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Quiver superconformal index and giant gravitons: asymptotics and expansions

यह शोध पत्र ग्राफ-सैद्धांतिक और बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करके $d=4$ , $\mathcal{N}=1$ टॉरिक क्विवर गेज सिद्धांतों के लिए सुपरकॉन्फॉर्मल इंडेक्स के बड़े- $N$ एसिम्प्टोटिक्स (asymptotics) की जांच करता है ताकि चक्र विस्तार (cycle expansions) प्राप्त किए जा सकें, विशिष्ट ज्यामितिओं के लिए हार्डी-रामानुजन-प्रकार या बहुपद वृद्धि व्यवहारों की पहचान की जा सके, और जायंट ग्रेविटन विस्तार को मल्टी-मैट्रिक्स मॉडल में सामान्यीकृत किया जा सके।

मूल लेखक: Souradeep Purkayastha, Zishen Qu, Ali Zahabi

प्रकाशित 2026-07-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Souradeep Purkayastha, Zishen Qu, Ali Zahabi

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, ब्रह्मांडीय वीडियो गेम है। इस खेल में, एक ही स्तर (level) को वर्णित करने के दो अलग-अलग तरीके हैं: एक तरीका बाहर से विशाल, 3D दुनिया को देखता है (जिसे "बल्क" कहा जाता है), और दूसरा तरीका उस सपाट, 2D स्क्रीन को देखता है जहाँ एक्शन होता है (जिसे "बाउंड्री" कहा जाता है)। यह प्रसिद्ध होलोग्राफिक सिद्धांत (Holographic Principle) है। आमतौर पर, 3D दुनिया में कितने "लेवल" या अवस्थाएँ (states) मौजूद हैं, यह पता लगाना अविश्वसनीय रूप से कठिन है, जैसे समुद्र तट पर खड़े होकर रेत के हर एक कण को गिनने की कोशिश करना। लेकिन होलोग्राफिक ट्रिक कहती है: यदि आप 2D स्क्रीन के पिक्सल को गिन सकते हैं, तो आप स्वचालित रूप से 3D दुनिया के लिए उत्तर जान जाते हैं।

यह शोध पत्र इस बारे में है कि भौतिकविदों और गणितज्ञों की एक टीम ने एक बहुत ही विशिष्ट, जटिल संस्करण वाला खेल खेलने का निर्णय लिया। उन्होंने टोरिक क्विवर गेज थ्योरीज़ (toric quiver gauge theories) नामक सिद्धांतों के एक वर्ग पर ध्यान केंद्रित किया। इन सिद्धांतों को सड़कों (edges) और चौराहों (vertices) से बने जटिल भूलभुलैया (mazes) के रूप में सोचें। प्रत्येक चौराहे पर एक ट्रैफिक नियम (गेज ग्रुप) होता है, और उन चौराहों के बीच चलने वाली कारें विशिष्ट आवेशों (R-charges) वाले कणों (particles) के रूप में होती हैं।

बड़ी पहेली: अदृश्य कारों की गिनती

टीम इन भूलभुलभैयाओं के माध्यम से बिना टकराए चल सकने वाली विशेष, स्थिर "कारों" (जिन्हें BPS स्टेट्स कहा जाता है) की संख्या गिनना चाहती थी। उन्होंने सुपरकॉन्फॉर्मल इंडेक्स (Superconformal Index) नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग किया, जो एक अत्यंत सटीक काउंटर की तरह काम करता है जो केवल उन कारों को गिनता है जो पूरी तरह से संतुलित हैं।

हालाँकि, इन कारों को सीधे गिनना तब असंभव हो जाता है जब भूलभुलैया विशाल हो जाती है (जब कारों की संख्या, $N$ , अनंत की ओर जाती है)। इसलिए, लेखकों ने कुछ चतुर किया: उन्होंने एसिम्प्टोटिक्स (asymptotics) पर ध्यान दिया। हर एक कार को गिनने के बजाय, उन्होंने पूछा: "जैसे-जैसे कारों की संख्या खगोलीय रूप से बड़ी होती जाती है, कुल संख्या कैसे बढ़ती है?"

