिना गुणन या गुणनखंडन के योगात्मक समर्थन (additive support) संचालन के माध्यम से मूल्यांकन और व्युत्क्रमण सक्षम होता है, जिसकी मुख्य शुद्धता की पुष्टि Rocq में की गई है।

मूल लेखक: Milan Rosko

प्रकाशित 2026-05-12

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Milan Rosko

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: दो डिब्बों को बिना तोड़े पैक करना

कल्पना कीजिए कि आपके पास लेगो ब्रिक्स (Lego bricks) के दो डिब्बे हैं, जिन्हें डिब्बा X और डिब्बा Y लेबल किया गया है। आप उन्हें एक विशाल संरचना में जोड़ने के लिए आपस में चिपकाना चाहते हैं ताकि आप उन्हें एक एकल वस्तु के रूप में ले जा सकें, लेकिन आप बाद में उन्हें बिना किसी गोंद, टेप या विशेष उपकरणों के अलग करने में भी सक्षम होना चाहते हैं।

संख्याओं को संयोजित करने के अधिकांश तरीके (जैसे मानक गणित या कंप्यूटर कोड) गोंद का उपयोग करने जैसे हैं। उन्हें बाद में अलग करने के लिए, आपको अक्सर जटिल गणनाएँ करनी पड़ती हैं, संख्याओं का गुणनखंड (factorize) करना पड़ता है, या अंकों को आगे ले जाना (carry) पड़ता है (जैसे सामान्य जोड़ में जब $9 + 1 = 10$ होता है, जहाँ 1 अगले कॉलम में "कैरी" हो जाता है)। यह पेपर संख्या को संयोजित करने का एक नया तरीका प्रस्तावित करता है जिसमें शून्य गोंद और शून्य कैरी (carrying) की आवश्यकता होती है।

परिवेश: फाइबोनैची "लेगो सेट" (Fibonacci "Lego Set")

यह समझने के लिए कि यह कैसे काम करता है, हमें संख्याएँ बनाने के नियमों को बदलने की आवश्यकता है। बेस-10 सिस्टम (एक, दस, सौ) के बजाय, यह पेपर फाइबोनैची अनुक्रम ($1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...$) का उपयोग करता है।

इस प्रणाली में, प्रत्येक संख्या का एक विशेष "लेगो ब्लूप्रिंट" होता है जिसे ज़ेकेनडॉर्फ प्रतिनिधित्व (Zeckendorf representation) कहा जाता है। इस ब्लूप्रिंट का स्वर्णिम नियम यह है: आप कभी भी दो क्रमिक (consecutive) फाइबोनैची संख्याओं का उपयोग नहीं कर सकते।

गलत: $5 + 3$ (क्योंकि अनुक्रम में 5 और 3 एक साथ हैं)।
सही: $5 + 2$ (क्योंकि 5 और 2 के बीच एक अंतर है)।

यह "कोई-क्रमिक-नहीं" वाला नियम इस पूरे चमत्कार को संभव बनाने वाला गुप्त सूत्र है।

जादुई ट्रिक: "सम" और "विषम" बैंड्स (The "Even" and "Odd" Bands)

लेखक, मिलान रोस्को (Milan Rosko) ने संख्या X और संख्या Y को एक ही संख्या में पैक करने के लिए एक विधि ईजाद की, जिसमें उन्हें फाइबोनैची अनुक्रम के अलग-अलग "पड़ोस" में रखा जाता है।

सम पड़ोस (डिब्बा X):
पेपर संख्या X के ब्लूप्रिंट को लेता है और उसके सभी लेगो टुकड़ों को फाइबोनैची अनुक्रम में सम-संख्या वाले (even-numbered) स्थानों पर शिफ्ट कर देता है।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि X किताबों का एक सेट है। हम उन सभी को एक पुस्तकालय के सम-संख्या वाले शेल्फों पर रखते हैं।
डिलिमिटर (The Delimiter - बाड़/सीमा):
डिब्बा Y रखने से पहले, हमें यह जानने की आवश्यकता है कि X कहाँ तक फैला हुआ है। पेपर X के आकार के आधार पर एक "बाड़" या डिलिमिटर की गणना करता है। आइए इस बाड़ को B कहें।
- उपमा: यदि X शेल्फ 2 से 10 तक जाता है, तो बाड़ शेल्फ 12 पर बनाई जाएगी।
विषम पड़ोस (डिब्बा Y):
अब, हम संख्या Y के ब्लूप्रिंट को लेते हैं और उसके लेगो टुकड़ों को विषम-संख्या वाले स्थानों पर शिफ्ट करते हैं, लेकिन यह केवल बाड़ (B) के बाद शुरू होता है।
- उपमा: हम Y की सभी किताबों को विषम-संख्या वाले शेल्फों पर रखते हैं, लेकिन केवल शेल्फ 13, 15, 17 आदि पर। हम बाड़ से पहले के विषम शेल्फों को खाली छोड़ देते हैं।

