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On the Rate of Convergence of Kolmogorov-Arnold Network Regression Estimators

यह शोध पत्र स्थापित करता है कि बी-स्प्लाइन (B-spline) घटकों वाले कोलमोगोरोव-आर्नोल्ड नेटवर्क (KANs), परिवेशी आयाम (ambient dimension) से स्वतंत्र होकर मिनिमैक्स-इष्टतम (minimax-optimal) प्रतिगमन दर प्राप्त करते हैं, जबकि साथ ही अनुकूलित नॉट-चयन (knot-selection) नियम भी प्रदान करते हैं और उनके एकचर घटकों (univariate components) की गैर-निश्चयात्मकता (non-identifiability) को स्पष्ट करते हैं।

मूल लेखक: Wei Liu, Eleni Chatzi, Zhilu Lai

प्रकाशित 2026-07-31

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Wei Liu, Eleni Chatzi, Zhilu Lai

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक कंप्यूटर को मौसम की भविष्यवाणी करना सिखाने की कोशिश कर रहे हैं। दुनिया बहुत अव्यवस्थित है, जहाँ तापमान, आर्द्रता, हवा की गति और दबाव एक जटिल तरीके से आपस में क्रिया करते हैं। मशीन लर्निंग की दुनिया में, इसे "नॉनपैरामीट्रिक रिग्रेशन" (nonparametric regression) कहा जाता है। यह डेटा के समुद्र में बिना किसी सरल, पूर्व-निर्मित सांचे (जैसे कि एक सीधी रेखा) में जबरदस्ती फिट किए बिना, एक छिपे हुए पैटर्न को खोजने की कला है। दशकों से, वैज्ञानिकों ने इसके लिए दो मुख्य उपकरणों का उपयोग किया है। पहला है "न्यूरल नेटवर्क," जो परतों से बना एक डिजिटल मस्तिष्क है जो लगभग कुछ भी सीख सकता है, लेकिन यह अक्सर एक "ब्लैक बॉक्स" होता है—हम जानते हैं कि यह काम करता है, लेकिन हम आसानी से यह नहीं देख सकते कि यह कैसे काम करता है या यह सही उत्तर क्यों देता है। दूसरा है "स्प्लाइन" (spline), जो बिंदुओं के माध्यम से चिकनी वक्र रेखाएं (curves) बनाने वाला एक गणितीय उपकरण है, जैसे कि एक लचीला रूलर। स्प्लाइन पारदर्शी और समझने में आसान होते हैं, लेकिन वे तब संघर्ष करते हैं जब डेटा बहुत जटिल हो जाता है या उसमें बहुत अधिक आयाम (dimensions) होते हैं (जैसे कि मौसम के अधिक चरों को जोड़ना)।

हाल ही में, "कोलमोगोरोव-आर्नोल्ड नेटवर्क" (Kolmogorov–Arnold Network) या KAN नामक एक नए प्रकार का न्यूरल नेटवर्क सामने आया है। KAN को एक चतुर हाइब्रिड के रूप में सोचें: इसमें एक न्यूरल नेटवर्क की तरह स्तरित संरचना होती है, लेकिन रहस्यमय, उलझे हुए कनेक्शनों के बजाय, यह एक-आयामी वक्रों (splines) को एक के ऊपर एक रखकर अपनी भविष्यवाणियां बनाता है। यह एक अपारदर्शी कंक्रीट के बजाय स्पष्ट कांच के पैनलों से एक गगनचुंबी इमारत बनाने जैसा है। वैज्ञानिकों के सामने बड़ा सवाल यह था: "क्या यह नया कांच का गगनचुंबी ढांचा वास्तव में पुराने कंक्रीट वाले ढांचों जितना अच्छा काम करता है, और क्या हम गणितीय रूप से इसे सिद्ध कर सकते हैं?" यह शोध पत्र इसी प्रश्न की गहराई में जाता है, न केवल प्रयोग करके, बल्कि एक कठोर गणितीय प्रमाण बनाकर यह दिखाने के लिए कि ये नेटवर्क कितनी तेजी से और कितनी सटीकता से सीखते हैं।