मुख्य खोज: "हार्डी-रामानुजन" ग्रोथ स्पर्ट

लेखकों ने पाया कि कई भूलभुलैयाओं (विशेष रूप से $\hat{A}_m$ परिवार, जिसमें प्रसिद्ध $N=4$ सुपर-यांग-मिल्स थ्योरी शामिल है) के लिए, अवस्थाओं की संख्या एक बहुत ही विशिष्ट, अनुमानित पैटर्न में बढ़ती है।

उन्होंने पाया कि अवस्थाओं के लॉग (logarithm) का मान (जो कि एंट्रॉपी या विकार का एक माप है) इस रूप में दिखता है:
$\ln |c_n| \sim \gamma n^{1/2} + \beta \ln n + \alpha$
सरल शब्दों में: ऊर्जा स्तर ( $n^{1/2}$ ) के वर्गमूल के रूप में अवस्थाओं की संख्या विस्फोट करती है, जिसमें थोड़ा अतिरिक्त "लॉगैरिद्मिक" सुधार (correction) भी शामिल है। यह एक प्रसिद्ध पैटर्न है जिसे हार्डी-रामानुजन ग्रोथ (Hardy-Ramanujan growth) कहा जाता है, जिसका उपयोग मूल रूप से यह गिनने के लिए किया गया था कि एक संख्या को छोटे योगों (पूर्णांक विभाजन/integer partitions) में तोड़ने के कितने तरीके हैं।

उन्होंने क्या सिद्ध किया:

$\hat{A}_m$ परिवार (जिसमें $N=4$ SYM और $Y_{1,1}$ शामिल हैं) के लिए, उन्होंने सैडल-पॉइंट विधि (saddle-point method) नामक तकनीक का उपयोग करके इस विकास पैटर्न को सिद्ध किया। उन्होंने गणना को एक पर्वत चढ़ाई की तरह माना, जहाँ उन्होंने उस उच्चतम शिखर (सैडल पॉइंट) को खोजा जहाँ सबसे अधिक अवस्थाएँ रहती हैं।
उन्होंने इस विकास के लिए सटीक "स्पीड लिमिट" ( $\gamma$ ) की गणना की, जो प्रभावी सेंट्रल चार्ज (effective central charge) नामक अवधारणा से संबंधित है। यह संख्या हमें बताती है कि अंदर से यह थ्योरी कितनी "बड़ी" महसूस होती है।

आश्चर्यजनक मोड़: कुछ भूलभुलैया धीरे बढ़ती हैं

सभी भूलभुलैया एक जैसा व्यवहार नहीं करतीं। लेखकों ने स्पष्ट रूप से इस विचार को खारिज कर दिया कि हर क्विवर थ्योरी इतनी तेजी से बढ़ती है।

$dP_3$ , $Y_{3,3}$ , और $Y_{2,0}$ जैसे कुछ विशिष्ट भूलभुलैया के लिए, विकास पॉलिनोमियल (polynomial) है।
$e^{\sqrt{n}}$ की तरह विस्फोट करने के बजाय, अवस्थाओं की संख्या बहुत धीमी गति से बढ़ती है, जैसे $n^2$ या $n^3$ ।
उन्होंने जैकोबी ट्रिपल प्रोडक्ट (Jacobi triple product) का उपयोग करके $dP_3$ और $Y_{2,0}$ के लिए इसे सिद्ध किया, और कंप्यूटर जांच के आधार पर $Y_{p,0}$ परिवार के लिए इस धीमी वृद्धि का अनुमान (conjecture) लगाया (मजबूत सुझाव दिया)।

"जायंट ग्रेविटन" विस्तार: गिनती को ठीक करना

लेखकों ने एक अलग समस्या पर भी काम किया। "अनंत" गिनती (Large $N$ ) को कैलकुलेट करना आसान है, लेकिन वास्तविक भौतिकी परिमित $N$ (कारों की एक विशिष्ट, सीमित संख्या) पर होती है। अनंत गिनती एक धुंधली फोटो की तरह है; परिमित गिनती उच्च-परिभाषा (high-definition) वाली स्पष्ट फोटो है।