यह "कैरीलेस" क्यों है (सबसे अच्छा हिस्सा)

सामान्य गणित में, यदि आप दो संख्याओं को जोड़ते हैं, तो आपको एक "कैरी" मिल सकता है (जैसे $5+5=10$ )। इस फाइबोनैची प्रणाली में, यदि आप ऐसी दो संख्याएँ जोड़ते हैं जो किसी भी "क्रमिक" स्थान को साझा नहीं करती हैं, तो कोई कैरी नहीं होता है।

क्योंकि पेपर X को सम शेल्फों पर और Y को विषम शेल्फों पर (बीच में एक अंतर के साथ) रखता है, इसलिए दोनों लेगो सेट एक दूसरे को कभी छूते नहीं हैं।

X सम स्थानों पर है।
Y विषम स्थानों पर है (दूर)।
अंतिम मिश्रण में कोई भी दो क्रमिक संख्याएँ नहीं हैं।

परिणाम: संयुक्त संख्या पहले से ही अपने पूर्ण, "सामान्य" रूप में है। आपको इसे ठीक करने के लिए किसी सफाई या गणित की आवश्यकता नहीं है। यह दो न छूने वाले पहेली के टुकड़ों को एक साथ रखने जैसा है; वे बस पूरी तरह से फिट हो जाते हैं।

इसे कैसे अनपैक करें (डिकोडिंग)

मूल डिब्बों को वापस पाने के लिए, आप संयुक्त संख्या को देखते हैं और दो सरल प्रश्न पूछते हैं:

सम शेल्फों पर कौन है? (वह X है)।
बाड़ के बाद विषम शेल्फों पर कौन है? (वह Y है)।

चूंकि नियम बहुत सख्त हैं (छूना नहीं, विशिष्ट अंतराल), इसलिए कोई भ्रम नहीं होता है। आप हमेशा ठीक से बता सकते हैं कि कौन सा टुकड़ा X का है और कौन सा Y का है।

महत्वपूर्ण सीमाएँ (The "Not Surjective" Part)

पेपर स्वीकार करता है कि यह विधि हर संभव संख्या के लिए कोड नहीं बनाती है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि एक पार्किंग स्थल जहाँ कारें (संख्याएँ) केवल विशिष्ट स्थानों में पार्क कर सकती हैं। यदि आप ऐसी जगह पार्क करने की कोशिश करते हैं जो "न छूने" के नियम या "बाड़" के नियम का उल्लंघन करती है, तो वह स्थान खाली रहता है।
पेपर इसे इनजेक्टिव लेकिन नॉट सुरजेक्टिव (injective but not surjective) कहता है।
- इनजेक्टिव (Injective): प्रत्येक (X, Y) जोड़ी को एक अद्वितीय कोड मिलता है। कोई भी दो जोड़ियाँ एक ही संख्या नहीं बनातीं।
- नॉट सुरजेक्टिव (Not Surjective): दुनिया की कुछ संख्याएँ इस विधि द्वारा नहीं बनाई जा सकतीं। यदि आप एक यादृच्छिक संख्या चुनते हैं, तो हो सकता है कि वह एक वैध "पैक्ड" जोड़ी न हो।

हालाँकि, पेपर एक सरल परीक्षण प्रदान करता है: यदि आप एक संख्या को अनपैक करने और फिर उसे पुन: पैक करने का प्रयास करते हैं, और आपको बिल्कुल वही संख्या वापस मिलती है, तो वह एक वैध जोड़ी थी। यदि संख्या बदल जाती है, तो वह शुरुआत में वैध जोड़ी नहीं थी।

यह क्यों मायने रखता है? (The "Why")