कांच का गगनचुंबी ढांचा बनाम कंक्रीट की दीवार

इस शोध पत्र के लेखक यह सिद्ध करने के उद्देश्य से निकले कि KAN केवल एक शानदार विचार नहीं है, बल्कि डेटा से सीखने का एक गणितीय रूप से इष्टतम (optimal) तरीका है। उन्होंने एक विशिष्ट प्रकार के KAN पर ध्यान केंद्रित किया जहाँ निर्माण खंड "बी-स्प्लाइन्स" (B-splines) हैं (वही लचीले रूलर जिनका उल्लेख पहले किया गया था)। उनकी मुख्य खोज सीखने की एक "गति सीमा" (speed limit) है। उन्होंने सिद्ध किया कि यदि डेटा जिसे वे भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं, उसमें चिकनाई का एक निश्चित स्तर है (मान लीजिए कि "चिकनाई $r$ "), तो KAN लगभग $O((\log n/n)^{2r/(2r+1)})$ की गति से सीखता है।

इसे रोजमर्रा की भाषा में समझाने के लिए, कल्पना कीजिए कि आप अपनी उंगलियों से छूकर किसी छिपी हुई वस्तु के आकार का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं। यदि वस्तु बहुत चिकनी है (जैसे कि पॉलिश किया हुआ संगमरमर), तो आपको उसे समझने के लिए कम स्पर्श की आवश्यकता होगी। यदि वह ऊबड़-खाबड़ और नुकीली है, तो आपको बहुत अधिक स्पर्श की आवश्यकता होगी। शोध पत्र दिखाता है कि KAN आकार का अनुमान लगाने में उस दर पर बेहतर होता है जो केवल इस बात पर निर्भर करती है कि वस्तु कितनी चिकनी है, न कि इस पर कि वस्तु के कितने आयाम हैं। यह एक बहुत बड़ी बात है। आमतौर पर, जब आप अधिक आयाम जोड़ते हैं (अधिक चर ट्रैक करते हैं), तो सीखना घातीय रूप से कठिन हो जाता है—जिसे "डायमेंशनलिटी का अभ्रंश" (curse of dimensionality) कहा जाता है। यह एक ऐसे ढेर में सुई खोजने जैसा है जो हर बार खलिहान में एक नया कमरा जोड़ने पर बड़ा होता जाता है। लेखकों ने पाया कि क्योंकि KAN सरल, एक-आयामी टुकड़ों से बना है, यह इस अभ्रंश से पूरी तरह बच जाता है। यह उतनी ही तेजी से सीखता है चाहे डेटा में 5 आयाम हों या 20, बशर्ते डेटा वास्तव में KAN की विशिष्ट संरचना का पालन करता हो।

लॉगरिदमिक हिचकी और "लॉग" कारक

हालाँकि, कहानी पूरी तरह से सहज नहीं है। लेखकों ने पाया कि KAN की सीखने की गति एक सूक्ष्म कारक के कारण पूर्ण सैद्धांतिक सर्वोत्तम से थोड़ी धीमी है जिसमें एक लघुगणक (logarithm) शामिल है (विशेष रूप से, $(\log n)^{2r/(2r+1)}$ का एक कारक)। उन्होंने इस "हिचकी" का कारण KAN की वास्तुकला (architecture) को नहीं, बल्कि इस तथ्य को बताया कि यह नेटवर्क गैर-रेखीय (non-linear) है।

इसे इस तरह सोचें: यदि आप एक पुस्तकालय में एक विशिष्ट पुस्तक खोजने की कोशिश कर रहे हैं जहाँ पुस्तकें एक आदर्श, सीधी रेखा में व्यवस्थित हैं (एक रैखिक प्रणाली), तो आप इसे तुरंत पा सकते हैं। लेकिन यदि पुस्तकें एक जटिल, घुमावदार भूलभुलैया में व्यवस्थित हैं (एक गैर-रेखीय प्रणाली), तो आपको थोड़ा अधिक खोज करनी होगी, जो उस छोटे से "लॉगरिदमिक" विलंब को जोड़ देता है। लेखकों ने दिखाया कि यदि वे KAN को सरल बना दें ताकि यह एक सीधी रेखा की तरह कार्य करे, तो यह अतिरिक्त विलंब गायब हो जाता है। यह सुझाव देता है कि KAN स्वाभाविक रूप से "कठिन" नहीं है; यह बस इतना है कि इसके गैर-रेखीय घुमावों को नेविगेट करने का गणित थोड़ा अधिक ओवरहेड जोड़ता है।