लेखकों ने जायंट ग्रेविटन एक्सपेंशन (Giant Graviton Expansion) नामक एक विधि का सामान्यीकरण किया। कल्पना कीजिए कि आपके पास भीड़ की एक धुंधली फोटो है। स्पष्ट फोटो पाने के लिए, आप शून्य से शुरुआत नहीं करते; आप धुंधली फोटो लेते हैं और उसमें सुधार के लिए छोटी, विशिष्ट "करेक्शन फिल्टर्स" जोड़ते हैं।

उन्होंने दिखाया कि कैसे परिमित $N$ इंडेक्स को बड़े $N$ सीमा के सुधारों की एक अनंत श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है।
उन्होंने प्रदर्शन किया (कंप्यूटर सिमुलेशन के माध्यम से) कि छोटी भूलभुलैया के लिए, ये सुधार पूरी तरह से काम करते हैं, और वे सटीक परिमित संख्या से मेल खाने के लिए गणना को बार-बार ठीक करते हैं।
उन्होंने सुझाव दिया कि भूलभुलैया की समरूपता (सड़कों की व्यवस्था कैसे है) यह निर्धारित करती है कि ये सुधार कैसे व्यवहार करते हैं, लेकिन उन्होंने सभी संभावित भूलभुलैया के लिए सामान्य मामला पूरी तरह से हल नहीं किया।

उन्होंने क्या नहीं किया (और वे क्या संदिग्ध मानते हैं)

उन्होंने सभी मामलों के लिए $Y_{p,q}$ परिवार के रहस्य को हल नहीं किया। इन भूलभुलैयाओं में से कई के लिए, सटीक "ऑन-शेल" (on-shell) R-charges बहुत जटिल हैं और उनमें ऐसे वर्गमूल शामिल हैं जो आसानी से सरल नहीं होते। उन्होंने कुछ उदाहरणों (जैसे $Y_{2,2}$ ) के लिए विकास का सिमुलेशन किया और संदेश दिया कि यह तेज़ हार्डी-रामानुजन पैटर्न का पालन करता है, लेकिन वे अभी तक इसे विश्लेषणात्मक रूप से सिद्ध नहीं कर पाए क्योंकि गणित बहुत उलझ गया है।
उन्होंने यह सिद्ध नहीं किया कि "जायंट ग्रेविटन" विस्तार अद्वितीय है। उन्होंने नोट किया कि कुछ विशिष्ट मामलों के लिए, विभिन्न गणितीय दृष्टिकोण थोड़े अलग उत्तर देते हैं, जिससे पता चलता है कि विस्तार अद्वितीय नहीं हो सकता है, लेकिन उन्होंने इस गहरे अध्ययन को भविष्य के कार्य के लिए छोड़ दिया।
उन्होंने "फ्लेवर्ड" (flavored) थ्योरीज़ तक इसका विस्तार नहीं किया। उन्होंने गणित को साफ रखने के लिए अतिरिक्त समरूपताओं (फ्लेवर सिमेट्रीज़) को बंद कर दिया। उन्होंने सुझाव दिया कि इन्हें वापस जोड़ने से दिलचस्प होगा, लेकिन उन्होंने यहाँ ऐसा नहीं किया।

निचोड़ (Bottom Line)

यह शोध पत्र एक मानचित्र है कि जटिल क्वांटम भूलभुलैया में "चीजें" कैसे बढ़ती हैं।

$\hat{A}_m$ परिवार के लिए: उन्होंने सिद्ध किया कि विकास तेज़ है और हार्डी-रामानुजन नियम का पालन करता है।
$dP_3$ और $Y_{p,0}$ परिवारों के लिए: उन्होंने (या सिमुलेशन के माध्यम से मजबूती से सत्यापित किया कि) विकास धीमा और पॉलिनोमियल है।
$Y_{p,q}$ परिवार के लिए: उन्होंने संदेश दिया (suspected) कि तेज़ विकास पैटर्न बना रहता है, लेकिन हर एक मामले के लिए इसे गणितीय रूप से सिद्ध करना अभी भी कठिन है।
परिमित प्रणालियों के लिए: उन्होंने दिखाया कि "जायंट ग्रेविटन" सुधारों का उपयोग करके अनंत सन्निकटन (approximation) को एक सटीक परिमित गणना में कैसे बदला जा सकता है, कम से कम छोटी, सरल भूलभुलैया के लिए।