लेखक आपके फोन के लिए तेज़ कैलकुलेटर बनाने की कोशिश नहीं कर रहे हैं। प्रेरणा गहरी है, जो तर्क और गणित के आधार (logic and math foundations) में निहित है:

शुद्ध जोड़ (Pure Addition): संख्याओं को संयोजित करने के अधिकांश तरीके गुणन या जटिल विभाजन (जैसे संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ना) पर निर्भर करते हैं। यह विधि केवल जोड़ और स्थितियों की जाँच पर निर्भर करती है।
कमजोर गणित प्रणालियाँ (Weak Math Systems): तर्क के कुछ बहुत ही बुनियादी सिस्टम में (जहाँ आपको गुणा करने की अनुमति नहीं है), आप यह सिद्ध नहीं कर सकते कि आप दो संख्याओं को जोड़ सकते हैं और उन्हें वापस पा सकते हैं। यह पेपर दिखाता है कि आप यह केवल सरल जोड़ का उपयोग करके कैसे कर सकते हैं, जो गणितज्ञों को यह समझने में मदद करता है कि तर्क को काम करने के लिए न्यूनतम आवश्यकताएं क्या हैं।
प्रूफ चेकिंग (Proof Checking): क्योंकि प्रक्रिया इतनी सरल है (केवल स्थितियों को देखना और जोड़ना), यह एक कंप्यूटर के लिए यह सत्यापित करना बहुत आसान है कि गणित सही है या नहीं, बिना भ्रमित हुए।

एक वाक्य में सारांश

यह पेपर फाइबोनैची अनुक्रम का उपयोग करके दो संख्याओं को एक में संयोजित करने का एक चतुर तरीका पेश करता है, जहाँ दोनों संख्याएँ अलग-अलग, न छूने वाले "ज़ोन" में रहती हैं ताकि उन्हें बिना किसी जटिल गणित के जोड़ा जा सके, और उन्हें उनके स्थान को देखकर अलग किया जा सके।

तकनीकी सारांश: फाइबोनैची आधार (Fibonacci Basis) में कैरीलेस पेयरिंग (Carryless Pairing)

समस्या विवरण
यह शोध पत्र एक पेयरिंग फंक्शन $\pi: \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$ के निर्माण को संबोधित करता है जो ज़ेकेन्डॉर्फ (फाइबोनैची) आधार के भीतर केवल योगात्मक बाधाओं (additive constraints) के अंतर्गत कार्य करता है। पारंपरिक पेयरिंग स्कीमें अक्सर स्थितिजन्य अंक इंटरलीविंग (जैसे Z-ऑर्डर/मॉर्टन कोड) या गुणन और अभाज्य गुणनखंडन (जैसे गोडेल नंबरिंग, कैंटर पेयरिंग) से जुड़ी अंकगणितीय क्रियाओं पर निर्भर करती हैं। लेखक एक ऐसी विधि चाहते हैं जहाँ $(x, y)$ के एनकोडिंग और डिकोडिंग के लिए केवल सपोर्ट एक्सट्रैक्शन (support extraction) और योगात्मक क्रियाओं का उपयोग किया जाए, जिससे गुणन, घातांक (exponentiation), और "कैरी" प्रसार या सामान्यीकरण (normalization) चरणों की आवश्यकता को टाला जा सके। यह $I\Delta_0$ जैसे कमजोर अंकगणित उपतलों (weak arithmetic substrates) में अपूर्णता तर्कों और प्रमाण-सिद्धांतिक जांचों को समर्थन देने की इच्छा से प्रेरित है, जहाँ गुणन को या तो माना नहीं जाता है या वह बहुत महंगा होता है।

कार्यप्रणाली
प्रस्तावित समाधान, जिसे कैरीलेस पेयरिंग ( $\pi_{CL}$ ) कहा जाता है, ज़ेकेन्डॉर्फ सपोर्ट के आधार पर दो प्राकृतिक संख्याओं को अलग-अलग "बैंड्स" (disjoint bands) में एनकोड करता है।