छिपे हुए घटकों का रहस्य

शोध पत्र का सबसे दिलचस्प हिस्सा वह है जो तब होता है जब आप उत्तर बनाने के लिए KAN द्वारा उपयोग किए गए व्यक्तिगत टुकड़ों को देखने की कोशिश करते हैं। लेखकों ने सिद्ध किया कि आप केवल अंतिम उत्तर को देखकर इन व्यक्तिगत टुकड़ों की विशिष्ट पहचान नहीं कर सकते। यह केक के तैयार उत्पाद को चखकर उसके सटीक अवयवों (ingredients) को जानने की कोशिश करने जैसा है। यदि आपके पास एक केक है जिसका स्वाद "वैनिला" जैसा है, तो आप निश्चित नहीं हो सकते कि बेकर ने 1 कप वैनिला अर्क और 2 कप मैदा इस्तेमाल किया है, या 2 कप व meskipun 1 कप मैदा, क्योंकि रेसिपी अवयवों के बीच मात्रा को बदलने का एक "स्केल ग्रुप" (scale group) की अनुमति देती है।

उन्होंने दिखाया कि केवल डेटा को "सेंटरिंग" (औसत शून्य करना) करना इस रहस्य को सुलझाने के लिए पर्याप्त नहीं है। नेटवर्क अभी भी भार (weights) को इस तरह से इधर-उधर कर सकता है जो आंतरिक घटकों को बदल देता है लेकिन अंतिम भविष्यवाणी को बिल्कुल वैसा ही छोड़ देता है। इसका मतलब है कि जबकि KAN परिणाम की भविष्यवाणी करने में महान है, आप हमेशा आंतरिक भागों पर यह बताने के लिए भरोसा नहीं कर सकते कि वास्तविक अंतर्निहित कारण क्या है, जब तक कि आप उन्हें लॉक करने के लिए अतिरिक्त नियम न जोड़ें।

गांठें (Knots) और अनुकूलन क्षमता

इन नेटवर्कों को काम करने के लिए, आपको यह तय करने की आवश्यकता है कि कितने "गांठों" (knots - वे बिंदु जहाँ लचीला रूलर मुड़ता है) का उपयोग करना है। बहुत कम, और रूलर वक्र का अनुसरण करने के लिए बहुत सख्त होगा; बहुत अधिक, और यह शोर (noise) के बजाय पैटर्न को याद करने के लिए बेतहाशा हिलने लगेगा। लेखकों ने इसके लिए एक सटीक नियम निकाला है: गांठों की संख्या लगभग $n^{1/(2r+1)}$ की तरह बढ़नी चाहिए, जहाँ $n$ आपके पास उपलब्ध डेटा की मात्रा है।

इससे भी बेहतर, उन्होंने दिखाया कि इस काम को सही ढंग से करने के लिए आपको पहले से यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि डेटा की "चिकनाई" ( $r$ ) क्या है। उन्होंने एक ऐसी विधि बनाई जहाँ नेटवर्क विभिन्न विकल्पों का परीक्षण करके सही संख्या में गांठों को स्वचालित रूप से चुन सकता है, ठीक वैसे ही जैसे एक यात्री सबसे तेज़ रास्ते को खोजने के लिए अलग-अलग रास्तों का परीक्षण करता है। उनके सिमुलेशन में, यह "अनुकूलन योग्य" (adaptive) विधि उतनी ही अच्छी तरह से काम करती है जितनी कि यदि उन्हें उत्तर पहले से पता होता।

प्रयोगशाला में सिद्धांत का परीक्षण

अंत में, लेखकों ने केवल गणित तक ही सीमित नहीं रहे; उन्होंने इसे परीक्षण के घेरे में भी रखा। उन्होंने ज्ञात चिकनाई स्तरों के साथ नकली डेटा बनाया और देखा कि KAN कैसे सीखता है। परिणाम सटीक थे।

गति: KAN अनुमानित गति से सीखा, जैसे-जैसे उन्होंने अधिक डेटा जोड़ा, यह अधिक सटीक होता गया।
आयाम: जब उन्होंने चरों की संख्या 5 से बढ़ाकर 20 कर दी, तो KAN ने अपनी गति बनाए रखी, जबकि अन्य मानक विधियों (जैसे k-निकटतम पड़ोसी) की गति नाटकीय रूप से धीमी हो गई, जिससे पुष्टि हुई कि KAN वास्तव में "डायमेंशनलिटी के अभ्रंश" से बच निकलता है।
गांठें: प्रयोगों में उनके द्वारा पाई गई इष्टतम गांठों की संख्या उनके गणितीय पूर्वानुमान से पूरी तरह मेल खाती थी।