संक्षेप में, उन्होंने पाया कि जबकि कुछ क्वांटम भूलभुलैया अराजक और जटिलता में विस्फोट करती हैं, अन्य आश्चर्यजनक रूप से व्यवस्थित हैं, जो एक स्थिर, अनुमानित गति से बढ़ती हैं। और उन्होंने हमें इन भूलभुलैया की धुंधली तस्वीरों को स्पष्ट, हाई-डेफिनिशन चित्रों में बदलने के लिए नए उपकरण भी दिए।

तकनीकी सारांश: क्विवर सुपरकॉन्फॉर्मल इंडेक्स और जायंट ग्रेविटॉन: एसिम्प्टोटिक्स और एक्सपेंशन

समस्या विवरण
यह शोध पत्र टोरिक क्विवर गेज थ्योरीज के लिए बड़े $N$ की सीमा में $d=4$ , $\mathcal{N}=1$ सुपरकॉन्फॉर्मल इंडेक्स के एसिम्प्टोटिक व्यवहार (asymptotic behavior) की जांच करता है। इंडेक्स एक भारित विभाजन फलन (weighted partition function) है जो BPS अवस्थाओं की गणना करता है, और इसके गुणांक इन अवस्थाओं की अपभ्रष्टता (degeneracy) को कूटबद्ध करते हैं। इन गुणांकों की वृद्धि को समझना गेज-ग्रेविटी द्वैत (gauge-gravity duality) की जांच के लिए महत्वपूर्ण है, क्योंकि एसिम्प्टोटिक वृद्धि एक द्वैत गुरुत्वाकर्षण प्रणाली (विशेष रूप से, ग्रेविटॉन का गैस या एक AdS ब्लैक होल) की एंट्रॉपी को दर्शाने की उम्मीद की जाती है। जबकि $\mathcal{N}=4$ सुपर-यंग-मिल्स (SYM) के लिए एसिम्प्टोटिक्स अच्छी तरह से समझ में आ चुके हैं, अधिक सामान्य टोरिक क्विवर्स (जैसे कि $Y^{p,q}$ और $\hat{A}_m$ परिवार) के लिए व्यवहार अभी भी कम खोजा गया है। इसके अतिरिक्त, यह शोध पत्र परिमित $N$ (finite $N$ ) इंडेक्स को संबोधित करता है, जो "जायंट ग्रेविटॉन" के संदर्भ में विस्तार करके गणितीय रूप से अधिक जटिल है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक ग्राफ-थ्योरेटिक तकनीकों, बीजगणितीय गुणनखंड (algebraic factorization), और विश्लेषणात्मक संयोजन विज्ञान (analytic combinatorics) के संयोजन का उपयोग करते हैं:

बड़े $N$ गुणनखंड (Large $N$ Factorization): बड़े $N$ पर सुपरकॉन्फॉर्मल इंडेक्स को एक $R$ -चार्ज-भारित एडजेसेंसी मैट्रिक्स, $M(t)$ , के अनंत उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जाता है। लेखक $M(t)$ के डिटर्मिनेंट (determinant) को क्विवर में चक्रों (cycles) से संबंधित पदों के उत्पाद में गुणनखंडित करने के लिए डिमर मॉडल पर "जिग-ज़ैग पाथ" विधि का उपयोग करते हैं। यह गुणनखंडन "ऑफ-शेल" (सुपरपोटेंशियल और बीटा-फंक्शन बाधाओं को संतुष्ट करते हुए लेकिन आवश्यक रूप से $a$ -मैक्सिमाइजेशन नहीं) और "ऑन-शेल" (सटीक $R$ -चार्ज को निर्धारित करने के लिए $a$ -मैक्सिमाइजेशन का उपयोग करते हुए) दोनों रूपों में किया जाता है।
एसिम्प्टोटिक विश्लेषण (Asymptotic Analysis): गुणनखंडित इंडेक्स को एक जनरेटिंग फंक्शन (generating function) के रूप में माना जाता है। लेखक गुणांकों $c_n$ (या द्विसं biến (bivariate) मामले में $c_{mn}$ ) की एसिम्प्टोटिक वृद्धि का विश्लेषण करने के लिए सैडल-पॉइंट विधि (विशेष रूप से सर्कल मेथड और हार्डी-रामानुजन तकनीकों) को लागू करते हैं। वे अपने प्रमुख सिंगुलैरिटीज (dominant singularities) (आमतौर पर यूनिट सर्कल पर, जैसे $z=1$ या $z=-1$ ) के पास जनरेटिंग फंक्शन के व्यवहार की जांच करते हैं।
जायंट ग्रेविटॉन विस्तार (Giant Graviton Expansion): परिमित $N$ के लिए, लेखक $\mathcal{N}=4$ SYM के लिए पहले से स्थापित स्केलर कपलिंग वाले जायंट ग्रेविटॉन विस्तार को क्विवर के लिए प्रासंगिक मैट्रिक्स-कपलिंग मॉडलों के लिए सामान्यीकृत करते हैं। इसमें बड़े $N$ सीमा के सुधारों के रूप में परिमित $N$ विभाजन फलन को व्यक्त करने के लिए हबर्ड-स्ट्रैटोनोविच रूपांतरण (Hubbard-Stratonovich transformation) और बोरोडिन-ओकुनकोव डिटर्मिनेंटल फॉर्मूला का उपयोग करना शामिल है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

चक्र विस्तार और गुणनखंड (Cycle Expansion and Factorization): यह शोध पत्र कई अनंत क्विवर परिवारों ( $Y^{p,q}$ , $\hat{A}_m$ ) और विशिष्ट उदाहरणों ( $dP_3$ ) के लिए $\det M(t)$ के स्पष्ट चक्र विस्तार प्राप्त करता है। यह डिटर्मिनेंट में कारकों और क्विवर ग्राफ में विशिष्ट चक्रों (बंद पथों) के बीच एक पत्राचार स्थापित करता है, जो ऑफ-शेल और ऑन-शेल दोनों स्थितियों में गुणनखंडन को मान्य करता है।
एसिम्प्टोटिक वृद्धि पैटर्न (Asymptotic Growth Patterns):
- हार्डी-रामानुजन वृद्धि: $\hat{A}_m$ परिवार (जिसमें $m=1$ के रूप में $\mathcal{N}=4$ SYM और $m=2$ के रूप में $Y^{1,1}$ शामिल है) के लिए, लेखक $\ln |c_n| \sim \gamma n^{1/2} + \beta \ln n + \alpha$ के रूप में एसिम्प्टोटिक सूत्र प्राप्त करते हैं। इस प्रकार की "हार्डी-रामानुजन प्रकार" की वृद्धि $d=4$ BPS अवस्था गणनाओं की विशेषता है। गुणांक $\gamma$ का उपयोग सिद्धांत के लिए एक "प्रभावी सेंट्रल चार्ज" ( $c_{\text{eff}}$ ) को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
- पॉलीनोमियल वृद्धि: इसके विपरीत, यह शोध पत्र पहचानता है कि कुछ क्विवर्स, विशेष रूप से $dP_3$ , $Y^{3,3}$ , और $Y^{p,0}$ , गुणांकों में घातांकीय (exponential) वृद्धि के बजाय बहुपद (polynomial) वृद्धि प्रदर्शित करते हैं। यह जैकोबी ट्रिपल प्रोडक्ट आइडेंटिटी और वर्गों के योग फलनों के गुणों का उपयोग करके सिद्ध या अनुमानित किया गया है।
- द्विसं biến (Bivariate) एसिम्प्टोटिक्स: लेखक $\mathcal{N}=4$ SYM और $\hat{A}_3$ क्विवर के लिए मुख्य विकर्ण (main diagonal) के द्विसं biến इंडेक्स (जहाँ फ्युगासिटी $p$ और $q$ संबंधित हैं) का विश्लेषण करते हैं, और इन विकर्णों के साथ हार्डी-रामानुजन वृद्धि पाते हैं।
सामान्यीकृत जायंट ग्रेविटॉन विस्तार (Generalized Giant Graviton Expansion): यह शोध पत्र मल्टी-मैट्रिक्स मॉडलों के लिए जायंट ग्रेविटॉन विस्तार को सामान्यीकृत करता है। यह एक सामान्य $V \times V$ मैट्रिक्स कपलिंग मॉडल के लिए विस्तार मापदंडों $G^{(m)}_N(M)$ के लिए एक जनरेटिंग फंक्शन प्रदान करता है। लेखक प्रदर्शित करते हैं कि सर्कुलेंट इंडेक्स मैट्रिसेस (जैसे $\hat{A}_m$ और $Y^{p,p}$ ) वाले विशिष्ट क्विवर परिवारों के लिए, विस्तार मापदंड विशिष्ट समरूपताओं और अग्रणी-क्रम व्यवहारों को प्रदर्शित करते जिन्हें स्पष्ट रूप से संगणना किया जा सकता है।
प्रभावी सेंट्रल चार्ज (Effective Central Charge): लेखक विभिन्न क्विवर परिवारों के लिए प्रभावी सेंट्रल चार्ज $c_{\text{eff}}$ को पेश करते हैं और उसकी गणना करते हैं। $\hat{A}_m$ परिवार के लिए, वे पाते हैं कि $c_{\text{eff}} = m/3 + 1/m$ है। वे नोट करते हैं कि बहुपद रूप से बढ़ने वाले मामलों के लिए $c_{\text{eff}}$ शून्य हो जाता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र $\mathcal{N}=4$ SYM से परे टोरिक क्विवर गेज थ्योरीज में BPS अवस्थाओं की एसिम्प्टोटिक अपभ्रष्टता का विश्लेषण करने के लिए एक व्यवस्थित ढांचा प्रदान करने का दावा करता है।