ज़ेकेन्डॉर्फ प्रतिनिधित्व (Zeckendorf Representation): प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ को गैर-निरंतर फाइबोनैची संख्याओं $F_k$ (जहाँ $k \ge 2$ ) के योग के रूप में अद्वितीय रूप से दर्शाया जाता है। इंडेक्स के इस सेट को $Z(n)$ कहा जाता है।
डिलिमिटर निर्माण (Delimiter Construction): एक जोड़ी $(x, y)$ के लिए, एल्गोरिदम पहले रैंक $r(x)$ की गणना करता है, जो वह सबसे छोटा इंडेक्स है कि $F_{r(x)} > x$ । एक डिलिमिटर $B(x)$ को $2r(x)$ के रूप में सेट किया जाता है।
बैंड पृथक्करण (Band Separation):
- ईवन बैंड (x के लिए): $x$ के सपोर्ट के इंडेक्स, $Z(x)$ , को सम इंडेक्स $e \mapsto 2e$ के माध्यम से मैप किया जाता है। इन्हें रेंज $[4, 2r(x))$ में रखा जाता है।
- ऑड बैंड (y के लिए): $y$ के सपोर्ट के इंडेक्स, $Z(y)$ , को $j \mapsto B(x) + (2j - 1)$ के माध्यम से विषम इंडेक्स में मैप किया जाता है। इन्हें de-limiter $B(x)$ के ऊपर सख्ती से रखा जाता है।
कैरीलेस इनवेरिएंट (Carryless Invariant): क्योंकि $Z(x)$ में कोई निरंतर पूर्णांक नहीं होते, इसलिए मैप किए गए सम इंडेक्स के बीच कम से कम 4 का अंतर होता है। इसी तरह, मैप किए गए विषम इंडेक्स के बीच भी कम से कम 4 का अंतर होता है। महत्वपूर्ण रूप से, डिलिमिटर $B(x)$ यह सुनिश्चित करता है कि $x$ द्वारा उपयोग किया गया उच्चतम सम इंडेक्स, $y$ द्वारा उपयोग किए गए निम्नतम विषम इंडेक्स से कम है। फलस्वरूप, इन दोनों इंडेक्स के सेट का संघ (union) में कोई निरंतर पूर्णांक नहीं होता है।
एनकोडिंग (Encoding): एनकोड किया गया मान उन फाइबोनैची संख्याओं का योग है जो इन इंडेक्स के संघ (union) के अनुरूप हैं। चूंकि सपोर्ट में निरंतर इंडेक्स नहीं होते, इसलिए परिणाम स्वतः ही ज़ेकेन्डॉर्फ सामान्य रूप (normal form) में होता है; किसी भी कैरी प्रसार की आवश्यकता नहीं होती है।

मुख्य योगदान

पूर्णतः योगात्मक उपकरण (Fully Additive Device): यह शोध पत्र एक पेयरिंग मैप $\pi_{CL}$ और एक इन्वर्जन मैप unpair को परिभाषित करता है जो केवल जोड़ और बाउंडेड स्कैन का उपयोग करके ज़ेकेन्डॉर्फ सपोर्ट पर कार्य करते हैं। इसमें किसी भी प्रकार के गुणन या गुणनखंडन का उपयोग नहीं किया गया है।
इंजेक्टिविटी और निर्णय क्षमता (Injectivity and Decidability): यह सिद्ध किया गया है कि यह मैप इंजेक्टिव (एकैकी) है। हालांकि यह सर्जेक्टिव (आच्छादक) नहीं है, लेकिन इमेज मेंबरशिप को "फिक्स्ड-पॉइंट टेस्ट" के माध्यम से तय किया जा सकता है: एक संख्या $n$ इमेज में है यदि और केवल यदि $\pi_{CL}(\text{unpair}(n)) = n$ ।
एक-चरणीय कनोनिकलकरण (One-Step Canonicalization): यह शोध पत्र एक कनोनिकलकरण फंक्शन $can(n) = \pi_{CL}(\text{unpair}(n))$ पेश करता है। यह फंक्शन किसी भी प्राकृतिक संख्या को $\pi_{CL}$ के इमेज में उसके अद्वितीय प्रतिनिधि में एक ही चरण में मैप करता है।
स्थिरता लेम्मा (Stability Lemma): यह पेपर स्थापित करता है कि दूसरे कोआर्डिनेट $y$ में संशोधन करने (इसके सपोर्ट से एक इंडेक्स जोड़ने या हटाने) से एनकोडेड मान में स्थानीय परिवर्तन (एक विशिष्ट फाइबोनैची संख्या को जोड़ने या घटाने) होता है, बशर्ते $x$ स्थिर रहे।
मैकेनाइजेशन (Mechanization): सभी मुख्य शुद्धता प्रमेय (इनवर्जन और इंजेक्टिविटी) Rocq (पूर्व में Coq) में गैलिना स्पेसिफिकेशन भाषा का उपयोग करके मैकेनाइज किए गए हैं। औपचारिककरण में ज़ेकेन्डॉर्फ सपोर्ट की अस्तित्व और विशिष्टता के प्रमाण शामिल हैं, जो यह सुनिश्चित करते हैं कि पेयरिंग डिवाइस सपोर्ट इंटरफेस के बारे में अपुष्ट अभिगृहीतों (axioms) पर निर्भर नहीं है।