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि KAN एक शक्तिशाली, गणितीय रूप से सुदृढ़ उपकरण हैं। वे दोनों दुनियाओं का सर्वश्रेष्ठ प्रदान करते हैं: गहरे न्यूरल नेटवर्क की सीखने की शक्ति और स्प्लाइन्स की पारदर्शिता। हालांकि अभी भी यह पूरी तरह से पहचानने के बारे में कुछ खुले प्रश्न हैं कि नेटवर्क के आंतरिक भाग कैसे काम करते हैं, लेकिन यह प्रमाण कि वे इष्टतम दर (उस छोटे से लॉगरिदमिक कारक तक) पर सीखते हैं, एक बड़ी प्रगति है। यह हमें बताता है कि जब डेटा में एक विशिष्ट संरचना होती है, तो KAN केवल एक चालाक ट्रिक नहीं है, बल्कि इसे सीखने का सबसे कुशल तरीका है।

तकनीकी सारांश: कोलमोगोरोव-आर्नोल्ड नेटवर्क रिग्रेशन अनुमानकों के अभिसरण की दर पर

समस्या विवरण
यह शोध पत्र नॉनपैरामेट्रिक रिग्रेशन में कोलमोगोरोव-आर्नोरोल्ड नेटवर्क (KAN) के सांख्यिकीय अभिसरण (convergence) दरों को संबोधित करता है। जबकि KANs ने बहुभिन्नतीय फलनों (multivariate functions) को एकचर रूपांतरणों (univariate transformations) के संयोजन के माध्यम से सन्निकटन (approximating) के रूप में एक संरचित विकल्प के रूप में अनुभवजन्य आकर्षण प्राप्त किया है—लेकिन उनके अनुमान दरों के संबंध में औपचारिक सांख्यिकीय गारंटी दुर्लभ रही है। लेखक एक KAN सीव (sieve) पर लीस्ट-स्क्वायर्स अनुमानक का विश्लेषण करते हैं जहाँ एकचर घटक B-स्प्लाइन्स (B-splines) हैं। विशेष रूप से, वे पूछते हैं: एक ऐसी श्रेणी के ऊपर जो Sobolev-स्मूथ एकचर घटकों वाले KAN फलनों से बनी है, एम्पिरिकल रिस्क मिनिमाइज़र (empirical risk minimizer) क्या दर प्राप्त करता है, और क्या यह मिनिमैक्स ऑप्टिमल (minimax optimal) है?

कार्यप्रणाली
लेखक लीस्ट-स्क्वायर्स अनुमानक $\hat{f}_n$ का विश्लेषण करते हैं जो KAN आर्किटेक्चर से निर्मित सीव स्पेस $\mathcal{F}_n$ पर परिभाषित है। लक्षित फलन $f_0$ को $Q$ इकाइयों के परिमित योग के रूप में मॉडल किया गया है:
$f(x) = \sum_{q=1}^Q g_q(T_q(x))$
जहाँ $T_q(x)$ या तो एक योगात्मक एकत्रीकरण (additive aggregation $\sum \psi_{qj}(x_j)$ ) या एक गुणात्मक एकत्रीकरण (multiplicative aggregation $\prod \psi_{qj}(x_j)$ ) का प्रतिनिधित्व करता है। दोनों बाहरी फलन $g_q$ और आंतरिक फलन $\psi_{qj}$ को $k_n$ गांठों (knots) वाले $m$ क्रम के B-स्प्लाइन्स का उपयोग करके सन्निकट किया गया है।

मुख्य कार्यप्रणाली चरण शामिल हैं:

मान्यताएँ (Assumptions): डिज़ाइन वितरण का घनत्व (density) परिबद्ध (bounded) है, त्रुटियाँ i.i.d. और सब-गौसियन (sub-Gaussian) हैं, और रिग्रशन फलन $\mathcal{F}^{KAN}_r$ श्रेणी में है जहाँ एकचर घटक $r$ की Sobolev स्मूथनेस रखते हैं। महत्वपूर्ण रूप से, बाहरी फलनों $g_q$ को $L_2$ के बजाय $L_\infty$ -Sobolev स्केल ( $W^{r,\infty}$ ) में सीमित किया गया है, और सीव स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए गुणांकों पर स्पष्ट सुप-नॉर्म (sup-norm) सीमाएं लागू करता है।
सैद्धांतिक उपकरण (Theoretical Tools): विश्लेषण तीन शास्त्रीय घटकों को जोड़ता है:
- KAN संयोजनों के लिए एक सन्निकटन सीमा (लेम्मा C.1), जो मल्टीप्लिकेटिव नोड्स के लिए टेलिस्कोपिंग तर्क का उपयोग करती है।
- नॉनलीनियर सीव के लिए एक मेट्रिक-एन्ट्रॉपी सीमा (लेम्मा C.2), जो संयोजन की गैर-रैखिकता (nonlinearity) को ध्यान में रखती है।
- यूनिफॉर्मली बाउंडेड क्लासेज पर लीस्ट स्क्वायर्स के लिए एक ओरेकल इनइक्वेलिटी (oracle inequality) (लेम्मा C.3)।
पहचान क्षमता विश्लेषण (Identifiability Analysis): लेखक जांचते हैं कि क्या सीखे गए घटक वास्तविक घटकों की ओर अभिसरित होते हैं, यह सिद्ध करते हुए कि स्केल इनवेरियंस (scale invariance) और मिक्सिंग अस्पष्टताओं के कारण केवल सेंट्रिंग (centering) पर्याप्त नहीं है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

अभिसरण दर (Convergence Rate): KAN स्प्लाइन सीव पर लीस्ट-स्क्वायर्स अनुमानक एक यूनिफॉर्म अभिसरण दर प्राप्त करता है:
$O\left(\left(\frac{\log n}{n}\right)^{\frac{2r}{2r+1}}\right)$
यह दर $r$ की Sobolev स्मूथनेस वाले KAN फलनों के एक बॉल पर यूनिफॉर्म रूप से लागू होती है।
डायमेंशन-फ्री एक्सपोनेंट (Dimension-Free Exponent): एक्सपोनेंट $\frac{2r}{2r+1}$ परिवेशी आयाम (ambient dimension) $d$ से स्वतंत्र है। लेखक स्पष्ट करते हैं कि यह $[0,1]^d$ पर सामान्य Sobolev क्लासेज के लिए मिनिमैक्स लोअर बाउंड $n^{-2r/(2r+d)}$ का उल्लंघन नहीं करता है। इसके बजाय, डायमेंशन-फ्री दर इस संरचनात्मक धारणा से उत्पन्न होती है कि लक्ष्य फलन एक निश्चित संख्या में इकाइयों $Q$ के साथ KAN प्रतिनिधित्व स्वीकार करता है।
मिनिमैक्स ऑप्टिमैलिटी (Minimax Optimality): $n^{-2r/(2r+1)}$ के क्रम का एक मिलान करने वाला लोअर बाउंड स्थापित किया गया है, जो दर्शाता है कि अनुमानक लॉगरिदमिक कारक तक मिनिमैक्स ऑप्टिमल है। लेखक इस लॉगरिदमिक कारक को नॉनलीनियर सीव की गैर-रैखिकता (जिसके लिए कवरिंग पर चेनिंग की आवश्यकता होती है) से जोड़ते हैं। वे दिखाते हैं कि रैखिक उप-मॉडलों (जैसे, स्थिर बाहरी फलन) के लिए, लॉगरिदमिक कारक गायब हो जाता है।
पहचान क्षमता (Identifiability): यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि सेंट्रिंग बाधाएं KAN प्रतिनिधित्व को पहचान नहीं पाती हैं; एक-पैरामीटर स्केल ग्रुप बना रहता है, और $d=1$ या $Q \ge 2$ के लिए अन्य अस्पष्टताएं भी मौजूद हैं। फलस्वरूप, फिट किए गए फलन $\hat{f}_n$ की निरंतरता (consistency) अतिरिक्त सामान्यीकरण और गैर-क्षय (non-degeneracy) स्थितियों के बिना व्यक्तिगत एकचर घटकों $\hat{\psi}_{qj}$ की निरंतरता को सुनिश्चित नहीं करती है।
अनुकूलन क्षमता (Adaptivity): एक गांठ-चयन नियम $k_n \asymp (n/\log n)^{1/(2r+1)}$ व्युत्पन्न किया गया है। लेखक दिखाते हैं कि डायैडिक नॉट ग्रिड (dyadic knot grid) पर दंडित चयन (penalized selection) $r$ (स्प्लाइन क्रम तक) के पूर्व ज्ञान के बिना अनुकूल रूप से इष्टतम दर प्राप्त करता है।