द्वैत निहितार्थ (Duality Implications): कई क्विवर्स के लिए हार्डी-रामानुजन वृद्धि की प्राप्ति इस अपेक्षा का समर्थन करती है कि इन सिद्धांतों के द्वैत गुरुत्वाकर्षण विवरण ग्रेविटॉन गैस या ब्लैक होल शामिल होते हैं। विशिष्ट क्विवर्स के लिए बहुपद वृद्धि की पहचान एक अलग भौतिक शासन (regime) या उन मामलों में मानक एंट्रॉपी स्केलिंग के टूटने का सुझाव देती है।
गणितीय सामान्यीकरण (Mathematical Generalization): यह कार्य जनरेटिंग फंक्शन्स (मैट्रिक्स तर्कों के साथ अनंत उत्पाद) के व्यापक वर्ग के लिए सैडल-पॉइंट विधि और जायंट ग्रेविटॉन विस्तार के अनुप्रयोग को विस्तारित करता है और क्विवर चक्रों और इंडेक्स के गुणनखंडन के बीच नए संबंध स्थापित करता है।
परिमित $N$ अंतर्दृष्टि (Finite $N$ Insights): मल्टी-मैट्रिक्स कपलिंग के लिए जायंट ग्रेविटॉन विस्तार को सामान्यीकृत करके, यह शोध पत्र बड़े $N$ सीमा और परिमित गेज ग्रुप रैंक के बीच के अंतर को पाटने के लिए परिमित $N$ इंडेक्स को पुनरावर्ती रूप से (iteratively) गणना करने के लिए एक संभावित उपकरण प्रदान करता है।

लेखक द्विसं biến मामले में "प्रभावी सेंट्रल चार्ज" के पूर्ण भौतिक अर्थ और सामान्य क्विवर्स के लिए जायंट ग्रेविटॉन विस्तार की विशिष्टता के संबंध में विनम्र रहते हैं, इसे भविष्य के अन्वेषण के लिए खुले प्रश्न के रूप में नोट करते हैं। वे यह भी रेखांकित करते हैं कि हालांकि वे कुछ $Y^{p,q}$ मामलों के लिए संख्यात्मक साक्ष्य और अनुमान प्रदान करते हैं, सभी ऐसे मामलों के लिए एक कठोर विश्लेषणात्मक प्रमाण एक भविष्य का लक्ष्य बना हुआ है।