परिणाम

शुद्धता (Correctness): प्रमेय 6.0.1 सिद्ध करता है कि unpair $\circ$ $\pi_{CL}$ $\mathbb{N}^2$ पर आइडेंटिटी फंक्शन है।
गैर-सर्जेक्टिविटी (Non-Surjectivity): यह मैप सर्जेक्टिव नहीं है; कई प्राकृतिक संख्याएँ (जैसे 6) इस योजना के तहत वैध जोड़े (pairs) के अनुरूप नहीं होती हैं क्योंकि उनके ज़ेकेन्डॉर्फ सपोर्ट विशिष्ट पैरिटी (parity) और डिलिमिटर बाधाओं का पालन नहीं करते हैं।
जटिलता (Complexity): पेयरिंग और अनपेयरिंग की लागत सपोर्ट एक्सट्रैक्शन स्टेप द्वारा नियंत्रित होती है (आमतौर पर ग्रीडी स्कैन के लिए $O(r(n))$ )। शोध पत्र नोट करता है कि ये अनौपचारिक अवलोकन हैं, न कि प्रमाणित जटिलता प्रमेय।
तुलना (Comparison): गोडेल नंबरिंग (जिसके लिए गुणनखंडन की आवश्यकता होती है) या कैंटर पेयरिंग (जिसके लिए गुणन और वर्गमूल की आवश्यकता होती है) के विपरीत, $\pi_{CL}$ विशुद्ध रूप से योगात्मक रूप से कार्य करता है। Z-ऑर्डर (जो फिक्स्ड बाइनरी पोजीशन को इंटरलीव करता है) के विपरीत, $\pi_{CL}$ पहले ऑपरेंड के रैंक के आधार पर दूसरे ऑपरेंड की स्थिति को शिफ्ट करता है, जिससे एक डायनेमिक डिलिमिटर बनता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र इस निर्माण को रिवर्स मैथमेटिक्स और कमजोर अंकगणित उपतलों के अध्ययन के लिए एक उपकरण के रूप में प्रस्तुत करता है। एक ऐसा पेयरिंग फंक्शन प्रदान करके जो गुणन से बचता है, लेखक सुझाव देते हैं कि यह उन प्रणालियों में स्थिरता तर्कों और प्रमाण योग्यता (provability) की जांच करने में उपयोगी हो सकता है जहाँ गुणन उपलब्ध नहीं है या प्रतिबंधित है (बस, 1997; फ्रीमैन, 1976 को संदर्भित करते हुए)।

लेखक व्यापक निहितार्थों के संबंध में स्पष्ट रूप से विनम्रता व्यक्त करते हैं:

यह पेपर स्वयं ज़ेकेन्डॉर्फ सपोर्ट इंटरफेस को केवल जोड़-आधारित सिद्धांतों से प्राप्त करने का दावा नहीं करता है, यह अनुमान लगाते हुए कि ऐसा व्युत्पत्ति संभवतः मौजूद नहीं है।
यह $\pi_{CL}$ की इमेज के लिए सरल क्लोज्ड-फॉर्म लक्षण वर्णन का दावा नहीं करता है; निर्णय प्रक्रिया सपोर्ट-आधारित फिक्स्ड-पॉइंट टेस्ट है।
इसका प्राथमिक योगदान एक "कैरीलेस" डिवाइस का स्पष्ट निर्माण और इसके गुणों का सत्यापन करना है, जिससे इसकी इमेज और इसकी ज्यामितीय संरचना सीधे निरीक्षण योग्य बनती है।

यह कार्य एक सामान्य कंप्यूटिंग डेटा स्ट्रक्चर के बजाय एक मौलिक अंकगणितीय उपकरण के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जो इसके सैद्धांतिक उपयोगिता पर जोर देता है।