प्रायोगिक सत्यापन
सैद्धांतिक भविष्यवाणियों को सटीक रूप से ज्ञात स्मूथनेस $r$ वाले सिंथेटिक लक्ष्यों पर सत्यापित किया गया है।

सन्निकटन त्रुटि (Approximation Error): एकचर स्प्लाइन सन्निकटन त्रुटि $k^{-r}$ के रूप में घटती है, जो सैद्धांतिक सीमाओं से मेल खाती है।
अभिसरण दरें: एम्पिरिकल $L_2$ रिस्क एडिटिव, यूनिवैरिएट और मल्टीप्लिकेटिव लक्ष्यों के लिए $n^{-2r/(2r+1)}$ (लॉगरिदमिक कारकों सहित) की दरों के अनुरूप घटता है।
डायमेंशन इंडिपेंडेंस: डायमेंशन स्वीप्स ( $d=5$ से $d=20$ ) में, KAN अनुमानक एक तीव्र अभिसरण ढलान बनाए रखता है, जबकि स्ट्रक्चर-फ्री बेसलाइन्स (k-NN, Kernel Ridge) संरचना-मुक्त अनुमान के 'कर्स ऑफ डायमेंशनैलिटी' दर $n^{-2r/(2r+d)}$ की ओर गिर जाते हैं।
गांठ चयन (Knot Selection): जोखिम (risk) गांठों की संख्या के संबंध में एक U-आकार प्रदर्शित करता है, और क्रॉस-वैलिडेशन $r$ को जाने बिना इष्टतम गांठ संख्या को सफलतापूर्वक ढूंढ लेता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र दावा करता है कि यह KANs के लिए पहला कठोर अभिसरण विश्लेषण प्रदान करता है, यह स्थापित करता है कि वे संरचित नॉनपैरामेट्रिक रिग्रेशन के लिए मिनिमैक्स-ऑप्टिमल दरएं प्राप्त करते हैं। प्राथमिक महत्व इस बात को प्रदर्शित करने में है कि KAN आर्किटेक्चर, एक विशिष्ट KAN संरचना वाले लक्ष्य फलन का लाभ उठाकर, सामान्य नॉनपैरामेट्रिक अनुमान में निहित 'कर्स ऑफ डायमेंशनैलिटी' से बच निकलता है।

लेखक अपने लॉगरिदमिक कारक के संबंध में विनम्र हैं, यह नोट करते हुए कि यह नॉनलीनियर सीव की एंट्रॉपी का एक आर्टिफैक्ट है न कि KAN की अंतर्निहित सीमा, और इसे हटाने के लिए स्थानीय-एंट्रॉपी विश्लेषण की आवश्यकता वाली एक तकनीकी चुनौती के रूप में पहचानते हैं। इसके अलावा, वे इस बात पर जोर देते हैं कि जबकि रिग्रेशन फलन का निरंतर अनुमान लगाया जा सकता है, अंतर्निहित एकचर घटकों की रिकवरी के लिए विशिष्ट पहचान क्षमता शर्तों की आवश्यकता होती है जो मानक सेंट्रिंग द्वारा गारंटीकृत नहीं हैं। यह कार्य KANs की अनुभवजन्य सफलता और शास्त्रीय नॉनपैरामेट्रिक सिद्धांत के बीच के अंतर को पाटता है, उन्हें न्यूरल नेटवर्क की स्तरित संरचना बनाए रखते हुए स्प्लाइन-आधारित विधियों के साथ अनुकूलता के स्तर पर स्थापित करता है।

कांच का गगनचुंबी ढांचा बनाम कंक्रीट की दीवार

लॉगरिदमिक हिचकी और "लॉग" कारक

छिपे हुए घटकों का रहस्य

गांठें (Knots) और अनुकूलन क्षमता

प्रयोगशाला में सिद्धांत का परीक्षण

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